3. 经典逻辑推理

第3章经典逻辑推理

根据经典逻辑（命题逻辑和一阶谓词逻辑）规则进行的精确推理，或确定性推理。

3.1推理的基本概念

?从一个或几个已知的判断(前提)逻辑地推论出一个新的判断(结论)的思维形式称为推理, 这是事物的客观联系在意识中的反映。

?人解决问题就是利用以往的知识,通过推理得出结论。

?自动推理的理论和技术是程序推导、程序正确性证明、专家系统、智能机器人等研究领域的重要基础。

?实现推理的程序称为推理机。

3.1.1推理方式及其分类

1.演绎推理、归纳推理、默认推理

2.确定性推理、不确定性推理

3.单调推理、非单调推理

4.启发式推理、非启发式推理

5.基于知识的推理、直觉推理

1.演绎推理、归纳推理、默认推理演绎推理(deductive reasoning) ：

从一般到个别。

例：1）足球运动员的身体都是强壮的。

2）李波是一名足球运动员。

3）所以，李波的身体是强壮的。

————三段论式

归纳推理(inductive reasoning)

从个别到一般

例：白菜能够进行光合作用，

大豆能够进行光合作用，

水稻能够进行光合作用，

棉花能够进行光合作用，

柳树能够进行光合咋用，

……

白菜、大豆、水稻、棉花、柳树……都是绿色植物。

所以，所有绿色植物都能进行光合作用。

归纳推理和演绎推理的区别

第一，一个正确的演绎推理是不可能前提真而结论假的，但归纳推理却有可能前提真而结论假。

第二，演绎推理的结论不超出前提，而归纳推理的结论超出了前提。

第三，一个归纳推理增加或减少一些前提，会增加或减少其结论为真的概率，而在演绎推理中不会出现这种情况。

归纳推理的强度

对于归纳推理，人们关注的是推理的强度。

说一个归纳推理是强的，意思是说，如果这个推理的前提是真的活，那么它的结论很可能也是真的。

归纳强度是一种前提对结论支持程度的量度。

另外，推理的结论很可能为真并不能保证这个归纳推理是强的。例1：甲系的排球队在过去几年是全校冠军队。

在今年的校内各类排球比赛中，甲系排球队从未输过一场。

明天甲系排球队与乙系排球队比赛。

因此，明天甲系排球队将打败乙系排球队。（这个推理是一个相当强的推理，若补充以下两个前提：）

甲系排球队所有主力队员明天因故不能参加比赛。

甲系排球队明天参赛的替补队员最近一周没有训练。

（这样，原有的结论为真的概率大大地降低了。）

例2：某高校绝大部分的学生都能跳过2米的高度，

小刘的爷爷是某高校的学生，

所以，小刘的爷爷也能跳过2米的高度。

（因为其前提对结论有强的支持，如果前提是真的话，那么其结论非常可能为真。）

例3：小学生李明在动物园里观察了10只隅蹄动物，他发现这些动物都是食草动物，

因此他得出结论：所有偶蹄动物都是食草动物。

（尽管前提和结论都可能是真的，但这些前提并没有为结论提供多大的支持，因此这个归纳推理是弱的。）?完全归纳推理（Complete induction)

