高中数学双曲线抛物线知识点总结

高中数学双曲线抛物线知

识点总结

The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

双曲线

平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨

迹。 方程 22

221(0,0)x y a b a b

-=>> 22

2

21(0,0)y x a b a b

-=>> 简图

范围

,x a x a y R ≥≤-∈或

,y a y a x R ≥≤-∈或

顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ±

(0,)c ± 渐近线 b y x a =±

a y x

b =±

离心率 (1)c

e e a

=>

(1)c

e e a

=>

对称轴 关于x 轴、y 轴及原点对称

关于x 轴、y 轴及原点对称

准线方程 2

a x c

=±

2

a y c

=±

a 、

b 、

c 的关系 222c a b =+

考点

题型一 求双曲线的标准方程

1、给出渐近线方程n

y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲

线22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22

22(0)x y a b

λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。 【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1） 虚轴长为12，离心率为

5

4

； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；

_x

_y

_x

_y

（3） 与双曲线22

1916

x y -

=有公共渐进线，且经过点()

3,23A -。 解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22

221y x a b

-=(0,0)a b >>。

由题意知，2b=12，c e a ==5

4

。 ∴b=6，c=10，a=8。

∴标准方程为236164x -=或22

16436

y x -

=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12），

∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。 又2c=26，∴c=13。∴222144b c a =-=。

∴标准方程为

22

114425y x -=。 （3）设双曲线的方程为22

22x y a b

λ

-=

(3,23A -在双曲线上 ∴(2

2

233

1916

-= 得1

4

λ=

所以双曲线方程为22

4194

x y -= 题型二 双曲线的几何性质

方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c

e a

=

和222c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和

（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥

4

5

c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。

解：直线l 的方程为1x y

a b

-=，级bx+ay-ab=0。

由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离

1d =

，

同理得到点（-1，0）到直线l 的距离

2d =

，

122ab

s d d c

=+=

=

。

由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即252c ≥。

于是得22e ≥，即42425250e e -+≤。

解不等式，得

25

54

e ≤≤。由于e ＞1＞0，所以e 的取值范围是2e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点，若双曲线上存在点

A ，使1290F AF ∠=，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。 解：∵1290F AF ∠=

∴2

2

2124AF AF c += 又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，

∴12222AF AF AF a -==即2AF a =，

∴2

2

2

2

2

2212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，

∴

2c a ==即e = 题型三 直线与双曲线的位置关系

方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方

程组成方程组，即222222

Ax By C b x a y a b ++=??-=?，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共点和相切不是等价的。 2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

2121l x x y y =-=- 【例4

】如图，已知两定点12(F F ，满足条件212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B

曲线E 上存在点C ，使OA OB mOC +=，求

（1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；

（3）m 的值和△ABC 的面积S 。 解：由双曲线的定义可知，

曲线E 是以12(F F 且c =a=1，易知1b =。 故直线E 的方程为221(0)x y x -=<， (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),

由题意建立方程组22y=kx-1

x -y =1???消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。

又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有

222

122122

10,(2)8(1)0,20,

12

0.1k k k k x x k x x k ?-≠?=+->??

-?+=<-?

?-=>?-?

解得1k <<-。

又∵

12 AB x x

=-=

==

依题意得=，整理后得42

2855250

k k

-+=，

∴2

5

7

k=或2

5

4

k=。

但1

k

<<-，

∴

2

k=-。

故直线AB

的方程为10

2

x y

++=。

（3）设(,)

c c

C x y，由已知OA OB mOC

+=，得

1122

(,)(,)(,)

c c

x y x y mx my

+=，∴1212

(,)(,)(0)

c c

x x y y

x y m

m m

++

=≠。

又

122

2

1

k

x x

k

+==-

-

2

121222

22

()228

11

k

y y k x x

k k

+=+-=-==

--

，

∴点

8

()

C

m m

-

。

将点C的坐标代入曲线E的方程，的

22

8064

1

m m

-=，

得4

m=±，但当4

m=-时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。

∴4

m=，C

点的坐标为(2)，

C到AB

1

3

=，

∴△ABC

的面积

11

23

S=?=

一、抛物线

高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。

（一）知识归纳

（二）典例讲解

题型一 抛物线的定义及其标准方程

方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为2y mx =或2(0)x my m =≠。 【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。

（1）抛物线的焦点是双曲线22169144x y -=的左顶点； （2）经过点A （2，－3）；

（3）焦点在直线x-2y-4=0上；

（4）抛物线焦点在x 轴上，直线y=-3与抛物线交于点A ，︱AF ︱=5.

解：（1）双曲线方程可化为22

1916

x y -

=，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为22(0)y px p =->且32

p

-=-， ∴p=6.

