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中考总复习教案 第一章 数与式

《数与式》是初中数学的基础知识，是中考命题的重要内容之一，年年考查，北京近三年来在新课标中考试题中“数与式”部分的权重：35%左右，分量之中，不容忽视！

一、本章知识要点与课时安排（大致安排五课时左右） （一） 实数（一课时）

（二） 整式与因式分解（一至两课时） （三） 分式与二次根式（两课时）

（四） 数式规律的探索（可以揉到前面几讲中去讲，也可以单设一课时）

说明：您可以根据自己学生的学习程度，合理安排复习内容。

二、课时教案

第一课时 实数

教学目的

1．理解有理数的意义，了解无理数等概念．

2．能用数轴上的点表示有理数，掌握相反数的性质，会求实数的绝对值． 3．会用科学记数法表示数．

4．会比较实数的大小，会利用绝对值知识解决简单化简问题． 5．掌握有理数的运算法则，并能灵活的运用． 教学重点与难点

重点：数轴、绝对值等概念及其运用，有理数的运算．

难点：利用绝对值知识解决简单化简问题，实数的大小比较． 教学方法：用例习题串知识（复习时要注意知识综合性的复习）． 教学过程

（一）知识梳理

1．??

??

????

?

??比较大小念

平方根、算术平方根概绝对值相反数数轴实数的分类

实数 2．????????????????科学记数法

运算律乘方、开方乘、除法加、减法法则实数的运算

（二）例习题讲解与练习

例1 在3.14，1-5，0，

2π，cos30°，7

22

，38-，0.2020020002…（数字2后面“0”的个数逐次多一个）这八个数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ （考查的知识点：有理数、实数等概念． 考查层次：易）

（最基本的知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） 【归纳】：（1）整数与分数统称为有理数（强调数字0的特点）；

无限不循环小数是无理数．注意：常见的无理数有三类①π，… ②3，5，… ， （38-

不是无理数） ③0.1010010001…（数字1后面“0”的个数逐次多一个）．

（2）一个无理数加、减、乘、除一个有理数（0除外）仍是无理数（2

π

是无理数）． 注：此题可以以其它形式出现，如练习题中2或12题等

例2 （1）已知a -2与2a+1互为相反数，求a 的值；

（2）若x 、y 是实数，且满足(x -2)2+3y x +-=0，求(x+y)2的值．

（考查的知识点：相反数的性质、二次根式的性质、非负数等概念． 考查层次：易）

（这是基础知识，由学生解答，老师总结） 【总结】：（1）对于一个具体的数，要会求它的相反数（倒数、绝对值、平方根与算术平方根），对于一个代数式，也要会求它的相反数．解答是要注意从概念中蕴涵的数学关系入手：a 、b 互为相反数?a+b=0；a 、b 互为倒数?a ·b=1．

（2）非负数概念：

例3 （1）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为-3，则A 与B 两点间的距离可表示为________________．

（2）实数a 、b 在数轴上分别对应的点的位置如图所示，请比较a ，-b ，a-b ，a+b 的大小（用“<”号连接）___________________．

（3）①化简=-π5_________；②347-=__________；

③估计

215-与0.5的大小关系是2

1

5- 0.5（填“ > ”、“=”、“<”） ． （答案：（1）3x +；（2）a+b）

（考查的知识点：数轴、绝对值、比较大小等概念，无理数的估算、有理数的运算法则等． 考

查层次：中）

（这是一组较为基础的题，（1）与（2）题注意数形结合，（3）题注意讲解无理数与有理数大小比较的方法，由学生探讨，老师适当的点拨、总结、归纳，）

【归纳】：（1）问题（1）若数轴上的点A 表示的数为x 1，点B 表示的数为x 2，则A 与B 两点间的距离可表示为AB=12x x -，要会由数轴上两点间的距离，上升到坐标平面内两点间的距离（例如练习第10题）——数形结合．

（2）问题（2）应先由数轴判断字母所表示的数的符号及绝对值的大小关系，再紧扣实数运算法则进行解答．

（3）绝对值的意义：

（4）估算一个无理数的方法：平方法、被开方数法．

（5）比较大小的方法：数轴图示法、作差法、平方法，其中第（2）小题还可以采用赋值法． 练习一：（供选用）

1．2

1

的相反数是_____；-3的倒数是_____；-5的绝对值是_____； 9的算术平方根是____；-8的立方根是____．

2．有四张不透明的卡片如图，它们除正面的数不同外，其余都相

同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．

2题图

3．下列各式中正确的是（ ）

A ．2)2(2-=-

B ．2121-=-

C ．()()22--=-+

D ．??

