数学物理方程教案3行波解

数学物理方程教案3

主要内容：

1、掌握行波解求解思路和一般步骤。

2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。

3、理解推迟势的物理意义。

第二章行波法

上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。

我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出

对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上

的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题

泛定方程： 2

tt xx u a u =，（,0x t -∞<<∞>） (2.1)

初始条件： ()()()()

,0,0t u x x u x x ?ψ=???=??， (2.2)

式中，(),()x x ?ψ为已知函数。

因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的区域，所以不需提出边界条件。此定解问题即为初值问题。

为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出(2.1)的通解。做变量代换，引入新的自变量

x at

x at ξη=-??

=+?

, (2.3) 利用复合函数求微商的法则，可以得到

x x x u u u u u ξηξηξη=+=+， (2.4)

()()()()()() 2xx x x x x x x u u u u u u u u u u u u ξηξηξηξξηηξξξηηη

ξη=+=+=+++=++， (2.5)

()t t t u u u a u u ξηξηξη=+=-+， (2.6)

()

2

()()()() ()()2tt t t t t t t u u u a u u a a u u a u u a u u u ξηξηξηξξηηξξξηηηξη??=+=-+??

??=--++-+=-+??， (2.7)

将上面得到的,tt xx u u 代入式(2.1)，得到

()()2222a u u u a u u u ξξξηηηξξξηηη-+=++， (2.8)

即

0u ξη=. (2.9)

求上面方程的解，先对η积分，得 ()()0u u d d c c ξξηηηξξ==+=??， (2.10) 再对ξ进行积分可得

()()()()()212,u c d f f f ξηξξηξη=+=+?， (2.11)

式中，()()12,f f ξη分别是ξ，η的任意函数。把代换(2.3)代入此式，得到

()()()12,u x t f x at f x at =-++. (2.12)

容易验证，只要12,f f 具有二阶连续偏导数，表达式(2.12)就是自由弦振动方程(2.1)的通解。

下面我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数1f 和2f 。即求满足定解条件的解。把式(2.12)代入式(2.2)得

12(,0)()()()u x f x f x x ?=+=， (2.13)

12(,0)()()()t u x af x af x x ψ''=-=， (2.14)

即

0121()()()x

x f x f x d c a

ψαα-=+?， (2.15) 由(2.13)式和(2.15)式容易解得

0111()()()222x x c

f x x d a ?ψαα=++

?， (2.16) 0211()()()222

x x c

f x x d a ?ψαα=--?. (2.17) 将()1f x 和()2f x 中的x 分别换成x at +和x at -，代入(2.12)得

[]11(,)()()()22x at

x at

u x t x at x at d a ??ψαα+-=++-+?. (2.18)

这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解。它是一维无界齐次波动方程的初值问题的特解的一般表达式。

例1. 求解初值问题

2

0|,|4tt xx

t t t u a u u x u ==?=??

==??， (2.19) 解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，()(),4x x x ?ψ==，故由

达朗贝尔公式(2.18)有

()[]11,422 4x at

x at

u x t x at x at d a x t

α

+-=++-+=+?. (2.20) 2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义

首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔公式的通解式(2.12)的物理意义。

先考察第一项

()11u f x at =-， (2.21)

它是方程(2.1)的解，对于t 不同的值，就可以看到弦在不同时刻相应的振动状态。

在t =0时，()()11,0u x f x =，它对应于初始时刻的振动状态，假如图2.1（a ）曲线表示的是0t =时的弦振动的状态(即初始状态)；在1/2t =时，()11,1/2(/2)u x f x a =-的图形如图2.1（b ）所示；在1t =时，()11,1()u x f x a =-的图形如图2.1（c ）所示；在

2t =时，()11,2(2)u x f x a =-的图形如图2.1（d ）所示。这些图形说明，随着时间的

推移，()11u f x at =-的图形以速度a 向x 轴正向移动，所以()11u f x at =-表示一个以

速度a 沿x 轴正向传播的行波。

同理，第二项()22u f x at =+表示一个以速度a 沿x 轴负向传播的行波。所以说达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播的速度正好是弦振动方程中的常数a 。也正是基于此原因，上述求波动方程通解的方法叫做行波法。

(a)

(b)

(c) (d)

