高等代数-第4章习题及解答

第四章 多项式

4.1习题

,()()

,..(-)-(-)()()-(-)()--(-)(-)Z a c ad bc q Z s t ad bc q a c a c b d ab cd ad bc a c b d ab cd a c q a c b d q ab cd ∈-+∴?∈+==++=++=+1. 设a,b,c,d 已知(a-c)(ad+bc),求证(a-c)(ab+cd)证明：

又由 （） 得 （）（） 即 ,,-()()

b d q Z

b d q Z a

c ab c

d ∈∴+∈-+

即有 121212,65(-3)13,65(-2)5,65-,65(-3)13(-2)571865-(6528)65(-65)-2828

m m m m r c c m c m c c c m m r ????+?==-+∴=2. 一个整数被5除余3，被13除余2，求它被65除的余数解：设所求数为由题知 即 有 令 ，， 则有 故有 1723582957,581-143,-143202,0231414a b a b a b a b b a b a b a ==-=-==-=-=-=-=+=?+=?+3. 对于下列的整数，分别求出以除所得的商和余数： （1）, （2）, （3）, （4）解：）由带余除法，可表示为 故商为，余数为；

）同理得 故商为，余数为； ）由 知商为，余数为； 49595b a =+ ）由 知商为，余数为。

.()001a b a b b aq q Z b q b a q q a b

≠≤=∈≠∴≠∴=≥∴≤4. 证明：若a b,b 0,则证明：由 可得 又 又

1,) 1.

b ∈=1 1 1115. 设a,b 是不全为零的整数，且a=da ,b=db ,d,a ,b Z.证明d 是a 与b 的一个最大公因数的充分必要条件是(a

1111111111[] 4.1.3,,..01

(,)1

[](,)1''1

'

'1,''u v Z s t ua vb d uda vdb d d ua vb a b a b u a v b a b

u v u a v b d d d

??∈+=+=≠∴+=∴=?=+=+=+=证明：根据定理得 即 又

故有 即 则有 综上所述，结论得证

6.(,)1,(,) 1.

,(1),,..()()(1),,1,1a b a b ab a b ab d d Z d u v Z s t u a b vab d ua u va b d u v a Z u va Z

a b =+=+=∈≠∴?∈++=∴++=∈∴+∈= 证明：若则 证明：反证 假设（） 且 故 （）与 （） 矛盾 ,17.1..,()()

,,.

a b ab a b p ab p a p b p p mn a b k k Z p ab

p b b k p a p b p k m b m k m k n b n k n k p ∴+===+∈∴+ （） 设是一个大于的整数且具有以下性质：

对于任意整数，，若，则或 证明是一个素数 证明：令 又

当 不整除，有，不整除 又有，不整除或； 不整除或 若为合数，那,m k n k p p k p b p 么由可知必为素数，否则 同理可证当不整除时，也必为素数

4.2习题

224324321.,,(21)(1)251\2(2)(21)()125

21-2,1,3

1k h m x hx x kx x x mx x x k h x hk x h k x h k hk m k h m h k +--+=++--=--+--++--=??

--====??+=-?

求使 解：对于左边 即有 解之得

432322.()242,()25 4.()(),()(),()().

f x x x x x

g x x x x f x g x f x g x f x g x =+---=--++- 设 计算

43244327

0765432()()4292()()6()0254()()()23913131868k

k

i k i k i f x g x x x x x f x g x x x g x x x x x f x g x a b x x x x x x x x -==+=+--+-=+-=?+--+∴==+--++--∑∑解：由题得 令

323122223.()59-73,()(53),()().

-15-50[()()]3691()()04.()0().()0()()()

f x x x x

g x x x f x g x f x g x x f x g x s f x f x f x f x f x f x ?=-++=++?=±?===≠≠=?∴ 设求乘积 的次数及其系数和解：根据 得 令 则有 的系数和 证明：当时，是偶次多项式证明：

又有 根据定理2 4.2.12()()()()(),()

()2f x f x f x f x f x n n N f x n ???

????=?+??=∈∴?=的（）知 （）（）（） 再令 （） 结论得证

2225.(),(),()..()()(),()()()0.

