成人高考(高起专)数学复习资料

成人高考数学复习资料

集合和简易逻辑

考点：交集、并集、补集

概念：

1、由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作A∩B，读作“A交B”（求公共元素）A∩B={x|x∈A,且x∈B}

2、由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的并集，记作A∪B，读作“A并B”（求全部元素）A∪B={x|x∈A,或x∈B}

3、如果已知全集为U，且集合A包含于U，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A的补集，记作

A

C

u,读作“A补”

A

C

u={ x|x∈U，且x?A }

解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现

考点：简易逻辑

概念：

在一个数学命题中，往往由条件A和结论B两部分构成，写成“如果A成立，那么B成立”。充分条件：如果A成立，那么B成立，记作“A→B”“A推出B，B不能推出A”。

必要条件：如果B成立，那么A成立，记作“A←B”“B推出A，A不能推出B”。

充要条件：如果A→B,又有A←B，记作“A←B”“A推出B ，B推出A”。

解析：分析A和B的关系，是A推出B还是B推出A，然后进行判断

不等式和不等式组

考点：不等式的性质

如果a>b，那么ba，那么a

如果a>b，且b>c，那么a>c

如果a>b，存在一个c（c可以为正数、负数或一个整式），那么a+c>b+c，a-c>b-c

如果a>b，c>0，那么ac>bc（两边同乘、除一个正数，不等号不变）

如果a>b，c<0，那么ac

如果a>b>0，那么a2>b2

如果a>b>0，那么

b

a>

；反之，如果

b

a>

，那么a>b

解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面

考点：一元一次不等式

定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。

解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。

如：6x+8>9x-4，求x？把x的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x>-4-8，合并同类项之后得-3x>-12,两边同除-3得x<4（记得改变符号）。

考点：一元一次不等式组

定义：由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

解法：求出每个一元一次不等式的值，最后求这几个一元一次不等式的交集（公共部分）。

考点：含有绝对值的不等式

定义：含有绝对值符号的不等式，如：|x|a型不等式及其解法。

简单绝对值不等式的解法：|x|a的解集是{x|x>a或x<-a}，取两边，在数轴上表示所有与原点的距离大于a的点的集合。

复杂绝对值不等式的解法：|ax+b|c相当于解不等式ax+b>c或ax+b<-c，解法同一元一次不等式一样。

解析：主要搞清楚取中间还是取两边，取中间是连起来的，取两边有“或”

