2011-2012第一学期《数学建模》试题卷及答案

2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷

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一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)

1．模型

模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。

2．数学模型

当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。

3．抽象模型

二、简答题（每小题满分8分，共24分）

1．模型的分类

按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤

1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各种必要的信息。

2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。

3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。

4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。

5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结果是否稳定。

6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实际；

7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。

3．数学模型的作用

数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用定量的方法，分析和理解实际问题，正因为如此数学模型在科学发展，科学预见，科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。

三、解答题（满分20分）

F 题(9n+5, 9n+1)

某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B 城公司则有12％支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形?

解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有：

Ak+1=0.9Ak+0.12Bk

Bk+1=0.1AK+0.88Bk

k=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280

给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元）

可以看出A城公司支付基金数在逐步增加，但增加布幅变小；B城公司支付基金数恰好相反。然而Ak是否有上界、Bk是否有下界？Bk是否会小于200？

利用线性代数的知识将差分方程组写成矩阵的形式

Ak+1 0.9 0.12 Ak

Bk+1 = 0.1 0.88 Bk

其中 A0 260

B0 = 280 是初始值，利用矩阵对角化方法可以求解。

.

四、综合题（21分）

M. 飞机降落曲线(7n+3, 7n+5, 7n+6)

在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）. 根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式. 飞行的高度为h ，飞机着陆点O 为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u . 出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过

10

g ，此处g

是重力加速度. 1.若飞机从距降落点水平距离s 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2. 求开始下降点s 所能允许的最小值.

答：

1. 论文题目；飞机着陆问题

2. 论文摘要（不得超过300字）：

飞机着陆问题是研究飞机在降落时的关键问题，这关系着飞机

上乘客的安全问题，故而为减少飞机降落期间的问题，从而提出此论文。

3. 关键词（不得少于三个）：

飞机着陆问题，垂直速度，水平速度，飞行距离

4. 论文正文： 问题提出；

如今飞机已经成了人们日常旅行的交通工具之一，所以需要解决飞机的安全着陆，那么怎样才能安全呢？

问题分析

可以用不同的函数来模拟飞机的降落曲线。由于有4个隐藏的假定条件，因此我采用三次抛物线（方程假设如下）来模拟飞机的降落曲线

模型假设

f （0）=0，f ＇（0）=0； f （l ）=h ，f ＇（l ）=0；

图1

在竖直方向的加速度的绝对值不能超过一个常数K=g/10（K 远小于重力加速度）。

模型设计：

设飞机开始降落时，距离落点的水平距离为l （km ），机高为h(m)（机

场的地面高度取作0）。飞机

在整个降落过程中，飞机的水平速度保持不变；

模型的解法与结果

假设飞机降落曲线的三次抛物线方程为：

根据上述所得到的已知条件求出方程中的四个待定系数a ，b ，c ，d ，即在Mathmatica 运行环境下输入如下公式：

输入：f = a*x^3 + b*x^2 + c*x + d

D[f, x]

输出：即为f(x)

即为f ’(x)

输入：

运行后得到如下解：

把上述解代入f （x ），则运算后即可得到f （x ）的表达式如下：

f （x ）=-x

l h

3

23

+2

2

3x

l

h

代入具体数据进行验证并画出飞机的降落曲线

假定h=1100m ，l= 15km ，在Mathmatica 运行环境下输入：

运行后即可得到f （x ）的图形如下：

讨论飞机降落时的铅直加速度 先讨论飞机铅直加速度应满足的条件：

由题意可知水平方向的速度u 为一个常数，则令u=dx/dt （常数），这时由复合函数求导法，可求出飞机在点（x ，y ）处的铅直速度为：

)('*x u f d t

d x d x d y d x

d y ==

我们以][x v y 表示点（x ，y ）处的铅直速度，即在Mathmatica 运行环境下输入：

],[][x f D u x v y *=

输出： )66(

][3

2

2

l

hx l

hx u x v y +

=

再次利用复合函数求导法，可求得飞机在点（x ，y ）处的铅直加速度如下：

()()*'22

x uf dx

d

dt dy dt d dt

y d =

??? ??=

()()''x uf u dt dx = 在上述运行环境下，输入如下公式用来表示点（x ，y ）处的铅直加速度：

]),66(

[*][3

2

2

x l

hx l

hx u D u x a y +

=

输出： )126(

][3

2

2l

hx l

h u x a y +

=

模型的优缺点及改进的方向:

飞机降落问题的主要在于分析其水平速度和垂直速度，在考虑风速的情况下最好的计算出其降落的条件，距离。

5. 参考文献

数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003

五、复述题（21分）

R. 椅子放稳模型(3n+2）

模型假设：对椅子和地面应该做一些必要的假设：

1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方

形。

2.地面的高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样

的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。

3.对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位

置至少有三只脚同时着地。

假设1显然是合理的。假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅脚长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即连续变化的），致使三只脚无法同时着地。

模型构成:中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点、正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置，在图1-1中椅脚连线为正方型ABCD，对角线AC与X轴重合，椅子绕中心点O旋转角度θ后，方形ABCD转至A’B’C’D’的位置，所以对对角线AC 与x轴的夹角θ表示椅子的位置。

其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零是就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数。

虽然椅子有四个脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离就行了。记A、C两脚与地面距离之和为f（θ），B、D两脚与地面之和为g（θ），f（θ），g（θ）>=0.由假设2，f和g都是连续函数，由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ，f（θ）和g（θ）中至少有一个为零.当θ=0时不妨设g（θ）=0、f(θ)>0.这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：

已知f（θ）和g（θ）是θ的连续函数，对于任意θ，f（θ）*g（θ）=0，且g （0）=0，f（0）>0.则存在θ0，使f（θ0）=g（θ0）=0.

可以看到，引入了变量θ和函数f（θ）、g（θ），就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。

模型求解：上述命题有多种证明方法，这里介绍其中的一中

将椅子旋转90°（π/2），对角线AC与BD互换，由g（0）=0和f（0）>0可知g（π/2）>0和f（π/2）=0.

令h（θ）=f（θ）-g（θ）.则h（θ）>0和h（π/2）<0.由f和g的连续性知h也是连续函数.根据连续函数的基本性质，必存在θ0（0<θ0<π/2）使h（θ0）=0，即

f（θ0）=g（θ0）=0.

由于这个实际问题非常的简单和直观，模型的解释和验证就略去了。

J-S试题分以下几部分完成

1. 论文题目；

2. 论文摘要（不得超过300字）

3. 关键词（不得少于三个）

4. 论文正文：问题提出（按你的理解对所给题目做更清晰的表述）；问题分析（根具问题的性质，你打算建立什么样的数学模型）；模型假设（有些假设须作必要的解释）；模型设计（对出现的数学符号必须有明确的定义）；模型的解法与结果；模型结果的分析和检验，包括误差分析、稳定性分析等；模型的优缺点及改进的方向；必要的计算机程序。

5. 参考文献

说明

1. 文件名：学号(8位)+姓名+班级.

2. 2012年12月19日下午4:30之前以班为单位将电子文档、打印文档统一交到新校区A318.

3. 纸质文档从左边装订.

4. 将你不做的题目全部删去.

5. 电子文档用Word2003排版.