新人教B版学高中数学选修导数及其应用导数的实际应用讲义

学习

目

标核心素养

１．了解导数在解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题中的作用．（重点）

２．能利用导数求出某些实际问题的最大值（最小值）．（难点、易混点）１．通过导数的实际应用的学习，培养学生的数学建模素养．

２．借助于解决利润最大、效率最高、用料最省等实际问题，提升学生的逻辑推理、数学运算素养.

导数在实际生活中的应用

１．最优化问题

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．

２．用导数解决最优化问题的基本思路

１．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）

Ａ．6 m Ｂ．8 m

Ｃ．４m Ｄ．２m

[解析] 设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m ２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２.S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）．

[答案] C

２．某一件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．

[解析] 利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）

＝—x２＋２３0x—6 000，

S′（x）＝—２x＋２３0，

由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大．

[答案] １１５

面积、体积的最值问题

示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E＝FB＝x（cm）．

（１）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm２）最大，试问x应取何值？

（２）某厂商要求包装盒的容积V（cm３）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

[思路探究] 弄清题意，根据“侧面积＝４×底面边长×高”和“体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用x将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．

[解] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.

由已知得a＝错误!x，h＝错误!＝错误!（３0—x），0＜x＜３0．

（１）S＝４ah＝8x（３0—x）＝—8（x—１５）２＋１800，

所以当x＝１５时，S取得最大值．

（２）V＝a２h＝２错误!（—x３＋３0x２），V′＝6错误!x（２0—x）．

由V′＝0，得x＝0（舍去）或x＝２0．

当x∈（0,２0）时，V′＞0；当x∈（２0,３0）时，V′＜0．

所以当x＝２0时，V取得极大值，也是最大值．

此时错误!＝错误!，即包装盒的高与底面边长的比值为错误!.

１．解决面积、体积最值问题的思路

要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．

２．解决优化问题时应注意的问题

（１）列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；

（２）一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点或函数f（x）在开区间上只有一个点使f′（x）＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．

１．将一张２×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求１至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为底，５⑥为盖的水箱，设水箱的高为x m，容积为y m３.

（１）写出y关于x的函数关系式；

（２）x取何值时，水箱的容积最大．

[解] （１）由水箱的高为x m，

得水箱底面的宽为（２—２x）m，长为错误!＝（３—x）m.

故水箱的容积为y＝２x３—8x２＋6x（0

（２）由y′＝6x２—１6x＋6＝0，

解得x＝错误!（舍去）或x＝错误!.

因为y＝２x３—8x２＋6x（0

所以当x的值为错误!时，水箱的容积最大．

用料最省、成本（费用）最低问题

【例２】位于A，B两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．

[思路探究] 可设CD＝x k m，则C E＝（３—x）k m，利用勾股定理得出AC，BC的长，从而构造出所需电线总长度的函数．

[解] 设CD＝x k m，则C E＝（３—x）k m.

则所需电线总长

l＝AC＋BC＝错误!＋错误!（0≤x≤３），

从而l′＝错误!—错误!.

令l′＝0，即错误!—错误!＝0，

解得x＝１．２或x＝—6（舍去）．

因为在[0,３]上使l′＝0的点只有x＝１．２，

所以根据实际意义，知x＝１．２就是我们所求的最小值点，即变压器设在DE之间离点D的距离为１．２k m处时，所需电线总长最短．

１．用料最省、成本（费用）最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．２．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′（x）＝0时，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大（小）值．

２．甲、乙两地相距４00千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过１00千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P（元）关于速度v（千米/时）的函数关系是P＝错误!v４—错误!v３＋１５v，（１）求全程运输成本Q（元）关于速度v的函数关系式；

（２）为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．

[解] （１）Q＝P·错误!

＝错误!·错误!