考点：一元二次不等式

定义：含有一个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫做一元二次不等式。如：02

>++c bx ax 与0

2<++c bx ax （a>0)） 解法：求02

>++c bx ax

（a>0为例）

步骤：（1）先令02

=++c bx ax ，求出x （三种方法：求根公式、十字相乘法、配方法）

求根公式：a ac

b b x 242-±-=

十字相乘法：如：62

x -7x-5=0求x ？ 2 1 × 3 -5

交叉相乘后 3 + -10 = -7

解析：左边两个相乘等于2x 前的系数，右边两个相乘等于常数项，交叉相乘后相加等于x 前的系数，如满足条件即可分解成：（2x+1）

×（3x-5）=0，两个数相乘等于0，只有当2x+1=0或3x-5=0的时候满足条件，所以x=21

-

或x=35。

配方法（省略）

（2）求出x 之后，“>”取两边，“<”取中间，即可求出答案。注意：当a<0时必须要不等式两边同乘-1，使得a>0，然后用上面的步骤来解。

考点：其他不等式

不等式（ax+b ）（cx+d ）>0（或<0）的解法

这种不等式可依一元二次方程（ax+b ）（cx+d ）=0的两根情况及2

x 系数的正、负来确定其解集。

不等式0>++d cx b

ax （或<0）的解法

它与（ax+b ）（cx+d ）>0（或<0）是同解不等式，从而前者也可化为一元二次不等式求解。 此处看不明白者问我，课堂上讲。

指数与对数 考点：有理指数幂

正整数指数幂：a a a a a n ??= 表示n 个a 相乘，（n

+∈N 且n>1） 零的指数幂：10

=a

（0≠a ）

负整数指数幂：p

p a a 1

=

-（0≠a

，p +∈N ）

分数指数幂： 正分数指数幂：n m

n

m a a

=（a ≥0,；m ，n

+∈N 且n>1）

负分数指数幂：

n

m

n

m n

m a a

a

1

1=

=

-

（a>0,；m ，n

+∈N 且n>1）

解析：重点掌握负整数指数幂和分数指数幂 考点：幂的运算法则

y x y x a a a +=?（同底数指数幂相乘，指数相加）

y

x y x a b a -=（同底数指数幂相除，指数相减）

xy y x a a =)(（可以乘进去） x x x b a ab =)(（可以分别x 次）

解析：重点掌握同底数指数幂相乘和相除 考点：对数 定义：如果N a

b

=（a>0且1≠a ），那么b 叫做以a 为底的N 的对数，记作

b N a =log （N>0）,这里a 叫做底数，N 叫做真数。特别底，以10为底的对数叫做常用对数，通常记N 10log 为lgN ；以e 为底的对数叫做自然对数，e ≈2.7182818，通常记

作N ln 。

两个恒等式：

b a N a b

a N a ==log log ， 几个性质：

b N a =log ，N>0，零和负数没有对数 1log =a a ，当底数和真数相同时等于1 01log =a ，当真数等于1的对数等于0 n n =10lg ，

（n Z ∈）

考点：对数的运算法则

N M MN a a a log log )(log +=（真数相乘，等于两个对数相加；两个对数相加，底相同，可以变成真数相乘）

N M N

M

a a a

log log log -=（真数相除，等于两个对数相减；两个对数相减，底相同，可以变成真数相除）

M n M a n a log log =（真数的次数n 可以移到前面来）

M n

M a n a log 1

log =

（

n

n

M M 1=，真数的次数n

1

可以移到前面来）

M a

b

M N b N a log log =

函数

考点：函数的定义域和值域

定义：x 的取值范围叫做函数的定义域；y 的值的集合叫做函数的值域 求定义域：

c bx ax y b

kx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R

x

k y =

分式形式的定义域：x ≠0

x y = 根式的形式定义域：x ≥0 x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0

解析：考试时一般会求结合两种形式的定义域，分开最后求交集（公共部分）即可 考点：函数的单调性 在

)(x f y =定义在某区间上任取1x ，2x ，且1x <2x ，相应得出)(1x f ，)(2x f 如果：

1、

)(1x f <)(2x f ，则函数)(x f y =在此区间上是单调增加函数，或增函数，此区间叫做函数的单调递增区间。随着x 的增加，

y 值增加，为增函数。 2、

)(1x f >)(2x f ，则函数)(x f y =在此区间上是单调减少函数，或减函数，此区间叫做函数的单调递减区间。随着x 的增加，

y 值减少，为减函数。

解析：分别在其定义区间上任取两个值，代入，如果得到的y 值增加了，为增函数；相反为减函数。

考点：函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，有-x ∈D 且：

1、)()(x f x f -=-，则称)(x f 为奇函数，奇函数的图像关于原点对称

2、)()(x f x f =-，则称)(x f 为偶函数，偶函数的图像关于y 轴对称

解析：判断时先令x x -=，如果得出的y 值是原函数，则是偶函数；如果得出的y 值是原函数的相反数，则是奇函数；否

则就是非奇非偶函数。 考点：一次函数 定义：函数

b kx y +=叫做一次函数，其中k ，b 为常数，且0≠k 。当b=0是，kx y =为正比例函数，图像经过原点。

当k>0时，图像主要经过一三象限；当k<0时，图像主要经过二四象限 考点：二次函数

定义：

c bx ax y ++=2

为二次函数，其中a ，b ，c 为常数，且0≠a ，当a>0时，其性质如下：

定义域：二次函数的定义域为R

图像：顶点坐标为（a b ac a

b 44,

22--），对称轴

a b

x 2-

=，图像为开口向上的抛物线，如果a<0，为开口向下的抛物线

单调性：（-∞，

a b 2-

]单调递减，[a b

2-

，+∞)单调递增;当a<0时相反.