(),(),()12212221

32212f x g x h x f x xg x xh x f x g x h x g x g f x f h x h

g h f g g h f h g h f g f ??????=+===?=?=?=>=+<=+==+= 设是实数域上的多项式证明如下 若是 则 证明：令 （） （） （） 当 时，有 当 时，有 当 时，有 或 222221

4()(),(),()(),(),()()()()0

6.(),(),()()0(),()1()0(),()h f x f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x h x f x g x i h x f x xg x x xh x x +========-= 又由题可知 是偶次多项式，又由于是实数域上的多项式 故 的次数不存在 即 求一组满足上题结论的不全为零的复系数多项式解：令 ， 即 ， 222()()0()()0(),()1

xg x xh x f x f x g x i h x ∴+===== 满足条件

即 ，

4.3 习题

3221.()321,()321,()()()().

f x x x x

g x x x g x f x q x r x =-+-=-+设求用除所得的商式和余数

23232221739

321321

2133751

337147399

2

99

172

(),()3999

()()()()

x x x x x x x x x x x x x x x q x x r x f x g x q x r x --+-+--

+-+--+-

-

=-=-=+解： 故 即

[]2432

322412*********.,,(1)()?01

2,1(1)()3.()(()()),()(()()),

:()(()()()()),(),()m p q x mx x px q p m m m r q m p m m q m x mx x px q g x f x f x g x f x f x g x u x f x u x f x u x u x F x ++++?+=-=?=-?=-=-+++++-+在适合什么条件时，解：由题知当余式时有 即当 时 有 设证明其中为中任意两个12121212121211()(()()),()(()())

()(()()()())()(()()()())()(),()()

3()()(i g x f x f x g x f x f x g x f x f x f x f x g x f x f x f x f x g x f x g x f x u x F x i +-∴++-+-+??∈=多项式 证明：

即 根据多项式整除性质）可知 1122112221,2)..()()(),()()()2()()(1,2)..()(()()()())4.(1)(),(1)(),(1)().11(1)(),(1)(i o s t g x u x f x g x u x f x u x F x i s t g x u x f x u x f x x f x x f x x f x x x f x x f ??∈=+-+-≠±-+ 再根据性质）得 若则证明：

1212)

(),()[]

()()(1)(1)()()(1)(2)

x u x u x F x f x u x x f x u x x ∴?∈=+??

=-?

221()()

(1)(-1)-(2)(1)()(-1)(

)2

u x u x x x f x x -??+= 得

212()()

()[]2

(-1)()21-1()0o u x u x u x F x x f x x x f x -?=

∈=== 故 即 或时，可得出 同样结论成立

1212121221212125.(1)()(()()),()()()()(2)()()(),()()()()1

(),()1,()1

()(()())()()()g x f x f x g x f x g x f x g x f x f x g x f x g x f x g x x f x x f x x g x f x f x g x f x f x +==+=-+ 若则且对吗？ 若则或对吗？解：（）不对 如 ：令 可见 而 不整除 和 （21212122()-1,()1,()1()()()()()()

g x x f x x f x x g x f x f x g x f x f x ==+=-）不对

如 ：令 可见 而 不整除 和

(1)(2)6.(1)(1),.,1()1(1)(1),(1)(1).

(1)(1)(0),1(1)1,(1)(1)(1)(d n n d q d q d q d d n d n n qd r d q r r d n d x x d n d n d n n qd x x x x x x x x x n qd r r d x x x x x x x x --+--?=-=-=-++

+--?--=+≤<-==-+---- 证明：的充分必要条件是（这里是正整数）证明 设 ，即 则 即 设，令则

且212121)

(1)(1)0,0.7.()110220()32.

(),()[]..(1)()10()(1)(2)()2d q d r x x x r d r d n f x x x f x x x u x u x F x s t x u x f x x u x -∴--≤<=++++?∈++=++ ,又 故 ，即 设被除的余式为，被除的余式为， 求被 除的余式解：设 ， 23120()(2)()[]..()32(3)(1)(2)-(2)(1)()32--10(1)434-10(1)

f x u x F x s t f x x x u r x x f x x x u u x r x =?∈=+++?+?+=+++=+ 又 ， （） 有 （）（） （） 由（），（）可得

习题4.4

432424322432312(1)432432

21(-1)

1.1)()242,()322;2)()441,() 1.

()24221)()()2222f x x x x x g x x x x x f x x x x x g x x x f x x x x x x x A x g x x x x x x x x x +-+=+---=+---=--++=--???

?+----??==???→ ? ? ?+---+---??????

?计算以下各式多项式的最大公因式：

解：由 113332

21()1()21()42

222222200x x x

x x x x x x x x x x -++-????????----??→???→???→???→ ? ? ? ?---????????

