2020-2021学年人教A版数学选修-学案-1.1.1-变化率问题-1.1.2-导数的概念-含解析
1．1变化率与导数
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念
内容标准学科素养
1.了解导数概念的实际背景；
2.会求函数在某一点附近的平均变化率；
3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
强化数学概念
完善逻辑推理
提升数学运算
授课提示：对应学生用书第1页
[基础认识]
知识点一函数的平均变化率
预习教材P2－3，思考并完成以下问题
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直
角坐标系，A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)
表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此
时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标
为(x2，y2)．
(1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
提示：自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数的改变量为y2－y1，记作Δy.
(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
提示：对山路AB来说，用
Δy
Δx
＝
y2－y1
x2－x1
可近似地刻画其陡峭程度．
知识梳理函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义式：
Δy
Δx＝
f(x2)－f(x1)
x2－x1
.
(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
表示割线P 1P 2的斜率． 知识点二 瞬时速度
预习教材P 4－6，思考并完成以下问题
1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2.试求物体在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2， v ＝Δs
Δt
＝10＋5Δt .
2．当Δt 趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，Δs
Δt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．
知识梳理 瞬时速度
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为
Δs
Δt ＝
s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs
Δt
无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0
时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
.
知识点三 函数在某点处的导数
知识梳理 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)
＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
. 思考：1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的大小与曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的“陡峭”程度有什么关系？
提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然． 2．函数的平均变化率是固定不变的吗？
提示：不一定，在平均变化率中，当x 1取定值后，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当Δx 取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同．事实
上，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，根据平均变化率的几何意义可知，函数的平均变化率一般情况下是不相同的．
3．瞬时速度与平均速度有什么区别和联系？
提示：区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．
联系：瞬时速度是平均速度的趋近值． 4．如何理解Δx →0?
提示：(1)“Δx →0”的意义：|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有Δx ≠0. (2)当Δx →0时，存在一个常数与f (x 0＋Δx )－f (x
0)
Δx
无限接近．
[自我检测]
1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于( ) A ．6＋Δt
B ．6＋Δt ＋9
Δt
C ．3＋Δt
D ．9＋Δt
解析：平均速度为v ＝(3＋Δt )2＋3－(32＋3)
3＋Δt －3＝6＋Δt .故选A.
答案：A
2．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
解析：Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32
Δt
＝18＋3Δt ，
s ′＝lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0
(18＋3Δt )＝18.故选B. 答案：B
3．已知函数f (x )＝
1
x
，则f ′(1)＝________. 解析：f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)
Δx ＝lim Δx →0 1
1＋Δx
－1Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋
1＋Δx )
＝－12
.
答案：－12
授课提示：对应学生用书第2页
探究一 求函数的平均变化率
[例1] (1)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则Δy
Δx 的值为( )
A ．－0.11
B ．－1.1
C ．3.89
D ．0.29
(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．
(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
[解析] (1)∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝3×2.1－2.12－6＋4＝－0.11，∴Δy
Δx ＝－1.1.
(2)v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ，由图象可知，k OA ＜k AB ＜k BC . (3)∵Δy ＝43π×23－43π×13＝28π
3，
∴Δy Δx ＝28π
3
2－1＝28π
3
. [答案] (1)B (2)v 1＜v 2＜v 3 (3)28π3
方法技巧 求函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率的步骤 (1)求自变量的增量Δx ＝x －x 0.
(2)求函数的增量Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
提醒：Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.
跟踪探究 1.一运动物体的运动路程s (x )与时间x 的函数关系为s (x )＝－x 2＋2x . (1)求运动物体从2到2＋Δx 这段时间内的平均速度v ； (2)若v ＝－3，求Δx ； (3)若v ＞－5，求Δx 的范围． 解析：(1)因为s (2)＝－22＋2×2＝0，
s (2＋Δx )＝－(2＋Δx )2＋2(2＋Δx )＝－2Δx －(Δx )2， 所以v ＝
s (2＋Δx )－s (2)
2＋Δx －2
＝－2－Δx .