最大值、最小值：a b ac y 442-=

为最小值;当a<0时

a b ac y 442

-=

取最大值

韦达定理:

a c

x x a b x x =

?-=+2121,

考点：反比例函数

定义: x

k

y =

叫做反比例函数

定义域：0≠x

是奇函数

当k>0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是减函数 当k<0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是增函数 考点：指数函数

定义：函数

)10(≠>=a a a y x

且叫做指数函数

定义域：指数函数的定义域为R 性质：

a a a ==10,1

0>x a

图像：经过点（0,1），当a>1时，函数单调递增，曲线左方与x 轴无限靠近；当0

)10(log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数

定义域：对数函数的定义域为（0，+∞） 性质：

1log ,01log ==a a a

零和负数没有对数

图像：经过点（1,0），当a>1时，函数单调递增，曲线下方与y 轴无限靠近；当0

考点：通项公式 定义：如果一个数列｛

n a ｝的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

n S 表示前n 项之和，即n n a a a a S +++=321，他们有以下关系：

2,11

1≥-==-n S S a S a n n n

备注：这个公式主要用来求n a ，当不知道是什么数列的情况下。如果满足d a a n n =-+1则是等差数列，如果满足q

a a n n =+1

则

是等比数列，判断出来之后可以直接用以下等差数列或等比数列的知识点来求。 考点：等差数列

定义：从第二项开始，每一项与它前一项的差等于同一个常数，叫做等差数列，常数叫公差，用d 表示。d a a n n =-+1

1、等差数列的通项公式是：

d n a a n )1(1-+=

2、前n 项和公式是：

2

)1(2)(11d

n n na a a n S n n -+=+=

3、等差中项：如果a ，A.b 成差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且有

2b

a A +=

考点：等比数列

定义：从第二项开始，每一项与它前一项的比等于同一个常数，叫做等比数列，常数叫公比，用q 表示。q a a n n =+1

1、等比数列的通项公式是1

1-=n n q a a ，

2、前n 项和公式是：)

1(1)1)1(11≠--=--=q q q a a q q a S n n n

3、等比中项：如果a ，B.b 成比数列，那么B 叫做a 与b 的等比中项，且有

ab B ±=

重点：若m ．n ．p ．q ∈N ，且q p n m +=+，那么：当数列{}n a 是等差数列时，有q p n m a a a a +=+；当数列{}n a 是等

比数列时，有

q

p n m a a a a ?=?

导数

考点：导数的几何意义 1、几何意义：函数

)(x f 在点

（00y ,x ）处的导数值)(0x f '即为)(x f 在点（00y ,x ）处切线的斜率。即

αtan )(0='=x f k (α为切线的倾斜角)。 备注：这里主要考求经过点（

00y ,x ）的切线方程，用点斜式得出切线方程)(00x x k y y -=-

2、函数的导数公式：c 为常数

1)(0)(-='='n n nx x c

考点：多项式函数单调性的判别方法 在区间（a ，b ）内，如果

0)(≥'x f 则)(x f 为增函数；如果0)(≤'x f ，)(x f 为减函数。所以求函数单调性除可以根据函数

的性质求解外，还可以先对函数求导，然后令0)(≥'x f 解不等式就得到单调递增区间，令0)(≤'x f 解不等式即得单调递减区

间。

考点：最大、最小值

1、确定函数的定义区间，求出导数

)(x f '

2、令

0)(='x f 求函数的驻点（驻点即0)(='x f 时x 的根）

3、用函数的根把定义区间分成若干小区间，并列成表格.检查)(x f '在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这

个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则)(x f 在这个

根处无极值。

求出后比较得出最大值和最小值

此知识点参考2009年全国统一成人高考文科试题第23题

三角函数及其有关概念

考点：终边相同的角

在一个平面内做一条射线，逆时针旋转得到一个正角a ，顺时针旋转得到一个负角b ，不旋转得到一个零角。 终边相同的角

{ |β=k ·360+α，k 属于Z} 考点：角的度量

弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，a 表示角，l 表示a 所对的弧长，r 表示半径，则：

