2016高考数学二轮复习微专题强化练习题:27转化与化归思想、数形结合思想
第一部分 二 27
一、选择题
1.已知f (x )=2x ,则函数y =f (|x -1|)的图象为( )
[答案] D
[解析] 法一:f (|x -1|)=2|x -
1|.
当x =0时,y =2.可排除A 、C . 当x =-1时,y =4.可排除B .
法二:y =2x →y =2|x |→y =2|x -
1|,经过图象的对称、平移可得到所求.
[方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求:
①会画各种简单函数的图象;
②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. 2.作图、识图、用图技巧
(1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.
描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行.
(2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.
(3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究.
3.利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换:
y =f (x )――→h >0,右移|h |个单位
h <0,左移|h |个单位y =f (x -h ), y =f (x )――→k >0,上移|k |个单位k <0,下移|k |个单位y =f (x )+k . ②伸缩变换: y =f (x )错误!y =f (ωx ),
y =f (x )
――→01,纵坐标伸长到原来的A 倍
y =Af (x ).
③对称变换:
y =f (x )――→关于x 轴对称
y =-f (x ), y =f (x )――→关于y 轴对称y =f (-x ), y =f (x )
――→关于直线x =a 对称y =f (2a -x ),
y =f (x )――→关于原点对称
y =-f (-x ).
2.(文)(2014·哈三中二模)对实数a 和b ,定义运算“*”:a *b =?????
a ,a -
b ≤1
b ,a -b >1
,设函数f (x )
=(x 2+1)*(x +2),若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( )
A .(2,4]∪(5,+∞)
B .(1,2]∪(4,5]
C .(-∞,1)∪(4,5]
D .[1,2]
[答案] B
[解析] 由a *b 的定义知,当x 2+1-(x +2)=x 2-x -1≤1时,即-1≤x ≤2时,f (x )=x 2+1;当x <-1或x >2时,f (x )=x +2,∵y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,∴方
程f (x )-c =0恰有两不同实根,即y =c 与y =?
????
x 2
+1 (-1≤x ≤2),
x +2 (x <-1或x >2),的图象恰有两个交点,
数形结合易得1 [方法点拨] 关于函数零点的综合题,常常将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、二次函数揉合在一起组成一个大题,零点作为其条件的构成部分或结论之一,解题时主要依据题目特点:①分离参数,将参数的取值范围转化为求函数的值域;②数形结合,利用图象的交点个数对参数取值的影响来讨论;③构造函数,借助于导数来研究. (理)已知f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数,当0 A .(-3,-π2)∪(0,1)∪(π 2,3) B .(-π2,-1)∪(0,1)∪(π 2,3) C .(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3) D .(-3,-π 2 )∪(0,1)∪(1,3) [答案] B [分析] 由奇函数图象的对称性可画出f (x )的图象,不等式f (x )·cos x <0可等价转化为 ??? f (x )>0cos x <0或??? f (x )<0cos x >0 ,结合图形可得出解集. [解析] 不等式f (x )cos x <0等价于? ???? f (x )>0,cos x <0,或????? f (x )<0, cos x >0. 画出f (x )在(-3,3)上的图象,cos x 的图象又熟知,运用数形结合,如图所示,从“形”中找出图象分别在x 轴上、下部分的对应“数”的区间为(-π2,-1)∪(0,1)∪(π 2 ,3). 3.(文)已知a n =3 2n -11,数列{a n }的前n 项和为S n ,关于a n 及S n 的叙述正确的是( ) A .a n 与S n 都有最大值 B .a n 与S n 都没有最大值 C .a n 与S n 都有最小值 D .a n 与S n 都没有最小值 [答案] C [解析] 画出a n =3 2n -11 的图象, 点(n ,a n )为函数y =32x -11 图象上的一群孤立点,(11 2,0)为对称中心,S 5最小,a 5最小, a 6最大 (理)(2015·安徽理,9)函数f (x )= ax +b (x +c )2 的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A .a >0,b >0,c <0 B .a <0,b >0,c >0 C .a <0,b >0,c <0 D .a <0,b <0,c <0 [答案] C [解析] 考查函数的图象与应用. 由f (x )=ax +b (x +c )2及图象可知,x ≠-c ,-c >0,则c <0;当x =0时,f (0)=b c 2>0,所以b >0;当y =0,ax +b =0,所以x =-b a >0,所以a <0.故a <0,b >0,c <0,选C . [方法点拨] 1.给出解析式判断函数图象的题目,一般借助于平移、伸缩、对称变换,结合特殊点(与坐标轴的交点、最高(低)点、两图象的交点等)作出判断. 2.由函数图象求解析式或求解析式中的参数值(或取值范围)时,应注意观察图象的单调性、对称性、特殊点、渐近线等然后作出判断. 3.数形结合的途径 (1)通过坐标系“形”题“数”解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化.在高考中主要以解析几何作为知识载体来考查.值得强调的是,“形”“题”“数”解时,通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用,可以大大缩短代数推理). 实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点的对应关系;②函数与图象的对应关系;③曲线与方程的对应关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.如等式(x -2)2+(y -1)2=4. (2)通过转化构造“数”题“形”解 许多代数结构都有着对应的几何意义,据此,可以将数与形进行巧妙地转化.例如,将a >0与距离互化,将a 2与面积互化,将a 2+b 2+ab =a 2+b 2-2|a ||b |cos θ(θ=60°)与余弦定理沟通,将a ≥b ≥c >0且b +c >a 中的a 、b 、c 与三角形的三边沟通,将有序实数对(或复数)和点沟通,将二元一次方程与直线对应,将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的).另外,函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函数思想和数形结合思想经常相伴而充分地发挥作用. 4.(文)已知函数f (x )满足下面关系:①f (x +1)=f (x -1);②当x ∈[-1,1]时,f (x )=x 2,则方程f (x )=lg x 解的个数是( ) A .5 B .7 C .9 D .10 [答案] C [分析] 由f (x +1)=f (x -1)可知f (x )为周期函数,结合f (x )在[-1,1]上的解析式可画出f (x ) 的图象,方程f (x )=lg x 的解的个数就是函数y =f (x )与y =lg x 的图象的交点个数. [解析] 由题意可知,f (x )是以2为周期,值域为[0,1]的函数. 