? ??-+=??? ??+-2121 4．（1）写出一个小于2-的数： ；（2）绝对值小于5的所有整数的和是_____． 5．下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（ ）。

城市

北京 武汉 哈尔滨 沈阳 平均气温(单位：℃)

－4.6

3.8

－19.4

－12.1

A ．北京

B ．武汉

C ．哈尔滨

D ．沈阳 6．比较大小（用“＞”、“＝”或“＜”号填空）：（1）-97 -5

4；（2）7 25． 7．数64的值在（ ）

A ．8和9之间

B ．9和10之间

C ．10和11之间

D ．11和12之间 8．实数a b ，在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ A ．a b > B ．a b >- C ．-a > b D ．a b -<- 9．如图，梯形ABCD 的面积是_________．

10．若2

3(1)0m n -++=，则m n +的值为

．

11．已知|x|＝3，|y|＝2，且xy ＜0，则x ＋y 的值等于（ ） A ．1或－1 B ．5或－5 C ．5或1 D ．－5或－1

12．在等式3× -2× =15的两个方格内分别填入一个数，使这两个数互为相反数且使等式仍然成立，则第一个方格内的数为_____．

13

判断方程ax 2+bx+c =0 (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）

A ．3＜x ＜3.23

B ．3.23＜x ＜3.24

C ．3.24＜x ＜3.25

D ．3.25 ＜x ＜3.26

14．如图，有四张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这四张卡片背面向上

洗匀，从中随机抽取一张，记录数字后放回，重新洗匀后再从

中随机抽取一张，记录数字．试用列表或画树状图的方法，求出的两张卡片上的数字都是正数的概率．

（答案：1．略 2．

2

1

3．D 4．(1)略 （2）0 5．C 6．（1）> （2）< 7．B 8．C 9．9 10．2 11．A 12．3 13．C 14．

4

1） 例4 （1）用科学记数法表示2009000=_________，将其数字精确到万位的近似数为_________； （2）用科学记数法表示0.000396 =________，将其数字保留两位有效数字的近似数为_________． （考查的知识点：近似数和有效数字概念，用科学记数法表示数． 考查层次：易）

（帮着学生回忆科学记数法等概念，这是基础知识，由学生口答，师生共同归纳、小结） x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax 2+bx+c －0.06 －0.02 0.03 0.09 a

b

8题图

背面

正面

530-39题图

【归纳】：（1）科学记数法：

（2）保留有效数字时取近似数的方法：

例5 计算下列各题：

（1）685.3685.1431616148?+?-???

?

?+---； （答案：-13） （2）)3(3

1

)3(3322-?÷-++-； （答案：-87）

（3）345tan 1231211

0-?-??

?

? ??+??? ??--． （答案：352+）

（考查的知识点：实数的运算法则、运算律等． 考查层次：易）

（这是基础题，让学生独立完成——要保证计算的准确率，由学生归纳、小结） 【说明】：（1）巧用运算律：第一小题前面可用分配律，后面可逆用分配律； （2）第二小题注意运算顺序及-32和(-3)2的区别； （3）第一小题注意0指数与负指数的特性；

（4）注意每一步运算时，应先确定符号，后计算绝对值； （5）强调书写的运算步骤．

※ 例6 （找数字规律的题）

根据图中数字的规律，在最后一个图形中填空．

【答案】

【说明】：探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察，通过对数字之间关系的分析，探索数字的规律．

练习二：（供选用） 1．一天早晨的气温是7-℃，中午的气温比早晨上升了11℃，中午的气温是（ ）

A ．11℃

B ．4℃

C ．18℃

D ．11-℃ 2．下列四个运算中，结果最小的是（ ）

A ．1+ (-2)

B ．1- (-2)

C ．1×(-2)

D ．1 ÷(-2) 3．下列等式正确的是（ ）

A ．3(1)1--=

B ．()2

222-=- C ．236(2)(2)2-?-= D ．0(4)1-=

4．下列运算的结果中，是正数的是（ ）

A ．()1

2007-- B ．()

2007

1- C ．()()12007-?- D ．()20072007-÷

5．（1）我国淡水面积大约为66 000千米2

，用科学记数法表示数字66 000= ．

（2）蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，蜂房的巢壁厚约0.000073米，用科学记数法表示数字

0.000073=___________． （3）某市在今年2月份突遇大风雪灾害性天气，造成直接经济损失5000万元.数字5000用科学1 2

3

3 4 15

5 6 35

8

记数法表示为（ ） A ．5000 B ．5?102 C ．5?103 D ．5?104 6．通过四舍五入得到的近似值3.56万精确到（ ） A ．百分位 B ．百位 C ．千位 D ．万位

7．我国宇航员杨利伟乘“神州五号”绕地球飞行了14周，飞行轨道近似看作圆，其半径约为6.71×103千米，总航程约为 (π取3.14，保留3个有效数字) ( )

A ．5.90 ×105千米

B ．5.90 ×106千米

C ．5.89 ×105千米

D ．5.89×106千米 8．根据如图所示的程序计算，若输入x 的值为 1，则输出y 的值为 ． 9．计算机兴趣小组设计了一个计算程序，部分数据如下表：

输入数据 (1)

2

3

4

… 输出数据

…

31

92 273 81

4 …

当输入数据为6时，输出数据是 ． 10．计算：(1)()

1

212008312-??