完全归纳推理是通过对一类事物中的每一对象进行研究，从而概括出关于这类对象的一般性结论的推理形式。

?不完全归纳推理(Incomplete induction)通过考察一类事物的部分对象，从而得出关于这类对象的一般性结论。的推理形式，这就是。

例

结论：该厂生产的产品是合格的。

若是普检，则为完全归纳推理，属于必然性推理。

若是抽检，则为不完全归纳推理，属于非必然性推理。

默认推理

是在知识不完全的情况下假设某些条件已经具备所进行的缺省推理。

例：在条件A已成立的情况下，若没有足够的证据证明条件B不成立，则就默认B是成立的，并在此默认的前提下进行推理，推导出某个结论。

2.确定性推理、不确定性推理?按推理时所用的知识是否精确，推出的结论是否完全肯定来分类。

?经典逻辑推理属于确定性推理。

?不确定性推理分似然推理（概率论）和近似推理（模糊逻辑）

3.单调推理、非单调推理

?按推出的结论是否单调地增加，或者说推出的结论是否越来越接近最终目标分类。

?基于经典逻辑的演绎推理属于单调性推理。?默认推理是非单调推理。

4.启发式推理、非启发式推理

?按推理中是否运用与问题有关的启发性知识分类。

5.基于知识的推理、直觉推理从方法论的角度分类。

?我们所讨论的推理都属于基于知识的推理。

?直觉推理又称为常识性推理。

3.1.2 推理的控制策略

即求解问题的策略。

1.推理方向

?用于确定推理的驱动方式，分为正向推理、逆向推理、混合推理及双向推理四种。

系统：知识库+数据库+推理机

（1）正向推理Forward Reasoning

又称为前向链推理、数据驱动的推理、模式制导推理及前件推理等。

?定义：从已知的数据/条件/中间结论出发推导出新的结论。

1. A ?G1

2. A′?G1

3. B ?G2

4. B′?G2

5. G1 & G2 ?G

（2）反向推理Backward Reasoning

又叫逆向链推理、目标驱动的推理、目标制导推理及后件推理等。

?定义：从结论（目标）出发推导结论（目标）的前提条件。

1. G1 & G2 ?G

2. A ?G1

3. A′?G1

4. B ?G2

5. B′?G2

（3）混合推理

既有正向又有逆向（不同时）的推理。

用于：1）已知的事实不充分。

2）由正向推理推出的结论可信度不高。

3）希望得到更多的结论。

（4）双向推理

正向推理与逆向推理同时进行。

2. 求解策略

只求一个解，还是求所有解以及最优解。

3. 限制策略

对推理的深度、宽度、时间、空间等进行限制。

4. 冲突消解策略

推理过程中若有多个知识匹配成功，即发生了冲突，如何从中挑选一个知识用于当前的推理。

?基本思想是对知识进行排序。

1）按针对性排序。

2）按匹配度排序。

3）根据领域问题的特点排序。

3.1.3 模式匹配及其变量代换

?

模式匹配是指两个知识模式（如两个谓词公式、两个框架片段或两个语义网络片段等）的比较，检查这两个知识模式是否完全一致或近似一致。

?

按匹配时两个知识模式的相似程度划分，模式匹配可分为确定性匹配与不确定性匹配。

?

确定性匹配是指两个知识模式完全一致，或者经过变量代换后变得完全一致。?

不确定性匹配是指两个知识模式不完全一致，但从总体上看，它们的相似程度又落在规定的限度内。

?

无论是确定性匹配还是不确定性匹配，在进行匹配时一般都需要进行变量的代换。

置换substitution

?

用置换项代换变量即变量代换，使某些变元被另外的变元、常量或函数取代，使之不再在公式中出现。

?

代换是形如{t 1/x 1,t 2/x 2,…,t n /x n }的有限集合。其中t 1 ,t 2…,t n 是项；

x 1 ,x 2…,x n 是互不相同的变元；t i /x i 表示用t i 代换x i ，不允许t i 与x i 相同，也不允许变元循环地出现在另一个t j 中。

例：

{g(y)/x,f(x)/y}

-------不是一个代换。

?代换是可结合的，但一般不可交换。

?

若用s1o s2表示两个代换s1和s2的合成，L 表示一表达式，则

（L s1)s2=L (s1o s2) (s1o s2) o s3=s1o (s2o s3)s1o s2≠s2o s1

例如：

表达式对下列置换

将有结果：]),(,[B y f x p {}

y w x z s ,1

={}

y A s =2

{}

y A x z g s ,)(3

=]

),(,[]),(,[1

B w f z p s B y f x p =]

),(,[]),(,[2

B A f x p s B y f x p =]

),(),([]),(,[3

B A f z g p s B y f x p =合一unification

?

寻找项对变量的置换，以使两表达式一致，叫做合一。

?

设有公式集F={F 1 ,F 2…,F n }，如果存在一个置换s ，使得F 1s =F 2s = …=F n s

则称s为F的合一（者），且称F是可合一的。?

