北京市海淀区初三数学一模

1．﹣的绝对值是（ ） A ． 3

B ．

C ．

﹣

D ． ﹣3

考点： 绝对值． 思路： 根据绝对值的定义解答：绝对值的定义为：当a>0时，|a|=a ；当a=0时，|a|=0；当a<0时，

|a|=-a 。 步骤： 解：|-31|=-（-31）=31

。

故选：B ． 总结： 本题考查了对绝对值定义的掌握。

2．据教育部通报，2014年参加全国硕士研究生入学考试的人数约为1720000．数字1720000用

B C D．

B C D．任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：=．

5．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=8，OC=3，则半径OB的长为（）

A．3B．4C．5D．10

考点：垂径定理；勾股定理．

思路：因为OC⊥AB，且OC过圆心，所以可根据垂径定理可得AC=BC=4，在Rt△BOC中，利用勾股定理可计算出OB．

步骤：解：∵OC⊥AB于C，

∴AC=BC=AB=×8=4，

在Rt△BOC中，OC=3，BC=4，

∴OB==5．

故选C．

总结：本题对垂径定理和勾股定理进行了考查．

6．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差s2：

甲乙丙丁

平均数（cm）561 560 561 560

方差s2（cm2） 3.5 3.5 15.5 16.5

根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A．甲B．乙C．丙D．丁

考点：方差；算术平均数．

思路：根据方差和平均数的意义找出平均数大且方差小的运动员即可．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；

反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

步骤：解：∵甲的方差是3.5，乙的方差是3.5，丙的方差是15.5，丁的方差是16.5，∴S甲2=＜S乙2＜S丙2＜S丁2，

∴发挥稳定的运动员应从甲和乙中选拔，

∵甲的平均数是561，乙的平均数是560，

∴成绩好的应是甲，

∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲；

故选A．

总结：本题对方差和平均数进行了考查．

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED=150°，则∠A的大小为（）

A．150°B．130°C．120°D．100°

考点：平行四边形的性质．

思路：根据平行四边形的性质和平分线的定义，可以证明AB=AE，则△ABE是等腰三角形，又根据∠BED=150°，可求得∠A的度数．

步骤：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠AEB=∠CBE，

∵BE平分∠ABE，

∴∠ABE=∠CBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AB=AE，

∵∠BED=150°，

∴∠ABE=∠AEB=30°，

∴∠A=180°﹣∠ABE﹣∠AEB=120°．

故选C．

总结：此题对平行四边形的性质、角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质进行了考查．8．如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆的中点，AB=2，等腰直角三角板45°角的顶点与点P重合，当此三角板绕点P旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径AB分别相交于C、D两点．设线段AD的长为x，线段BC的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）

A．B．C．D．

，整理得，y=，

11．如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7m×1.6m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为m．

考点：相似三角形的应用．

思路：根据题意可得∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD，进而得出△EBF∽△DCF，可用相似三角形的性质得出比例式求解．

步骤：解：由题意可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD，

∴△EBF∽△DCF，

∴=，

∴=，

解得：BF=0.9．

故答案为：0.9．

总结：此题对相似三角形的判定与性质进行了考查。

12．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a，b，

13．计算：（3﹣π）0+2tan60°+﹣．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

思路：对原式进行零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式分别进行计算得1+2 +3﹣3，继续按照实数运算法则进行计算即可．

步骤：解：原式=1+2+3﹣3

=4﹣．

总结：此题对实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂、二次根式进行了考查．

14．解不等式组：．

考点：解一元一次不等式组．

思路：先分别求出每一个不等式的解集，再利用口诀求其解集：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），然后从其中找出整数即可．

步骤：

解：，

由①得：x＞﹣3，

由②得：x＜1，

∴原不等式组的解集为﹣3＜x＜1．

总结：本题对一元一次不等式组的解法进行了考查．

15．已知x2+3x﹣4=0，求代数式（x+3）2+（x+3）（2x﹣3）的值．

16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AC上的一点，且AD=BC，DE⊥AC于D，∠EAB=90°．求证：AB=AE．

考点：全等三角形的判定与性质．

思路：首先通过等量代换得出∠B=∠EAD，再根据AAS证明△ABC≌△EAD，则AB=AE．

步骤：证明：∵∠EAB=90°，

∴∠EAD+∠CAB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°．

∴∠B=∠EAD．

∵ED⊥AC，

∴∠EDA=90°．

∴∠EDA=∠ACB．

在△ACB和△EDA中，

，

∴△ACB≌△EDA（AAS），

∴AB=AE．

总结：本题对全等三角形的判定及性质进行了考查，运用等量代换证明一组角相等是解题关键。17．列方程（组）解应用题：

﹣=2

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax﹣a（a为常数）的图象与y轴相交于点A，与函数的图象相交于点B（m，1）．

