平面向量综合题答案

1、已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足

[).,0(

+∞∈+

+=λλ则P 点的轨迹一定通过△ABC 的（A ）

A ．重心

B ．垂心

C ．内心

D ．外心

3、已知向量OA ,OB 的夹角为60°，|OA |=|OB |=2，若OC =2OA +OB ,则△ABC 为（ C ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

【方法】

选择基底；数量积公式

4、非零向量OA a =，OB b =，若点B 关于OA 所在直线的对称点为

1B ，

则向量1OB OB +为（ A ）

A 、

2(a b )a

? B 、

(a b )a

? C 、

2(a b )a

? D 、

(a b )a a

【方法】待定系数法；向量三角形法则

5、如右图所示，,,A B C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB

交于圆内一点D ，若OC xOA yOB =+，则( C ) A ．01x y <+< B ．1x y +>

C ．1x y +<-

D ．10x y -<+<

6、定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ?=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ?=

BC CA ?，则此三角形一定是（ A ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．钝角三角形

7、已知四边形ABCD的对角线相交于一点,

()

1,3 AC=

()3,1

BD=-

,则AB CD

?的取值范围是（）A.

()2,0

(]4,0

[)0,2-

[)0,4-

【答案】C．

【解析】取(0,0)

A,则(1,3)

C；设

(,)

B x y,

(,)

D x y,则21

x x

y y

?-=-

所以()()

1122

,3,1

AB x y x y

==+-,()

1,3

CD x y

=--,

求得22

3131

()()22

AB CD x y

?=++--≥-,当

且

?-+

时,

AB CD

?取到最小值2-,此时四边形ABCD的对角线恰好相交于一点,故选C.

9、已知点O

AOQ

sin

0,3(

)

(∠

≤

≥

则

设

的坐标满足为坐标原点）的最大值为 5

10、如图，已知1

→

OA,3

→

OB，0

→

OA点C在线段AB上，且AOC

∠=0

30，设→

→

=OB

OC，）

（R

m∈

,则

等于 3

11、已知

→

a，为平面向量，若

→

a与

→

a的夹角为

，

→

a与

→

b的夹角为

，则

→

【解】图解法

12、已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||||

OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数a 的值为 2或2-

13、设O 为ABC ?的外心，且543=++ ，则ABC ?的内角C 的值为

4π

【方法】基底选择

C AOB ∠=∠2 , o 2

900)5()43(=∠?=??-=+→

→→

→

AOB OB OA OC OB OA

15、设P 为ABC ?所在平面内一点，且→

→

=--025AC AB AP ，则PAB ?的面积与ABC ?的面积之比等

于 1

【方法】图解法；向量平行四边形法则

16、在直角△ABC 中，?=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若

PB PA AB CP ?≥?，则λ的取值范围是 ]1,2

- 【方法】建立坐标系

18、在ABC ?中，点D 在线段BC 的延长线上，且→

→=CD BC 3，点O 在线段CD 上（与点C 、D 不重合），

若→

→

-+=AC x AB x AO )1(则x 的取值范围是 1

(,0)3

【方法】选择基底；向量相等

19、在△ABC 中，E 、F 分别为AB ，AC 中点．P 为EF 上任一点，实数x ，y 满足PA +x PB +y PC =0．设

△ABC ，△PBC ，△PCA ，△P AB 的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ，记

11S S λ=，22S

S λ=，33S S

λ=，则当λ2·λ3取最大值时，2x +y 的值为

20、已知向量与AC 的夹角为0

120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ

的值为

12 【解析】 0)()(=-?+=?λ得

039430))()(22=

?=++--?=?-+-?λλλλλAB AC AC AB AC AB ,选D

21、已知向量与AC 的夹角为0

120,32==,若+=λ,且,⊥,则实数λ

的值为

12 【解】 0)()(=-?+=?λ得

039430))()(22=

?=++--?=?-+-?λλλλλ,选D 22、已知点G 是ABC ?的重心，AB μλ+=(

λ, R ∈μ )，若0120=∠A ，

2-=?AC AB

23、在矩形ABCD P

若→

→→+=AD AB AP μλ,

24、P 是ABC ?所在平面上一点，满足→

→→→=++AB PC PB PA 2，若12ABC S ?=，则PAB ?的面积为

【解析】由()

22PA PB PC AB PB PA ++==-，得3PA PB PC CB =-=，所以PA

BC ，且

PA BC

=，ABC

?的边AB上的高是ABP

?边AB

上的

高的3倍，所以

ABP

ABC

=，由

12,4

ABC ABP

S S

=∴=

25、已知点O为ABC

?内一点，且→

→

OA则:

ABC BOC

S S

=________3:1．【解】

330

OA OB OC OA OA AB OA AC OA AB AC OA AD

++=++++=++=+=，即

3AO AD

=，又

AE AD

=，所以有

AO AE OE AE

即，则

ABC BOC

S S

=3:1

AE OE=

26、已知菱形ABCD的边长为a，∠DAB=60°，2

EC DE

=，则.

