曲率与挠率

曲率与挠率

摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性.

关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动

1. 曲率与挠率的定义及其几何意义

1.1曲率的解析定义

设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r

有二阶连续的导矢量r

,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k =,并称()s r

为C 的曲率向量,当

()0≠s k 时,称()()

s k s p 1

=

为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义

空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理.

引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=?α r

,即r r 垂直于α

.

另一方面由于1=r

,两边关于弧于s 求导便得

0=?r r ,

即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ?共线,即r 与β 共线.

由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C

的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数

()

1

s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义

任取曲线C :()s r r

=上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +?,P 和Q 点处的单位

切向量分别为()()s r

s =α和()()s s r s s ?+=?+ α,它们的夹角设为θ?,将()s s ?+α

的起点移到()p s 点,则()()2

sin

2θ

αα?=-?+s s s

,于是 ()()

s s s

s s s ?????=??=

?-?+θθθ

θαα2

2sin 2sin 2

故 ()()s r s k

= ()()

s

s s s s s s s ??=?????=?-?+=→?→?→?→?θθθθ

ααθθ000

lim

lim 2

2sin

lim

lim

这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大.

1.3.2挠率的几何意义

由挠率的定义和()γ

τ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度.

1.4 直线与平面曲线的特征

1.4.1直线的特征

定量3.1 曲线为直线的充分必要条件是曲率0k =

证明()?若曲线C :()s r r =为直线,则其方程为s r r α +=0,其中0r

为常矢量,α

为直线的单位方向矢量,s 为弧长参数.于是

0==r k

()

?若有0k ≡,则α α为常矢量,对r =α两边关于弧长s 积分得 ?+==0r s ds r

αα

这正是直线的方程. 1.4.2平面曲线的特征

定理3.3曲线为平面曲线的充分必要条件是挠率()0s τ≡. 证明()?若曲线C :()s r r =为平面曲线,则γ

为常矢量,于是

()0≡?-=βγτ s

()?由于()

0s τ≡,即0=?βγ ,而γ 共线于β ,所以()0≡s γ 或()s γ 为常矢量,于是可直接验证

()0=?ds

r d γ ,即 p r =?γ

(常数)

这说明曲线C 上的点满足一平面的方程,即C 为平面曲线.

2. 曲率和挠率的计算公式

2.1曲率的计算公式

①给出曲线C 的自然参数方程()s r r

=时:

()()()s r s s k ==α

②给出曲线C 的一般参数方程()t r r

=时:

()()()

()

3t r t r t r t k '''?'=

1.2挠率的计算公式

①给出曲线C 的自然参数方程()s r r

=时:

()()()()()()()

2

,,s r s r

s r s r s =τ ②给出曲线C 的一般参数方程()t r r

=时:

()()()()()()()()

2,,t r t r t r t r t r t ''?'''''''=

τ

3.曲率和挠率的计算实例

例1分别求椭圆C :(){}()00,sin ,cos >>=b a t b t a t r

长轴上顶点(),0,0A a 及短轴上顶点()0,,0B b 处的曲率和挠率.

解 注意到点A 和点B 对应的参数值分别为0,/2t t π==,直接计算得到

()a r b r =??

?

??'='2,0π

ab r r =''?'

于是A 点处的曲率3A ab k b =

,B 点处的曲率3

B

ab

k a =,显然A B k k >,这正说明椭圆C 在长轴顶点处的弯曲程度比C 在短轴顶点处的弯曲程度高,换句话说,椭圆C 在短轴顶点邻近比长轴顶点邻近平坦.

至于挠率,因为曲线C 是平面曲线,其挠率处处为0.

特别地,若a b =,即C 是圆,这时,容易验证圆上每一点处的曲率都相待,且等于半径的倒数,这一方面表明圆在其上每一点处的弯曲程度都相同,同时也表明半径愈大,弯曲程度愈小,这些事实的几何直观是不言而语的.

例2求圆柱螺线(){}bt t b t a t r ,sin ,cos =

()0>>b a 的曲率和挠率.

解 直接计算到

22b a r +=' ,22b a a r r +=''?' ()b a r r r 2,,=''''''

代入曲率和挠率的计算公式立即得

2222

,a b

k a b a b τ=

=++

由此可见圆柱螺线的曲率和挠率均为常数,其逆命题也成立,即曲率和挠率均为非零常数的曲线一定是圆柱螺线.

例3 求曲线(){}

t t t t r 2

33cos ,sin ,cos =

的曲率和挠率，这里02

t π

<<

.