由方程f (x )=lg x 知x ∈(0,10]时方程有解,画出两函数y =f (x )与y =lg x 的图象,则交点个数即为解的个数.又∵lg10=1,故当x >10时,无交点.∴由图象可知共9个交点. [方法点拨] 数形结合在函数、方程、不等式中的应用 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的解题思路,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数. (2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答. (3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标. (理)已知m 、n 是三次函数f (x )=13x 3+1 2ax 2+2bx (a 、b ∈R )的两个极值点,且m ∈(0,1), n ∈(1,2),则b +3 a +2 的取值范围是( ) A .(-∞,2 5)∪(1,+∞) B .(2 5,1) C .(-4,3) D .(-∞,-4)∪(3,+∞) [答案] D [解析] f ′(x )=x 2+ax +2b , 由题意知???? ? f ′(0)>0,f ′(1)<0, f ′(2)>0, ∴???? ? b >0,a +2b +1<0,a +b +2>0. (*) b +3 a +2表示不等式组(*)表示的平面区域内的点与点(-2,-3)连线的斜率,由图形易知选D . 5.(文)直线x +3y -m =0与圆x 2+y 2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m 的取 值范围是( ) A .1 B .3 C .1 D .3 [答案] D [分析] 动直线x +3y -m =0是一族平行直线,直线与圆在第一象限内有两个不同交点,可通过画图观察找出临界点,求出m 的取值范围. [解析] 直线斜率为定值k =-3 3 .如图,平移直线到过点A (0,1)时,m =3,到相切时,|m | 2 =1, ∴m =2,∴3 (理)若直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是( ) A .[1-22,1+22] B .[1-2,3] C .[-1,1+22] D .[1-22,3] [答案] D [解析] 本题考查了直线与圆的位置关系问题,考查数形结合 思想的应用.曲线y =3-4x -x 2对应的图象如图所示,为圆(x -2)2+(y -3)2=4的下半圆,若直线y =x +b 与此半圆相切,则可得2=|2-3+b |2,解得b =1-22,当且仅当b ∈[1-22,3]时,直 线与半圆有公共点,故应选D . [点评] 对于曲线y =3-4x -x 2,在转化过程中易被看作是一个完整的圆而致误. [方法点拨] 数形结合法在解析几何中的应用 数形结合包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 解析几何中,常利用一些表达式的几何意义用图形直观助解.或将几何问题转化为方程 或函数问题求解.解析几何是数形结合的典范. 6.O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP →=OA → +λ( AB →|AB →|+AC →|AC →| ),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A .外心 B .内心 C .重心 D .垂心 [答案] B [分析] 因为AB →|AB →|是AB →的单位向量,故λ(AB →|AB →|+AC →|AC →|)对应向量若以A 为起点,则终点在 ∠BAC 的平分线上,结合OP →-OA →=AP → 可知点P 的轨迹. [解析] 如图所示,易知AP → =λ(AB →|AB →|+AC →|AC →|),而AB →|AB →|与AC →|AC →|是单位向量,故点P 在∠BAC 的平分线上,所以点P 的轨迹通过△ABC 的内心,应选B . [方法点拨] 数形结合法在三角函数、平面向量、复数等知识中的应用 三角函数的图象、平面向量都是天然的数形结合点和数形结合的工具. 7.(文)已知点P 在抛物线x 2=-2y 上,抛物线的焦点为F ,则点P 到点Q (-1,-2)与点F 距离之和的最小值为( ) A .2 B .32 C .5 2 D .3 [答案] C [解析] 过P 向抛物线的准线作垂线PP ′,垂足为P ′,由抛物线的定义知|PF |=|PP ′|,因此当P ,Q ,P ′三点共线时,即P 为P 1点时,|PP ′|+|PQ |取到最小值|P 1′Q |=52 . (理)设直线x =t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图象分别交于点M 、N ,则当|MN |达到最小时t 的值为( ) A .1 B .12 C . 52 D . 22 [答案] D [解析] 在同一坐标系中画出函数f (x )=x 2与g (x )=ln x 的图象如图,作直线x =t ,由题意知t >0,则|MN |=t 2-ln t ,令y =t 2-ln t (t >0),则y ′=2t -1t ,由y ′>0得t >2 2,由y ′<0 得0 22,∴y =t 2-ln t 在(0,22)上单调递减,在(22,+∞)上单调递增,故t =2 2 时,y 取最小值,即t = 2 2 时,|MN |取最小值. 8.(文)设函数g (x )=x 2 -2(x ∈R ),f (x )=? ???? g (x )+x +4,x <g (x ) g (x )-x ,x ≥g (x ),则f (x )的值域是( ) A .????-9 4,0∪(1,+∞) B .[0,+∞) C .????-9 4,+∞ D .??? ?-9 4,0∪(2,+∞) [答案] D [解析] 由题意知 f (x )=? ???? x 2+x +2,x =? ???? x 2+x +2,x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞),x 2-x -2,x ∈[-1,2], = ??? ????x +122+74 ,x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞),????x -122 -9 4,x ∈[-1,2]. 所以结合图形,可得当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,f (x )的值域为(2,+∞);当x ∈[-1,2]时,f (x )的值域为??? ?-9 4,0.故选D . (理)对实数a 和b ,定义运算“?”:a ?b =? ???? a ,a - b ≤1, b ,a -b >1,设函数f (x )=(x 2-2)?(x -x 2), x ∈R ,若函数y =f (x )-c 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( ) A .(-∞,2]∪(-1,3 2) B .(-∞,-2]∪(-1,-3 4) C .(-1,14)∪(1 4,+∞) D .(-1,-34)∪[1 4 ,+∞) [答案] B [解析] 由已知得f (x )=??? x 2 -2(-1≤x ≤3 2), x -x 2 (x <-1或x >3 2 ), 如图,要使y =f (x )-c 与x 轴恰有两个公共点, 则-1 4 或c ≤-2,应选B . [点评] 本小题考查分段函数及函数图象与x 轴的交点及平移等基础知识,考查理解和处理新信息的创新能力及数形结合思想的应用,难度较大. 9.