AE DB的值为

-．27、如图，?AOB为等腰直角三角形，1

OA=，C

O为斜边AB的高，点P在射线C

O上，则AP?OP 的最小值为

．

【解析】如图所示，AP =OP -OA ，设0t OP =≥．∴()

AP ?OP =OP -OA ?OP =OP -OA ?OP

2211248

8t t t

??=-=--≥- ? ???，当24t =时取等号，∴AP ?OP 的最小值为18-．

28、在长方形ABCD 中，，

，12==AD AB 点N M 、分别是CD BC 、边上的点，且._________,的取值范围是则AN AM CD

CN BC

BM ?=

2),(43

29、在ABC ?中，若D 是AB 的中点，P 在线段CD 上移动，当2

22CP BP AP ++最小时，求:PC PD 的比值为 2

30、在ABC ?中，D 是BC 上一点，→

→

-=DB DC 2，若2||=→

AB ,3||=→

AC ，则||→

AD 的取值范围为 .)3

,31(

31、已知平面向量)(,βαβα≠

满足2=α，且α与αβ-的夹角为120°

，t R ∈，则βαt t +-)1( 的取值范围是 ),3[+∞．

32、设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，ABC ?中BC 边上的高为h ,且2

16BC =

||||→

→→→-=+AC AB AC AB 则h 的最大值为_____________2.

平面向量

8．O 是ABC ?所在平面内一点，动点P 满足(

),0sin sin AB AC OP OA AB B

AC C

λλ=++

>，

则动点P 的轨迹一定通过ABC ?的（ C ）

(A) 内心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 垂心

10．如图放置的正方形, 1.,ABCD AB A D =

分别在x 轴、y 轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB ?的最大值是（ D ） (A) 1 (B)

第10题图

13．已知正△ABC 的边长为1，点G 为边BC 的中点，点,D E 是线段,AB AC 上的动点，DE 中点为F ．若

AD AB λ=，(12)AE AC λ=-()λ∈R ，则FG 的取值范围为 17,24??

????

．14@．如图,

//AB MN ，且2OA OM =，若OP xOA yOB =+，

（其中,x y R ∈），则终点P 落在阴影部分（含边界）时，21

y x x +++的取值范围是 4

[,4]3 .

16．已知O 是ABC ?的外心，2,3AB AC ==，若AO xAB y AC =+且21x y +=，则cos BAC ∠=

16．已知(0,0)O ，(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，(cos ,sin )C γγ，若(2)0kOA k OB OC +-+=，

(02)k <<，则cos()αβ-的最大值是 1

．

14．已知向量,a b 满足：||13a =,||1b =,|5|12a b -≤，则b 在a 上的投影的取值范围是 5

113

[

,].

8.(2009山东卷理)设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 【解析】:因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选B 。答案：B 。

7.（2009湖南卷文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD x AB y AC =+，则 x =

31+

，y =3 .

解:作DF AB ⊥,设12AB AC BC DE ==?==

60DEB ∠=,6

BD ∴=

由45DBF ∠=解得6232DF BF ===故31x =3y =

18.（福建卷理9）函数f (x )=cos x (x )(x ∈R )的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y =-f ′(x )的图象，则m 的值可以为 A.

B.π

C.－π

D.－ 2

解：()sin y f x x '=-=,而()cos ()f x x x R =∈的图象按向量(,0)m 平移后

得到cos()y x m =-,所以cos()sin x m x -=，故m 可以为

π. 20.（湖北卷理5文7）将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3

平移得到图象F ',若F '的一条对称轴

是直线4

x π

,则θ的一个可能取值是

π125 B. π125- C. π12

D. 1112π-

解：平移得到图象F ，的解析式为3sin()33

y x π

θ=--

对称轴方程()3

x k k Z π

θπ--=+

∈，

把4

x π

带入得75(1)()1212k k k Z ππθππ=-

-=--+∈，令1k =-，5

θπ= 22.（重庆卷理7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为 (A)－

(B) －

(C)

(D)

解：设点(,0)P x ，则021

603

λ-==--，选 A

（三）解答题

1（北京4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（Ａ）Ａ．AO OD =

Ｂ．2AO OD =

Ｃ．3AO OD =

Ｄ．2AO OD =

8（湖南4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．||||=a b

D ．||||≠a b

11（天津10）设两个向量22

(2cos )λλα=+-，a 和sin 2

m m α?

?=+ ??