一个公式集的合一通常是不唯一的，而最简单的合一是唯一的。

差异集

设有如下两个谓词公式：

F

1

：P（x，y，z）

F

2

：P（x，f（a），h（b））逐个向右比较，构成差异集

D

1

={y，f（a）}

D 2={z，h（b）}

求最一般合一

1）令k=0，F k=F，σk= ε

F是欲求其最一般合一的公式集，ε是空代换，它表示不

做代换。

2）若F k只含一个表达式，则算法停止，σk就是最一般合一。

3）找出F k的差异集D k

4）若D k中存在元素x k和t k，其中x k是变元，t k是项，且x k

不在t k中出现，则置：σk+1= σk o{t k/ x k}

F k+1= F k{t k/ x k}

k=k+1

然后转2）

5）算法终止，F的最一般合一不存在。

例:求最一般合一

F={P(a,x,f(g(y))),P(z,f(z),f(u))}

1)令F

0=F，σ

= ε，因F

中含有两个表达式，所

以σ

不是最一般合一。

2）差异集D

={a，z}

3）σ

1= σ

o{a/z}= {a/z}，

F

1

={P(a,x,f(g(y))),P(a,f(a),f(u))}

4）D

1={x，f（a）}

5）σ

2

=σ

1

o{f（a）/x}= {a/z，f（a）/x}，

F

2

= F

1

{f（a）/x}

=P(a, f(a) ,f(g(y))),P(a,f(a),f(u))}

6）D

2

={g(y) ，u}

7）σ

3

=σ

2

o{g（y）/u}

={a/z，f（a）/x，g（y）/u}，

F

3

= F

2

{g（y）/u}={P(a, f(a) ,f(g(y)))}

因F

3

只含一个表达式，因此σ

3

就是最一般合一。

3.2 自然演绎推理

?从一组已知为真的事实出发，直接运用经典逻辑的推理规则推出结论的过程。

常用：

P规则——在推理的任何步骤上都可引入前提。

T规则——在推理时，如果前面步骤中有一个或多个公式永真蕴涵公式S，则可把S引入推理过程中。

假言推理P, P→Q?Q

拒取式推理P→Q, ┐Q ?┐P 例

已知如下事实：

1）如果是容易的课程小王就喜欢。2）C班的课程都是容易的。

3）Ds是C班的一门课程。

求证：小王喜欢Ds这门课程。

简单置换即可自然演绎推理

3.3 归结演绎推理

自动定理证明即证明P ?Q的永真性。

归结原理使用反证法来证明语句。即归结是从结论的非，导出已知语句的矛盾。 反证法，只要证明P∧┐Q 是不可满足的。

3.3.1谓词公式化为子句集的方法?在谓词逻辑中，把原子谓词公式及其否定统称为文字。

?任何文字的析取式称为子句。

?不包含任何文字的子句称为空子句。——永假

在谓词逻辑中，任何一个谓词公式都可通过应用等价关系及推理规则化成合取范式，再化成相应的子句集。——消解

步骤1：消去蕴涵→

连词化归律：

P→Q?┐P∨Q

例：?x((?yP(x,y))→┐?y(Q(x,y)→R(x,y)))

经等价变换后变成

?x((┐?yP(x,y)) ∨┐?y(┐Q(x,y) ∨R(x,y)))步骤2：将“┐”移到紧靠谓词的位置双重否定律：

┐┐P ?P

狄.摩根律：

┐（P ∨Q）?┐P ∧┐Q

┐（P ∧Q）?┐P ∨┐Q 量词转换律：

┐?xP??x(┐P)

┐?xP??x(┐P)

上例：?x(?y┐P(x,y)∨?y(Q(x,y)∧┐R(x,y)))

步骤3：变量标准化

?重新命名变元名，使不同量词约束的变元有不同的名字。

上例：?x(?y┐P(x,y)∨?z(Q(x,z)∧┐R(x,z)))步骤4：消去存在量词

?若存在量词不在全称量词的辖域内，则存在固化：?xP(x) ?P(c)

?若存在量词在一个或多个全称量词的辖域内，则用skolem函数f(x

1

,x

2

…,x

n

)替换约束变元。

上例：?x(┐P(x,f(x))∨(Q(x,g(x))∧┐R(x,g(x))))

步骤5：化为前束式

?把把所有的量词移到公式的左部。现在已不留下任何存在量词，而且每个全称量词都有自己的变量。把所有的全称量词移到公式的左部，并使每个量词的辖域包含这个量词后面公式的整个部分。