函数y =1 1-x 的图象与函数y =2sinπx (-2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于 ( ) A .2 B .4 C .6 D .8 [答案] D [解析] 依题意:两函数的图象如图所示: 由两函数的对称性可知:交点A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6,A 7,A 8的横坐标满足x 1+x 8 =2,x 2+x 7=2,x 3+x 6=2,x 4+x 5=2,即x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8=8,故选D . 10.(文)函数f (x )=-4log 2x 8·log 24x 在区间????18,4上的最大值等于( ) A .-24 B .16 C .25 D .24 [答案] C [解析] 设log 2x =t ,则t ∈[-3,2], 故函数f (x )可转化为y =g (t )=-4(t -3)(t +2) =-4t 2+4t +24=-4(t -1 2 )2+25, 因为t ∈[-3,2],所以当t =1 2时,函数g (t )取得最大值为25.故选C . [方法点拨] 1.化归的原则 (1)目标简单化原则,即复杂的问题向简单的问题转化;(2)和谐统一性原则,即化归应朝着待解决的问题在表现形式上趋于和谐,在量、形、关系上趋于统一的方向进行,使问题的条件和结论更均匀和恰当;(3)具体化原则,即化归方向应由抽象到具体;(4)低层次原则,即将高维空间问题化归成低维空间问题.基于上述原则,化归就有一定的策略.我们在应用化归方法时,应“有章可循,有法可依”通常可以从以下几个方面去考虑: (1)抽象问题向具体问题化归; (2)一般问题向特殊问题化归; (3)正向思维向逆向思维化归; (4)命题向等价命题化归. 2.转化与化归的常见方法 (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化. (5)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题. (6)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题,是转化方法的一个重要途径. (7)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化途径. (8)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题. (9)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且又较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化. (10)等价命题法:把原问题转化为一个熟悉的或易于解决的等价命题,达到转化目的. (11)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集?U A获得原问题的解决.以上所列的一些方法有些是互相交叉的,不能截然分割,只能说在哪一方面有所侧重.(理)已知集合A={a|?x∈R,4x-a·2x+1+1>0},B={a|?x∈R,a·sin x+3cos x<-2},则A∩B等于() A.{a|a<-1} B.{a|a<1} C.{a|a≠1} D.{a|a<-1或a>1} [答案] A [解析]由已知条件可得不等式a<4x+1 2x+1 = 1 2(2 x+1 2x)对任意的x∈R恒成立,由 1 2(2 x+ 1 2x)≥1 2×22 x×1 2x=1可得a<1,即A={a|a<1};又由不等式a sin x+3cos x=a 2+3sin(x +φ)<-2有解,可得-a2+3<-2,解得a>1或a<-1,即得B={a|a>1或a<-1},则A∩B ={a|a<-1},故应选A. 二、填空题 11.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1、a3、a9成等比数列,则a1+a3+a9 a2+a4+a10 的值是 ________. [分析]利用满足条件的具体数列代入求值. [答案]13 16 [解析]由题意知,只要满足a1、a3、a9成等比数列的条件,{a n}取何种等差数列与所 求代数式的值是没有关系的.因此,可把抽象数列化归为具体数列.比如,可选取数列a n =n (n ∈N *),则a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=1+3+92+4+10=13 16 . [方法点拨] 抽象问题具体化、复杂问题简单化的化归思想 (1)本题如果从已知条件a 23=a 1·a 9?(a 1+2d )2=a 1(a 1+8d ),解得a 1与d 的关系后,代入所求式子:a 1+a 3+a 9a 2+a 4+a 10=a 1+(a 1+2d )+(a 1+8d )(a 1+d )+(a 1+3d )+(a 1+9d ),也能求解,但计算较繁琐,易错.因 此,把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析,可以很快得到答案. (2)对于某个在一般情况下成立的结论或恒成立问题,可运用一般与特殊相互转化的化归思想,将一般性问题特殊化、具体化,使问题变得简便. 三、解答题 12.如图所示,在四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 是菱形,SA ⊥平面ABCD ,M 、N 分别为SA 、CD 的中点. (1)证明:直线MN ∥平面SBC ; (2)证明:平面SBD ⊥平面SAC . [解析] (1)如图所示,取SB 中点E ,连接ME ,CE . 因为M 为SA 的中点, 故ME ∥AB ,且ME =1 2 AB . 因为N 为菱形ABCD 中边CD 的中点, 故CN 綊1 2AB ,ME 綊CN ,所以四边形MECN 是平行四边形,即MN ∥EC . 又因为EC ?平面SBC ,MN ?平面SBC , 所以直线MN ∥平面SBC . (2)连接AC ,BD ,相交于点O . 因为SA ⊥底面ABCD ,故SA ⊥BD . 因为四边形ABCD 是菱形, 所以AC ⊥BD . 又因为SA ∩AC =A ,故BD ⊥平面SAC . 又因为BD ?平面SBD , 所以平面SBD ⊥平面SAC . [方法点拨] 1.转化与化归思想 转化与化归的基本内涵是:人们在解决数学问题时,常常将待解决的问题A ,通过某种转化手段,归结为另一问题B ,而问题B 是相对较容易解决的或已经有固定解决模式的问题,且通过问题B 的解决可以得到原问题A 的解.用框图可直观地表示为: 其中问题B 称为化归目标或方向,转化的手段称为化归策略.化归思想有着坚实的客观基础,它着眼于揭示联系,实现转化,通过矛盾转化解决问题. 2.立体几何中的沿表面最短距离问题一般都转化为侧面展开图中两点间距离或点到直线的距离求解. 3.立体几何问题要注意利用线线、线面、面面平行与垂直的相互转化探寻解题思路,对于不易观察的空间图形可部分地画出其平面图形.利用线面位置关系的判定与性质定理将空间问题向平面转化. 4.立体几何中常采用等体积法将求距离问题转化为体积的计算问题. 5.熟悉化原则,对于比较生疏的问题,要善于展开联想与想象,寻找学过知识中与其相近、相似或有联系的内容,探求切入点. 13.已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ,且f (x )在 [0,+∞)上是增函数.当0≤θ≤ π 2时,是否存在这样的实数m ,使f (cos2θ-3)+f (4m -2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈[0,π 2]均成立? 若存在,求出所有适合条件的实数m ;若不存在,则说明理由. [解析] 由f (x )是R 上的奇函数可得f (0)=0. 又在[0,+∞)上是增函数, 故f (x )在R 上为增函数. 由题设条件可得f (cos2θ-3)+f (4m -2m cos θ)>0. 又由f (x )为奇函数,可得 f (cos2θ-3)>f (2m cos θ-4m ). ∵f (x )是R 上的增函数,∴cos2θ-3>2m cos θ-4m , 即cos 2θ-m cos θ+2m -2>0. 令cos θ=t ,∵0≤θ≤π 2,∴0≤t ≤1. 