?

??+---+； (2)()

1

4145cos 2018-??

?

??+?---π；

（3）2

24

)4(16

3343263221-?-????????-??? ?

?

-

?÷--； （答案：1．B 2．C 3．D 4．C 5．（1）6.6?104 （2）7.3?10-5 （3）C 6．B 7．A 8．4 9．729

6

10．（1）133+；（2）322+；（3）-6； ）

自我检测题：（供选用） 1．在实数sin30?，2,0,

,4,0.10100100013

3

π

--L （每两个1之间依次多1个0）这六个数中，

无理数是____________________________________． 2．16的平方根是（ ）

A ．4

B ．±4

C ．-4

D ．±8 3．实数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1 的大小关系正确的是（ ）

A ．-a < a <1

B ． a < -a <1

C ． 1< -a < a

D ． a < 1 < -a 4．下列各等式正确的是（ ）

A ．33=--

B ．()2

233-=- C ．39±= D ．3273-=-

5．如图，数轴上点A 表示的数可能是（ ）

A ．22

B ．5

C ．10

D ．15 6．如图，点A B ，在数轴上对应的实数分别为m n ，，

则A B ，两点间的距离是 ．（用含m n ，的式子表示） 7．（1）用科学记数法表示0.0032为（ ） 输入x 输出y

平方 乘以2 减去4

若结果大于0

否则

A

B m

n

x

6题图

5题图

3题图

A ．32102.?-

B ．32103.?-

C ．32104?-

D ．032102.?-

（2）下列用科学记数法表示2009 (保留两个有效数字)，正确的是（ ）

A ．2.0×103

B ．2.01×103

C ．2.0×104

D ．0.20×104 8．2ab -与1b +互为相反数，则()2

b a +的值是________．

9

2倍）：

则第6行中的最后一个数为（ ） A ．31 B ．49 C ．63 D ．127

10．计算：（1）?--+?

?

?

??-----60cos 2)3(21301

π；

（2）??? ?

?

-?--???? ??-81923)23(878．

（答案：1．

3

π

、-0.1010010001… 2．B 3．D 4．D 5．C 6．n -m 或：|m -n| 7．（1）B （2）A 8．9 10．（1）-5；（2）414 ）

第二课时 整式与因式分解

教学目的

1．能用幂的性质解决简单问题，会进行简单的整式乘法与加法的混合运算． 2．能用平方差公式、完全平方公式进行简单计算．

3．了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系，会用提公因式法和公式法进行因式分解． 4．能选用恰当的方法进行相应的代数式的变形，并通过代数式的适当变形求代数式的值． 5．会列代数式表示简单的数量关系；能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值，并能根据代数式的值或特征推断代数式反映的规律． 教学重点与难点

重点：整式运算（幂的性质和乘法公式）、因式分解． 难点：列代数式及代数式的变形．

教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结． 教学过程

（一）知识梳理

1．????????

?????

??无理式分式多项式单项式

整式有理式代数式 2．????

??

??????

????????乘法公式幂的运算乘除去括号、合并同类项—加减运算多项式单项式概念整式

3．整式乘法????→←互为逆运算

因式分解?

?

?公式法提公因式法 （二）例习题讲解与练习

例1 （1）在下列所给的运算中，正确的都是（写序号）______________________________．

① a 3+a 3= a 6 ② a+2a=3a ③ a 4?a 3 = a 7 ④a ?a 3= a 3 ⑤a 3÷a 3= a 3 ⑥ (a 3)2= a 6 ⑦ (2a)3=2a 3 ⑧ (-ab 3)2 = a 3b 6

（2）计算：① 3a (2a 2-4a+3 ) - (6a 2 +4a )÷2a ； （6a 3-12a 2+6a-2） ② (x -2)2 -[3 (2x+1) (2x -1) - (x+2) (x -1)] ； （-10x 2-3x+5）

③已知a 与b-1互为相反数，求多项式4 -[ 5 (a -2b) -3 (a+b) +15b ]的值．

（提示：先化简多项式，再由已知得a+b=1后整体代入，计算结果值为2）

（考查的知识点：整式运算——合并同类项、幂的性质和乘法公式等． 考查层次：易） （这是一组基础题，目的是帮着学生回忆合并同类项法则、幂的性质和乘法公式，可由学生独立完成，学生归纳、小结）