r l a =

||

角度和弧度的转换：

π= 1800弧度 π2 6030=弧度

考点：任意角的三角函数

定义：在平面直角坐标系中，设P （x ，y ）是角α的终边上的任意一点，且原点到该点的距离为r （0

,22?+=

r y x r ），则比

值

y r

x r y x x y r x r y ,,,,,

分别叫做角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，即

y r a x r a y x a x y a r x a r y a ======

csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin

考点：特殊角的三角函数值

三角函数式的变换

考点：倒数关系、商数关系、平方关系 平方关系是：1cos sin

22

=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+；

倒数关系是：1cot tan =?αα

，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；

商数关系是：α

ααcos sin tan =

，

α

ααsin cos cot =

。

考点：诱导公式

1、第一组：函数同名称，符号看象限

a

a a a a a a a a a k a a k a a k a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a cot )cot(,tan )tan(,cos )cos(,sin )sin(cot )360cot(,tan )360tan(,cos )360cos(,sin )360sin(cot )360cot(,tan )360tan(,cos )360cos(,sin )360sin(cot )180cot(,tan )180tan(,cos )180cos(,sin )180sin(cot )180cot(,tan )180tan(,cos )180cos(,sin )180sin(0000000000000000-=--=-=--=-=+=+=+=+-=--=-=--=--=--=--=-=-=+=+-=+-=+ 2、第二

组：变为余函数，符号看象限

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a tan )270cot(,cot )270tan(,sin )270cos(cos )270sin(tan )270cot(,cot )270tan(,sin )270cos(cos )270sin(tan )90cot(cot )90tan(sin )90cos(,cos )90sin(tan )90cot(cot )90tan(sin )90cos(,cos )90sin(0000000000000000-=+-=+=+-=+=-=--=--=-=-=-=-=--=+-=+-=+=+ ， ，　， ， ， ，

考点：两角和、差，倍角公式 1、两角和、差：

=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±

=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos

=±)tan(βαβ

αβαtan tan 1tan tan ?±

2、倍角公式：a a a cos sin 22sin ?= → a

a a cos sin 2sin 21

?=

a a a a 2222sin 211cos 2sin cos cos2-=-=-=α a a a 2tan 1tan 22tan -=

。

这个公式很重要，特别记得凡是出现三角函数平方的都要用到余弦的倍角公式，出现α

α

cos sin ?的都要用到sin2α，此考点主

要在考函数的周期公式用到。

3、辅助公式：a b

x b a x b x a =

++=+??tan ),sin(cos sin 22，这个公式一般在求最大值或最小值时用。

三角函数的图像和性质

考点：三角函数的周期公式、最大值与最小值

考点：正弦、余弦、正切函数的性质

1、x y sin =的递增区间是??????+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是

??????++23222ππππk k ，)(Z k ∈； 2、

x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈；

3、

x y tan =的递增区间是?

?? ??

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，x y cot =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 4、

x y sin =为奇函数，x y cos =为偶函数，x y tan =为奇函数。一般判断函数的奇偶性会考到。

解三角形

考点：余弦定理（已知两边一角）

由余弦定理第一种形式：2b =

B ac c a cos 222-+ 由余弦定理第二种形式：cosB=

ac b c a 22

22-+

考点：正弦定理（已知两角一边）

正弦定理（其中R 表示三角形的外接圆半径）：R C c

B b A a 2sin sin sin ===

考点：面积公式（已知两边夹角求面积）

已知△ABC,A 角所对的边长为a ，B 角所对的边长为b ，C 角所对的边长为c ，则三角形的面积如下：

A bc

B ac

C ab S abc sin 21

sin 21sin 21===

?

平面向量

考点：向量的内积运算（数量积）

a 与

b 的数量积(或内积)