，b ，其中m

λα，，为实数．若

2=a b ，则

的取值范围是（Ａ）Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，

Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]

12（浙江7）若非零向量，a b 满足+=a b b ，则（Ｃ）Ａ．2>2+a a b

Ｂ．22<+a a b Ｃ．2>+2b a b Ｄ． 22<+b a b

13（浙江文9）若非零向量a 、b 满足｜a 一b ｜＝｜b ｜，则（Ａ） (A) ｜2b ｜＞｜a 一2b ｜ (B) ｜2b ｜＜｜a 一2b ｜ (C) ｜2a ｜＞｜2a 一b ｜ (D) ｜2a ｜＜｜2a 一b ｜

14（山东11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（ C ）（A ）2

AC AC AB =? （B ） 2

BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =

? （D ） 2

()()

AC AB BA BC CD AB

16（重庆

5）在ABC △中，AB =45A =，75C =，则BC =（Ａ）Ａ．3

Ｃ．2

Ｄ．33+

17（重庆10）如题（10）图，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，

4AB BD BD DC +

=，0AB

BD BD DC ==，

则()AB DC AC +的值为（Ｃ）Ａ．2 Ｂ．

Ｃ．4

Ｄ．

20（全国Ⅱ5）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若1

AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ A ）

A ．23

B ．

C ．13

D ．23

3（北京12．）在ABC △中，若1

tan 3

A =，150C =，1BC =，则A

B = 2

7（江西15．）如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为

2 ．

题（10）图

10（天津15．）如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，

则AD

BC =· 8

．

2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →

→-b a 2共

线，则n

等于( ) A ．21-

； B ．2

； C ．2-；

D ．2；

答案 A

3.(江西省五校2008届高三开学联考)已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则

( )

A.a ⊥e

B.e ⊥(a －e )

C.a ⊥(a －e )

D.(a ＋e )⊥(a －e ) 答案：B

5.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知向量||||

a b

p a b =+

，其中a 、b 均为非零向量，则||p 的取值范围是

( )

A.[0,2]

B.[0,1]

C.(0,2]

D.[0,2] 答案 B

6.(山东省博兴二中高三第三次月考)已知A ，B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足

???

???++-+-=→→→→

OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ?的

A .内心 B. 垂心 C.重心 D.A

B 边的中点答案 C

10.(河北省正定中学2008年高三第五次月考)已知平面上三点A 、B 、C 满足

AB CA CA BC BC AB CA BC AB ?+?+?===则,5||,4||,3||的值等于（）

A 25

B 24 C.－25 D －24

答案 C

12.(湖北省荆门市2008届上期末)如图，在△ABC 中，1

,3,,,2

BD DC AE ED AB a AC b BE =

===若则=

（）

A ．1133

a b + B ．1124a b -

+ C ．

1124

a b + D ．113

a b -+

14.不共线的向量1m ，2m 的模都为2，若2123m m a -=

，2132m m b -= ，则两向量b a +与b a - 的

夹角为答案 90°

2.（2009昆明市期末）在△ABC 中，=++===n m AC n AB m AP PR CP RB AR 则若,,2,2 ( )

A ．

32 B

7 C ．9

8 D ．1

答案 B

3.（2009玉溪市民族中学第四次月考）已知向量m m 与若),4,2(),2,(==反向，则m=

（）

A ．－1

B ．－2

C ．0

D ．1

答案A

5．(湖北省八校2009届高三第二次联考文)已知a 、b 是不共线的AB a b λ=+AC a b μ=+(,)R λμ∈，

则A 、B 、C 三点共线的充要条件是：（） A ．1λμ+= B ．1λμ-= C ．1λμ=- D ．1λμ=

答案 D

6.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试）已知向量

OC OA BC OB OA 与则),sin 2,cos 2(),0,2(),2,0(αα===夹角的取值范围是

（）

A ．]

0[π

B ．]3

2,3[π

C ．]4

3,4[

π D ．]6

5,6[

答案 C

13.（2009丹阳高级中学一模）已知平面上的向量PA 、PB 满足22

4PA PB +=,2AB =，设向量

2PC PA PB =+，则PC 的最小值是

答案 2

4．设P 是双曲线1

y x

=上一点，点P 关于直线y x =的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP OQ ?=（B ）.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

2．已知直线202

=+=++y x m y x 与圆交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，

|,|||m AB OB OA 那么实数≥+的取值范围是。)2,2[]2,2(?--

4． 2

(,1),(2,3),||||

x x a b

a b a b ==+?已知向量则的最大值是 4

14．若非零向量a ，b ，c 满足230a b c ++=，且a b b c c a ?=?=?，则b 与c 的夹角为．4

3π

1.【2012高考全国文9】ABC ?中，AB 边的高为CD ，若CB a =，CA b =，0a b ?=，||1a =，||2b =，则AD =

（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455

a b - 【答案】D

【解析】如图，在直角三角形中，521

===AB CA CB ，，,

则

CD ,所

以

54422=-

=-=CD CA AD ,所以

=AB AD ,

即

b a b a AB AD 5

54)(5454-=-==

，选D. 3.【2012高考浙江文7】设a ，b 是两个非零向量。 A.若|a+b|=|a|-|b|，则a ⊥b B.若a ⊥b ，则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λa