【说明】：（1）合并同类项、幂的性质和乘法公式是考点，要求学生熟练掌握；

（2）整数指数幂的运算性质是整式运算的基础，容易混淆，特别注意几个易混的知识点；

（3）其中（2）题中的③依据条件a 与b 的值是不可求的，所以应利用整体代入法求值，迅速简便．

练习一：（供选用）

1．观察下列单项式：x ，-2x 2，4x 3，-8x 4，16x 5，…，按此规律写出第8个单项式是_________． 2．如图是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“？”所表示的单项式与正对面正方形上的单项式是同类项，则“？”代表的单项式可能是（ ） A ．a B ．c C ．d D ．e 3．若单项式2

2m

x y 与3

13

n x y -

是同类项，则m n +的值是 ． 4．下列运算正确的是（ ）

A ．2

2

6

()x x x -?= B ．32()x x x -÷= C ．23

6

(2)8x x = D ．222

4(2)2x x x -=

5．若0a >且2x a =，3y a =，则x y a -的值为（ ）

A ．

23

B ．

32

C ．1

D ．1-

6．下列运算中正确的是（ ）

A ．1055x 2x x =+

B ．(12 x – 3y) (– 12 x +3y ) = 1

4 x 2 – 9y 2

C ．(– 2x 2y) 3·4x – 3 = – 24x 3y 3

D ．- (-x )3 · (-x )5 = -x 8

7．化简a (a -2b) -

(a -b)2 =_______________．

8．现规定一种运算：a ★b=ab+a -b ，其中a 、b 为实数，则a ★b+(b -a)★b 等于（ ） A ．a 2-b B ．b 2-b C ．b 2 D ．b 2-a

9．在五环图案内，分别填写五个数a b c d e ，，，，，如图， ，其中a b c ，，是三个

连续偶数()a b d e <，，是两个连续奇数()d e <，且满足a b c d e ++=+，例

2题图

a b c

d e

如 ．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入下图： ．

10．在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．(a+b)2 = a 2+2ab+b 2 B ．(a -b)2 = a 2-2ab+b 2 C ．a 2-b 2 = (a+b) (a -b)2 D ．(a+2b) (a -b) = a 2+ab -2b 2

11．已知240x -=，求代数式2

2

(1)()7x x x x x x +-+--的值． 12．先化简，再求值：

221[(2)(2)2(2)](),10,.25

xy xy x y xy x y +---÷==-

其中 （答案：1．-128x 8 2．D 3．5 4．C 5．A 6．D 7．-b 2 8．B

9．

10．C 11．-3 12．

5

2 )

例2 分解因式：

（1）x 3 -9x ； （2）a 2b 2 +10ab 3 -25b 4 ； （3）(x -y) 2 -x+y ； （4）x 4 -81． （考查的知识点：因式分解． 考查层次：易）

（这是一组基础题，要让学生必须掌握分解因式的方法，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、小结）

【说明】：（1）因式分解的步骤（先要提取公因式，然后考虑用公式）；

（2）应该注意的几个问题：①如果多项式首项系数为负，一般要提出负号，使括号内的第一项系数为正；②要分解到每一个因式都再也不能分解为止； ③如果有多项式乘方时，应注意规律：(b -a)2k = (a -b)2k ；(b -a)2 k+1 = (a -b)2 k+1．（k 为整数）

练习二：（供选用）

1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）

A ．ay ax )y x (a +=+

B ．4)4x (x 4x 4x 2+-=+-

C ．)1x 2(x 5x 5x 102-=-

D ．x 3)4x )(4x (x 316x 2+-+=+-

2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）

A ．x 3－x ＝x (x 2－1)

B ．x 2－2xy ＋y 2 ＝(x －y)2

C ．x 2y －xy 2 ＝xy (x －y)

D ．x 2－y 2 ＝ (x －y) (x ＋y) 3．分解因式：（1）–3a 2 +12b 2=________________；（2）2(1-x)2 +(x -1)=___________________；

（3）ax 2-4ax+4a= ； （4）232

2a b b ab +-= ；

（5）(x 2 +2x+1)

-y 2 =__________________； （6）(x –y )2 - (x + y) (x - y)=__________________； （7）(x+2) (x -2) + x 2 –4 =______________________ ． 4．(3a -y)(3a+y)是下列哪个多项式因式分解的结果（ ） a a

图2

图1

A ．3a 2-y 2

B ．9a 2-y 2

C ．9a 2+y 2

D ．-9a 2+y 2

5．若多项式a 2 + (k -1) ab + 25b 2 能运用完全平方公式进行因式分解，则k=_______．

6. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x 4 - y 4，因式分解的结果是(x -y)(x+y)(x 2+y 2)，若取x =9，y =9时，则各个因式的值是：(x －y )=0，(x +y )=18，(x 2+y 2)=162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x 3-xy 2，取x =10，y =10时，用上述方法产生的密码是： (写出一个即可)． 7．给出三个多项式：

222111

1,31,,222

x x x x x x +-++- 请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解．

（答案：1．C 2．A 3．略 4．B 5．11或-9 6． 101030，或103010，或301010 7．略）

例3 甲、乙两地相距1500 千米，现有一列火车从乙地出发，以100千米/时的速度向甲地行驶，若设火车行驶的时间为t （时）．

（1）请写出火车与甲地的距离的关系式（用t 的式子表示）； （答案：1500-100t ） （2）设火车与甲地的距离为y （千米），写出y 与x 之间的关系式．（答案：y=1500-100t ）

例4 已知：如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在BC 、DC 上，且AE=AF . （1）若EC=1，求△AEF 的面积（即阴影部分的面积）.