图2.1 行波示意

然后，我们研究满足初始条件(2.2)的达朗贝尔公式特解。从特解(2.18)的表达式可以看出，沿x 轴正、负方向传播的行进波，包含两部分，一部分来源于初始位移，一部分来源于初始速度。

至于行波的具体波形，取决于初始条件(2.2)。为了使这个概念具体化，我们分别对以下两种特殊情况进行讨论：

（1）()0x ψ=（只有初始位移，初速度为零的弦振动） 此时由(2.18)给出

[]1

(,)()()2

u x t x at x at ??=

++-. (2.22) 先看第二项，设观察者以速度a 沿x 轴正向运动，则t 时刻在x c at =+处，他所看

到的波形为

()()()x at c at at c ???-=+-=. (2.23)

由于t 为任意时刻，这说明观察者在运动过程中随时可看到相同的波形()c ?，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正向传播。所以，()x at ?-代表以速度a 沿x 轴正向，称为正行波。而第一项的()x at ?+则当然代表以速度a 沿x 轴负向传播的波，称为反行波。正行波和反行波的叠加（相加）就给出弦的位移。

（2）()0x ?=（即只有初速度，初始位移为零的弦振动） 此时式(2.18)给出

1(,)()2x at

x at

u x t d a ψαα+-=?， (2.24)

设()x ψ为

()

2x a

ψ的一个原函数即

()()0

12x

x x d a ψααψ=?， (2.25)

则此时有

()()(),u x t x at x at =ψ+-ψ-， (2.26)

由此可见第一项也是反行波，第二项也是正行波，正、反行波的叠加（相减）给出弦的位移。

所以，达朗贝尔解表示正行波和反行波的叠加。 例2. 设初速度()x ψ为零，初始位移为

0 ()22 (0)()22 (0)0 ()x x x x x x x ααα?αα

α<-???+-≤≤?=??-≤≤??>?

， (2.27)

的无界弦的自由振动位移。

解：则此时达朗贝尔解(2.18)给出了弦的位移为

[]1

()()()2

u x x at x at ??=

++-， (2.28) 即初始位移（图2.2最下一图的粗线），它分为两半（该图细线），分别向左右两方以速度

a 移动（见图中由下而上的各图中的细线），每经过时间间隔

4a

α

，弦的位移由此二行波

的和给出（见图中由下而上的各图粗线）。

图2.2 弦的波动示意

2.1.3 依赖区间和影响区域

1. 依赖区间

由达朗贝尔公式(2.18)可看出，定解问题(2.1)~(2.2)的解在一点

()(),:,0x t x t ∈ΩΩ-∞<<∞>处的值，仅依赖于x 轴的区间[],x at x at -+上的初始条件，而与其它点上的初始条件无关。我们称区间[],x at x at -+为点(),x t 的依赖区间，它是过点(),x t 分别作斜率为1a ±的直线与x 轴所交截而得的区间。如图2.3所示。

图2.3 依赖区间

2. 影响区域

从一维其次波动方程的通解

()()()12,u x t f x at f x at =++-

可知，波动是以一定的速度a 向两个方向传播的。因此，如果在初始时刻0t =扰动仅在一有限区间[]12,x x 上存在，那么经过时间t 后，它所传到的范围就由不等式

12,(0)x at x x at t -≤≤+>， (2.29)

所限定，而在此范围外仍处于静止状态。

在(),x t 平面上，上述不等式所表示的区域如图2.4，称为区间

[]12,x x 的影响区域。

在这个区域中，初值问题的解(),u x t 的数值是受到区间[]12,x x 上的初始条件影响的；而在此区域外，(),u x t 的数值则不受区间[]12,x x 上初始条件的影响。

特别地，当区间[]12,x x 缩成一点0x 时，点0x 的影响区域为

00,(0)x at x x at t -≤≤+>， (2.30)

这是过点0x 作两条斜率各为1a ±的直线0x x at =-和2x x at =+所夹的三角形区域。如图2.5所示。

从上面的讨论中，我们看到在(),x t 平面上，斜率为1a ±的直线0x x at =±对波动方程的研究起着重要的作用，它们称为波动方程的特征线，且特征线族x at c ±=（任意常数）正是波动方程的特征方程()()