224324312(4)2

22212(-)

2(1)12()221(1)

()2

()44132)()()112333212x x d x x f x x x x x x x A x g x x x x x x x x x x x x +++-++∴=-????

--++--??==???→ ? ? ?----??????-????--??

????→???→???→ ? ? ?-+---+??????

???→ 由 2311110()1

x x x d x -??????→→ ? ? ?

--??????

∴=

2.(),()(),,0,(()(),()())((),()).((),())()()(),()()

()()()),()()())

(),()(f x g x F x a b c d F ad bc af x bg x cf x dg x f x g x f x g x d x d x f x d x g x d x af x bg x d x cf x dg x h x h x af ∈∈-≠++==∴++??另而，，，并且证明

证明：令 即有 （ （ 又设 （)()),()()())-0

()()())-()())

---()()())()())

--()(),()(),()x bg x h x cf x dg x ad bc d b

f x af x b

g x cf x dg x ad bc ad bc c a

g x af x bg x cf x dg x ad bc ad bc

h x f x h x g x h x d ++≠∴=

++=+++∴ （

有 （（ （（ 从而有 ()()()()())()(()(),()())((),())

x af x bg x cf x dg x d x af x bg x cf x dg x f x g x ++=++= 即 （， 即 :

3.()0,()((),())(()()(),()).()0(),..()()()()()()-()()

1((),())(()())((),())(()()(g x h x f x g x f x h x g x g x g x h x s t f x g x h x r x r x f x g x h x f x g x g x r x f x g x f x h x g x ≠=-≠?=+===-设为任意多项式，证明： 证明： 故 即 由引理可知 ， 即 ),())

g x

1122121212124.1)(,)2)(,)(,)(,,,),,,().1(,),,,,(,),[],..f g hf gh f g f g f f f g g f g g f g h F x f g d d f d g dh fh dh gh dh hf hg f g d u v F x s t uf vg d ===?∈+=∴证明：是与的最大公因式；

此处都是的多项式证明：）设 即 从而有 即 是与的公因式

又由 得 11221121

12122112

11221214.4.42)(,),(,),(,[]),;,,,,(,),(,),,,ufh vgh dh

dh fh gh f g m f g n m n F x m f m g m f m g mn f f mn f g mn f g mn g g f g m f g n k k l +===∈==? 由定理知 是与的最大公因式 设 即 从而有 又由 知 211112222121211221221121212122112112212122112[],..,(,,,)

(,)(,)(,,,)

l F x s t k f l g m k f l g n

k k f f k f l g l k f g l l g g mn mn f f f g f g g g f g f g f f f g f g g g ∈+=+=+++=== 即有 由此可知 从而有

4323243232324

3

2

32

35.(),()()()()()((),()):1)()343,()310232)()421659,()254

53431033113333102301310u x v x u x f x v x g x f x g x f x x x x x g x x x x f x x x x x g x x x x x x x x x x x x x x x x +==+---=++-=--++=--+??+--------→ ?++-??+2求使解：）（A(x),I ）=222

32222223

2

230159935993913310230156

553296331393555591393132563555555x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ??

?

? ?

+-??

??----??---- ?→→ ?- ?++---- ????

??

-+??-+------ ? ?→→--+ ?------+- ????33-x -x 22

243232323231550**321,()55

122342165910332540125401x x x x x x x v x x x x x x x x x x x x x x ? ? ? ? ?

?

??

-+- ?→ ? ???

-∴-=

?

???--+---++ ?

→ ? ?--+ ???--+??2 u(x)= 2)（A(x),I ）=

2222

2

2

22121223231333332222412(2)1333312231330**1223

(),()33

x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x u x v x ??

-++??--+--- ?

? ?

?→→ ? ?--++--+-+- ? ?

????

??

--+- ?→ ? ???

--+∴==

4322432436.()1,()(1),,,()().

(),()2,()()()()(,,)

()(2)(2)(2)1o

f x Ax Bx

g x x A B f x g x f x g x g x f x g x ax bx c a b c F f x ax b a x c b a x b c x c Ax Bx a A =++=-?==++∈∴=+-+-++-+=++=设试决定使与 的最大公因式为二次多项式解：由于（） 即 为最大公因式

故不妨设 即有 -23,2,13,-4

202013,-4

b a B a b

c A B c b a b c c A B ?

?=??

=====-+=??-=?