（2）若E 、F 分别是BC 、DC 上的动点，且AE=AF ，设EC=x ， ①写出△AEF 的面积的代数式（用x 的式子表示）

②设△AEF 的面积y ，写出y 与x 之间的函数关系式（※和自变量x 的取值范围）； ※（3）当x 为何值时，△AEF 的面积最大，其最大面积是多少？ 略解：（1）3.5；

（2）①与②： ()22211

424422

1

4.

2

ABE ADF CEF

ABCD y S S S S x x x x ???=---=-?

??--=-+正方形

（自变量x 的取值范围是0＜x ≤4．）

（3）当x=4时，△AEF 的面积最大，最大面积是 8．

※ 例5 用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图所示的规律，拼成若干个图案： （1）第4个图案中有白色地面砖 块； （2）第n 个图案中有白色地面砖 块．

（答案：（1）18 ； （2）4n +2 ． ）

（例3、例4与例5考查的知识点：列代数式． 考查层次：由易→中）

（这种题型一般趋于中档题，要让学生掌握列代数式的方法与技巧，特别是与列函数关系式相结合的题型，教师可适当搭台阶让学生思考完成，教师要注意引导学生归纳方法） 【说明】：（1）列代数式是列方程解应用问题与列函数关系式的基础，也是教学和学生学习的一个难点，需要由浅入深的一个过程，要会列代数式解决简单的实际问题；

（2）例1是一个代数问题，例2 是一个几何问题，其中第（2）问都与列函数关系式挂钩，其目的是让学生知道列函数关系式并不可怕，它的前提就是列代数式、列方程；

（3）每道例题都设计了好几问，告诉学生这就是列函数关系式的思考方法或技巧．

（4）探究数式、图表规律是近几年中考的热门题型，解题时应注意观察图形，通过对数字及图形关系的分析，探索数字与图形的规律，并能用代数式反映这些规律，思考时，应注意运用从特殊到一般的数学思想．

例6（1）已知x+y=5，xy=4，求x 2+y 2的值；

（2）已知x 2 +x -1=0，求x 3 +2x 2 -7的值； （答案：-6） （3）求证：不论m 为何值，关于x 的一元二次方程5x 2 - (m+7)x + m +1= 0都有两个不相等的实数根．

（考查的知识点：代数式的变形． 考查层次：中）

（这是一组中档题中的基础题，要让学生掌握用因式分解、乘法公式、配方等知识将代数式进行适当的变形的方法，可由学生思考、教师点拨下完成，教师引导学生归纳、小结）

【说明】：（1）第（1）小题是完全平方公式的变形：x 2+y 2=(x+y)2 -2xy ，（另：x 2+y 2=(x -y)2 +2xy ；(x 1-x 2)2= (x 1+x 2)2 -4x 1x 2 ）；

（2）第（2）小题由于求得的m 的值是无理数，所以不宜采用求出m 值之后直接代入的求法，可采用整体代入的求法，以避免繁琐的数字计算，要求学生在做题时注意观察，学会把代数式的某一部分作为一个整体代入求值的方法，使计算过程简便；

（3）第（3）小题用配方法将一元二次方程根的判别式变形为一个恒为正的代数式，这是解决这类问题的常用方法．

练习三：（供选用）

1．如图，阴影部分的面积是（ ）

A ．13

2xy B ．112

xy C ．6xy D ．3xy 2．2008年6月1日北京奥运圣火在宜昌传递，圣火传递路线分为两段，其中在市区的传递路程为700（a －1）米，三峡坝区的传递路程为（881a ＋2309）米．设圣火在宜昌的传递总路程为s 米． （1）用含a 的代数式表示s=_________________； （2）当a=11时，s 的值是 _____________．

3．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费a 元，之后的每一分钟收费b 元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（ ）

A ．

b a -8分钟 B ．b a +8分钟 C ．b b a +-8分钟 D ．b

b

a --8分钟 4．已知a+b=m ，ab= -4，化简 (a -2) (

b -2 ) 的结果是（ ）

A ．-2m

B ． 2m

C ．-2m -8

D ． 2m -8 5．（1）如果代数式4x 2 -2y 2+5的值是7，那么2x 2 -y 2+1的值是___________．

（2）代数式2

346x x -+的值为9，则24

63

x x -

+的值是__________． 6．观察下表，填表后再解答问题： （1）完成下列表格：

E

A F

（2）请写出第n 个图形中的“ ”和“★”的个数： 有_______个；★有_______个． 7．观察下列等式：

16115-=，25421-=，36927-=，491633-=，……

用自然数n （其中n ≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律是 ．

8．试说明x 、y 不论取何值，多项式x 2 +y 2 -2x -2y +3的值总是正数． 9．已知A= a+2，B= a 2 -a+5，请比较A 与B 的大小． 10．如图，在矩形ABCD 中，AD=8cm ，AB=6cm ，点A 处有一动