2

2

2

0dx a

dt -=的特征曲线。

x 1

图2.4 []12,x x 的影响区域

x x

图2.5 0x 的影响区域

从本节的学习我们可以看到，行波法是以波动现象的特点为背景的变量变换为出发点的。它先求通解，再用定解条件求特解，与求解常微分方程的方法相近，故而思路简洁，用于研究波动问题也很方便。但因为一般偏微分方程的通解不易求，用定解条件求特解有时也很困难，所以这种解法有相当大的局限性，一般只用于求解波动问题。

2.2 半无限长弦的自由振动

对于半无限长弦的自由振动的定解问题的研究，需要根据端点所处的物理状态（即边界条件）的不同分别加以讨论。

1. 端点固定（即第一类齐次边界条件） 一端固定的半无界弦的自由振动的定解问题为

泛定方程： ()2

, 0,0tt xx u a u x t =<<∞>

(2.31)

边界条件： ()0,0u t =， (2.32) 初始条件： ()()

()(),0,0t

u x x u x x ?ψ=??=?， (2.33)

其中边界条件表示0x =端弦是固定的，求解区域是(),x t 平面上的第一象限。对半无限长弦问题的处理基本思想是设法把它化为无限长弦问题，借助已知的达朗贝尔公式加以解决。

从物理上我们可以设想：半无限长弦在端点的反射波可视为无限长弦在0x <部分传播过来的“右”行传播波，且保持端点处为波节。从而半无限长弦问题可以作为特定的

（()0,|0x u x t ==）的无限长弦问题。

从数学上可以这样考虑：利用延拓法，把半无界区间延拓到整个无界区间。用无界域上的波函数，它既满足达朗贝尔公式，又要满足()0,|0x u x t ==，即

[]011(,)|()()()022at

x at

u x t at at d a ??ψαα=-=+-+=?. (2.34)

由于函数()(),x x ?ψ的任意性，必须把()x ?与()x ψ延拓成x -∞<<∞区间上的

奇函数。这样我们把上述初始条件改为

()()()()()() 0,0 0x x u x x x x ??≥?=Φ=?

--≤?

， (2.35) ()()()()()() 0,0 0t x x u x x x x ψψ≥?=ψ=?--≤?

. (2.36) 这样处理后，因为函数定义在x -∞<<∞整个区间，所以可以直接应用达朗贝尔公式(2.18)，于是得

()()()()11,22x at

x at u x t x at x at d a

αα+-=

Φ++Φ-+ψ?????， (2.37) 然后利用()x Φ、()x ψ的奇函数特性，最终用()x ?和()x ψ来表示。

为此，在(),x t 平面上的第一象限应分为两个区域，如图2.6所示：

图2.6 (),x t 平面上的两个区域

（1）,0x at t >>； （2）0,0x at t <<>。

由图2.6可见，由于在x at >区域内的任何点的依赖区间全部位于(0,0)t x =≥的区间内，因此解只依赖于0t =、0x ≥的初值条件，所以在区域（1）内的解，只须将()x ?与()x ψ的具体形式直接代入式(2.37)即可得到，

()()

[],,11 ()()()22x at

x at

u x t u x t x at x at d a ??ψαα

I +-==++-+?，()0,t x at >> (2.38) 而区域（2）内的点的依赖区间已跨越到负x 轴上去了。因此要利用()x Φ与()x ψ的

奇函数特性，得

()()

[][]00,,11()()()()2211()()()22x at

x at x at at x

u x t u x t x at at x d d a x at at x d a ??ψααψαα??ψααII +-+-=??=+--+--????=+--+???， (2.39) ()0,0t x at ><<

我们来讨论上述解的物理含义：

若x at >，我们看到其解就是达朗贝尔解，这说明端点的影响尚未传到。

若0x at <<，此时的解与达朗贝尔解不一样，这说明端点的影响已经传到。为简单起见，设初速度为零，此时

()[]1

,()()2

u x t x at at x ??=

+--， (2.40) 其中第一项，由上节讨论得知是沿x 轴负向向端点传播的反行波，在此称为入射波。至于第二项是由端点传来的以速度a 沿x 轴正向传播的正行波，在此称为反射波。注意在端点()0,|0x u x t ==，即弦始终不动，这说明在端点0x =处如射波和反射波的相位始终相反，这种现象我们称为半波损失。