于是问题转化为对一切0≤t ≤1, 不等式t 2-mt +2m -2>0恒成立. ∴t 2 -2>m (t -2),即m >t 2-2 t -2 恒成立. 又∵t 2-2t -2=(t -2)+2t -2+4≤4-22,(当且仅当t =2-2时取等号),∴m >4-2 2. ∴存在实数m 满足题设的条件,m >4-2 2 14.试求常数m 的范围,使曲线y =x 2的所有弦都不能被直线y =m (x -3)垂直平分. [分析] 正面解决较难,考虑到“不能”的反面是“能”,被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称,于是问题转化为“抛物线y =x 2上存在两点关于直线y =m ·(x -3)对称,求m 的取值范围”,再求出m 的取值集合的补集即为原问题的解. [解析] 先求m 的取值范围,使抛物线y =x 2上存在两点关于直线y =m (x -3)对称. 由题意知m ≠0,∴设抛物线上两点(x 1,x 21),(x 2,x 2 2)关于直线y =m (x -3)对称,于是有 ??? 12(x 21 +x 22 )=m [1 2(x 1 +x 2 )-3],x 21 -x 22x 1 -x 2=-1m , 所以????? x 2 1+x 2 2 =m (x 1+x 2-6),x 1+x 2=-1 m , 消去x 2得2x 2 1+2m x 1+1m 2+6m +1=0. 因为存在x 1∈R 使上式恒成立, 所以Δ=(2m )2-4×2×(1 m 2+6m +1)>0. 即12m 3+2m 2+1<0, 也即(2m +1)(6m 2-2m +1)<0. 因为6m 2-2m +1>0恒成立,所以2m +1<0, 所以m <-1 2 . 即当m <-1 2 时,抛物线上存在两点关于直线 y =m (x -3)对称,所以当m ≥-1 2时,曲线y =x 2的所有弦都不能被直线y =m (x -3)垂直 平分. [方法点拨] 正难则反、逆向思维的化归思想 (1)正面思考问题一时无从着手,遇到困难时,可正难则反,逆向思维,即考虑问题的反面,用补集思想去探索研究. (2)在运用补集的思想解题时,一定要搞清结论的反面是什么,“所有弦都不能被直线y =m (x -3)垂直平分”的反面是“至少存在一条弦能被直线y =m (x -3)垂直平分”,而不是“所有的弦都能被直线y =m (x -3)垂直平分”. (3)反证法也是正难则反的转化思想的体现. 15.(文)(2014·沈阳市质检)投掷质地均匀的红、蓝两颗骰子,观察出现的点数,并记红 色骰子出现的点数为m ,蓝色骰子出现的点数为n .试就方程组? ???? x +2y =2mx +ny =3解答下面问题. (1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正数解的概率. [解析] (1)方程组只有一解,则n ≠2m P =36-336=11 12 . (2)由方程组? ?? ?? x +2y =2,mx +ny =3,解得????? x =2(3-n ) 2m -n ,y =2m -3 2m -n . 若要方程组只有正解,则需????? 2(3-n )2m -n >0, 2m -3 2m -n >0. 由上表得可知方程组只有正解的概率P =13 36. (理)已知正项数列{a n }满足4S n =(a n +1)2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1 a n a n +1,求数列{ b n }的前n 项和T n . [解析] (1)∵4S n =(a n +1)2, ∴4S n -1=(a n -1+1)2(n ≥2), 相减得a n -a n -1=2,又4a 1=(a 1+1)2, ∴a 1=1,∴a n =2n -1. (2)由(1)知,b n =1 (2n -1)(2n +1) =12(12n -1-12n +1 ). 所以T n =b 1+b 2+…+b n =12[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n +1)]=n 2n +1 . [方法点拨] 给出数列的递推关系求数列的通项、前n 项和等一般要化归为基本数列;数列通项或前n 项和中含有参数研究数列的单调性及最大(小)项等问题常常要分类讨论;给出某项或项的关系式或给出前n 项和的关系等,常借助公式、性质列方程求解. 2019高考数学常见难题大盘点:数列 1. 已知函数2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0旳两个根()αβ>,'()f x 是f (x )旳导数;设1 1a =, 1 ()'() n n n n f a a a f a +=- (n =1,2,……) (1)求,αβ旳值; (2)证明:对任意旳正整数n ,都有n a >a ; 解析:(1)∵2()1f x x x =+-,,αβ是方程f (x )=0旳两个根()αβ>, ∴ αβ== ; (2)'()21f x x =+, 21 115(21)(21)12 442121 n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++-+-=-=-++ = 5 114 (21)4212 n n a a ++-+,∵1 1a =, ∴有基本不等式可知 20a ≥>( 当且仅当1a = 时取等号) ,∴ 20a >> 同,样3a > ,……,n a α >= (n =1,2,……), 2. 已知数列{}n a 旳首项121a a =+(a 是常数,且1a ≠-), 24221+-+=-n n a a n n (2n ≥),数列{}n b 旳首项1b a =,2n a b n n +=(2n ≥) · (1)证明:{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列; (2)设n S 为数列{}n b 旳前n 项和,且{}n S 是等比数列,求实数a 旳值; (3)当a>0时,求数列{}n a 旳最小项· 分析:第(1)问用定义证明,进一步第(2)问也可以求出,第(3)问由a 旳不同而要分类讨论· 解:(1)∵2n a b n n += ∴ 22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2) 由121a a =+得24a a =,22444b a a =+=+, ∵1a ≠-,∴ 2 0b ≠, 即{}n b 从第2项起是以2为公比旳等比数列· (2) 1(44)(21)34(22)2 21 n n n a S a a a -+-=+=--++- 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6,cos 5π6在角α的终边上,则sin α的值为________. 2.已知α∈? ????0,π2,2sin2α=cos2α+1,那么sin α=________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A +π4=7210,A ∈? ?? ??π4,π,则sin A =________. 4.若函数f (x )=2sin ? ????2x +φ-π6(0<φ<π)是偶函数,则φ=________. 5.已知函数y =A sin (ωx +φ)+B (A >0,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如图所示,那 么φ=________. (第5题) 6.已知sin ? ????α+π3=1213,那么cos ? ?? ??π6-α=________. 7.在距离塔底分别为80m ,160m ,240m 的同一水平面上的A ,B ,C 处,依次测得塔顶的仰角分别为α,β,γ.若α+β+γ=90°,则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0,π3,且6sin α+2cos α= 3. (1) 求cos ? ????α+π6的值; (2) 求cos ? ????2α+π12的值. B 组 能力提升 1.计算:3cos10°-1 sin170°=________. 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )=2cos (ωx +φ)对任意的x ∈R ,都有f ? ????