等差数列的前n项和

1．理解并掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系．(重点)

2．熟练掌握等差数列的五个基本量a1，d，n，a n，S n之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)

[基础·初探]

教材整理等差数列的前n项和

1．等差数列的前n项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数

求和公式S n＝n a1＋a n

2S n＝na1＋

n n－1

2.等差数列前n项和公式的函数特点

S n＝na1＋n n－1

2d＝

2n2＋?

a1－

2n.

d≠0时，S n是关于n的二次函数，且无常数项．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n项和公式．()

(2)数列{n2}可以用等差数列的前n项和公式求其前n项和S n.()

(3)若数列{a n}的前n项和为S n＝an2＋bn，则{a n}是等差数列．()

【解析】(1)任何等差数列都能应用等差数列的前n项和公式．

(2)数列{n2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n项和公式．

(3)当公差不为0时，等差数列的前n项和是关于n的二次函数(常数项为0)．【答案】(1)×(2)×(3)√

[小组合作型]

与S n 有关的基本量的计算

(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1

2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；

(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.

【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．

【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1

2·? ??

－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，所以a 12＝32＋(12－1)×? ????

－12＝－4.

(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋

5×5－1

d ＝24，即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24

5，所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48

5. (3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋

n n －1

d ，

又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，所以?????

1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1

2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得

n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4，所以d ＝－171.

(4)由已知可得????

a 1＋d ＋a 1＋4d

＝19，

5a 1＋5×4

2d ＝40，

解得a 1＝2，d ＝3，

所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.

等差数列中基本计算的两个技巧：

(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n

结合使用．

[再练一题] 1．等差数列中：

(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝1

3，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .

【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7，得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128， ∴S n ＝

n a 1＋a n

＝

128×105＋994

＝70 336. (2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5， ∴S 20＝20a 1＋

20×20－1

×5＝20×10＋10×19×5＝1 150. (3)将d ＝1

3，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ，

S n ＝

n a 1＋a n

，得?

a n ＝a 1＋12，37·a 1＋a n

2＝629，

解得???

a 1＝11，

a n ＝23.

等差数列前n 项和公式在实际中的应用

为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的

要求，某市提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少

【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．

【尝试解答】根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，

所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－1

×50＝7 250(万元)，即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．

有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：

(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和； (3)列出等式(或方程)求解． [再练一题]

2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V 型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一

层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔

图1-2-2

【解】由题意可知这个V型架自下而上各层的铅笔数组成等差数列，记为数列{a n}，其中a1＝1，a120＝120.根据等差数列前n项和公式得S120＝120×1＋120

2＝7 260.

即V型架上共放着7 260支铅笔．

[探究共研型]

等差数列前n项和的性

质

探究1设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项和，那么S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少

【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，

同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，

所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么

a n

b n与

S2n－1

T2n－1有怎样的关系请证明之．

【提示】

a n

b n＝

S2n－1

T2n－1.

【证明】

a n

b n＝

2a n

2b n＝

a1＋a2n－1

b1＋b2n－1

＝

2n－1a1＋a2n－1

2n－1b1＋b2n－1

＝

S2n－1

T2n－1.

(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的

前3m 项的和S 3m ；

(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5

5的值．

【精彩点拨】 (1)利用S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解．(2)利用前n 项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．

【尝试解答】 (1)在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列，

∴2×70＝30＋(S 3m －100)，∴S 3m ＝210. (2)a 5b 5＝2a 52b 5＝

9a 1＋a 9

b 1＋b 9＝S 9T 9

＝65

12.

巧妙应用等差数列前n 项和的性质 (1)“片段和”性质．

若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列．

(2)项数(下标)的“等和”性质． S n ＝n a 1＋a n 2

＝n a m ＋a n －m ＋1

(3)项的个数的“奇偶”性质． {a n }为等差数列，公差为d .

①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1

a n

②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝n

n ＋1.

(4)等差数列{a n }中，若S n ＝m ，S m ＝n (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． (5)等差数列{a n }中，若S n ＝S m (m ≠n )，则S m ＋n ＝0. [再练一题]

3．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n ＞1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n

＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9

b 9

的值．

【解】 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17

b 1＋b 17

＝a 1＋a 17

2×17b 1＋b 172×17＝S 17

T 17

＝2×17＋13×17－2＝3549＝5

等差数列前n 项和的最值探究1 将等差数列前n 项和S n ＝na 1＋n n －12

d 变形为S n 关于n 的函数

后，该函数是怎样的函数为什么

【提示】由于S n ＝na 1＋

n n －1

d ＝d 2n 2＋? ?

??a 1－d 2n ，

所以当d ≠0时，S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0.