2. 端点自由（即第二类齐次边界条件） 定解问题转变为

泛定方程： ()2

, 0,0tt xx u a u x t =<<∞> (2.41)

边界条件： ()0,0x u t =， (2.42) 初始条件： ()()

()(),0,0t

u x x u x x ?ψ=??=?. (2.43)

同“端点固定”的分析方法相同，我们采用延拓法，将半无界问题延拓为无界问题。在此边界条件下，应设()00?'=和()00ψ'=，这样才能保持端点自由（即()0,0x u t =），因此应将()x ?与()x ψ延拓成在x -∞<<∞整个区间上的偶函数，这样0x =端的边界条件自然会得到满足。即将定解问题(2.31)~(2.33)的初始条件改为

()()()()()() 0,0 0x x u x x x x ??≥?=Φ=?

-≤?

， (2.44) ()()()()()() 0,0 0t x x u x x x x ψψ≥?=ψ=?-≤?

. (2.45) 这样处理之后，由于函数定义在x -∞<<∞整个区间上，因此可以直接应用达朗贝尔公式(2.18)，于是得到

()()()()11,22x at

x at u x t x at x at d a αα+-=Φ++Φ-+ψ???

??. (2.46) 然后，像上面的步骤一样，利用()x Φ与()x ψ的偶函数特性，将(),x t 平面上的第

一象限分成两个区域（1）x at >及（2）x at <。最后得到：

当0,t x at >>时

()()[]11,,()()()22x at

x at

u x t u x t x at x at d a ??ψαα+I -==++-+?， (2.47)

当0,0t x at ><<时

()()

[][]0000,,11 ()()()()2211 ()()()()22x at

x at x at at x u x t u x t x at at x d d a x at at x d d a ??ψααψαα??ψααψααII +-+-=??=++-++-?

????

?=++-++?

???????. (2.48) 从上面的分析可以看出，当0,t x at >>时，端点的反射波影响还未达到x 点，所以它和无界域的达朗贝尔公式相同；当0,0t x at ><<时，端点的影响已经达到x 点，端

点的运动状态由初值函数引起的波动和端点反射波共同决定，不过此时无半波损失。 例 3. 半无限长的弦，初始位移和初始速度都为零，端点作微小的横振动0|sin x u A t ω==，求解弦的振动规律。

解：此物理问题转化为下列定解问题

()()()()2, 0,0,0,00

0,sin tt xx t u a u x t u x u x u t A t

ω?=<<∞>?

==??=?. (2.49) 由定解条件知，此弦的振动是单纯由端点的振动引起的。因此，在0x ≥区域，弦振动应按右行波传播。故可令，其解为()(),u x t f x at =-，代入边界条件，得

()()sin , 0A t f at t ω=-≥ (2.50)

为确定函数f ，令z at =-得

()()()sin /sin , 0z

f z A z a A z a

ωω=-=-≤ (2.51)

于是得

()()

()(),sin

sin /, /x at u x t A A t x a t x a a

ωω-=-=-≥. (2.52)

2.3 三维波动方程的泊松公式

我们已经在2.1节讨论了一维波动方程的初值问题，并获得了达朗贝尔解，但波在三维空间的传播的情况更具有普遍意义。例如，在研究交变电磁场在空间中的传播时，就要讨论三维波动方程。本节我们讨论三维波动方程的问题。

在三维无限空间传播的波动问题，就是要求下列定解问题。

泛定方程： 2

tt u a u =?，(),,,0x y z t -∞<<∞> (2.53)

初值条件： ()

()00

||t t t u M u M ?ψ===??=?. (2.54)

其中M 代表空间中任意一点。根据2.1节中用行波法求解一维波动问题的思路，我们想到，若能通过某种方法将三维的波动问题转化为一维的波动问题，就可以借助2.1节的结

果或仿照2.1节的方法来求得三维波动问题的解，事实上，在球坐标系中，(,,)u u r θ?=，如果波动在三维空间中传播时与(,)θ?无关时，即具有球对称性时，可以化为()u u r =，显然就是一个一维问题，所以，通过某种转化，利用一维行波解的结果来得到三维波动问题的解是一种可能的途径。

为此，我们先介绍平均值方法。

2.3.1 平均值法

首先定义一个函数

()()()002

1

1,,,44M M r

r

s s u r t u M t ds u M t d r ππ

=

=

Ω????