D.若存在实数λ，使得b=λa ，则|a+b|=|a|-|b| 【答案】C

【解析】利用排除法可得选项C 是正确的，∵|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ，b 共线，即存在实

数λ，使得a ＝λb ．如选项A ：|a ＋b |＝|a |－|b |时，a ，b 可为异向的共线向量；选项B ：若a ⊥b ，由正方形得|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；选项D ：若存在实数λ，使得a ＝λb ，a ，b 可为同向的共线向量，此时显然|a ＋b |＝|a |－|b |不成立．

4.【2012高考四川文7】设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使

||||

a b

a b =

成立的充分条件是（） A 、||||a b =且//a b B 、a b =- C 、//a b D 、2a b = 【答案】Ｄ

【解析】A.可以推得

||||a b

a b =

或==为既不充分也不必要条件；Ｃ同Ａ；Ｄ.为充分不必要条件．故选D.

5.设向量a =（1.cos θ）与b =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（） A

22 B 1

C .0 D.-1 【答案】C.

【解析】02cos 0cos 212

=?=+-?⊥θθb a ，故选C.

6.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,—1)，b = (2,x).若a ·b = 1,则x =

(A) —1 (B) —12 (C) 1

(D)1 【答案】D 【解析】

21,1a b x x ?=-=∴=，故选D

【点评】本题主要考查向量的数量积，属于容易题。

8.【2012高考广东文10】对任意两个非零的平面向量α和β，定义=

??αβ

αβββ

. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ??

∈

???，且a b 和b a 都在集合2

n n ??∈????Z 中，则=a b A.

52 B. 32 C. 1 D. 1

【答案】D

【解析】因为||||2

b a b b a b b b a b ==?= ，同理|

|a b a a a b b =?= ，因为b a 和a b 都在集合}|2{Z n n ∈中，令),|

|2||22121Z n n a b n b a n ∈==，所以

θ221cos ||||22==?a b n n ，即θ221cos 4=?n n ，又因为,42ππθ??

∈ ???

，所以2

2cos 0<

<θ，所以2cos 402

<<θ，即2021

21==n b a ．故选D ．

9.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是 A.x=-

B.x-1

C.x=5

D.x=0 【答案】D

【解析】00122)1(=?=?+?-?⊥x x ，故选D

10.【2012高考天津文科8】在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ，AQ =(1-λ)AC ，

∈R 。若BQ

?CP

=-2，则λ=

（A ）1

（B ）23

C ）43

（D ）2

【答案】B

【解析】如图

，设c AC b AB ==, ，则0,2,1=?==c b c b ，又

c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=，

c AP CA CP λ+-=+=，由

2-=?CP BQ 得

2)1(4)1()(])1([2

-=--=--=+-?-+-λλλλλλb c b c c b ，即3

,23=

=λλ，选B. 二、填空题

3.【2012高考湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .

【答案】18 【解析】设AC

BD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=

22AP AB AP BO +2

22()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.

【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.

5.【2012高考山东文16】如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP 的坐标为＿＿＿

＿.

【答案】)2cos 1,2sin 2(--

【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2=PA ，即圆心角2=∠PCA ,

则

2π

=∠PCA ,所以

2cos )22sin(-=-=πPB ，2sin )2

2cos(=-=π

CB ，所以

2sin 22-=-=CB x p ，2cos 11-=+=PB y p ，所以)2cos 1,2sin 2(--=OP .

另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为??

?+=+=θ

sin 1cos 2y x ，且

3,2-=

=∠π

θPCD ，则点P

的坐标为??

???

-=-+=-=-+=2

cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2π

πy x ，即

)2cos 1,2sin 2(--=OP .

7.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，

，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．

2。

【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。【解析】由2AB AF =，得cos 2AB

AF FAB ∠=cos =AF FAB DF ∠。

∵2AB 22DF =，∴1DF =。∴21CF =。记AE BF 和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+。又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =。 ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE

BF AE

BF AE BF θαβαβαβ+-

(

)

=cos cos sin sin =122

212AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?-

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。

8.【2012高考上海文12】在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足

BM CN BC

，则AM AN ?的取值范围是

【答案】[1,4].

【解析】设

CN BC

=λ（0≤λ≤1），

则BC BM λ==AD λ,DC DN )1(λ-==AB )1(λ-，

则AN AM ?=))((DN AD BM AB ++=])1()[(AB AD AD AB λλ-++ =AD AB ?+2

)1(AB λ-+2

AD λ+AB AD ?-)1(λ, 又∵AD AB ?=0， ∴AN AM ?=λ34-，

∵0≤λ≤1，∴1≤AN AM ?≤4，即AN AM ?的取值范围是[1,4].