=??∴== 解得 即

7.(),()((),())()()()(),((),())1((),())()()()()*()()()()()()()()()()*(),()[]

.f x g x f x g x u x f x v x g x u x v x f x g x u x f x v x g x u x f x v x g x f x u x f x v x g x g x m x n x F x s =+==+++?∈设 不全为零，且证明：证明：

（）

有 ， 再由 （） .()()[()()()()]()()[()()()()]

1-()()()()()()11-()())()()()()221()t f x m x u x f x v x g x g x n x u x f x v x g x m x u x f x m x v x g x n x v x g x n x u x f x f x =+=+== 即（） （） （ （） 将（）代入（），消去得

1-()()1-()()()()()()

()()(),(),()0

1-()()()()()()()()()()()()1()()()()4.4.5((),())1

m x u x n x v x g x m x v x g x n x u x f x g x g x n x v x m x u x m x n x u x v x m x n x u x v x m x n x u x v x u x v x =≠∴-+=∴==（）（）

不全为零 即令 由定理 得

8.((),()) 1.((),()) 1.,,((),()) 1.

1()()()[]()()()()()()

((),())1

n m n o n n n f x g x n f x g x m n f x g x g x g x k x F x g x k x g x g x g x k x f x g x ===?∈=∴==设令是任意正整数，证明：由此进一步证明： 对于任意正整数都有证明： 易见 , 即 s.t. (1)

又 ()()1()()1()

((),())1

()(),()[]()()()()

()()n

n m m m f x g x f x g x k x f x g x x f x l x F x f x l x f x f x f x l x ∴?∈+=+==?∈=∴=o u(x),v(x)F[x] s.t. u(x)v(x) (2)v(x) 将（1）代入（2）得 u(x) 由定理4.4.5 知 2易见 f 即 s.t. ((),())1

'''()()'()()11'()

()'()()1()

((),())1

n n m

n m n f x g x u x f x v x g x u x f x v x g x l x f x g x =∴?∈+=+== (3)

又

u (x),v (x)F[x] s.t. (4) 将（3）代入（4）得 由定理4.4.5知 [][]1111119.((),()) 1.

((),()())((),()())(()(),()()) 1.((),()())()()(),()()()()[()()]()()()]f x g x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x f x g x d x d x F x u x v x F x u x f x v x f x g x d x u x v x =+=+=+=+=∈∴?∈++=+设 证明： 证明：令 ()

s.t. 即 [1()()()()((),())1()1

((),()())1((),()())1

(()(),()())1

f x v x

g x d x f x g x d x f x f x g x g x f x g x f x g x f x g x +===+=+=+=

故 即 同理可证得 再根据互素性质可知

10.()0,()0,:

1(),()()()()(),((),())1

2(),()(),()()()()(),((),())1

1((),())()1,()()f x g x h x f x g x h x f x h x f x g x h x f x h x g x h x f x g x h x f x g x f x g x d x f x d x m ≠≠===≠=设证明 ）若对于任意多项式由可得到则必有 ）若对于任意多项式由可得到则必有 证明：） 假设 则有

(),()()()()()()()()()()()()()()

x g x d x n x m x f x f x g x h x h x f x g x m x f x m x ??=?

又 （为任意多项式）

即有

()()((),())12((),())()1()()()()()()

()()(),()()()()()()()1((f x m x f x g x f x g x d x f x d x m x h x m x g x f x g x m x g x g x m x f x g x g x m x f x ==≠==∴ 但 不整除，从而矛盾， 故 ）假设 ，且 令 即有 （） 又

),())()

()()()()()()1((),())1

g x d x f x m x f x g x g x m x f x g x ????=∴?>??>?∴= （） （）

故 （） （） 与（）矛盾

1212111212112211.(),(),,()().1)((),(),,())(((),

,()),((),

,())),11

2(),(),

,()(),(),

,

()()()()()()()n n k k n n n n f x f x f x F x f x f x f x f x f x f x f x k n f x f x f x u x u x u x F x u x f x u x f x u x +∈=≤≤-∈+++设证明： ）互素的充分且必要条件是存在多项式 ，使得1211121()11((),(),,())(),((),

,()(),((),,()()

()(),1,2,

,()(),1,2,,;()(),1,2,

,()(),n n k k n i s t f x f x f x f x d x f x f x d x f x f x d x d x f x i n

d x f x s k d x f x t k k n

d x d x +=====∴==++∴证明：）设

21212()()

()(),1,2()(),1,2,

,;()(),1,2,,()(),1,2,

,()(),2((),(),,())1

i s t i n d x d x c x d x i d x f x s k d x f x t k k n

c x f x i n

c x

d x f x f x f x ===++∴=∴= 设

结论得证。 ）归纳法： 由题知 121112211112-1(),(),

,()()()()()()()()11-1,()()()()()()()()(n n n n n s n u x u x u x F x u x f x u x f x u x f x n k n p x q x d x d x f x p x d x q x f ---=∈++