解 直接计算得到()t t r 2

sin 2

5=

'

,可见t 不是弧长参数,所以将()t r ' 单位化后得到 ()()??????--=''=54,sin 53,cos 53t t t r t r

α

而

{}0,cos ,sin t t ds

dt dt da ds dt

dt da r r ====α

α

β

所以

?

?????--=?=53sin,5

4,cos 5

4t βαγ

于是曲线的曲率

625sin 2da

da da dt dt k dr ds dt ds t dt ==?==

为了计算挠率,由定义βλτ ?-=ds d ，而ds

dt ds r d ds r d ?=

,故 dt

r d dt r d βτ-=

简单计算得曲线的挠率

8

25sin 2t

τ=-

说明:本题可像例2直接利用公式求曲率和挠率,但有一定的计算量,如果曲线的赂量式比较复杂,这里介绍的方法比较稳妥.

4. 曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性

4.1 曲率和挠率关于刚性运动的不变性

所谓刚性运动是指3

R 中的平移,或旋转,或平移与旋转的合成,祥言之,设

3

3

:f R R →是一个刚性运动（简称运动）,意指存在一个向量()321,,b b b b =

和一个正

交矩阵A （即t A A ?=单位矩阵,这里t

A 表示A 的转置矩阵）,使得对任意

3(,,)A x y z R ?∈,有

(,,)(,,)f x y z x y z A b =+

曲率和挠率关于刚性运动的不变性是指当曲线C 经过3

R 中的一个运动变为C 时,C 和C 上对应点的曲率和挠率皆相等.

设曲线C 的自然参数表示是()r s ,并设曲线C 经过运动f 变为典线C ,那么C 有参赞数表示()r s ,使得

()(())()r s f r s r s A b ==?+

于是

()()d r dr

s s A ds ds

=? 从而

2

()()d r dr

s s A ds ds

=?

()()t

dr dr s A s A ds ds ????=??? ? ?????

()()()()t

t

t dr dr dr dr s A A s s s ds ds ds ds ????=???=? ? ????? 2

()1dr s A ds

=?= 故s 也是曲线()r s 的弧长参数.

C 与C 的上述参数表达式()r s 和()r s 有一个特点,那就是

()(())r s r s =

这表明:若0P 是C 上的点,它经过f 变为C 上的点0P ,则0P 与0P 有相同的参数值,

即

00()()s P d P =

设曲线()r rs 的曲率和挠率分别为k 和τ,曲线()r r s =上相应的曲率和挠率分别为k 和τ,则因

22332233,,,dr dr

d r d r

d r d r

A A A ds ds

ds ds ds ds

=?=?=?

同时注意一det 1A =,我们有

22332233

,,d r dr

d r d r

d r d r

ds ds

ds ds ds ds

===

从而由曲率的计算公式,我们有

2222()d r d r

k s A ds ds ==?

22

()d r

k s ds

== 这表明曲率在运动f 下不变.

再由挠率的确良计算公式,结合上述讨论及解析几何中关于混合积的几何意义,我

们得到:

23232

,,()()dr d r d r ds ds ds s k s τ?? ???

=????

[]23232

,,()dr d r d r A A A ds ds ds k s ????? ?

??=

[]

23232

,,()()dr d r d r ds ds ds s k s τ?? ???== 这表明挠率在运动f 下不变,至此我们证明了曲率和挠率皆是运动不变量.

4.2 曲率和挠率关于参数变换的不变性

设曲线C 的一般参数议程为(),()r r t t t t ==是任一容许的参数变换,由复合函数的链式求异法则,容易验验证

2

222222

,,dr dr dt d r

d r dt dr d r dt dt dt dt dt dt dt dt

??==+ ??? 3

33223323323,d r

d r dt d r dt d t dt d t

dt dt dt dt dt dt

dt dt ??=++ ??? 将以上三式代入曲率和挠率的计算公式,就可得到

()(()),()(())k t k t t t t t ττ==

这表明曲线在容许的参数变换下,对应点的曲率和挠率都不变,即曲率和挠率都是参数变换下的不变量.

结束语

以上所述即是根据曲率与挠率的计算公式进行实例分析.

参考文献：

[1] 梅向明，黄敬之。微分几何.北京:高等教育出版社,2008.

[2] 姜国英,陈维恒.微分几何.北京:高等教育出版社,1992.

[3] 纪永强.子流形几何.北京:高等教育出版社,2004.

[4] 吕林根,徐子道.解析几何(第三版).高等教育出版社，2008.

[5] 苏雅拉图,李志远.曲率和挠率的关系及应用.高等数学研究,2008.