10【2102高考北.京文13】已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ?的值为________，DC DE ?的最大值为______。【答案】1，1

【解析】根据平面向量的数量积公式=?=?DA DE CB DE θcos ||||DA DE ?，由图可知，

||cos ||DA DE =?θ，因此1||2==?DA CB DE ，

=?=?αcos ||||DC DE DC DE αcos ||?DE ，而αcos ||?DE 就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让

DC DE ?最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为DC ，所以长度为1．

12、已知点P 为C ?AB 所在平面内一点，且满足C cos C cos C λ??AB A ?AP =+

?AB B A ??

（R λ∈），则直线AP 必经过C ?AB 的（ C ）

A ．重心

B ．内心

C ．垂心

D ．外心

15．在ABC ?中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足PM AM 2=,则()

PC PB PA +?的

值为 2

5．在ABC ?中，90C =，且3CA CB ==，点M 满足2,BM MA CM CB =?则等于A A ．3

B ．2

C ．4

D ．6

3、若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且0OA AB OC ++=，且OA AB =,则CA CB ?=（ A ） A. 3

10、（难度）设向量a ，b

，c

1==，2

1-=?b a ，若向量c a -与c b -

的夹角等于

60的最大值为 2 【方法】图解法

【解】

1==， 21-=?b a ∴ a 与b

的夹角为?120

令：a OA =→ ， b OB =→ ，c OC

=→

→=-CA , →

=-CB , 向量与的夹角等于 60

根据题意画图

点在△AOB 的外接圆上(优弧B C A

上，不含端点)运动，

该外接圆的半径为1

当OC 的最大值为 2

11、已知向量AB 与AC 的夹角为0

120,且2,3AB AC ==,若+=λ,且,⊥,则实

数λ的值为( D ）

A ．

73 B ．13 C ．6 D ．7

12 C

平面向量基本定理练习题

平面向量基本定理及坐标表示强化训练姓名__________ 一、选择题 1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4 3,2 1(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC = ,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形 3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD → =2DB →, CD → =1 3 CA →+λCB → ,则λ 等于（） A. 23 B. 13 C. 13- D. 2 3- 4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对； ③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．仅② 6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11 x y +的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b 二、填空题 8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且12 AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β= * 11．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为

三角函数与向量综合题练习

平面向量与三角函数综合练习题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中?解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位?这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 , 6 || = p的图象，贝U 和B的值依次为题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解?此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 = (cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量. (I)求角A; 一 C —3B (n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值? 题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.

已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值； a （n ）求 cos （ +）的值. 2 3 题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解? 5 v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13 题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：（1）三角函数与向量的积直接联系；（2）利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合 ?解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解 ? 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值. 六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系?解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题 ? b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为 a 、 b 、 c ,若m = （— cos ；, sin'）, n = 妖（牛,2 n ，且b 已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3, a — 3）的值；（n ）若一- l " —= .(I )求 cos(

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元检测题学校学号成绩一、选择题（每小题5分，共60分） 1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB a =，AD b =，则BE =（） A． 1 2 b a +B．1 2 b a - C． 1 2 a b +D．1 2 a b - 2.下列命题中，假命题为（） A．若0 a b -=，则a b = B．若0 a b ?=，则0 a =或0 b = C．若k∈R，k0 a =，则0 k=或0 a = D．若a，b都是单位向量，则a b ?≤1恒成立 3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量13 () a m i j =+-，1 () b i m j =+-，()() a b a b +⊥-，则实数m为（） A．2 -B．2 Ｃ． 1 2 -Ｄ．不存在 4.已知非零向量a b ⊥，则下列各式正确的是（）A．a b a b +=-B．a b a b +=+ ... . .

... . . C ．a b a b -=- D ．a b +=a b - 5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a ?+?+?的值为（） A ． 32 B ．32 - C ．0 D ．3 6. 在△OAB 中，OA =（2cos α，2sin α）， OB =（5cos β，5sin β），若5OA OB ?=-，则S △OAB （） A B ． 2 C ．5 D ． 52 7. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是（） A ．长方形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．梯形 8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数的图象，则向量是（） A ．（ 33 ,π-） B ．（ 36 ,π） C ．（ 312 ,π-） D ．（312 ,π- ） 9. 若点1F 、2F 为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12 F PF 的面积为1时，的值为（） A ．0 B ．1 C ．3 D ．6 2sin()y x π =-6 a 2214 x y +=1 2 PF PF ?

(完整版)平面向量练习题集答案

平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题： ①向量AB的长度与BA的长度相等； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； ④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. 其中真命题的序号是. 【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD 是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①. 【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可. 【变式训练1】下列各式： a?； ①|a|＝a ②(a?b) ?c＝a?(b?c)； ③OA－OB＝BA； ④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN； ⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b). 其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 a?正确；(a?b) ?c≠a?(b?c)；OA－OB＝BA正确；如下图所示，【解析】选D.| a|＝a MN=MD+DC+CN且MN=MA+AB+BN，两式相加可得2MN＝AB＋DC，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.