∴方程为212y x =-

（2）解法一：经过点A （2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：

y 2＝2px 或x 2＝－2py ．

点A （2，－3）坐标代入，即9＝4p ，得2p ＝

2

9 点A （2，－3）坐标代入x 2＝－2py ，即4＝6p ，得2p ＝3

4 ∴所求抛物线的标准方程是y 2＝

29x 或x 2＝－3

4y 解法二：由于A （2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为2y mx

=或2x ny =，代入A 点坐标求得m=29，n=-34

，

∴所求抛物线的标准方程是y 2＝29x 或x 2＝－34

y

（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，

∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。 ∴焦点为（0，-2），（4，0）。 ∴抛物线方程为28x y =-或216y x =。

（4）设所求焦点在x 轴上的抛物线方程为22(0)y px p =≠，A （m ，-3），由抛物

线定义得p

52

AF m ==+

， 又2(3)2pm -=，

∴1p =±或9p =±，

故所求抛物线方程为22y x =±或218y x =±。 题型二 抛物线的几何性质

方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l 的距离处理，例如若P （x 0，y 0）为抛物线22(0)y px p =>上一点，则

02

p PF x =+

。 2、若过焦点的弦AB ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则弦长12AB x x p =++，

12x x +可由韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公

式可由数形结合的方法类似得到。

【例6】设P 是抛物线24y x =上的一个动点。

（1） 求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最

小值；

（2） 若B （3，2），求PB PF +的最小值。

解：（1）抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。 ∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，

∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （-1，1）的距离与P 到F

（1，0）的距离之和最小。

显然P 是AF 的连线与抛物线的交点，

最小值为AF =（2）同理PF 与P

过B 做B Q ⊥准线于Q 点，交抛物线与P 1∵11

PQ PF =， ∴11

4PB PF PB PQ BQ +≥+==。

∴PB PF

+的最小值是4。

题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题

方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。

【例7】已知抛物线y＝x2，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。

分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y1＋y2的最小值，从形式上看变量较多，结合图形可以观察到y1、y2是梯

形ABCD的两底，这样使得中点纵坐标y成为

中位线，可以利用几何图形的性质和抛物线定

义求解。

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为

M(x,y)

由抛物线方程y＝x2知焦点

1

F(0,)

4

,准线方程

1

4

y=-，设点A、B、M到准

线的距离分别为|AD1|、|BC1|、|MN|，则|AD1|＋|BC1|＝2|MN|，且

1 MN=2(y+)

4，根据抛物线的定义，有|AD1|＝|AF|、|BC1|＝|BF|,∴

1

2(y+)

4

＝

|AF|＋|BF|≥|AB|＝2，

∴

1

2(y+)2

4

≥

∴

3

y

4

≥,即点M纵坐标的最小值为

3

4

。

分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求此函数的最小值。

解法二：设抛物线y＝x2上点A(a,a2),B(b,b2)，AB的中点为M(x，y)，则

2

,222b a y b a x +=+=

∵|AB|＝2，∴(a ―b)2＋(a 2―b 2)＝4，则(a ＋b)2－4ab ＋(a 2＋b 2)2－4a 2b 2＝4

则2x ＝a ＋b,2y ＝a 2＋b 2,得ab ＝2x 2－y,∴4x 2―4(2x 2―y)＋4y 2―4(2x 2―y)＝4 整理得1

4122++

=x x y

43411414124

1141)14(4122=-=-≥-+++=

∴x x y 即点M 纵坐标的最小值为3/4。

练习： 1、以y =±

3

2

x 为渐近线的双曲线的方程是（ ） Ａ、3y 2―2x 2=6 Ｂ、9y 2―8x 2=1 C 、3y 2―2x 2=1 D 、9y 2―4x 2=36

【答案D 】解析：A 的渐近线为y=，B 的渐近线为y=3

x ±

C 的渐近线为y=，只有

D 的渐近线符合题意。

2、若双曲线221x y -=的左支上一点P （a ，b ）到直线y=x ，则

a+b 的值为（ ）

A 、12-

B 、1

2

C 、2-

D 、2

【答案A 】解析：∵P 在双曲线上， ∴221a b -=即（a+b ）（a-b ）=1

又P （a ，b ）到直线y=x

=a b <

即2a b -=-

∴a+b=1

2

-

3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x 轴，焦点在直线34120x y --=上，那么抛物线的方程是（）

A 、216y x =-

B 、212y x =

C 、216y x =

D 、212y x =-

【答案C 】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，

∴直线34120x y --=与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。 ∴焦点为（0，-3），（4，0）。 ∴抛物线方程为212x y =-或216y x =。 4、若抛物线y=

4

1x 2

上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 点的坐标是 A.（4，±4）

B.（±4，4）

C.（

16

79，±879） D.（±879，

16

79

） 【答案B 】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是1y =-， P 到焦点的距离可以转化为到准线的距离。 设P （x ，y ），则y=4，

∴4x ===±

5、若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一

动点，则PF PA + 取得最小值时点P 的坐标是 （ C ）

A ．（0，0）

B ．（1，1）

C ．（2，2）

D ．)1,2

1

(

【答案C 】解析：抛物线焦点为F （1，0），准线方程为1x =-。 ∵P 点到准线1x =-的距离等于P 点到F （1，0）的距离，

∴问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到A （3，2）的距离与P 到F （1，0）的距离之和最小。

显然P 是A 到准线的垂线与抛物线的交点， ∴P 的坐标为（2，2）

6、已知A 、B 是抛物线22(0)y px p =>上两点，O 为坐标原点，若︱OA ︱=︱OB ︱，且

△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（ ）

A 、x=p

B 、x=3p

C 、x=

32p D 、x=52

p 【答案D 】解析：设A （22y p ，y ），B （2

2y p

，-y ），

∵F （p ，0）是△AOB 的垂心， ∴

22122

2y y

y p y p p

?