π3-x =f ? ????π3+x ,若函数g (x )=3sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)+2,则g ? ?? ??π3的值是________. 3.已知函数f (x )=sin (ωx +φ)(ω>0)的图象的一个对称中心为? ????π2,0,且f ? ?? ? ?π4=1 2 ,那么ω的最小值为________. 4.已知函数f (x )=sin ? ????ωx +π5(ω>0),f (x )在[0,2π]上有且仅有5个零点,给出以下四个结论: ①f (x )在(0,2π)上有且仅有3个极大值点; ②f (x )在(0,2π)上有且仅有2个极小值点; ③f (x )在? ????0,π10上单调递增; ④ω的取值范围是???? ??125,2910. 其中正确的结论是________.(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )=sin x ,x ∈R . (1) 当θ∈[0,2π)时,函数f (x +θ)是偶函数,求θ的值; (2) 求函数y =??????f ? ????x +π122+??????f ? ????x +π42 的值域. 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )=M sin (ωx +π 6)(M >0,ω>0)的大致图象如图所示, 其中A (0,1),B ,C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点,且BC =π. (1) 求M ,ω的值; 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题) 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 2014高考数学难题集锦(一) 1、已知集合,若集合,且对任意的,存在 ,使得(其中),则称集合为集合的一个元基底. (Ⅰ)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底,并说明理由; ①,; ②,. (Ⅱ)若集合是集合的一个元基底,证明:; (Ⅲ)若集合为集合的一个元基底,求出的最小可能值,并写出当取最小值时的 一个基底. 2、设函数 (1)若关于x的不等式在有实数解,求实数m的取值范围; (2)设,若关于x的方程至少有一个解,求p 的最小值. (3)证明不等式: 3、设,圆:与轴正半轴的交点为,与曲线的交点为, 直线与轴的交点为. (1)用表示和; (2)求证:; (3)设,,求证:. 4、数列,()由下列条件确定:①;②当时,与满足:当 时,,;当时,,. (Ⅰ)若,,写出,并求数列的通项公式; (Ⅱ)在数列中,若(,且),试用表示; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设数列满足,, (其中为给定的不小于2的整数),求证:当时,恒有. 5、已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e],f(x)=ax+lnx(其中e是自然对数的底数,a∈R) (1)求f(x)的解析式; (2)设g(x)=,x∈[-e,0),求证:当a=-1时,f(x)>g(x)+; (3)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时f(x)的最小值是3 如果存在,求出实数a的值;如果不存在,请说明理由. 6、(理)对数列和,若对任意正整数,恒有,则称数列是数列的“下界数列”. (1)设数列,请写出一个公比不为1的等比数列,使数列是数列的“下界数列”; (2)设数列,求证数列是数列的“下界数列”; (3)设数列,构造 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.12i 12i +=- A .43i 55-- B .43i 55-+ C .34i 55-- D .34i 55 -+ 2.已知集合22{(,)|3,,A x y x y x y =+≤∈∈Z Z},则A 中元素的个数为 A .9 B .8 C .5 D .4 3.函数2 e e ()x x f x x --=的图象大致为 4.已知向量a ,b 满足||1=a ,1?=-a b ,则(2)?-=a a b A .4 B .3 C .2 D .0 5.双曲线 2 2 22 1(0,0)x y a b a b -=>>3 A .2y x = B .3y x =± C .2y = D .3y = 6.在ABC △中,5 cos 2C = 1BC =,5AC =,则AB = A .42B 30C 29D .5 、最值 一、选择题 1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1x e-的极值点,则f(x)的极小值为() A.-1 B.-23 e- D.1 e- C.53 【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力. 【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1x e-+(2x+ax-1)1x e-=[2x+(a+2)x+a-1]1x e-, 因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1x e-,故f'(x)=(2x+x-2)1x e-, 令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11 e-=-1. 【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间,求导数f'(x). (2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根. (3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是() 【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再增,故选D. 3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是() A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cosx 【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力. 【解析】选A.A中,g(x)=e x2-x= 2x e?? ???,因为 2 e >1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质, 满足题意,故选A; B中,g(x)=e x x2,则g'(x)=e x x(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意; C中,g(x)=e x3-x= 3x e?? ???,因为0< 3 e <1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题 意; D中,g(x)=e x cosx,则g'(x)=e x(cosx-sinx),所以g(x)在 5 , 44 ππ ?? ? ?? 上单调递减,所以f(x)不具 有M性质,不满足题意. 二、填空题 4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是. 【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考查考生的应变能力. 