题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且DM = DO 31，点N 在线段OC 上,且ON =OC 3 1 ,设AB =a , AD =b ,试用a 、b 表示AM ，AN ，MN . 【解析】在?ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，所以DO ＝12DB ＝12(AB －AD )＝1 2 (a －b )， AO ＝OC ＝12AC ＝12(AB ＋AD )＝1 2(a ＋b ). 又DM ＝13DO ， ON ＝1 3OC ，所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1 3DO ＝b ＋13×12(a －b )＝16a ＋56 b ， AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋1 3OC ＝43OC ＝43×12(a ＋b )＝2 3(a ＋b ). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b )－(16a ＋56b )＝12a －16 b . 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形. 【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP ＝OA ＋λ(AB ＋AC )，若λ＝1 2 时，则PA ?(PB ＋PC )的值为 . 【解析】由已知得OP －OA ＝λ(AB ＋AC )，即AP ＝λ(AB ＋AC )，当λ＝12时，得AP ＝1 2(AB ＋AC )，所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ，所以BP ＝PC ，所以PB ＋PC ＝PB ＋BP ＝0，所以PA ? (PB ＋PC )＝PA ?0＝0，故填0.

专题二三角函数与平面向量的综合应用

专题二三角函数与平面向量的综合应用（时间：45分钟满分：100分）一、选择题(每小题7分，共35分) 1．已知sin(2π－α)＝45，α∈????3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α 等于( ) A.17 B ．－17 C ．－7 D ．7 2．如图，D 、 E 、 F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( ) A ．＋BE →＋CF →＝0 B. －CF →＋DF → ＝0 C ．＋CE →－CF →＝0 D. －BE →－FC →＝0 3．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f(x)＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ， sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6 D .π3，π3 5.已知向量OB →＝（2，0），向量=(2,2)，向量CA →＝(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的取值范围是( ) A.????0，π4 B.??? ?π4，512π C.????512π，π2 D.??? ?π12，512π 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．在直角坐标系xOy 中，已知点A (－1,2)，B (2cos x ，－2cos 2x )，C (cos x,1)，其中x ∈[0，π]，若⊥，则x 的值为______． 7.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ⊥AB ,AD =1,BC =2,AB =3,P 是BC 上的一个动点，当?PD PA 取得最小值时，tan ∠DP A 的值为 ________．

平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______；答案：3 2 ； 4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2 =4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若

平面向量练习题(附答案)

平面向量练习题一．填空题。 1． BA CD DB AC +++等于________． 2．若向量＝（3，2），＝（0，－1），则向量2－的坐标是________． 3．平面上有三个点A （1，3），B （2，2），C （7，x ），若∠ABC ＝90°，则x 的值为________． 4.向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,(a +b )⊥(2a -b ),则向量a 与b 的夹角为________． 5．已知向量a ＝（1，2），b ＝（3，1），那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1，2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1），若与CD 共线，则|BD |的值等于________． 7．将点A （2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8. 已知a=(1,－2),b=(1,x),若a ⊥b,则x 等于______ 9. 已知向量a,b 的夹角为ο120，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b ）·a=______ 10. 设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a ·b=4,则x 等于_____ 11. 已知y x 且),3,2(),,(),1,6(--===∥，则x+2y 的值为_____ 12. 已知向量a+3b,a-4b 分别与7a-5b,7a-2b 垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a 与b 的夹角为____ 13．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +u u u r u u u r u u u r 的最小值是 . 14．将圆22 2=+y x 按向量v =（2，1）平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 . 二．解答题。 1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．（1）试求向量2＋的模；（2）试求向量与的夹角；

向量和三角函数综合试题(卷)

向量与三角函数综合试题 1．已知向量a 、b 满足b ·(a-b)=0，且|a|=2|b|，则向量a +2b 与a 的夹角为（ D ） A.3π B.3π2 C. 2π D.6π 2．已知向量),(n m =，)sin ,(cos θθ=，其中R n m ∈θ,,.若||4||=，则当2 λλ或2-<λ B ．2>λ或2-<λ C ．22< <-λ D ．22<<-λ 3．已知O 为原点，点P （x ，y ）在单位圆x 2 +y 2 =1上，点Q （2cos θ，2sin θ），且PQ =(3 4，－3 2)，则·的值是（ A ） A ．18 25 B ．9 25 C ．2 D ．9 16 4．R t t ∈+===,),20cos ,20(sin ,)25sin ,25(cos 0 0，则||的最小值是B A. 2 B. 22 C. 1 D. 2 1 5．如图，△ABC 中，AB=4，AC=4，∠BAC=60°，延长CB 到D ，使||||BA BD =u u u r u u u r ，当E 点在线段AD 上移动时，若,AE AB AC λμλμ=+-u u u r u u u r u u u r 则的最大值是（ C ） A ．1 B 3 C ．3 D ．236．已知向量(2,0)OB =u u u v ,向量(2,2)OC =u u u v ,向量22)CA αα=u u u v ,则向量OA u u u v 与向量OB uuu v 的夹角的取值围是（ D ） A ．[0, ]4π B ．5[,]412ππ C ．5[,]122ππ D ．5[,]1212 ππ 7．已知向量(1,1),(1,1),(22)a b c θθ==-=r r r ,实数,m n 满足ma nb c +=r r r ,则 22(1)(1)m n -+-的最小值为（ D ） A 21 B ．1 C 2 D ．322- 8．如图，BC 是单位圆A 的一条直径, F 是线段AB 上的点，且2BF FA =u u u r u u u r ，若DE 是圆A 中绕圆心A 运动的一条直径，则FD FE u u u r u u u r g 的值是（ B ） B ．）