+===+当时，结论显然成立，今假设命题对成立，即存在多项式 ，使

成立，再证命题对也成立

）中取于是存在和，使 （，）1122111122)()[()()()()()()]()()

()()(),1,2,,1()()

()()()()()()1

n n n i i n n n x p x u x f x u x f x u x f x q x f x u x p x v x i n u x q x u x f x u x f x u x f x --=++++==-=++

+= 令 得 于是有 即命题对成立，结论得证

习题4.5

1.(),()()(),()().(),..()()()

()()0()()()11

()(),()p x q x p x q x p x cq x d x s t q x d x p x q x d x q x ap x a F p x q x c

a a

p x cq =?==∈===设都是不可约多项式，证明：如果那么证明：假设 由此可以看出 为可约多项式，即 只能是不为的常数 即

则 令 则有 121211()2.().()()()()((),())1,()()(),(),..()()()()1()()(x p x F p x f x p x f x p x f x p x F p x F p x p x s t p x p x p x p x p x p x p =?=

设是数域上的次数大于零的多项式证明：

如果对任意多项式，或者，或者 那么是数域上的不可约多项式。

证明：假设 在数域上可约， 于是 令 的首项系数为，因此有

不整除，且 11(),())()1()()x p x p x f x p x F =≠∴ ，这与的任意性矛盾 在数域上不可约

1212123.().

:(),()(),()()()()()()()().()()()()

()()()()()()()()p x F f x g x F x p x f x g x p x f x p x g x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x ∈=∴设是数域上次数大于零的一个多项式证明对于任意如果就有或，那么不可约证明：假设可约，且 则 ， 作 不整除或不整除 显然与已知矛盾 不可约

12121212124.(),()()1()()()()1,2,()()().()()1,2(),()1()()()

(),()i i p x p x F x f x F x p x f x i p x p x f x p x f x i p x p x p x p x f x p x p x ∈=== 设为中两个不同的首项系数为的不可约多项式，， 若，证明：这个命题能否推广？ 叙述并证明。

证明：由已知有 ，，且（） 由互素性质有 命题推广得： 若（，12()1,()()1,2,()()()()

n i n p x p x f x i n p x p x p x f x ==，） ，， 则有 运用数学归纳法可证得

42424222225.()2()()211(2)(1)(2)(1)(1)():()(2)(1)(1)():f x x x Q R C f x Q f x x x x x x x x x x f x R f x x x x f x C f =+-=+-=-+-=+-=++-=

++- 求多项式

在有理数域、实数域和复数域上的典型分解式。解：在有理数域上的典型分解式为：

在实数域上的典型分解式为 在复数域上的典型分解式为 ()()()(1)(1)

x x x x x =+-+-

1212121212126.((),())1,((),())1,((),()()) 1.()()()()()()()(),

()()()

()

((),())1,((),())1l r s i k k k i i r l j j j s f x h x f x k x f x h x k x f x ap x p x p x h x bq x q x q x k x cm x m x m x f x h x f x k x ======== 已知试用本节知识证明： 证明：令， 其中，由于 ，故有

1212121212121212121212121212()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(l r s r l r i k k k i i r l j k k k j j r s i k k k i i j r l j p x p x p x q x q x q x p x p x p x m x m x m x p x p x p x q x q x q x m x m ∴ ，，，，，，，两两互素 ，，，，，，，两两互素 ，，，，，，，，， 12121212)()()()()()()()()()

((),()())1

s l s j s i j i i j j l s x m x h x k x bcq x q x q x m x m x m x f x h x k x ==，，两两互素 而 因此有 7.()()()()()()()().

()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(p x f x g x f x g x p x f x g x p x p x f x g x p x f x p x g x p x f x g x p x f x p x g x p x g x p x f x p x ++证明：如果不可约多项式能整除及，那么 一定能整除及证明：因为不可约，且 则 或 而利用 可得 若 ，则 若 ，则 故 )()()()

f x p x

g x 且

221111118.1)((),())((),());

2)()()()().