点E 以1cm /s 的速度由A 向B 运动，同时点C 处也有一动点F 以2cm /s 的速度由C 向D 运动，设运动的时间为x (s)，四边形EBFD 的面积为y (cm 2

)，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．

（答案：1． B 2．（1）1581a+1609；（2）19000 3．C 4．A 5．（1）2；（2）7 6．（1）16，9；（2）8n ，n 2 7．(n+3 )2 –n 2 = 6n+9 8．用配方法 9．B>A 10．y = -12x+48，自变量x 的取值范围是0≤x ＜3． ）

自我检测题：（供选用）

1．下列计算正确的是（ ）

A ．325a b ab +=

B ．32

5

()a a = C ．3

2

()()a a a -÷-=-

D ．325

3(2)6x x x -=-

2．若a+b= 4，则a 2+2ab+b 2的值是（ ）

A ．16

B ．8

C ．4

D ．2 3．化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋2

4．已知抛物线2

1y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式m 2-m+2009的值为（ ）

A ．2010

B ．2009

C ．2008

D ．2007

5．分解因式（1）34x x -=________________；2

21218x x -+= ．

6．观察下列图形的构成规律，根据此规律，第8个图形中有 个圆，第n 个图形中有 个圆．

第1个 ……

第2个 第3个 第4个

7．先化简，再求值：2

(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13

x =- 8．阅读材料：

如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c =0（a ≠0）的两根，那么有1212,b c

x x x x a a

+=-=.

这是一元二次方程根与系数的一种特殊关系，我们利用这种关系可以不解方程直接求某些代数式的值，例x 1，x 2是方程x 2+6x -3=0的两根，求x 12+x 22的值．其解法可以这样： ∵ x 1+x 2=-6，x 1x 2= -3，

∴ x 12+x 22=(x 1+x 2)2 -2 x 1x 2=(-6)2-2×(-3)=42． 请你根据以上介绍的解法，不解方程来解答下题：

已知x 1，x 2是方程2420x x -+=的两根，求：（1）12

11

x x +的值；（2）(x 1-x 2)2的值．

（答案：1．D 2．A 3．C 4．A 5．（1）x (x+2) (x -2) ；（2）2 (x -3)2 6．65，n 2+1 7．-8 8．（1）2；（2）8 ）

第三课时 分式与二次根式

教学目的

1．了解分式的概念，能确定分式有意义的条件及使分式的值为零的条件．

2．理解分式的基本性质，能用分式的基本性质进行约分和通分；会进行简单的分式加、减、乘、除运算；会选用恰当方法解决与分式有关的问题．

3．了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件．

4．会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）． 教学重点与难点

重点：分式与二次根式的概念及性质，分式与二次根式的运算． 难点：分式与二次根式的运算．

教学方法：讲练结合、适时点拨，注意归纳和总结． 教学过程

（一）知识梳理

1．?????运算性质概念分式 2．??

?

??运算性质概念二次根式

（二）例习题讲解与练习

例1 （1）当x_________时，分式

1

x 52

x +- 有意义； （答案：51x -≠）

（2）如果分式2

x 4

x 2--的值为零，那么x 的值是 ； （答案：x = -2）

（3）下列各式从左到右的变形正确的是（ ） （答案：A ）

A ．122122

x y x y x y x y -

-=++ B ．0.220.22a b a b a b a b ++=++ C ．11x x x y x y +--=-- D ．

a b a b

a b a b

+-=

-+ （考查的知识点：分式的概念及分式的基本性质． 考查层次：易）

（这是一组基础题，要让学生了解分式的概念，能确定分式有意义的条件及使分式的值为零的条件，掌握分式的基本性质，这组题可由学生自己独立完成，教师与学生一起归纳、小结） 【说明】：