【解析】因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x) 函数及其性质 一、填空题 (2016·12)已知函数()() f x x∈R满足()2() f x f x -=-,若函数 1 x y x + =与() y f x =图像的交点为 11 (,) x y,22 (,) x y,…,(,) m m x y,则 1 () m i i i x y = += ∑() A.0 B.m C.2m D.4m (2015·5)设函数2 1 1log(2)(1) () 2(1) x x x f x x - +-< ? =? ≥ ? ,则 2 (2)(l og12) f f -+=()A.3 B.6 C.9 D.12 (2015·10)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x. 将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为() A.B.C.D. (2013·8)设 3 log6 a=, 5 log10 b=, 7 log14 c=,则() A.c b a >>B.b c a >>C.a c b >>D.a b c >> (2013·10)已知函数32 () f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是() A. 00 ,()0 x f x ?∈= R B.函数() y f x =的图像是中心对称图形 C.若 x是() f x的极小值点,则() f x在区间 (,) x -∞单调递减 D.若 x是() f x的极值点,则 ()0 f x'= (2012·10)已知函数 x x x f - + = )1 ln( 1 ) (,则) (x f y=的图像大致为() A. B. C. D. (2011·2)下列函数中,既是偶函数又在+∞ (0,)单调递增的函数是() A.3 y x =B.||1 y x =+C.21 y x =-+D.|| 2x y- = (2011·12)函数 1 1 y x = - 的图像与函数2sin,(24) y x x π =-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于() 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 2013年全国高考理科数学试题分类汇编1:集合 一、选择题 1 .(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集 {}1,2,3,4U =,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则 ()=U A B ( ) A.{}134, , B.{}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 .(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=,则 A.()01, B.(]02, C.()1,2 D.(]12, 【答案】D 3 .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( ) A.* ,A N B N == B.{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C.{|01},A x x B R =<<= D.,A Z B Q == 【答案】D 5 .(2013 年高考上海卷(理))设常数a R ∈,集合 {|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 .(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合 A ={0,1,2},则集合 B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)9 【答案】C 2015年10月18日杰的高中数学组卷 一.解答题(共10小题) 1.(2012?宣威市校级模拟)设点C为曲线(x>0)上任一点,以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A,与y轴交于点E、B. (1)证明多边形EACB的面积是定值,并求这个定值; (2)设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M,N,若|EM|=|EN|,求圆C的方程. 2.(2010?模拟)已知直线l:y=k(x+2)与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,O是坐标原点,三角形ABO的面积为S. (Ⅰ)试将S表示成的函数S(k),并求出它的定义域; (Ⅱ)求S的最大值,并求取得最大值时k的值. 3.(2013?越秀区校级模拟)已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1;③圆心到直线l:x﹣2y=0的距离为.求该圆的方程. 4.(2013?柯城区校级三模)已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,且过点(2,1).(Ⅰ)求抛物线的标准方程; (Ⅱ)是否存在直线l:y=kx+t,与圆x2+(y+1)2=1相切且与抛物线交于不同的两点M,N,当∠MON为钝角时,有S△MON=48成立?若存在,求出直线的方程,若不存在,说明理由. 5.(2009?)(1)已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A′(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标. (2)已知直线l:3x+4y﹣12=0与圆C:(θ为参数)试判断他们的公共点个数; (3)解不等式|2x﹣1|<|x|+1. 6.(2009?东城区一模)如图,已知定圆C:x2+(y﹣3)2=4,定直线m:x+3y+6=0,过A (﹣1,0)的一条动直线l与直线相交于N,与圆C相交于P,Q两点,M是PQ中点.(Ⅰ)当l与m垂直时,求证:l过圆心C; (Ⅱ)当时,求直线l的方程; (Ⅲ)设t=,试问t是否为定值,若为定值,请求出t的值;若不为定值,请说明理由. 三角函数 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式; 理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、 三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等. 预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式. 2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧: (1)方程思想:sin cos αα+, sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; 第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线 2 23y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( B ) A.3 B.2 C.1 D.2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1221S =,则25811a a a a +++= .7 3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A .1 2 2n +- B.3n C. 2n D.31n - 【解析】因数列{}n a 为等比,则12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列, 则 2212112221 2 (1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即 2 n a =,所以 2n S n =,故选择答案C 。 4.设集合{1 23456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的 {} i i i S a b =,, {} j j j S a b =,(i j ≠,{1 23}i j k ∈、,,,,),都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????