1()((),()),()()(),()()(),((),())1((),())1

((),())n n n n n n n f x g x f x g x g x f x g x f x d x f x g x f x d x f x g x d x g x f x g x f x g x f x g x =====∴==利用唯一因式分解定理证明以下事实： 的充分必要条是证明：）令则

12121111112121(()(),()())()((),())()2[]()()()()

()

()(),()()()()()r r n n n n n n n n k k k r k k k r k d x f x d x g x d x f x g x d x g x g x ap x p x p x g x f x p x p x p x f x p x ==?= 结论得证

）设的标准分解式是： 若不整除而，，，两两互素， 则其中必有一个不整除，不妨设不11122221122221()()()()()()()()(),()().

k k k f x p x f x p x g x g x f x p x f x g x f x ∴整除， 不整除，而 又已知 ，故矛盾 故

22222[]()()()()()()()()()()

g x f x f x g x h x f x g x h x g x f x ?== 由于，则 那么 因此

4.6习题

1.证明下列关于多项式的导式的公式： 1)(()())''()'();

2)(()())''()()()'().

f x

g x f x g x f x g x f x g x f x g x +=+=+

432.()()'()11)()()2)()()1()1,'()4,(),-13()()()()2p x f x f x k p x f x k p x f x k f x x f x x p x x k p x x f x p x f x k p -=-====设是的导式的重因式。证明： 未必是的重因式；

是的重因式的充分必要条是什么？并证明你的论断证明：）（例证）

若 则 即 然而 却不是的因式 故 未必是的重因式

）112112()()()()()'()1[]()()()'()1[]()()(),'()()(),()(),()()[]

2n k x f x k p x f x p x f x k p x f x p x f x k f x p x h x f x p x h x p x h x h x h x F x -?-?-?==∈是的重因式是的因式，且是的重因式 证：由定义，显然有是的因式，且是的重因式 不妨设 其中 不整除 、 由定义1111211211'()['()()()'()]()()()()'()()'()()

()'()()()'()

-1-1,,n k f x p np x h x p x h x p x h x p x p x h x h x h x p x np x h x p x h x n k n k --=+=∴+==，得 又

不整除、、、 不整除 故若要（）成立，只得 即 结论得证。

54324324325432432

43243232

3.()22872'()586167

24242822287255555861675861672121451854f x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+----=+---??

??----+---- ?

→ ? ?

+--- ???+---??

----→+试问有无重因式？ 若有，则求其重因式

解： 又有 322322233154180(),'()(1)(21)()331(--2)()--2(-2)(1)()-21

x x x x f x f x x x x f x x x x x x g x x x x x f x x x ????

+++→ ? ?++????

∴=+++=+++==++ （） 又有 （） 即 因此 的不可约因式为 ，

4

()(-2)(1)1,4()(-2)(1)

()1

m n f x x x m n f x x x f x x =+∴==∴=++ 即 即 有重因式，为

44

33

324.()410()()34203'()443,()'3*3a b f x x ax b a b f x b f x ax b x x ax b a a f x x a x a x a b b x x a

f x f a b x a a ??=++==??+??+++???? ?≠=→→ ? ? ? ?

++ ???????+??

?

?+?? ?+ ?→→ ? ? ?

?-+ ?????

试问，满足什么条件时，有重因式？解： 当时，显然有重因式

当 时，由于 有（，43434343()13(), 4.6.2()3

0()270

3

270()b x x a b

a f x b

a b a a b a b f x =+≠====-=-=）

且有依据定理 可知 有重因式

而当 时，也满足，即 综上： 当时，有重因式

5432543232432432

3

2

2

32

235.()374()37423482150'()51231451231423482150220()2f x x x x x Q f x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x f x x x x =+--+????

+--++--??=→ ? ? ?+--+--??????????

+--+-→→ ? ?+-????

=+-求在上的典型分解式。

解：由于 又由于 （）（222x x +--）

22434322()()(1)()()()()(1)()()6.11()1(1)()-2-2m n n f x f x x f x Q f x x A B Ax Bx x f x Ax Bx x ax bx c A a

B b a c b a ∴∴=+∴=+++-=++=-++==∴+= 的不可约因式只有 x+1,x+2,x-1 可设 x+2x-1 计算得 m=1,n=2

在上的典型分解式为 x+2x-1决定，，使有二重因式解：可设 3,-4

0-201A B b c c ????

==??=?

=??