探究2 类比二次函数的最值情况，等差数列的S n 何时有最大值最小值【提示】由二次函数的性质可以得出，当d ＞0时，S n 有最小值；当d ＜0时，有最大值，且n 取值最接近对称轴的正整数时，S n 取得最值．

在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式．

(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．

【精彩点拨】 (1)直接根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列关于首项a 1和公差d 的方程，求得a 1和d ，进而得解；

(2)可先求出前n 项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解．

【尝试解答】 (1)由题意得?

???

a 1＋9d ＝18，5a 1＋5×4

2×d ＝－15，

得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n

＝12(3n 2－21n )＝32? ?

??n －722－1478，

∴当n ＝3或4时，

前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18.

等差数列前n 项和的最值问题的三种解法：

(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值．

(2)利用S n ：由S n ＝d 2n 2＋? ?

???a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求得最值时n

的值．

(3)利用二次函数的图象的对称性． [再练一题]

4．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值. 【解】利用前n 项和公式和二次函数性质，由S 17＝S 9得 25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋9

2(9－1)d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝25n ＋n

2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169， ∴由二次函数性质，当n ＝13时，S n 有最大值169.

1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2 【解析】 S 8＝

a 1＋a 82

＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，

又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6. 【答案】 A

2．记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7

【解析】由题意得???

2a 1＋d ＝4，4a 1＋6d ＝20，解得?????

a 1＝12，

d ＝3.

【答案】 B

3．在等差数列{a n }中，a 1＝2，前三项和为15，则前6项和为( ) A ．57 B ．－40 C ．－57 D ．40 【解析】由题意知a 1＋a 2＋a 3＝15，∴3a 2＝15，a 2＝5， ∴d ＝a 2－a 1＝3，∴a n ＝3n －1， ∴S 6＝

2＋17

＝57. 【答案】 A

4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，d ＝2，则S 20＝________. 【解析】 S 20＝20·a 1＋20×192×d ＝20×2＋20×19

2×2＝420.

【答案】 420

5．等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项公式a n ； (2)若S n ＝242，求n .

【解】 (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组???

a 1＋9d ＝30，

a 1＋19d ＝50，

解得???

a 1＝12，d ＝2，

所以a n ＝2n ＋10. (2)由S n ＝na 1＋n n －1

d ，S n ＝242，

得12n ＋

n n －1

×2＝242，

解得n ＝11或n ＝－22(舍去)，所以n ＝11.

学业分层测评(五)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝() A．5B．7 C．9 D．11

【解析】法一：∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，

∴S5＝5a1＋a5

2＝5a3＝5，故选A.

法二：∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝3a1＋6d＝3，∴a1＋2d＝1，

∴S5＝5a1＋5×4

2d＝5(a1＋2d)＝5，故选A.

【答案】A

2．已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()

C．10 D．12

【解析】∵公差为1，

∴S8＝8a1＋8×8－1

2×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.

∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝1 2，

∴a10＝a1＋9d＝1

2＋9＝

2.故选B.

【答案】B

3．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为() A．14 B．15 C．16 D．17

【解析】S9＝9a1＋a9

2＝9a5＝18，所以a5＝2，

S n＝n a1＋a n

2＝

n a5＋a n－4

2＝240，

∴n(2＋30)＝480，∴n＝15.【答案】B

4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S3

S6＝

3，则

S12等于()

【解析】由题意S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列．

∵S3

S6＝

3.不妨设S3＝1，S6＝3，则S6－S3＝2，所以S9－S6＝3，故S9＝6，∴

S12－S9＝4，故S12＝10，

∴S6

S12＝

10.

【答案】A

5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取得最小值时，n等于()

A．6 B．7 C．8 D．9

【解析】设公差为d，由a4＋a6＝2a5＝－6，

得a5＝－3＝a1＋4d，解得d＝2，

∴S n＝－11n＋n n－1

2×2＝n2－12n，

∴当n＝6时，S n取得最小值．

【答案】A

二、填空题

6．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.

【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.

∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.

∴S6＝6a1＋6×6－1

2d＝6.

【答案】6

7．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________.

【解析】法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知S 5＝5a 1＋5×4

2d ＝10，得a 1＋2d ＝2，即a 1＝2－2d .所以a 2＝a 1＋d ＝2－d ，代入a 1＋a 22＝－3，化简得d 2－6d ＋9＝0，所以d ＝3，a 1＝－4.故a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.

法二：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝10，知5

a 1＋a 5

＝5a 3＝10，所

以a 3＝2.

所以由a 1＋a 3＝2a 2，得a 1＝2a 2－2，代入a 1＋a 22＝－3，化简得a 22＋2a 2＋1

＝0，所以a 2＝－1.