≠???? ??????,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大值 是( B ) A .10 B .11 C .12 D .13 5. 已知正项数列{an},其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an . 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn -1=an -12+5an -1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an -12)+6(an -an -1),即(an+an -1)(an -an -1-5)=0 ∵an+an -1>0 , ∴an -an -1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n -3. 6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9,无穷等比数列{}2 n a 各项的和为 81 5. 应用题 1.(四川理9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和 7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A 地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z= A .4650元 B .4700元 C .4900元 D .5000元 【答案】C 【解析】由题意设派甲,乙,x y 辆,则利润450350z x y =+,得约束条件 08071210672219 x y x y x y x y ≤≤??≤≤?? +≤??+≥?+≤??画 出可行域在12219x y x y +≤??+≤?的点7 5x y =??=?代入目标函数4900z = 2.(湖北理10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少, 这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位:太贝克) 与时间t (单位:年)满足函数关系:30 0()2 t M t M - =,其中M 0为t=0时铯137的含量。已知t=30时,铯137含量的变化率是-10In2(太贝克/年),则M (60)= A .5太贝克 B .75In2太贝克 C .150In2太贝克 D .150太贝克 【答案】D 3.(北京理)。根据统计,一名工作组装第x 件某产品所用的时间(单位:分钟)为 ??? ??? ? ≥<=A x A c A x x c x f ,,,)((A ,C 为常数)。已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A 件产品用时15分钟,那么C 和A 的值分别是 A .75,25 B .75,16 C .60,25 D .60,16 【答案】D 4.(陕西理)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10米。开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 (米)。 【答案】2000 5.(湖北理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等 差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 升。 【答案】67 66 6.(湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下,大 桥上的车流速度v (单位:千米/小时)是车流密度x (单位:辆/千米)的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20 辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明;当20200x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数. 一、数列的概念选择题 1.已知数列{}n a 中,11a =,122 n n n a a a +=+,则5a 等于( ) A . 25 B . 13 C . 23 D . 12 2.已知数列{}n a 满足11a = ),2n N n *= ∈≥,且()2cos 3 n n n a b n N π *=∈,则数列{}n b 的前18项和为( ) A .120 B .174 C .204- D . 373 2 3.数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+,4a =( ) A .2 B .6- C .2- D .1 4.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足* 112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,则( ) A .63243a a a ≤- B .2736+a a a a ≤+ C .7662)4(a a a a ≥-- D .2367a a a a +≥+ 5.已知数列{}n a 的前n 项和为( )* 22n n S n =+∈N ,则3 a =( ) A .10 B .8 C .6 D .4 6.在数列{}n a 中,11a =,对于任意自然数n ,都有12n n n a a n +=+?,则15a =( ) A .151422?+ B .141322?+ C .151423?+ D .151323?+ 7.数列{}n a 中,11a =,12n n a a n +=+,则n a =( ) A .2n n 1-+ B .21n + C .2(1)1n -+ D .2n 8.删去正整数1,2,3,4,5,…中的所有完全平方数与立方数(如4,8),得到一个新数列,则这个数列的第2020项是( ) A .2072 B .2073 C .2074 D .2075 9.已知数列{}n a 满足12a =,11 1n n a a +=-,则2018a =( ). A .2 B . 12 C .1- D .12 - 10.数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为( ) A .21n a n =- B .()1(21)n n a n =-- C .() 1 1(21)n n a n +=-- D .() 1 1(21)n n a n +=-+ 第2讲函数的应用 考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型,主要以填空题的形式出现.(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体,主要考查函数的最值问题. 1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点 对于函数f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点. (2)函数的零点与方程根的关系 函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. (3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y =f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.注意以下两点: ①满足条件的零点可能不唯一; ②不满足条件时,也可能有零点. (4)二分法求函数零点的近似值,二分法求方程的近似解. 2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模型,并要注意定义域.