通信网理论基础习题答案-完整版

2.2 求M/M/m （n ）中，等待时间w 的概率密度函数。 解：

M/M/m （n ）的概率分布为：

1

1010011!)(!)(--=--??

????--+=∑m r m n m k m m p k m p ρρρρ

???

?

???>≤≤-≤≤=n

k n k m p k m m k p k m p k

m k

k 0!10!)(00ρρ

假定n>m ，n ≥0，现在来计算概率P{w>x}，既等待时间大于x 的概率。

∑=>?=>n

j j j x w P p x w P 0

}{}{

其中，P j {w>x}的概率为：

n

j m x w P n j m i x m e

x w P m j x w P j m

j i i x

m j j ≤≤=>-≤≤?

=

>-≤≤=>∑-=-1

}{1!

)(}{1

00

}{0

μμ 可得：

x

m m n

n i m m n i i x m m n m j n m j i i

x m j m n

n m

j m

j i i x

m j e

m m P x w P 则

若n P i x m e P m m i x m e P m m P i x m e

P x w P )(010

010010

!

)(1}{1!)(!!)(!!

)(}{λμμμμρρρρρμρμρμ--+--=--=-=--=-=-?-=>∞→+--?=??????+??=+??=>∑∑∑∑∑ 特别的，新到顾客需等待的概率为：

!

)(1}0{0m m P W P m

ρρ?-=>

]

)!

1()

()!1()(!)()([)1(!)(而

1

2

10--------=----=---∑m n m m m n x m i x m e m P m x f m n n

m n i m n m i m x m m w μλμρλμρλλμρρμ

n

m k k

x

m m m w P w P P w P 注：

e m m P m x

f 在n =∞===--=∞→∑-=--}{}0{)()

1(!)(10

)(0

λμλμρρ

2.4求M/D/1排队问题中等待时间W 的一、二、三阶矩m 1、m 2、m 3，D 表示服务时间为定值b ，到达率为λ。 解：

)

()

1()(S B s s s G λλρ+--=

其中 sb

st e dt e b t s B -∞

-=-=?0

)()(δ

从而 sb

e s s s G -+--=λλρ)1()( 又 ∑∞

==0

)(i i

i s g s G

)1(!)(00ρλλ-=???

?

??-?+-??? ??∴∑∑∞

=∞=s j sb s s g j j i i i

b g λρ--=110 221)1(2)1(b b g λρλ---= 3

4232)

1(12)

2)(1(b b b g λλλρ-+-=

3

4

332

3

222

114

43)1(4)21(6)0()1(6)2(2)0()

1(2)0()

()

1(24)1)(21(ρλρρλρρλρλλλρλ-+=

?='''-=-+=

?=''=-=

-='-==--+-=b g G m b g G m b g G m b b b b g Λ

2.5 求M/B/1，B/M/1和B/B/1排队问题的平均等待时间W ，其中B 是二阶指数分布：

100

,)1()(212121<<>-+=--αλλλααλλλt t e e t f

解：M/B/1

()[]

2

212212

2212

221221

12

22

122

1122

110

)1(1)1(1)

1(22)0(1)0()1()()(λλλαλαλλλλαλλαλρλλαλαλλρλαλα

λαλαλλαλαλ---+-=-=?

???

??-+==-+

=

''=-+=

'-=+-++=

=?∞

-m w w B w B w s

s dt e t f S B st B/M/1

)

))(21(2)(11()

)(21(2)(11)

1(2))(21(2)(1110)1()

(21221212122121212212122

112

2

1

1

ρραρρρρμρραρρρρσμσρραρρρρσαλμσμλαλμσμαλσρμλρμ

λμσμσ--+-++----+-+-++=

-=

--+-+-++=

<<+--+

+-===-=w 的根

取令

B

B/B/1

设到达的概率密度函数为t t

e e

t f 2121)1()(λλλααλ---+= 设离去的概率密度函数为t t

e e t

f 4343)1()(λλλααλ---+=

假设423121λλλλα

αα====

()[]

[]2

12

222

122212

22

1212121'

0212

10212121214

222121422

212

2

21

2211221122

11)1(2)2()1())1(()()()

()

)(()()

()()(lim

)

)(()()()

)(()()()

)()()(())()()(()1(1)1()1(1)()()1()()(λλααλααλαλααλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλααλλ

λλλαλαλλλαλαλλλαλαλ---+-=-+-+=+-=

-=+++=

Φ=

=

Φ=---=

Φ+++=

Φ++---=

++----+-+=

-???