， (2.55)

其中2sin ds

d d d r

θθ?Ω=

=为立体角元。显然，(),u r t 只是独立变量r 和t 的函数，称之为函数(),u M t 在以0M 为中心，r 为半径的球面0M

r s 上的平均值。而0M 是一个参量，

而且容易看出来(),u r t 和我们所要求的()00,u M t 有很紧密的联系：

()()0000

,lim ,r u M t u r t →=. (2.56)

因此，欲求波动方程(2.53)的解(),u M t 在任意一点0M ，任意时刻0t 的值

()00,u M t ，只要先求(),u M t 在0t 时刻，以0M 为中心，r 为半径的球面0M r s 上的平均

值，再令0r →即可。这种处理问题的方法称为平均值法。

Y

图2.7 0M 与M 的坐标关系

注意，如图2.7所示，这里各坐标变量之间的关系为

000sin cos sin sin cos x x r y y r z z r θ?

θ?θ

=+??=+?=+??， (2.57)

其中

r =

。

下边我们来通过求三维齐次波动方程的通解来导出泊松公式。

2.3.2 泊松公式

为了用平均值法求解三维的波动问题，我们对(2.53)式两边在球面0M

r s 上积分并乘以常数因子

1

4π

，则得 002

144M M r r

tt s s a u d ud π

π

Ω=?Ω????

， (2.58) 交换微分和积分号的顺序得

002221144M M r r s s ud a ud t π

π

?????Ω=?Ω ? ?

?????

????， (2.59) 由(2.55)式得

()()22

2,,u r t a u r t t

?=??. (2.60)

又因为在直角坐标系中

222222u u u

u x y z

????=++???， (2.61)

由变量x 和r 的关系(2.57)我们有

0.u u r x r u r x x u r r

???=

???=?-?=?， (2.62) 所以

()()2

2

2

220002322

..r x x x x x x u u r u u x r r r x r r r r ??----??????==+ ?????????， (2.63)

类似地可得

222

2200232

22

2

2

2

2

002322

()()()()

r y y y y u u u y r r r r r z z z z u u u z r r r r ---???=+???---???=+???， (2.64)

故有

2222222

222322

22

22

321()u u u u r r u r u x y z r r r r u u ru r r r r r ????-??=++=+????????

=

+=???， (2.65)

代入(2.60)得

222

22

()a u ru t r r ??=??， (2.66) 即

22222()()ru a ru t r

??=??， (2.67) 不妨令

(,)(,)v r t ru r t =

(2.68)

则可得

2

tt rr v a v =， (2.69)

这就是一个一维的波动方程，其通解可以表示为

12(,)()()v r t f r at f r at =++-， (2.70)

因此

12()()

(,)(,)f r at f r at v r t u r t r r

++-=

=

， (2.71) 注意到(,)(,)v r t ru r t =，当0r =时有

(0,)0v t =， (2.72)

即

12()()0f at f at +-=， (2.73)

所以

000000102001

010*********(,)

(,)lim (,)lim

()()

lim ()()()()

lim ()()

r r r r v r t u M t u r t r f r at f r at r

f r at f at f r at f at r f at f at →→→→==++-=+-+---=''=+-， (2.74) 而由(2.73)还可以得到

1020()()f at f at ''=-， (2.75)

故有

0010(,)2()u M t f at '=， (2.76)

此即波动方程(2.53)在任意时刻0t ，任意一点0M 处的解，其中10()f at '为任意函数。

为了得到方程(2.53)满足初始条件(2.54)的特解，我们需要用这两个初始条件来确定

(2.76)中的任意函数10()f at '。为此，我们将(2.71)两边乘以r 后再分别对r 和t 求导

12()(())f r at r f at u r r ''++-?

=?， (2.77) 121(()())f r at ru a r t t

f a ''?

?+--=， (2.78) 将此二式相加，并取0r at =，0t =，（注意，这里之所以令0t =是为了代入初始条件得到10()f at '的值）则得

000000

0102

20

00

2()11441()()1 1 41 1( )

()

4M M r r M M r r r at t r at t r S S t S S at t f at uds uds r r

u u ds ds r a r M M ds ds at at ru ru r a t r r r a t r a t ππ?ψπ

π======????

+??

???????????

?=?+? ?