平面向量综合试题

《平面向量》综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54 ,k k -) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , =b ,则等于 ( ) +b (a+b ) 4.化简 52(a －b )－3 1 (2a +4b )+152(2a +13b)的结果是 ( ) 5 1±51 B.0 C. 51a +51b D. 51a －5 1b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为 4 π ,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( ) B.15 C. 16 6.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥,则k 的值为 ( ) A.109- B.109 C.1019- D.10 19 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( ) A. P 在△ABC 的内部 B. P 在△ABC 的外部 C. P 是AB 边上的一个三等分点 D. P 是AC 边上的一个三等分点 8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C (-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的 4 1 ,则线段AM 的长度是 ( ) 259.设e 1,e 2是夹角为450 的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+ 10.若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( ) .450 C

(完整版)《平面向量》测试题及答案

《平面向量》测试题一、选择题 1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（） A.x=-1 B.x=3 C.x= 2 9 D.x=51 2.与向量a=(-5,4)平行的向量是（） A.（-5k,4k ） B.(-k 5,-k 4) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为4 3 ，则A 分所成的比是（） A.73 B. 37 C.- 37 D.-7 3 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103 B.-103 C.102 D.10 6．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.? ????79，73 B.? ????－73，－79 C.? ????73，79 D.? ????－7 9 ，－73 7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A. 3 23 B. 23 3 C.2 D.- 5 2 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,- 2 1 ) 9.设四边形ABCD 中，有DC = 2 1 ，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（） A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10 11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2 的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1) 12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题 13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。 14.已知：|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°，要使λb-a 垂直，则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a ·b= 。 16.在菱形ABCD 中，（AB +AD ）·（AB -AD ）= 。

重点中学平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．向量a =（1，－2），向量a 与b 共线，且|b |=4|a |．则b =（） A ．（－4，8） B ．（－4，8）或（4，－8） C ．（4，－8） D ．（8，4）或（4，8） 2．已知a=（2，1），b =（x ，1），且a ＋b 与2a －b 平行，则x 等于（） A ．10 B ．－10 C ．2 D ．－2 3．已知向量a 和b 满足|a |=1，|b |=2，a ⊥（a －b ）．则a 与b 的夹角为（） A ．30o B ．45o C ．75o D ．135o 4．设e 1、e 2是两个不共线向量，若向量 a =3e 1＋5e 2与向量b =m e 1－3e 2共线，则m 的值等于（） A ．－ 53 B ．－ 95 C ．－ 35 D ．－ 59 5．设□ABCD 的对角线交于点O ，AD → =（3，7），AB → =（－2，1），OB → =（） A ．（－52 ，－3） B ．（52 ，3） C ．（1，8） D ．（1 2 ，4） 6．设a 、b 为两个非零向量，且a ·b =0，那么下列四个等式①|a |=|b |；②|a ＋b |=|a －b |； ③a ·（b ＋a ）=0；④（a ＋b ）2=a 2＋b 2．其中正确等式个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．下列命题正确的是（） A ．若→ a ∥→ b ，且→ b ∥→ c ，则→ a ∥→ c B ．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同 C ．向量AB 的长度与向量BA 的长度相等 D ．若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线 8．a =），（21-，b =），（1-1，c =），（2-3用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a ＋q b ，则实数p 、q 的值为（） A ．p =4 q =1 B ． p =1 q =4 C ． p =0 q =4 D ． p =1 q =0 9．设平面上四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知（DB → ＋DC → －2DA → ）·（AB → －AC → ）=0．则ΔABC 的形状是（） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 10．设()()2211,,,y x b y x a ==定义一种向量积()()().,,,21212211y y x x y x y x b a =?=?已知 ,0,3,21,2?? ? ??=??? ??=πn m 点()y x P ,在x y sin =的图象上运动，点Q 在()x f y =的图象上运动，且满足 ()，为坐标原点其中O n OP m OQ +?=则()x f y =的最大值A 及最小正周期T 分别为（） A ．π，2 B ．， 2π4 C ．,21π4 D ．π，2 1 二、填空题：每小题5分，共25分． 11．已知()2,1,10==b a ，且b a //，则a 的坐标为_______ 12．已知向量a 、b 满足 a =b =1，b a 23-=3，则 b a +3 = 13．已知向量a =（ 2 ，－ 2 ），b =（ 3 ，1）那么（a ＋b ）·（a －b ）的值是． 14．若a =（2，3），b =（－4，7），a ＋c =0，则c 在b 方向上的投影为． 15．若对n 个向量 a 1，a 2，a 3，…，a n ，存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使得k 1 a 1＋k 2a 2 ＋…＋k n a n =0成立，则称a 1，a 2，…，a n 为“线性相关”．依此规定，能使a 1=（1，0），a 2=（1，－1），a 3=（2，2）“线性相关”的实数k 1，k 2，k 3 依次可以取．三、解答题 16．（本题满分13分）已知向量a =(sin 2x ，cos 2x)，b =(sin 2x ，1), )(x f )=8a ·b ．（1）求)(x f 的最小正周期、最大值和最小值．（2）函数y=)(x f 的图象能否经过平移后，得到函数y=sin4x 的图象，若能，求出平移向量m ；若不能，则说明理由．

