高三数学不等式选讲 知识点和练习
不等式选讲
一、绝对值不等式
1．绝对值三角不等式
定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。
注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。
定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集
注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）
（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;
②| ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c.
（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。
二、证明不等式的基本方法
1．比较法
（1）作差比较法
①理论依据：a ＞b ?a-b ＞0;a ＜b ? a-b ＜0.
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论。
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。
（2）作商比较法 ①理论依据：0,1;a b a b b
>>?> 0,1;a b a b b
<>?< ②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论。
2．综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。
3．分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。
4．放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。
5.除此之外还有反证法和数学归纳法
【绝对值不等式习题】
【例1】不等式|5||3|10x x -++≥的解集为
（A ）[-5.7] （B ）[-4,6]
（C ）(,5][7,)-∞-?+∞ （D ）(,4][6,)-∞-?+∞ 【答案】D
【解析】由不等式的几何意义知，式子|3||5|++-x x 表示数轴的点)(x 与点（5）的距离 和与点（-3）的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D 正确
【例2】 已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ??=∈++-≤=∈=+∈+∞????
，则集合A B ?=________.
【答案】{}52|≤≤-∈x R x
【解析】∵{}{}54|9|4||3||≤≤-∈=≤-++∈=x R x x x R x A ， ()()?
?????+∞∈-?≥∈=??????+∞∈-+=∈=,0,6142|,0,614|t t t x R x t t t x R x B {}2|-≥∈=x R x ，
∴{}{}{}52|2|54|≤≤-∈=-≥∈≤≤-∈=x R x x R x x R x B A .
【例3】对于实数x ，y ，若11≤-x ，12≤-y ，则12+-y x 的最大值为.【答案】5
【例4】不等式130x x +--≥的解集是______.
【解析】}1|{≥x x 。由题得1)
3()1(|3||1|22≥∴-≥+∴-≥+x x x x x 所以不等式
的解集为}1|{≥x x 。
【例5】若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是
【答案】(,3][3,)-∞-+∞
【解析】：因为12|12|3x x x x ++-≥+-+=所以12a x x ≥++-存在实数解，有3a ≥3a ≤-或3a ≥
【例6】已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.
（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2
-8x+15的解集. 解：（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤??=---=-<
当25,327 3.x x <<-<-<时
所以3() 3.f x -≤≤
（II ）由（I ）可知，
当2
2,()815x f x x x ≤≥-+时的解集为空集；
当225,()815{|55}x f x x x x x <<≥-+-≤<时的解集为； 当2
5,()815{|56}x f x x x x x ≥≥-+≤≤时的解集为.
综上，不等式2()815{|56}.f x x x x x ≥-+-≤≤的解集为
【例7】已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++
（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；
（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。 解：（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。
当1a =时，不等式的解集是(,2)
(2,)-∞+∞； 当1a >时，不等式的解集为R ；
当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者