即有

4.7习题

5435321.()235 1.(3),(2)

32-3-50012341236109(3)109(2)71

2.5()3224742550f x x x x f f f f f x x x x x =--+-∴=-=-=-+++设求解：利用综合除法，即 同理 判断是不是多项式的根，如果是的话， 是几重4324.7.25(5)0(5)05

3.-2()3552351531312-2f f t f x x x x x t t t =≠=+++------根？

解：依据定理知 假设是根，则有 又由综合除法判断得知 ， 矛盾 故 不是多项式的根

为何值时，是多项式的根？解：由综合除法计算，即 若2-02

t t ==是根，则必有 ，即

(1)()-1(4.()(1)()'()''()()0.()0

[]()(1)'()1,''()2,

,()()[]()'()''()k k k k k c f x k k f c f c f c f c f c c f x k k c f x k f x k f x f x f c f c f c f

-->=====≠?>--?====（）（）证明：是的重根的充分且必要条件是 证明：设是的一个重根，则是的重根是的

重根是的单根，而不是的根，从而结论成立

设1)

()

()(1)()0()0

(),()0()'()''()()0

()k k k c f

c c f x l f c l k f c f c f c f c l k l k c f x k -=≠≠≤===

==≥=，而 又设是的重根则由于，故由必要性知， 又由于 故必 ，从而，即是的重根

3232432225.235(2)(2)(2),,,,2,11,23,136.()511,,,(1)().

110(1)(),-11,4

70x x x a x b x c x d a b c d a b c d f x x x x ax b a b x f x a x f x a b a b -+-=-+-+-+=====-+++-+=?-∴==?++=?

设求解：利用综合除法计算，可得 设试求解：若要使，利用综合除法可得

54254325437.()1)(),1;

2)()23, 2.

1()'(1)(1)(1)(1)(1)''1,5,10,10,5,'1()(1)5(1)10(1)10(f x x a f x x a f x x x a f x a x b x c x d x e x f a b c d e f f x x x x x -===-+=-=-+-+-+-+-+======∴=-+-+-+将下列多项式表示成的多项式 解：）不妨设 利用综合除法，有 24321)5(1)12)()(2)8(2)22(2)24(2)11

x f x x x x x -+-+=+-+++-++ 同理有

32328.4()(0)4,(1)0,(2)12,(3)38()-4084212279338

1,1,2,-4()24

9.(f x f f f f f x ax bx cx d

d a b c d a b c d a b c d a b c d f x x x x f x =-====+++=??+++=?

?

+++=??+++=?∴=====++-求一个次数小于的多项式，使解：不妨设 利用综合除法有 即

令3322232323333626)()()()1(1)(1)0.

11(1)(1)0,11()()

()()(1)(1)0

()(g x f x xg x x x f g x x x x f x xg x f g f g f g εεεεεεεεεεεεεε+++==++=

=-=-++==++++=+=∴+，是两个多项式，并且可以被整除， 证明证明：由 的二根为 有 故 又

（） 有 2

2

1)(1)(1)01011(1)(1)0

f g f g εε

ε??=+=?≠∴== （） 又 ， 方程组（）有唯一解，且为零解 即

4.8习题

32123122331222123321231122331222212312312312312331.():1)2).

1(),f x x ax bx c f x x b x b x b b b b αααααααααααααααααααααααααααααααααα=+++=+++=-++=++=++=-设三次多项式的根是，，，求 以，，为根的多项式； 以，，，为根的多项式解：）设多项式为 则 （）

（） 222123αα

321231231223311232

123322

(),,,,()f x x ax bx c a b c b b b ac b c f x x bx acx c ααααααααααααααα=+++∴-++=++=-=∴=-==-∴=-+-

，，是的根

（）

3212322211232222222122331222231232

222123123122331

2222123212)()()22222f x x c x c x c c c c c a b c b a ααααααααααααααααααααααααααα=+++=-++=++=-=-++=+++++∴++=-∴=- 设多项式为

（） 2

222222222

12233112233112312312322222221223312232222

22222()(2)(2)b ac c b ac

f x x b a x b ac x c ααααααααααααααααααααααααααα++=+++++∴++=-∴=-∴=+-+-- 又

（） 4322222.()2622152().2()2()-(2-)(-(2))45

()(45)(),()23(3)(1)()()[-(2-f x x x x x i f x i f x i f x x i x i x x f x x x q x q x x x x x f x f x x =--+---++=-+=-+=+-=+-∴=设有一根为，求在复数域与实数域上的典型分解式解： 是的根，因此也是的根 （） 在复数域的典型分解式为：

221234122241)][-(2)](3)(1)()()(45)(3)(1)

3.1.()(-)(-)(-)(-)(-)(-)()