?x (P∧Q) ??x P ∧?x Q 量词辖域的扩展和收缩

a.?XA(X)∨P ??X(A(X)∨P)

b.?XA(X)∧P ??X(A(X)∧P)

c.?XA(X)∨P ??X(A(X)∨P)

d.?XA(X)∧P ??X(A(X)∧P)这里P是不含自由变元X的谓词公式。

步骤6：化为标准形(前束范式)

利用分配律:

P ∨（Q ∧R）?（P∨Q）∧（P ∨R）

P ∧（Q ∨R）?（P ∧Q ）∨（P ∧R）

?将母式写成由一些谓词公式和（或）谓词公式的否定的析取的有限集组成的合取，即合取范式。

（?x1）（?x2）…（?x n）M

M 是子句的合取式（母式）

前束范式形象描述为：

3

2

1

3

2

1

无量词公式

全称量词串

母式

（前缀）

前束范式}

{

=

上例：

?x(（┐P(x,f(x))∨Q(x,g(x))）∧(┐P(x,f(x))∨┐R(x,g(x))))

步骤7：消去全称量词

到此，所有余下的量词均被全称量词化

了。且全称量词的次序也不重要了。因

此，可以消去前缀中全部全称量词。

上例：

(┐P(x,f(x))∨Q(x,g(x))）∧(┐P(x,f(x))∨┐R(x,g(x)))

步骤8：消去合取符号∧∧

在合取范式中，每一个合取元，取出成

为一个独立句子。用子句集来代替原来

子句的合取（∧）。每个子句实际上

是文字的析取。即用子句集{A，B}代替

（A ∧B）

上例：

{┐P(x,f(x))∨Q(x,g(x))，(┐P(x,f(x))∨┐R(x,g(x))}

步骤9：更换变元名

使一个变量符号不出现在一个以上

的子句中。

上例：

{┐P(x,f(x))∨Q(x,g(x))，(┐P(y,f(y))∨┐R(y,g(y))}

练习：

(){(){()[()((,))]~()[(,)()]}} x P x y P y P f x y y Q x y P y

?→?→∧?→

定理

设有谓词公式F，其标准形的子句集为S，则F不可满足的充要条件是S不可满足。

3.3.3 归结原理

?基本思想：检查子句集S中是否包含空子句，若包含，则S不可满足；若不包含，就在子句集中选择合适的子句进行归结，一旦通过归结能推出空子句，就说明子句集S是不可满足的。

反证法

空子句（矛盾）

→

∧)

~

(p

p

定义

?若P是原子谓词公式，则称P与┐P为互

补文字。

?归结过程：

对两个称为亲本子句的子句进行归

结。以产生一个新子句。归结时，消去

母子句中的互补文字，并将二个子句中

余下的部分析取，构成归结式。

?归结式是其亲本子句的逻辑结论。

例

假言三段论推理 假言推理

合取范式

)

(~

)

(~

))

(

)

((R

Q

Q

P

R

Q

Q

P∨

∧

∨

?

→

∧

→

}

{~

}

~

{~）

（即

，

子句集归结R

P

R

P

R

Q

Q

P→

∨

?

?→

?

∨

∨

→

)

(~

)

(Q

P

P

Q

P

P∨

∧

?

→

∧

}

{

}

~

{Q

Q

P

P归结

，

子句集→

∨

→

1.命题逻辑中的归结原理

对公理集F，对命题S的归结：

1、把F的所有命题转换成子句型。

2、把否定S的结果转换成子句型。

3、重复下述归结过程，直到找出一个矛盾或不能再归结：

（1）挑选两个亲本子句进行归结。

（2）若归结式为空子句，则F ∧┐S不可满足。

（3）否则将原归结式加入到该过程中的现有子句集。

举例：

从公理集：证明结果。

（1）把公理集转换成子句型

①②这个合取式分为两个子句：这样子句集为：

（2）证明命题的非为t q t s r q p p ,)(,)(,→∨→∧r r q p r q p r q p ∨∨?∨∧?→∧~~~

)(）（q t s q t s q t s ∨∧?∨∨?→∨)~(~)(~)()

(~)(~q t q s ∨∧∨?q t q s ∨∨~~，t q t q s r q p p ,~,~,~~,∨∨∨∨r

~（3）归结过程

?