＝错误!·４00

＝错误!—错误!v２＋6 000（0

（２）Q′＝错误!—５v，

令Q′＝0，则v＝0（舍去）或v＝80，

当0

当800，

∴v＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q最小值＝Q（80）＝错误!（元）．

利润最大、效率最高问题

在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？

提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．

【例３】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝错误!＋１0（x—6）２，其中３＜x＜6，a为常数，已知销售价格为５元/千克时，每日可售出该商品１１千克．

（１）求a的值；

（２）若该商品的成本为３元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

[思路探究] （１）根据x＝５时，y＝１１求a的值．

（２）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．

[解] （１）因为x＝５时，y＝１１，所以错误!＋１0＝１１，故a＝２．

（２）由（１）知，该商品每日的销售量y＝错误!＋１0（x—6）２，

所以商场每日销售该商品所获得的利润

f（x）＝（x—３）错误!＝２＋１0（x—３）（x—6）２,３＜x＜6，

从而，f′（x）＝１0[（x—6）２＋２（x—３）（x—6）]

＝３0（x—４）·（x—6），

于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x（３,４）４（４,6）

f′（x）＋0—

f（x）单调递增↗极大值４２单调递减↘

所以，当x＝４时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于４２．

故当销售价格为４元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．

１．经济生活中优化问题的解法

经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动．

２．关于利润问题常用的两个等量关系

（１）利润＝收入—成本．

（２）利润＝每件产品的利润×销售件数．

３．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x（吨）与每吨产品的价格p（元/吨）之间的关系式为：p＝２４２00—错误!x２，且生产x吨的成本为R＝５0 000＋２00x（元）．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？

[解] 每月生产x吨时的利润为

f（x）＝错误!x—（５0 000＋２00x）

＝—错误!x３＋２４000x—５0 000（x≥0），

由f′（x）＝—错误!x２＋２４000＝0，解得x＝２00或x＝—２00（舍去）．

因为f（x）在[0，＋∞）内只有一个点x＝２00使f′（x）＝0，故它就是最大值点，且最大值为f（２00）＝—错误!×２00３＋２４000×２00—５0 000＝３１５0 000（元），故每月生产２00吨产品时利润达到最大，最大利润为３１５万元.

１．某箱子的体积与底面边长x的关系为V（x）＝x２错误!（0

Ａ．３0 Ｂ．４0

Ｃ．５0 Ｄ．60

[解析] V′（x）＝—错误!x２＋60x＝—错误!x（x—４0），

因为0＜x＜60，所以当0＜x＜４0时，V′（x）>0，

此时V（x）单调递增；

当４0

[答案] B

２．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝—错误! x３＋8１x—２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）

Ａ．１３万件Ｂ．１１万件

Ｃ．9万件Ｄ．7万件

[解析] 因为y′＝—x２＋8１，所以当x＞9时，y′＜0；当0＜x＜9时，y′＞0，所以函数y＝—错误! x３＋8１x—２３４在（9，＋∞）上单调递减，在（0,9）上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．[答案] C

３．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是２7π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．[解析] 设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r（r＞0），则水桶的高为错误!，所以S＝πr２＋２πr×错误!＝πr２＋错误!（r＞0），求导数，得S′＝２πr—错误!，令S′＝0，解得r＝３．当0＜r＜３时，S′＜0；当r＞３时，S′＞0，所以当r＝３时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．[答案] ３

４．某产品的销售收入y１（万元）是产量x（千台）的函数：y１＝１7x２（x＞0），生产成本y２（万元）是产量x（千台）的函数：y２＝２x３—x２（x＞0），为使利润最大，应生产________千台．[解析] 设利润为y，则y＝y１—y２＝１7x２—（２x３—x２）＝—２x３＋１8x２（x＞0），∴y′＝—6x ２＋３6x＝—6x（x—6）．

令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．

[答案] 6

５．某商品每件成本9元，售价３0元，每星期卖出４３２件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤３0）的平方成正比，已知商品单价降低２元时，一星期多卖出２４件．

（１）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；

（２）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？

[解] （１）若商品降价x元，则多卖的商品数为kx２件，

由题意知２４＝k·２２，得k＝6．

若记商品在一个星期的获利为f（x），则依题意有

f（x）＝（３0—x—9）·（４３２＋6x２）＝（２１—x）（４３２＋6x２），

所以f（x）＝—6x３＋１２6x２—４３２x＋9 07２，x∈[0,３0]．

（２）根据（１）有f′（x）＝—１8x２＋２５２x—４３２

＝—１8（x—２）（x—１２）．

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

，所以定价为３0—１２＝１8（元）能使一个星期的商品销售利润最大．