公差d ＝a 3－a 2＝2＋1＝3，故a 9＝a 3＋6d ＝2＋18＝20. 【答案】 20

8．等差数列{a n }的前9项的和等于前4项的和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.

【解析】设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1得9×1＋9×82×d ＝4×1＋4×3

2×d ，所以d ＝－16，又a k ＋a 4＝0，所以??????1＋

k －1

×? ????－16＋?

???

1＋4－1

×? ????－16＝0，即k ＝10.

【答案】 10 三、解答题

9．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．

【解】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则 S n ＝na 1＋

n n －1

d .

由已知得?????

10a 1＋10×9

2d ＝100，

①

100a 1＋100×99

2d ＝10， ②

①×10－②，整理得d ＝－11

50，代入①，得a 1＝1 099

100，

所以S 110＝110a 1＋110×109

2d ＝110×1 099100＋110×1092×? ????－1150 ＝110? ????

1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110.

10．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值【解】 (1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－2n . (2)a 1＝9，d ＝－2， S n ＝9n ＋

n n －1

·(－2)＝－n 2＋10n

＝－(n －5)2＋25，

∴当n ＝5时，S n 取得最大值．

[能力提升]

1．在项数为2n ＋1项的等差数列{a n }中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n ＝( )

A ．9

B ．10

C ．11

D ．12

【解析】 ∵等差数列有2n ＋1项， ∴S 奇＝

n ＋1

a 1＋a 2n ＋12

，S 偶＝n a 2＋a 2n

又a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ， ∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝165

150， ∴n ＝10. 【答案】 B

2．已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45

n ＋3，

则使得a n

b n

为整数的正整数n 的个数是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

【解析】 a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝

n ＋1＋12n ＋1＝7＋12

n ＋1

，∴n

＝1,2,3,5,11.

【答案】 D

3．在等差数列{a n }中，d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，则a 1等于________．【解析】因为S n ＝na 1＋

n n －1

d ，所以35＝na 1＋

n n －1

×2＝na 1

＋n (n －1)①，又a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝a 1＋2(n －1)，

∴a 1＋2(n －1)＝11②，由①②可得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或－1. 【答案】 3或－1

4．从4月1日开始，有一新款服装投入某商场销售，4月1日该款服装销售出10件，第二天销售出25件，第三天销售出40件，以后每天售出的件数分别递增15件，直到4月12号日销售量达到最大，然后，每天销售的件数分别递减10件．

(1)记该款服装4月份日销售与销售天数n 的关系为a n ，求a n ； (2)求4月份的总销售量；

(3)按规律，当该商场销售此服装超过1 200件时，社会上就流行，而且销售量连续下降，且日销售低于100件时，则流行消失，问：该款服装在社会上流行是否超过10天

【解】 (1)从4月1日起每天销售量依次组成数列{a n }，(n ∈{1,2，…，30}) 依题意，数列a 1，a 2，…，a 12是首项为10，公差为15的等差数列， ∴a n ＝15n －5(1≤n ≤12)．

a 13，a 14，a 15，…，a 30是首项为a 13＝a 12－10＝165，公差为－10的等差数列， ∴a n ＝165＋(n －13)(－10)＝－10n ＋295(13≤n ≤30)，

∴a n ＝??

15n －5 1≤n ≤12，n ∈N ＋

，

－10n ＋295 13≤n ≤30，n ∈N ＋.

(2)4月份的总销售量为 12

10＋1752＋18×165＋18×17×－10

＝2 550(件)， (3)4月1日至4月12日销售总数为 12

a 1＋a 12

＝12

10＋175

＝1 110＜1 200， ∴4月12日前还没有流行．由－10n ＋295＜100得n ＞39

2， ∴第20天流行结束，故该服装在社会上流行没有超过10天．

等差数列的前n 项和

1．理解并掌握等差数列的前n 项和公式及其推导过程，体会等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系．(重点)

2．熟练掌握等差数列的五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 之间的联系，能够由其中的任意三个求出其余的两个．(重点)

[基础·初探]

教材整理等差数列的前n 项和 1．等差数列的前n 项和公式

已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式

S n ＝

n a 1＋a n 2

S n ＝na 1＋

n n －1

2.等差数列前n 项和公式的函数特点 S n ＝na 1＋n n －1

d ＝d 2n 2＋? ?

??a 1－d 2n . d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且无常数项．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)公差为零的数列不能应用等差数列的前n 项和公式．( ) (2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和S n .( ) (3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，则{a n }是等差数列．( ) 【解析】 (1)任何等差数列都能应用等差数列的前n 项和公式． (2)数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式．

(3)当公差不为0时，等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数(常数项为0)．

[小组合作型]

与S n 有关的基本量的计算

(1)已知等差数列{a n }中，a 1＝32，d ＝－1

2，S n ＝－15，求n 和a n ； (2)已知等差数列{a n }中，S 5＝24，求a 2＋a 4；

(3)数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ； (4)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10.