?

??+-++???? ??--+-=--+-++=

==++→-+t 其中

t

t

s S w s t s s k s S s k s w t

s s k s s s t s s s s s t s s 取

s s s s s s t s s s s s s s s s s s B s A s

s s B s A s w w s

2.6 在D/D/1排队问题中，顾客到达的时间间隔为a ，服务时间为b ，均为恒定值，且a>b ，

求：稳定状态时系统的队列长度为k 的概率p k ，顾客到达时队列的长度为k 的概率v k ，

顾客离去时队列的长度d k ，以及平均等待时间，并用G/G/1上界公式求出此时的平均等待时间，评论计算结果，并讨论a ≤b 的情况。 解：

由于是D/D/1问题，故子系统运行情况完全确定，第一个顾客到达后，系统无顾客，

经过b 后，服务完毕，顾客离去，再经过a-b 后，下一个顾客到达。

此时有：

??

?≠===??

???=-==0

010)(1k k d r k a b a k a b

p k k k

顾客不等待时0=w G/G/1

上

界

公式

)

1(20

)

()()

()()

1(22

2

2

22

2=∴=-+≤

∴==∴-=-=-+≤

w t w b t t p a p t w t

t t r ρσσσσδτδτρσσττΘ

当a

a ab

-时间后，系统队列长度增长1。

2.7求M/E 2/1即时拒绝系统的呼损，其中E2是二阶爱尔兰分布，μτ

τμτ22)2()(-=e b

解：

设相邻呼叫到达间隔为t ，如果服务时间t >τ，将造成呼损，t ≤τ时无呼损。

2

2220

)2(4)2()()()()(μλλμλττμλτττ

τμτ

λ++=

?=?==∴?????∞

-∞

-∞

∞

∞

dt d e

e dt d b t a p 则

d b t p t

t t

c t c

2.8在优先级别队列中，A 队为优先级，不拒绝，B 队为非优先级，只准一人排队等待（不计在服务中的），且当A 队无人时才能被服务，求各状态概率，A 队的平均等待时间和B 队的拒绝概率。 解：

说明：

0状态代表系统中无顾客状态； i ，j 状态代表系统中正在服务且A

队中有i 个顾客，B 队列中有j 个顾客排队的状态。

状态转移图如右，A 队到达率为1λ，B 队到达率为2λ，服务率μ，系统稳定时，应有

111<=μλρ

可得到特征方程如下:

?????

????>++=+>+=+++=++++=++=++-+-5

4321

)(0)()()()()()(0,21,11,111,10,10,110,2111

0020110211001002100

021ΛΛΛΛΛi P P P P i P P P P P P P

P P P P P i i i i i i i λμλλμμλλλμμλλμλλμλλμμλλ

由于4是差分方程，不妨设其通解为：i

i x p p 000= 代入有：

2

222111

00

)1()1(21212

221210121210010010021ρρρρρρρρρρρρρρ++-++-++=

∴<<=+++-?+=+++-x x x x x p x p x p i i i Θ

由于5是非齐次差分方程：

0)1(0,21,111,11,1=+++--+i i i i p p p p p ρρ 其特征根为：1ρ=a

假设其通解为：i

i

i Bx A p 011,+=ρ代入前式得：

0)1(00021010110=?+?+?+-?-+i i i i x p x B x B x B ρρρ

解之，得：i

i i x p A p p B 00011,00-=-=ρΘ

代入3式得：()110020111p p p +=+ρρ 即：

()

()[]

()??

???+==--++=-++=0210000010210010210011p p x

p p x x p p x p A i

i i i i ρρρρρρρ，，

由正则条件：