?

??????????'?

??=

?=??++???

=?????????0

00M M at at S S ???

???

??

??

， (2.79)

将此结果代入(2.76)，则得

0000

00

14()

()

(,)M M at at S S M M u M t ds ds a a t at t ?πψ??

???=

?+??

??

??

， (2.80) 注意到00,M t 的任意性，故一般可写为

()()(,)14M M

at at S S M M u M t ds ds at a a t t ?ψπ???

????''=

?

+????， (2.81) 其中M '表示以M 为中心at 为半径的球面M

at S 上的点。

至此，我们得到了三维无界空间波动方程的初值问题的解，即(2.81)式，称此式为泊松（Poisson ）公式。

2.3.3 泊松公式的物理意义

下面我们讨论泊松公式的物理意义。式(2.81)是三维波动方程式(2.53)~(2.54)的解，它表示点(),,M x y z 和时刻t 的值，仅与以点M 为球心，at 为半径的球面上的初始条件有关。换言之，只有与点M 相距为at 的点上的初始扰动能够影响到(),,,u x y z t 的值。

为了形象起见，我们设扰动只限于区域0T （即初值函数()M ?'、()M ψ'在空间某个有限区域0T 内，而在0T 外为零）。在空间任取一点M ，我们考察M 点处，各个时刻所受到初始扰动的情形。

我们知道，函数u 在点M 和时刻t 的值(),u M t 是由()M ?'、()M ψ'在球面M

at s 上

的值所决定。也就是说，只有当球面M

at s 和区域0T 相交时，(2.81)中的积分才不为零，从而也才不为零。我们用1d at =和2D at =分别表示点M 到区域0T 的最近和最远距离，如图2.8所示。

显然，当1at at <即1t t <时，球面M

at s 不与0T 相交，(2.81)中的曲面积分为零，因而(),0u M t =，这时扰动的“前锋”还未到达M 点。从时刻1t 到2t （即//2d a t D <<），球面M

at s 和区域0T 一直相交，(2.81)式中的曲面积分不等于零，这时M 点处于扰动状态。

当2t t >时，球面M

at s 又不与区域0T 相交，(),u M t 又取零值，这时，扰动已经越过

了M 点，即表明扰动的“阵尾”已经过去了。这表明初始扰动（包括初始位移和初始速度）都无残留的后效，即三维空间中局部扰动的传播无后效现象。如像人们讲话的每个音节产生的波浪经过听话者的耳朵所在的地点之后，空气都静止下来等待下一个扰动的到来。

如果我们考察的区域0T 中任意点0M 处的扰动，在某一时刻0t 在空间中传播的情况，扰动传到以0M 为中心，0at 为半径的球面00M

at s 上，所以解(2.81)式也称为球面波。这样，在时刻0t 受到0T 中所有点初始扰动影响的区域，就是以点00M T ∈为中心，0at 为半径的球面族的全体。当0t 足够大时，这种球面族有内外两个包络面。我们称外包络面为传播波的波前，内包络面为传播波的波后。

当区域0T 是半径为R 的球形时，波的波前（I ）和波后（II ）都是球面，如图2.9所示。

图

图2.9 球形波振面示意

波前以外的部分，表示扰动还未传到的区域，而波后以内的部分是扰动已传过，并恢复了原来状况的区域。因此，当初始扰动限制在某一局部范围内时，波的传播有清晰的波前和波后。这就是物理学中的惠更斯原理。

例4. 设大气中有一个半径为1的球形薄膜，薄膜内的压强超过大气压的数值为0p ，假定该薄膜突然消失，将会在大气中激起三维波，是球球外任意位置的附加压强p 。

解：其定解问题是

2000

0(1)|0(1)|0tt t t t p a p p r p r p ==?-?=?

=??>??

?=?， (2.82)

如图2.10所示，设薄膜球球心到球外任意一点M 的距离为r ，则当11r at r -<<+时有

()()0

220000022202

0()sin ()

21cos 12121M

at

S p at d M ds d p at at at

r a t p at art p r at r π

θθθ

??πθππ'==-??

+-=- ?

??

??

=-

--?

?

??

??， (2.83) 注意0|(0)t t p M ?==='，故由泊松公式可得

()()2

001

(,)4)

1142(M

at S p M t a t p r at a t r p

r at r

M ds at πππ??=

??????--- ???'=???