（1）分式有意义的条件：

（2）使分式的值为零的条件：分子为零但分母不为零（若分子不为零，则分式的值恒不为零）； （3）分式的基本性质：

（4）第三小题要灵活运用分式的基本性质及及变号法则．

练习一：（供选用） 1．（1）当x_________时，分式2x x

+ 有意义；（2）当x = 时，分式21

x -无意义． 2．在函数y=

4

x 21

-中，自变量x 的取值范围是 ． 3．（1）如果分式

211m m -+的值为0，那么m =______；（2）如果分式1

2

2

--x x 的值为零，那么x ＝ ． 4．把分式

y

x x

3+中的x ，y 都扩大两倍，那么分式的值（ ） A ．扩大两倍 B ．缩小两倍 C ．扩大四倍 D ．不变

5．下列各式与y

x y

x +-相等的是（ ）

A ．5)y x (5

)y x (+++- B ．222y x )y x (-- C ．y x 2y x 2+- D ．2

222y x y x +-

6．下列运算中，错误．．的是（

）

A ．

(0)a ac c b bc =≠ B ．1a b a b --=-+ C ．0.55100.20.323a b a b

a b a b

++=

-- D ．x y y x x y y x --=++ 7．计算2

2

()ab ab

的结果为（ ） A ．a B ．b

C ．1

D ．

1b

8．下列分式的运算中，其中结果正确的是（ ）

A ．b a b a +=+211

B ．3

23)(a a a = C ．319632-=+--a a a a D ．b a b a b a +=++22

9．化简：（1）1

1-?

-m n

mn m = ； （2）22444a a a -++ ． （答案：1．（1）x ≠-2 ；（2）x=1 2．x ≠2 3．（1）1；（2）2 4．D 5．B 6．D 7．A

8．C 9．（1）

m 1

；（2）2

a 2a +- ）

例2 计算（1）

a

a a a -++-11142

； （答案：1a 1

a +--）

（2）

35222x x x x -??÷+- ?--??

； （答案：3x 1

+） （3）先化简，再求值：x

4x 16

x )4x 4x 1x x 2x 2x (2

222+-÷+----+，其中22+=x . （答案：原式=

2

)2x (1-，当x=2+2时，原式=21

）

（4）x+

x 1

=3，求44x

1x +的值． （答案：47） （考查的知识点：分式的计算． 考查层次：易）

（这是一组基础的计算题，要让学生掌握分式计算的方法，可由学生自己完成，教师引导学生归纳、总结）

【说明】：（1）分式的乘除法运算步骤：①把除法统一成乘法；②把分子、分母中能因式分解的

多项式分解因式；③最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式．

（2）异分母的分式加减法的一般步骤：①通分，将异分母的分式化成同分母的分式；②写成“分母不变，分子相加减”的形式；③分子去括号，合并同类项；④分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式．（对某些特殊的运算也可以采取一些特殊的方法）

（3）异分母的分式加减法的运算，应先把分母进行因式分解，从而确定出最简公分母，以便进行通分．

（4）分式混合运算要注意运算顺序，在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再将除化为乘，进行约分化简，最后进行加减运算．遇有有括号，先做括号里面的．（对某些特殊的运算也可以采取一些特殊的方法）

（5）求代数式的值是常见的问题，一般都先将所求的代数式进行化简，然后利用已知条件求值．在使用条件时有三种方式：①将已知条件直接代入，如（3）小题；②将已知条件变形后代入，如练习中的7、8小题；③将已知条件整体代入，如（4）小题；

练习二：（供选用）

1．计算2322()a b a b a b

-÷?的结果是( )

A ．36a b

B ．78a b

C ．36a b -

D ． 7

8a b

-

2．化简x

y y x y x 22

---的结果是（ ） A ．y x -- B ．x y - C ．y x - D ．y x +

3．计算：（1）4133

m m m -+

++= ； （2）a b b b a a 2

2-+-= ； （3）22()2a a b

b b a -÷=_________；（4）111

x x -=+__________；

（5）b a b -2十a 十b =___________．

4．（1）当x ＝-3时，代数式2x 2

＋3

x 2的值是______；（2）当a =99时，分式2

11

a a --的值是

___ ．

5．计算：（1）

22

1111121x x x x x +-÷+--+； （2）2

244)

2)(1(22-÷??????--+--+a a a a a a a a a ； （3）6x 3x

32x 2x 5--÷??

? ??---． 6．先化简，再求值：（1）22212221

x x x x x x --+

--+÷x ，其中x =2

3． （2）(1x x 2-－x 1x 2-)÷1

x x

-，其中x ＝3＋1.

7．若219x x ??+= ???，则2

1x x ?

?- ??