（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；

（2）若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．

思路：（1）因为点B在反比例函数图象上，将B代入函数解析式，可求出点的坐标，再代入一次函数中，即可求解。

（2）分两种情况进行分类讨论：①∠BPA=90°，②∠PBA=90°．

步骤：解：（1）∵B在的图象上，

∴把B（m，1）代入得m=2

∴B点的坐标为（2，1）

∵B（2，1）在直线y=ax﹣a（a为常数）上，

∴1=2a﹣a，

∴a=1

∴一次函数的解析式为y=x﹣1．

（2）过B点向y轴作垂线交y轴于P点．此时∠BPA=90°

∵B点的坐标为（2，1）

∴P点的坐标为（0，1）

当PB⊥AB时，

在Rt△P1AB中，PB=2，PA=2

∴AB=2

在等腰直角三角形PAB中，PB=PA=2

∴PA==4

∴OP=4﹣1=3

∴P点的坐标为（0，3）

∴P点的坐标为（0，1）或（0，3）．

总结：主要对一次函数和反比例函数的交点问题进行了考查．

19．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2，以AC为边在△ABC的外部作等边△ACD，连接BD．

（1）求四边形ABCD的面积；

（2）求BD的长．

考点：解直角三角形；等边三角形的性质；勾股定理．

思路：

（1）Rt△ABC中，根据已知可求出AC和AB的值，则ABC的面积=AC?BC．过点D 作DE⊥AC于E，Rt△ADE中，可求出DE，则△ACD的面积=AC?DE，则根据四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积求解；

（2）过点D作DF⊥AB于F。则∠DAF=180°﹣∠BAC﹣∠DAC，在Rt△ADF中，可求得AF和DF的值，则BF=AF+AB，然后在Rt△BDF中运用勾股定理即可求出BD的长度．步骤：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2，

∴AC=2，AB=4．

∴△ABC的面积=AC?BC=×2×2=2．

∵△ACD为等边三角形，

∴AD=AC=2，∠DAC=60°．

过点D作DE⊥AC于E．

在△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AD=2，

∴DE=AD?sin∠DAE=2×=，

∴△ACD的面积=AC?DE=×2×=，

∴四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=2+=3；

（2）过点D作DF⊥AB于F．

∵∠BAC=60°，∠DAC=60°，

∴∠DAF=180°﹣∠BAC﹣∠DAC=60°．

在△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=60°，AD=2，

∴AF=1，DF=，

∴BF=AF+AB=1+4=5，

∴BD===2．

总结：本题对解直角三角形、三角形的面积、勾股定理进行了考查。准确作出辅助线构造直角三

20．社会消费品通常按类别分为：吃类商品、穿类商品、用类商品、烧类商品，其零售总额是反映居民生活水平的一项重要数据．

为了了解北京市居民近几年的生活水平，小红参考北京统计信息网的相关数据绘制了统计图的一部分：

（1）北京市2013年吃类商品的零售总额占社会消费品零售总额的百分比为；

（2）北京市2013年吃类商品零售总额约为1673亿元，那么当年的社会消费品零售总额约为

亿元；请补全条形统计图，并标明相应的数据；

（3）小红根据条形统计图中的数据，绘制了北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表（如下表），其中2013年的年增长率为（精确到1%）；请你估算，如果按照2013年的年增长率持续增长，当年社会消费品零售总额超过10000亿元时，最早要到年（填写年份）．

北京市2010至2013年社会消费品零售总额年增长率统计表

（3）根据题意得：2013年的年增长率为×100%≈9%，

21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，DF⊥AC 于F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若cosC=，CF=9，求AE的长．

考点：切线的判定．

思路：（1）首先做辅助线：连接OD，AD，可证明OD∥AC，则OD⊥DF，得证；

（2）先求得CD、DF，再证明四边形DMEF和四边形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求得AE．