【精彩点拨】运用方程的思想，根据已知条件建立方程或方程组求解，另外解题时要注意整体代换．

【尝试解答】 (1)S n ＝n ·32＋n n －1

2·? ??

－12＝－15，整理得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)，所以a 12＝32＋(12－1)×? ????

－12＝－4.

(2)设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则S 5＝5a 1＋

5×5－1

d ＝24，即5a 1＋10d ＝24，所以a 1＋2d ＝24

5，所以a 2＋a 4＝2(a 1＋2d )＝2×245＝48

(3)因为a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋

n n －1

d ，

又a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，所以?????

1＋n －1d ＝－512， ①n ＋1

2n n －1d ＝－1 022， ② 把(n －1)d ＝－513代入②得

n ＋12n ·(－513)＝－1 022，解得n ＝4，所以d ＝－171.

(4)由已知可得????

a 1＋d ＋a 1＋4d

＝19，

5a 1＋5×4

2d ＝40，

解得a 1＝2，d ＝3，

所以a 10＝a 1＋9d ＝2＋9×3＝29.

等差数列中基本计算的两个技巧：

(2)利用等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n a 1＋a n

结合使用．

[再练一题] 1．等差数列中：

(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ； (2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20； (3)d ＝1

3，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n .

等差数列前n 项和公式在实际中的应用

为响应教育部下发的《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》的

【精彩点拨】将该实际问题转化为数列问题求解，由于每年投入资金都比上一年增加50万元，故可考虑利用等差数列求解．

【尝试解答】根据题意，从2011年～2020年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，

所以，每年投入的资金依次组成等差数列{a n }，其中，a 1＝500，d ＝50. 那么，到2020年(n ＝10)，投入的资金总额为 S 10＝10×500＋10×10－1

×50＝7 250(万元)，即从2011年～2020年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．

有关数列的应用问题，应首先通过对实际问题的研究建立数列的数学模型，最后求出符合实际的答案，可分以下几步考虑：

(1)问题中所涉及的数列{a n }有何特征； (2)是求数列{a n }的通项还是求前n 项和；

(3)列出等式(或方程)求解．

[再练一题]

2.如图1-2-2，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支．最上面一层放120支，这个V型架上共放着多少支铅笔

图1-2-2

[探究共研型]

等差数列前n项和的性

质

探究1n n S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列吗如果是，它们的公差是多少

【提示】由S m＝a1＋a2＋…＋a m，S2m－S m＝a m＋1＋a m＋2＋…＋a2m＝a1＋md ＋a2＋md＋…＋a m＋md＝S m＋m2d，

同理S3m－S2m＝a2m＋1＋a2m＋2＋…＋a3m＝S2m－S m＋m2d，

所以S m，S2m－S m，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d.

探究2设S n、T n分别为两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和，那么a n

b n与

S2n－1

T2n－1

有怎样的关系请证明之．

【提示】a n

b n＝

S2n－1

T2n－1.

【证明】a n

b n＝

2a n

2b n＝

a1＋a2n－1

b1＋b2n－1

＝

2n－1a1＋a2n－1

2n－1b1＋b2n－1

＝

S2n－1

T2n－1.

(1)等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{a n}的前3m项的和S3m；

(2)两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知

S n

T n＝

7n＋2

n＋3，求

b5的值．

【精彩点拨】(1)利用S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列求解．(2)利用前n项和结合等差数列的性质将项的比值转化为和的比值求解．

【尝试解答】(1)在等差数列中，S m，S2m－S m，S3m－S2m成等差数列，∴30,70，S3m－100成等差数列，

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.

(2)

b5＝

2a5

2b5＝

9a1＋a9

9b1＋b9＝

T9＝

12.

巧妙应用等差数列前n项和的性质

(1)“片段和”性质．

若{a n}为等差数列，前n项和为S n，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…构成公差为n2d的等差数列．

(2)项数(下标)的“等和”性质．

S n＝

n a1＋a n

2＝

n a m＋a n－m＋1

(3)项的个数的“奇偶”性质．

{a n}为等差数列，公差为d.

①若共有2n项，则S2n＝n(a n＋a n＋1)；

S偶－S奇＝nd；

S偶

S奇＝

a n＋1

a n.

②若共有2n＋1项，则S2n

＋1

＝(2n＋1)a n＋1；S偶－S奇＝－a n＋1；

S偶

S奇＝

n＋1.

(4)等差数列{a n}中，若S n＝m，S m＝n(m≠n)，则S m＋n＝－(m＋n)．