=-??， (2.84) 而当1at r <-和1at r >+时，由于()M ?'与()M ψ'均为零，故有(,)0p M t =。

类似地，我们当然可以求得球内任意位置处的附加压强。

M

图2.10 球形薄膜的波动示意

例5. 利用三维泊松公式求解下列问题

()20

0, ,,,0|2, |0

tt t t t u a u x y z t u x y u ==?=?-∞<<∞>?=+=?， (2.85) 解 由泊松公式

()()()()()2200222220000,,1

(,,,)4sin cos 2sin sin 1()sin 412sin .cos sin sin 42M r at

s u x y z t dS a t r

x at y at at d d a t at

at x y d d a t d d a t x y

ππππππ?ξηρπθ?θ?θθ?π?θθ???θθπ=?

=

?+++?=???

?=+++???

??=+????????

2.4 强迫振动

前面所讨论的只限于自由振动，其泛定方程均为齐次的。现在我们来考虑无界弦的纯强迫振动。它的定解问题为

泛定方程： ()2

,tt xx u a u f x t -=，（,0x t -∞<<∞>） (2.86)

初始条件：

{

00|0

|0

t t t u u ====. (2.87)

这时泛定方程是非齐次的。由前面的讨论我们想到，如果能将方程中的非齐次项消除掉（即将方程变为齐次方程），就可以利用2.1节的达朗贝尔公式而得到此定解问题的解。为此，我们先介绍冲量原理。

2.4.1 冲量原理

我们知道，(2.86)中的()(,)

,F x t f x t ρ

=

（(,)F x t 是在x 处外力的线密度，也即单位

长度弦所受到的外力）是在时刻t ，在x 处单位质量的弦上所受到的力即力密度。这个力是持续作用着的，即从时刻零一直延续到某一时刻t ，（当然，时刻t 以后的力不影响在时刻t 的振动，故可不考虑时刻t 以后的力）。根据物理学中的叠加定理，我们可以将持续力(,)f x t 所引起的振动（即定解问题(2.86)~(2.87)的解），看作是一系列前后相继的瞬时力

(,)f x τ(0)t τ≤≤所引起的振动(,;)x t ωτ的叠加。即

(,)lim (,;)t

u x t x t ττωτ?→==∑， (2.88)

现在我们来分析瞬时力(,)f x τ所引起的振动。从物理的角度考虑，力对系统的作用对于时间的积累是给系统一定的冲量。我们考虑在短时间间隔τ?内对系统的作用，则(,)f x ττ?表示在τ?内的冲量。这个冲量使得系统的动量即系统的速度有一些改变（因

为(,)f x t 是单位质量弦所受的力，故动量在数值上等于速度）。即

(,)f x P V ττ?=?=?， (2.89) 其中P ?为动量增量，V ?为速度改变量，

由于(,)f x τ是单位质量的弦的受力，因此(2.89)式成立。

由于0τ?→，我们可以把时间τ?内得到的速度改变量看成是在t τ=时刻的一瞬间得到的，而在τ?外的其余时间则认为没有冲量的作用，即没有外力的作用，则在τ?这段时间里，瞬时力(,)f x τ所引起的振动的定解问题就可以表示为

20, |0

|(,)t tt xx t t a t f x ττωωτττωωττ

==?-=<<+??

=?=???. (2.90) 为了便于求解，再令

(,;)(,;)x t x t ωτυττ=?， (2.91)

则有

()

20

|0

|,tt xx t t t a f x ττυυυυτ==?-=?

=?=?? (2.92) 由上面的分析可以看出，要求解纯强迫振动即定解问题(2.86)~(2.87)，只要求解定解问题(2.92)即可，从而

(,)lim (,;)lim (,;)t t

u x t x t x t ττττωτυττ?→?→====?∑∑， (2.93)

即

(,)(,;)t

u x t x t d υττ=

?. (2.94)

上面这种用瞬时冲量的叠加代替持续作用力来解决定解问题(2.86)~(2.87)的方法，称为冲量原理。

下面我们从数学上进行验证冲量原理的合理性。 首先证明(2.94)满足初始条件(2.87)。由式(2.94)知道

(,0)(,0;)0t u x x d υττ===?， (2.95)