平面向量简单练习题

一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+=r r r r r g ，则向量b r 与a r 的夹角为（） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则,r r a b 的夹角等于（） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→ →b a （） 8．已知()()0,1,2,3-=-=，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y =-r ，若向量,a b r r 共线，则3a b +r r =（） 10．平面向量a r 与b r 的夹角为60o ，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +r r = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→ →?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥r r r r r r r 且，则向量a b r u r 与的夹角为（） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是（） 15．已知向量AB u u u r ＝(cos120°，sin120°)，AC u u u r ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--=r r r r 则a （） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20．已知向量,a b r r 满足0,1,2,a b a b ?===r r r r 则2a b -=r r （） 21．设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于（） 23．化简 AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r （）

高中平面向量测试题及答案

一、选择题 1．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 2．已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB → ⊥a ，则实数k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－1 7 4．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →、BC → 分别为a 、b ，则AH → ＝( ) a －45b a ＋45b C ．－25a ＋45b D ．－25a －45b 5．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 6．已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关 7．设a ，b 都是非零向量，那么命题“a 与b 共线”是命题“|a ＋b |＝|a |＋|b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 8.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 9．设O 为坐标原点，点A (1,1)，若点B (x ，y )满足????? x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥0，1≤x ≤2，1≤y ≤2，则OA →·OB →取得最大值时，点B 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．无数 10．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC → ＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1·λ2＋1＝0 D ．λ1λ2－1＝0 11．如图，在矩形OACB 中， E 和 F 分别是边AC 和BC 的点，满足AC ＝3AE ，BC ＝3BF ，若OC →＝λOE →＋μOF → 其中λ，μ∈R ，则λ＋μ是( )

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例1】已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合【例2】已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ．（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合【例3】已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四三角函数与平面向量数量积的综合【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ．题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则（） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小；（2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？（2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2 ；解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10）设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得

平面向量综合试题(含答案)

A C 平面向量一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论： ①= -②= +③2 - = 其中正确．．结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．0个 2．下列命题正确的是（） A．向量的长度与向量的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若 → a → b → c，则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A． B.6 C. D.3 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.(,3) D.(2,－7) 7．设， a b是非零向量，若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线，则必有（） A．⊥ a b B．∥ a b C．|||| = a b D．|||| ≠ a b 8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（A） 2 AC AC AB =?（B）2 BC BA BC =? （C） 2 AB AC CD =?（D）2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10．设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ，的夹角为 60，1 a b ==，则() a a b -=． 12．向量2411 ()() ，，， a=b=．若向量() λ ⊥ b a+b，则实数λ

平面向量及其应用单元测试题百度文库

一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，已知A ＝3 π ，a ＝7，则以下判断正确的是（） A ．△ABC 的外接圆面积是493 π ； B ．b cos C ＋c cos B ＝7； C ．b ＋c 可能等于16； D ．作A 关于BC 的对称点A ′，则|AA ′|的最大值是 3．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．32 OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 4．下列结论正确的是（） A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ?=?，则a ⊥（-b c ） B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为 12 b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 5．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、 c ，不解三角形，确定下列判断错误的是（） A ． B ＝60°，c ＝4，b ＝5，有两解 B ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3.9，有一解 C ．B ＝60°，c ＝4，b ＝3，有一解 D ．B ＝60°，c ＝4，b ＝2，无解 6．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且 ()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（） A ．sin :sin :sin 4:5:6A B C = B ．AB C ?是钝角三角形