步骤：解：（1）连接OD，AD，

∵AB是⊙的直径，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴BD=CD

又∵OB=OA，

∴OD∥AC

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF

又∵OD为⊙的半径，

∴DF为⊙O的切线．

（2）连接BE交OD于M，过O作ON⊥AE于N，

则AE=2NE，

∵cosC=，CF=9，

∴DC=15，

∴DF==12，

∵AB是直径，

∴∠AEB=∠CEB=90°，

∵DF⊥AC，OD⊥DF，

∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°，

∴四边形DMEF是矩形，

∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF，

即OD⊥BE，

同理四边形OMEN是矩形，

∴OM=EN，

∵OD为半径，

∴BE=2EM=24，

∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，

∴△CFD∽△CEB，

∴=，

∴=，

∴EF=9=DM，

设⊙O的半径为R，

则在Rt△EMO中，由勾股定理得：R2=122+（R﹣9）2，

解得：R=，

则EN=OM=﹣9==，

∴AE=2EN=7．

总结：本题对垂径定理、勾股定理、矩形的性质和判定、切线的判定、平行线的性质的应用进行

22．阅读下面材料：

在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？

小明发现：若∠ABC=60°，

①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为；

②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长（填“改变”或“不变”）．

请帮助小明解决下面问题：

如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．

（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为；

（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为．

考点：翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．

思路：①根据图形可以判断：△BEF和△DGH是全等的等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；

②根据图形可以判断：△BEF和△DGH是等边三角形，再根据菱形的性质即可求解；

（1）由∠ABC=120°，可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱的性质即可求解；

（2）由∠ABC的大小为2α，可知EF+GH=AC，再根据三角函数和菱形的性质即可求解．步骤：解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，

由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，

∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．

∴六边形AEFCHG的周长为6；

②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，

由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，

∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．

∴六边形AEFCHG的周长为6．

故六边形AEFCHG的周长不变．

（1）如图3，若∠ABC=120°，

由题意可知EF+GH=AC，

则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2；

（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，

由题意可知EF+GH=AC，

则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．

故答案为：①6；②不变．（1）4+2；（2）4+4sinα．

总结：本题对图形的翻折进行了考查，其中包含了菱形的性质等知识点，关键是得到EF+GH=AC，综合性较强．

23．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=mx 2﹣（m+n ）x+n （m ＜0）的图象与y 轴正半轴交于A 点．

（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；

（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若∠ABO=45°，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；

（3）在（2）的条件下，设M （p ，q ）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．

考点： 二次函数综合题． 思路： （1）根据题意，首先求根的判别式，发现得到的整式恒大于零，得证；

（2）首先令mx 2﹣（m+n ）x+n =0，用含m 、n 的代数式表示出一元二次方程的根，则可

求出B ，A 点坐标，进而求出直线AB 的解析式，再利用平移规律得出答案；

（3）根据（2）的结论，当﹣3＜p ＜0时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m 的取值范围． 步骤： 解：（1）令mx 2﹣（m+n ）x+n=0，则

△=（m+n ）2﹣4mn=（m ﹣n ）2，

∵二次函数图象与y 轴正半轴交于A 点， ∴A （0，n ），且n ＞0， 又∵m ＜0，∴m ﹣n ＜0， ∴△=（m ﹣n ）2＞0，

∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；

（2）令mx 2﹣（m+n ）x+n=0，

解得：x 1=1，x 2=m

n ， 由（1）得

m

n

＜0，故B 的坐标为（1，0）， 又因为∠ABO=45°，所以A （0，1），即n=1， 则可求得直线AB 的解析式为：y=﹣x+1．

再向下平移2个单位可得到直线l ：y=﹣x ﹣1；

（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1

∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，

∴q=mp2﹣（m+1）p+1．

∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．

∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．

∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，

当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；

结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，

解得：m≥﹣，

∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．

总结：这是一道二次函数综合压轴题，主要考查了二次函数、根的判别式及一次函数图象的平移等知识点．

24．在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为α，且0°＜α＜180°，连接AD、BD．

（1）如图1，当∠BAC=100°，α=60°时，∠CBD 的大小为；

（2）如图2，当∠BAC=100°，α=20°时，求∠CBD的大小；

（3）已知∠BAC的大小为m（60°＜m＜120°），若∠CBD的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

思路：（1）因为∠BAC=100°，AB=AC，则有∠ABC=∠ACB=40°，当旋转角为α=60°时，△ACD 是等边三角形，且AC=AD=AB=CD，则△ABD是等腰三角形，知道∠BAD的度数，进而

①由（1）可知，设∠α=60°时可得∠BAD=m﹣60°，∠ABC=∠ACB=90°﹣，