固定积分上下限相同，其值为零。这样(2.94)满足初始条件(2.87)。

为了证明(2.94)也满足初始条件0|0t t u ==，需要用积分号下求导公式

()()()()()()()()()()22113'

'3322311,,,,t t t t t d t d d t t t t dt t

?????τ?τττ???????=+-???,(2.96) 把式(2.96)应用于式(2.94)，得

(,;)0x t t υ=0

(,)(,;)(,;)t

t t u x t x t d x t t υττυ=+?， (2.97)

由式(2.92)知(,;)0x t t υ=。所以

(,)(,;)t

t t u x t x t d υττ=?， (2.98)

则得

(,0)(,0;)0t t

u x x d υττ==?， (2.99)

可见初始条件(2.87)也得到满足。

其次，证明(2.94)满足非齐次泛定方程(2.86)，为此对式(2.98)再应用公式(2.96)，得

(,)(,;)(,;)t

tt tt t u x t x t d x t t υττυ=+?， (2.100)

又由式(2.92)知(,;)(,)t x t t f x t υ=，所以有

(,)(,;)(,)t

tt tt u x t x t d f x t υττ=+?， (2.101)

而

(,)(,;)t

xx xx

u x t x t d υ

ττ=

?， (2.102)

把式(2.101)和式(2.102)代入式(2.86)，得

()2

20

(,)t

tt xx tt xx u a u a d f x t υυτ-=-+?， (2.103)

又由式(2.92)知2

0tt xx a υυ-=，即得

2(,)tt xx u a u f x t -=， (2.104)

故(2.94)也满足非齐次方程(2.86)。这就验证了(2.94)确实是式(2.86)~(2.87)的定解问题的解。

还应指出的是：

（1）冲量原理也可以用于输运方程。但需注意，冲量定理只适用于单一“源”（热源或强迫力）的问题——即要求其它条件均为齐次的。

（2）冲量原理也可以用于波动方程或输运方程的混合问题。但需注意，边界条件必须是一、二、三类边界条件，甚至0x =端与x l =端的边界条件可以是不同类型（只要(,;)x t t υ的边界条件的类型与原定解问题的边界条件相同就行）。

2.4.2 纯强迫振动

根据冲量原理，我们把求解式(2.86)~(2.87)的问题转变为求(2.92)的初值问题。令

T t τ=-，则

T=02T=00

|0

|(,)

TT xx T a f x υυυυτ?-=?

=?=??， (2.105) 故由达朗贝尔公式有

()()()

()11(,;),,22x at x a t x at x a t v x t f d f d a a

ττταταατα++----=

=??， (2.106) 代入(2.94)得

()()

0()

1(,),2t x a t x a t u x t f d d a ττατατ+---=?? (2.107)

此即纯强迫振动的解。

例6. 求初始值问题

, ()(,0)0(,0)0tt xx t

u u x x u x u x =+-∞<<∞??

=??=?， (2.108)

解：由(2.107)有

[]{}

()

0()22

21(,)21()()412

t x a t x a t t u x t d d a x t x t d xt τταατ

τττ+---=??=+----??=???. (2.109) 2.4.3 一般强迫振动

一般强迫振动的定解问题如下

2(,),(,0)tt xx u a u f x t x t -=-∞<<∞> (2.110)

0|()t u x ?==， (2.111) 0|()t t u x ψ==. (2.112)

对于这种定解问题，我们注意到泛定方程和定解条件都是线形的。利用叠加定理，我们可以认为弦振动由自由振动的初值问题引起的和单纯又强迫力引起的振动的合成，即令

(,)(,)(,)u x t u x t u x t I II =+ (2.113)

使(,)u x t I

、(,)u x t II

分别满足下列初值问题，即

20tt xx u a u I I -=， (2.114)

0|()t u x ?I ==， (2.115)

0|()t t u x ψI

==， (2.116)

2(,)tt xx u a u f x t II II -=， (2.117)

0|0t u II ==， (2.118) 0|0t t u II ==. (2.119)

则(2.114)加上(2.117)即为(2.110)；(2.115)加上(2.118)即为(2.111)；(2.116)加上(2.119)即为(2.112)。所以要求解定解问题(2.110)~(2.112)只需求解定解问题(2.114)~(2.116)和定解问题(2.117)~(2.119)即可。