?的值为 ．

8．已知

4b 1a 1=+，求

ab

7b 2a 2b

ab 3a -++-=________________． 9．一组按规律排列的式子：2b a -，25a

b ，83b a -，11

4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，

第n 个式子是 （n 为正整数）．

（答案：1．D 2．A 3．（1）1；（2）a+b ；（3）22b a 2；（4）x

x 12+；（5）b a a 2- 4．（1）1831

；

（2）100 5．（1）

()2

1x 2

+；（2）1；（3）3+9 6．（1）原式=

1

x x

2-，原式值＝-4；（2）原式=x+2，原式值=3+3 7．5 8．1 9．207b a -，31

(1)n n n

b a --（或n n a b )(13--）． ）

例3 （1）已知

2

3

+x 是二次根式，则x 应满足的条件是 ．（答案：x ≠-2） （2）在下列所给的根式中，是最简二次根式的是（ ） （答案：A ）

A ．1x 2-

B ．8

C ．

2

1

D ．3a 5 （3）下列计算错误的是 ( ) （答案：D ）

A =

B =

C =

D ．3=

（4）计算：① -； （答案：2436-）

②()()341848

23-+． （答案：-30 ）

（考查的知识点：二次根式的概念及二次根式的混合运算． 考查层次：易）

（这是一组基础题，要让学生了解二次根式的概念，并会进行二次根式的混合运算，可由学生独立完成，教师引导学生归纳、总结） 【说明】：

（1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数； （2）要注意最简二次根式的两个条件，而当被开方数是多项式时，要考虑其是否是完全平方式；

（3）在进行二次根式加减运算时，一般先化成最简二次根式，再合并同类二次根式．在进行二次根式乘除运算时，一般先进行乘除运算，再化成最简二次根式．无论进行何种运算，最后结果一定要化成最简二次根式；

（4）在二次根式运算中，要注意根据题目的特点，灵活运用二次根式的性质．能够运用乘法公式使运算简捷一些的，要用公式，如（4）题中的②小题．（实数中的运算性质、法则、公式，在二次根式的运算中均可使用）

练习三：（供选用） 1．（1）当x 时，二次根式x 3-在实数范围内有意义； （2）若代数式1x 2+有意义，则实数x 的取值范围是 ． 2．函数y =

3

x 3x +-的自变量的取值范围是（ ）

A ． x ≠－3

B ．x ＞－3

C ．x ＞－3且x ≠3

D ．x ≥－3且x ≠3 3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）

A ．x 9

B ．3x 2-

C ．x

y

x - D ．b a 32 4．下列计算正确的是（ ）

A ．4)2()3

1(01=+-- B ．552332=+

C ．532322222=+=+

D ．228=÷

5．计算：（1）； （2= ；（3）2·18＝ ；

（41

-＝ ； （5）(= ________．

6．已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________． 7．若b a y b a x +=-=

,，则xy 的值为 ( )

A ．a 2

B ．b 2

C ．b a -

D ．b a +

8．估算728-的值在（ ）

A ．2和3之间

B ．3和4之间

C ．5和6之间

D ．7和8之间 9．计算下列各题：

（1

）1

1(1)52-??

π-+-+- ???

（2

2(2；

（3）243223251453-?÷

； （4）8

13222124-+-． 10．如图，C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，连接AC 、EC ．已知AB=5，

DE=1，BD=8，设CD=x ．

（1）用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；

（2）请问点C 满足什么条件时，AC ＋CE 的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 9x 4)x 12(22+++-的最小值．

（答案：1．（1）x ≤3；（2）x ≥

2

1

2．B 3．B 4．D 5．略 6．9+33 7．C 8．A 9．略 10．（1）1x 25)x 8(22+++-，即1x 89x 16x 22+++-；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC+CE 的值最小；

（3）提示：如图，作BD=12，过点B 作AB ⊥BD ，过点D 作ED ⊥BD ，使AB=2，ED=3，连结AE 交BD 于点C ．AE

的长即为代数式9x 4)x 12(22+++-的最小值．

过点A 作AF ∥BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ， 则AB=DF=2，AF=BD=12．所以AE=22)23(12++=13． 即9x 4)x 12(22+++-的最小值为13． ）

自我检测题：（供选用） 1=_________．

2．如果分式

1m 2

m 2+-的值为0，那么m =_____． 3．函数1

x 1

x 2y -+=的自变量x 的取值范围是( )

A ．21

x -≥ B ．1x ≠ C ．1x 2

1x ＞≠-且 D ．1x 21x ≠-≥且

4n 为（ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

5．化简：（1）

x y x y y x +=-- ； （2）()a b a b

b a a

+-÷＝____________；

（3）2)12(-=___________ ；（4）2)= ． 6．计算下列各题： （1）)4831

3

75(12-+； （2）24142

x x ---； （3）

22

11xy x y x y x y ??÷- ?--+??

． 7．先化简，再求值：??? ??+---÷--11211222x x x x x x ，其中2

1

=x .

8．我们把分子为1的分数叫做理想分数，如

21，31，4

1

，… ，任何一个理想分数都可以写成两个不同理想分数的和，如613121+=； 1214131+=； 20

1

5141+=； … ；

根据对上述式子的观察，请你思考：如果理想分数n 1

（n 是不小于2的正整数）=11a b

+，

那么a+b= ．（用含n 的式子表示）

（答案：1．4 2．1 3．D 4．D 5．（1）1 ；（2）b

b

a - ；（3）223-；（3）1 6．（1）12 ；（2）原式12x =-+；（3）2x

7．原式＝11-x ，当2

1=x 时，原式＝－2 8．n 2-1 ）

第四课时 数式规律的探索（略——前面已渗透）