(2)由(1)，令－2－Δx ＝－3，解得Δx ＝1. (3)由(1)，令－2－Δx ＞－5，解得Δx ＜3. 即Δx 的范围为(－∞，3)． 探究二 求瞬时速度
[例2] 如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．
[解析] Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22) ＝4.8Δt ＋2(Δt )2， lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(4.8＋2Δt )＝4.8，即s ′|t ＝1.2＝4.8.故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 延伸探究 1.试求该物体在t 0时的瞬时速度．
解析：∵Δs ＝2[1＋(t 0＋Δt )2]－2(1＋t 20)＝4Δt ·t 0＋2(Δt )2，∴s ′|t ＝t 0＝lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(4t 0＋2Δt )＝4t 0.
∴此物体在t 0时的瞬时速度为4t 0 m/s. 2．物体在哪一时刻的瞬时速度为12 m/s? 解析：∵s ′|t ＝t 0＝lim Δt →0 Δs
Δt ＝lim Δt →0
(4t 0＋2Δt )＝4t 0， ∴由4t 0＝12得t 0＝3，
∴此物体在3 s 时的瞬时速度为12 m/s. 方法技巧 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt
.
(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs
Δt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．
2．求Δy
Δx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法
(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．
(2)求出Δy
Δx
的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．
跟踪探究 2.已知自由下落物体的运动方程是s ＝1
2gt 2(s 的单位是m ，t 的单位是s)，求：
(1)物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度； (2)物体在t 0时的瞬时速度；
(3)物体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度； (4)物体在t ＝2 s 时的瞬时速度． 解析：(1)平均速度为
Δs Δt ＝12g (t 0＋Δt )2－12gt 2
0Δt ＝gt 0＋1
2gΔt . (2)瞬时速度为lim Δt →0
Δs Δt
＝lim Δt →0 ????gt 0＋12gΔt ＝gt 0. (3)由(1)得物体在t 0＝2 s 到t 1＝2.1 s 这段时间内的平均速度为g ×2＋12g ×0.1＝4120g .
(4)由(2)得物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为g ×2＝2g . 探究三 求函数在某点处的导数
[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1
x ＋5在x ＝2处的导数．
[解析] 当x ＝2
时，Δy ＝(2＋Δx )2＋
12＋Δx ＋5－????22＋12＋5＝4Δx ＋(Δx )2
＋－Δx 2(2＋Δx )
. 所以Δy Δx ＝4＋Δx －1
4＋2Δx
.
所以y ′|x ＝2＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ? ????4＋Δx －14＋2Δx ＝4＋0－14＋2×0＝154
.
延伸探究 本例中若已知该函数在x ＝a 处的导数为0，试求a 的值． 解析：当x ＝a 时，Δy ＝(a ＋Δx )2＋1
a ＋Δx ＋5
－????a 2＋1a ＋5＝2aΔx ＋(Δx )2＋－Δx a (a ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝2a ＋Δx －1a 2＋aΔx
，
所以lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ? ????2a ＋Δx －1a 2＋aΔx ＝2a －1
a 2， 所以2a －1a 2＝0，a ＝3
4
2
.
方法技巧 用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤 (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx .
(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy
Δx
. 简记为一差、二比、三极限．
跟踪探究 3.已知函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x . (1)求函数在x ＝3处的导数；
(2)若函数在x 0处的导数是12，求x 0的值．
解析：(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx .
所以Δy Δx ＝2(Δx )2
＋16Δx Δx
＝2Δx ＋16，
所以y ′|x ＝3＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
(2Δx ＋16)＝16. (2)根据导数的定义
f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy
Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0＝2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx ＝lim Δx →0 4x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4Δx Δx ＝lim Δx →0 (4x 0＋2Δx ＋4) ＝4x 0＋4，
所以f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.
授课提示：对应学生用书第3页
[课后小结]
(1)理解平均变化率要注意以下几点：
①平均变化率f (x 2)－f (x 1)
x 2－x 1
表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数
量化”．
②为求点x 0附近的平均变化率，上述表述式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
的形式．
③函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
(2)利用导数定义求导数：
①取极限前，要注意化简Δy
Δx ，保证使Δx →0时分母不为0.
②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
[素养培优]
对导数的定义理解不清致错
设f (x )为可导函数，且f ′(2)＝1
2，则lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )h 的值为( ) A ．1
B ．－1 C.1
2
D ．－12
易错分析：本题考查函数的定义．
f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，容易错误地认为lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )2h ＝f ′(2)而丢分，考查学生的定义掌握，数学运算等学科素养．
自我纠正：lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )h ＝－2lim h →0 f (2－h )－f (2＋h )－2h ＝－2f ′(2)＝－2×1
2＝－1.
答案：B