θ

cos ??=?．

考点：向量的坐标运算 设

()11,a y x =,()22,y x b =，则：

加法运算：a+b=()()2211,,y x y x +=1212(,)x x y y ++ 减法运算：a-b=()()2211,,y x y x -=1212

(,)x x y y --. 数乘运算：ka=

()11,y x k =()11,ky kx

内积运算：a ·b=()()2211,,y x y x ?=2121y y x x +

垂直向量：a ⊥b=

02121=+y y x x

向量的模：|a|=

2

2y x +

重点是向量垂直或求内积运算。 考点：两个公式

1、平面内两点的距离公式： 已知

),(),,(222111y x P y x P 两点，其距离：

2

2122121)()(y y x x P P -+-=

线段的中点公式： 已知

),(),,(222111y x P y x P 两点，线段21P P 的中点的M 的坐标为),(y x ，则：

2

,22

1

21y y y x x x +=+=

直线

考点：直线的斜率

直线斜率的定义式为k=αtan （α为倾斜角），已知两点可以求的斜率k=1

21

2x x y y --，（点A

()11,y x 和点B ()22,y x 为直线上任意

两点）。

考点：直线方程的几种形式 点斜式：)(00x x k y y -=-，已知斜率k 和某点坐标),(00y x

斜截式：

b kx y +=，已知斜率k 和在y 轴的截距b

两点式：

121

121x x x x y y y y --=

--，已知两点坐标),(),,(2211y x B y x A

截距式：1=+b y a x ，已知在x 轴的截距是a ，在y 轴的截距是b

一般式：

0=++C By Ax

重点：直线的点斜式 考点：两条直线的位置关系 直线

0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：

两条直线平行：21k k =

两条直线垂直：

121-=?k k

重点：平行或垂直两条直线的斜率关系

考点：点到直线的距离公式

点

),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：

2

200B A C

By Ax d +++=

圆锥曲线 考点：圆

1、圆的标准方程是：2

22)()(r b y a x =-+-，其中：半径是r ，圆心坐标为（a ，b ），

2、圆的一般方程是：

)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，其中：半径是

2

422F

E D r -+=

，圆心坐

标是??? ?

?--22E D

，

3、圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交．相切．相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径．等于半径．小于半径，等价于直线与圆相离．相切．相交。 考点：椭圆

1．椭圆标准方程的两种形式是：12222=+b y a x 和122

22=+b x a y )0(>>b a 。 2．椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是

c a x 2

±=，离心率是

a c

e =

，长轴长是a 2，短轴长

是a 2,焦距是c 2,其中222

b a c

-=。

重点：弄清楚a 、b 、c 分别表示什么意思，并能求出标准方程。 考点：双曲线

1．双曲线标准方程的两种形式是：12222=-b y a x 和122

22=-b x a

y )00(>>b a ，。

2．双曲线12222=-b y a x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是

c a x 2

±=，离心率是

a c e =

，渐近线方程是x

a b

y ±=，长轴长

是a 2，短轴长是a 2，焦距是c 2。其中222

b a c

+=。

3．若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

2212))(1(x x k AB -+=；

4．若直线

t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为

2

212))(1(y y m AB -+=。

重点：弄清楚a 、b 、c 分别表示什么意思，并能求标准方程。

考点：抛物线

1．抛物线标准方程的四种形式是：，，px y px y 2222-==。，py x py x 222

2-==

2．抛物线

px y 22

=的焦点坐标是：??? ??02，p ，准线方程是：2p x -=。

重点：弄清楚抛物线开口往哪个方向，然后能求p ，从而得出焦点坐标和准线方程。

排列组合、概率统计

考点：分类计数法和分步计数法

分类计数法：完成一件事有两类办法，第一类办法由m 种方法，第二类办法有n 种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完成这件事，则完成这件事总共有m+n 种方法。

分步计数法：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m 种方法，第二个步骤有n 种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么完成这件事总共有m ×n 种方法。 考点：排列和组合的公式

排列（有顺序），公式：m

n P =)1()1(+--m n n n =！！

)(m n n -；

组合（没有顺序），公式：m n C =!)

1()1(m m n n n +-- =！！！)(m n m n -?；

m n C =m n n C - m n C +1

-m n C =

m n C 1+ 考点：相互独立事件同时发生的概率乘法公式

定义：对于事件A 、B ，如果A 是否发生对B 发生的概率没有影响，则它们称为相互独立事件。 把A 、B 同时发生的事件记为A ·B

解析：例题详见2007年全国统一成人高考选择题（5年真题） 考点：独立重复试验

定义：如果在一次实验中事件A 发生的概率为P ，那么A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：

k n k k

n n P P C k P --=)1()(

解析：例题详见2009年全国统一成人高考选择题16题 考点：求方差 设样本数据为

,,,,21n x x x 则样本的平均数为：

)(1

21n x x x n x +++=

样本方差为：

])()()[(1

222212x x x x x x n s n -++-+-=

解析：方差填空题必考，大家务必要记住公式