()()(-)(-i x i x x f x f x x x x x f x x x x x x x x ax b x ax b x cx d x x αααααααα++-=-++-==++=++++== 在实数域的典型分解式为 给出首项系数为的四次实系数多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式解： 32221222222

123)(-)(-)(-)(-)(-)(-)(-)()()x x x x x x x x ax b x ax b ααααααα===++=++

8224.()-1.()()1(-1)()(-)(1(-1)1

(1f x x f x f x x x x i x i x x x x x x x x x x ==++++=-+=-+求在复数域及实数域上的典型分解式解：在复数域的典型分解式为 （）

（）

2222(1()()(1)(1)(1)

x x x f x f x x x x =++∴=-+++ 在实数域的典型分解式为：

222

5.1112.

1()1()()()[-(1)](-1)()-23(-1)f x f x f x f x x x f x x x x -+∴==+求一个首项系数为，并以为重根的次数最低的 复系数多项式及实系数多项式解： 的根，则在实数域中的根 在复数域上为 在实数域上为 （）

6.()[],()().1)()()()()2()((),()).1[]()()(),()()()()()()()[]()()()f x C x f x f x g x f x g x f x d x f x f x f x g x h x f x g x h x g x h x g x f x f x g x h x f ∈=?===∴?=?∴设表示的系数取共轭复数为系数的多项式 证明：的充分必要条件是； ）是实系数多项式证明：） ()()()()()()()()

2()()(),()()()()()(),()()()()()(),()()()()(())((x g x h x f x g x h x g x f x f x d x h x f x d x q x f x d x h x f x f x d x q x d x f x d x f x d x d x d x d ??=?∴======∴∴?=? 故 ）

)),1

()()

()x d x d x d x ∴=且均为首 故 是实系数多项式

10221101207.()[],()(())()()[]()()()(())2()

(())t l l t t t f x R x f x f x f x f x R x f x x a x b x a x b f x l l l f x ∈?=++++?=+++∴?证明：若且无实根，则是偶数.证明：

无实根

在上的典型分解式为： 是偶数

4.9习题

1010100111.().:

,()().()(,,

,)(,,,)1(,,

,)1,(,,

,,)1

()()n n n n n n f x n a ax f x xf x a f x n a a a a a a a a a a a a a ax f x xf x a ++++∴===∴++设是一个次本原多项式证明对于任意整数多项式及都是本原多项式解：

是一个次本原多项式，不妨设系数为 有 即也有 多项式及都是本原多项式

54333222.1)()346822)()763)()214)()1,12,-2,8,-6,-4,22()2()1()1()p f x x x x x f x x x f x x x x f x x px p p p p p p p p f x Q f x f x x q x =--+-=--=+++=++=-∴-∴=+判断下列多项式在有理数域上是否可约 为奇系数

解：）令 且不整除，不整除 在上不可约 ） 有有理根 （） 11

221

()3)1,11(1)5,(-1)1,()()4-1

()(-1)(),1,2,3,,1

()()i i p p p p p p p i p f x Q u

u v v

f f f x f x Q x y

g y f y y C y

C y C p y p

p C i p g y f x Q ---∴=±=±∴=±==∴=∴==-+-++-∴=-∴ 在上可约

无有理根 在上可约 ）令 在有理数域上不可约

故在上不可约

3.()()[]()()()()(())3

(),()1(),()()()[]()f x f x f x f x p x h x f x p x h x h x x a f x x a h x f x a f x ??∴=??=∴=+=+∴?∴证明Q 上三次多项式可约的充分且必要条件是有有理根.证明：三次多项式可约

的次数至少有一个为次，令有 （） 有有理根 设有理根为 ()()x a q x f x Q =-∴（） 在上可约

221212212

12

12

12

4..

2,()2,()()5.,,1.(),()t n t

t t t x x f x x f x Q f x p p p t n f x x p p p p p p p p p p p p p p

===-∴=-证明：令设在上不可约 故利用艾森施坦因判别式证明：若为个互不相同的素数，

是一个大于证明：设

12

1

2

,1

()()6.().(0)(1)()

.

()()()()

(0)(0),(1)(t t n t p p p p f x Q p p p f x f x f f f x f x a f x x a q x f aq f ∴∴=-=-= 不整除 在上不可约 又

是它的根，但又没有有理根

故设是一个整系数多项式证明：若与都是奇数，那么 不可能有整数根证明：假设有整数根 1)(1)(0)(1),1,1()a q f f a a a a f x -∴--∴

与都是奇数

也必须是奇数，但不可能同时为奇数 无有理根