最后得到空语句，是矛盾的，故可得出结论：从公理集中可以推出。

r

q p ∨∨~~r

~q p ~~∨p q

~q

t ∨~t

~t

r 2 .谓词逻辑中的归结原理

谓词逻辑归结思想和命题逻辑归结一样，只是在寻找互补文字时，要进行合一算法，进行变量置换。

例

1、任何能阅读的人都是识字的。

设：能阅读的人R(x)，识字的人L(x)，有：2、海豚不能识字设：海豚为D(x)，

有：3、某些海豚是有智力的设：智力为I(x)有：4、证明命题：某些有智力者不能阅读

)]()([x L x R x →?)](~)([x L x D x →?)]

()([x I x D x ∧?)]

(~)([x R x I x ∧?对各谓词公式化成子句型

1、

（1）化去“→”：（2）去掉“”：2、同样可得到子句型：

换元:3、得到子句型：)]()([x L x R x →?)]()([~x L x R x ∨?)()(~x L x R ∨x ?)](~)([x L x D x →?)(~)(~x L x D ∨)(~)(~y L y D ∨)]()([x I x D x ∧?)

()(A I A D 、4、目标子句取非为：

变为：变为：即：去掉，有子句：

换元：加入子句集，子句集有：)](~)([~x R x I x ∧?)](~)([~x R x I x ∧?)](~~)([~x R x I x ∨?)]

()([~x R x I x ∨?x ?)()(~x R x I ∨)()(~z R z I ∨)()(~x L x R ∨)

(~)(~y L y D ∨)

()(A I A D 、)

()(~z R z I ∨

归结：

证明目标正确！

)

()(~z R z I ∨)

()(~x L x R ∨)()(~z L z I ∨x

z )

(~)(~y L y D ∨)(~)(z D z I ∨y

z )

(A D )(~A I z

A )

(A I 3.3.4 归结反演

?

应用归结原理证明结论为真的过程称为归

结反演。

?

将目标的否定加入公式集，归结的结果是空子句，引出矛盾证明此目标是正确的。

3.3.5 基于归结反演的问题求解

现在要求一个问题的解答时，仍可用归结方法来实现。

求取答案的归结过程

（1）把目标公式的否定和目标公式一起构成一个析取式加入到原始子句集中去。

（2）执行和以前相同的归结，直到在根部得到某个字句为止。

（3）用最后的字句作为该问题的回答。以上过程中，由于把目标公式加入原始子句集中，故，归结的最后不会是空子句，而是进行了变量替换的该目标公式。

例

王和李总在一起，现王在学校，问李在何处？用谓词公式表达为：

?x(AT (Wang,x)→AT (li,x))和问AT (li,x)

把它们化成子句集为：

问题的否定为：）（school wang AT ,),(,~x li AT x wang AT ∨）（）

（school wang AT ,)

,(~y li AT 归结过程

问题的答案是Li 也在学校，即：在上面归结过程中，增加了目标子句)

,(,~y li AT y li AT ∨）（)

,(,~x li AT x wang AT ∨）（y

x )

,(,~x li AT x wang AT ∨）（）

（school wang AT ,x

school ）

（school li AT ,）（school li AT ,）

（x li AT ,

3.3.6 归结反演策略

?

删除策略：纯文字删除法、重言式删除法、包孕删除法

?限制策略：支持集策略、线性输入策略、单文字子句策略、祖先过滤形策略

谓词演算小结

知识

自然语言表示成

谓词

命题

公式

公式逻辑利用前束范式合取范式

成形

子句集化成步骤

个9算法

合一

变量替换

谓词中：

找相同子句归结

消去子句

正负最小单元策略

支持集策略证明结论

加入子句集中

把结论的否定求取答案否定都加入子句集把结论和结论的

（结论正确））矛盾（NIL （结论不正确）

不矛盾

（完成了变量的替换）

就是答案

最后的结论子句谓词演算应用

1、定理证明：

证明：目标L 的正确。L

S ~目标的否定公式集子句集归结原理

用应搜索策略

用

利空子句

生产

2、求取答案：

特点：目标取非，进行归结

L

L S

~和它的否定目标公式集子句集

归结原理

用

应

搜索策略

用

利

根部子句：即答案语句

3.4 与/或形演绎推理

?

不需要把有关知识化为子句集，而是把领域知识和已知事实分别用蕴涵式和与/或形表示，然后运用蕴涵式进行演绎推理，从而证明某个目标公式。

?

与/或形演绎推理分为正向演绎与逆向演绎两种基本推理方式。