=-- 整理得225y p =

∴2522

y x p p =

= 7、过点P （4，1），且与双曲线22

1916

x y -

=只有一个公共点的直线有 条。 【答案】两条

解析：因为P （4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线

有一个公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。

这两条直线是：41(4)3y x -=-和4

1(4)3

y x -=--

8、双曲线C 与双曲线2

212

x y -=有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则C 的两条

准线之间的距离为 。

【答案】

3

解析：设双曲线C 的方程为2

2(0)2

x y k k -=≠，

将点A 代入，得k=-2。

故双曲线C 的方程为：22

124

y x -=

∴a =b=2, c =

所以两条准线之间的距离是223

a c =。 9、已知抛物线22(0)y px p =>，一条长为4P 的弦，其两个端点在抛物线上滑

动，则此弦中点到y 轴的最小距离是 【答案】

3

2

p 解析：设动弦两个端点为A 、B ，中点为C ，作AA ’，BB ’，CC ’垂直于准线

的垂线，垂足分别为A ’、 B ’、 C ’，连接AF 、BF ，由抛物线定义可知，︱A F ︱=︱AA ’︱， ︱B F ︱=︱BB ’︱

∵CC ′是梯形ABB ′A ′的中位线

∴︱CC ′︱= 1(')')2AA BB += 1())2AF BF + 1

2AB ≥=2p

当AB 经过点F 时取等号，所以C 点到y 轴的距离最小值为3

2p-

22

p p =。 10、抛物线212y x =-的一条弦的中点为M (2,3)--，则此弦所在的直线方程

是 。

【答案】2x-y+1=0

解析：设此弦所在的直线l 方程为3(2)y k x +=+， l 与抛物线的交点坐标分别是A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则124x x +=-

将l 的方程代入抛物线方程整理得

2222(4612)(23)0k x k k x k +-++-=

由韦达定理得2122

(4612)

4k k x x k -++=-

=- 解得2k =

∴此直线方程为32(2)y x +=+ 即2x-y+1=0

11、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为4

3

，求双曲线的方程。

解：由题意知，216c = 8c ∴=

又4

3

c e a =

= 6a ∴= 22228b c a =-= 2213628

y x ∴-=

12、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率e =(0,)A b -和B

（a ，0）的直线与原点的距离为2

。 （1）求双曲线的方程；

（2）直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与该双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围。

解：（1

）由题设，得2224132b e a ?=+=??

?=

解得23a =，21b =

∴双曲线的方程为2

213

x y -=。

（2）把直线方程y kx m =+代入双曲线方程， 并整理得222(13)6330k x kmx m ----= 因为直线与双曲线交于不同的两点， ∴221212360m k =+-> ① 设11(,)C x y ，22(,)D x y 则122613km x x k +=

-，12122

2()213m

y y k x x m k

+=++=- 设CD 的中点为00(,)P x y ，

其中1202x x x +=

，12

02y y y +=， 则02313km x k =-，02

13m

y k

=- 依题意，A P ⊥CD ，∴221113313AP m

k k km k k +-==-- 整理得2341k m =+ ② 将②式代入①式得 240m m -> ∴m ＞4或m ＜0

又23410k m =+>，即1

4m >-

∴m 的取值范围为m ＞4或1

04

m -<<。

13、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线22y px =上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.（12分）

解：（1）由点A （2，8）在抛物线22y px =上， 有2822p =?，解得p=16. 所以抛物线方程为232y x =， 焦点F 的坐标为（8，0）.

（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心， M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的 定比分点，且

2AF

FM

=，设点M 的坐标为00(,)x y ，则 00

22828,01212

x y ++==++，解得0011,4x y ==-， 所以点M 的坐标为（11，－4）．

（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在

的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：4(11)(0).y k x k +=-≠

由24(11)32y k x y x +=-??=?，消x 得23232(114)0ky y k --+=， 所以1232

y y k +=

，由（2）的结论得1242

y y +=-，解得 4.k =- ∴BC 所在直线的方程是44(11)y x +=--即4400x y +-=。 14、如图, 直线y=

21x 与抛物线y=8

1

x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；

（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.（14分）

解：(1) 解方程组212

148y x y x ?=????=-??

得1142x y =-??=-?或228

4

x y =??=? 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).

由AB 1

k =2

，直线AB 的垂直平分线方程

y －1=-2(x －2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．

(2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x, 21

48

x -)

∵点P 到直线OQ 的距离

2832x +-

, OQ =

∴SΔOPQ=

12OQ d =25

83216

x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－

－4或

－4

∵函数y=x2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大值为30．