其解题步骤是(1)阅读理解,审清题意:分析出已知什么,求什么,从中提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法得出函数模型的数学结果;(4)实际问题作答:将数学问题的结果转化成实际问题作出解答. 热点一函数的零点 例1(1)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)内的零点个数是________. (2)(2014·辽宁改编)已知f (x )为偶函数,当x ≥0时,f (x )=??? cos πx ,x ∈[0,1 2 ], 2x -1,x ∈(1 2 ,+∞),则不等式 f (x -1)≤1 2 的解集为________. 思维升华 (1)根据二分法原理,逐个判断;(2)画出函数图象,利用数形结合思想解决. 答案 (1)1 (2)[14,23]∪[43,7 4 ] 解析 (1)先判断函数的单调性,再确定零点. 因为f ′(x )=2x ln 2+3x 2>0, 所以函数f (x )=2x +x 3-2在(0,1)上递增, 且f (0)=1+0-2=-1<0,f (1)=2+1-2=1>0, 所以有1个零点. (2)先画出y 轴右边的图象,如图所示. ∵f (x )是偶函数,∴图象关于y 轴对称,∴可画出y 轴左边的图象,再画直线y =1 2.设与曲线交 于点A ,B ,C ,D ,先分别求出A ,B 两点的横坐标. 令cos πx =12,∵x ∈[0,1 2], ∴πx =π3,∴x =1 3 . 令2x -1=12,∴x =34,∴x A =13,x B =34 . 根据对称性可知直线y =12与曲线另外两个交点的横坐标为x C =-34,x D =-1 3. ∵f (x -1)≤12,则在直线y =1 2上及其下方的图象满足, ∴13≤x -1≤34或-34≤x -1≤-1 3, ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23 . 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题,常见的有①函数零点值大致存在区间的确定;②零点个数的确定;③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法,尤其是方程两端对应的函数类型不同 第一部分 一 13(文) 一、选择题 1.(2015·东北三校二模)设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是( ) A .若l ⊥m ,m ?α,则l ⊥α B .若l ⊥α,l ∥m ,则m ⊥α C .若l ∥α,m ?α,则l ∥m D .若l ∥α,m ∥α,则l ∥m [答案] B [解析] 当l 、m 是平面α内的两条互相垂直的直线时,满足A 的条件,故A 错误;对于C ,过l 作平面与平面α相交于直线l 1,则l ∥l 1,在α内作直线m 与l 1相交,满足C 的条件,但l 与m 不平行,故C 错误;对于D ,设平面α∥β,在β内取两条相交的直线l 、m ,满足D 的条件,故D 错误;对于B ,由线面垂直的性质定理知B 正确. 2.已知α、β、γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ?β⊥γ”是真命题,如果把α、β、γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 [答案] C [解析] 若α、β换成直线a 、b ,则命题化为“a ∥b ,且a ⊥γ?b ⊥γ”,此命题为真命题;若α、γ换为直线a 、b ,则命题化为“a ∥β,且a ⊥b ?b ⊥β”,此命题为假命题;若β、γ换为直线a 、b ,则命题化为“a ∥α,且b ⊥α?a ⊥b ”,此命题为真命题,故选C. 3.(2015·重庆文,5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.1 3+2π B.13π 6 C.7π3 D.5π2 [答案] B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个圆柱和一个半圆锥组成,圆柱的底面半径为1, 高考数学试题分类汇编算法初步 1.(天津理3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出i的值为 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 2.(全国新课标理3)执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是 (A)120 (B) 720 (C) 1440 (D) 5040 【答案】B 3.(辽宁理6)执行右面的程序框图,如果输入的n是4,则输出的P 是 (A)8 (B)5 (C)3 (D)2 【答案】C 4. (北京理4)执行如图所示的程序框图,输出的s 值为 A .-3 B .-12 C .13 D .2 【答案】D 5.(陕西理8)右图中, 1x ,2x ,3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8.5时,3x 等于 A .11 B .10 C .8 D .7 【答案】C 6.(浙江理12)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5 Read a,b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.(江苏4)根据如图所示的伪代码,当输入a,b分别为2,3时,最后输出的m的值是 【答案】3 8.(福建理11)运行如图所示的程序,输出的结果是_______。 【答案】3 9.(安徽理11)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 . 【答案】15 10.(湖南理13)若执行如图3所示的框图,输入1 1 x= ,23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3 11.(江西理13)下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.(山东理13)执行右图所示的程序框图,输入l=2,m=3,n=5,则输出的y的值是【答案】68 数学《复数》知识点练习 一、选择题 1.设复数21i x i =-(i 是虚数单位),则11223320202020 2020202020202020C x C x C x C x +++???+=( ) A .1i + B .i - C .i D .0 【答案】D 【解析】 【分析】 先化简1x +,再根据所求式子为2020(1)1x +-,从而求得结果. 【详解】 解:复数2(1i x i i = -是虚数单位), 而11223320202020 20202020 202020202020(1)1C x C x C x C x x +++?+=+-, 而2 121(1)111(1)(1) i i i i x i i i i i -++++= ===--+-, 故11223320202020202020202020 202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++?+=+-=-=-=, 故选:D . 【点睛】 本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用,属于中档题. 2.若1z i =+,则31 i zz =+( ) A .i - B .i C .1- D .1 【答案】B 【解析】 因为1z i =+,所以1z i =- ,()()3112, 1 i zz i i i zz =+-==+,故选B. 3.已知复数(2)z i i =-,其中i 是虚数单位,则z 的模z = ( ) A B C .3 D .5 【答案】B 【解析】 (2)2z i i i i =-=-==B . 4.若z C ∈且342z i ++≤,则1z i --的最大和最小值分别为,M m ,则M m -的值等于( )2019高考数学常见难题大盘点:数列
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