北京市海淀区2021届高三第一学期期中练习数学试卷【含答案】

北京市海淀区2021届高三第一学期期中练习数学试卷

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ）

A. {0，2}

B. {0，2，4}

C. {}

3x x ≤

D.

{}03x x ≤≤

【答案】A 【解析】 【分析】

利用交集的定义运算求解即可．

【详解】集合{|30}{|3

}A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2

故选：A

2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1

C. -4

D. -1

【答案】C 【解析】 【分析】

利用向量平行的坐标运算公式即可得到答案. 【详解】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C

3. 命题“0x ?>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ?>，使得21x < B. 0x ?≤，使得21x ≥ C. 0x ?>，都有21x <

D. 0x ?≤，都有21x <

【解析】 【分析】

利用含有一个量词的命题的否定定义得出选项．

【详解】命题“0x ?>，使得21x ≥”的否定为“0x ?>，都有21x <” 故选：C

4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ） A.

11a b < B.

b a a b

> C.

2

a b

ab +> D.

2b a

a b

+> 【答案】D 【解析】 【分析】 由0a b <<，可得

11

a b >，A 错；利用作差法判断B 错；由02

a b +<0ab >，可得C 错；利用基本不等式可得D 正确． 【详解】

0a b <<，11

a b

∴>，故A 错；

0a b <<，2

2

a b ∴>，即2

2

0,0b a ab -<>，可得22

0b a b a a b ab --=

<，b a a b

∴<，故B 错；

0a b <<，02

a b +∴

<0ab >，则2a b

ab +>，22b a b a

a b a b

+>?=，等号取不到，故D 正确；

故选：D

5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x =

B. 3||y x =

C. 1

y x x

=-

D.

cos y x =

【答案】B

【分析】

根据奇偶性和单调性的定义逐个判断即可. 【详解】对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；

对于B ，

()3f x x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，

∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；

对于C ，()1

f x x x

=-

的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ?

?-=--

=--=- ?-?

?，故1y x x =-是奇函数，故C 错误； 对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.

6. 已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）

C. （2，3）

D. （3，4）

【答案】C 【解析】 【分析】

判断函数的单调性，以及f （2），f （3）函数值的符号，利用零点存在性定理判断即可． 【详解】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数， 又f （2）ln2240=+-<，

f （3）ln3340=+->，

可得()()230f f <

所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,n n S a n ==，则2020a =（ ）

A. 0

B. 1

C. 2020

D. 2021

【答案】A 【解析】 【分析】

当1n =时，11a S =，当2n ≥时，利用1n n n a S S -=-，结合题干条件，即可求得答案. 【详解】当1n =时，11a S =，

当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-， 所以10n a -=，即1220200a a a ==???==， 故选：A

8. 已知函数sin()y A x ω?=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（ ）

A.

12

π

B.

6

π C.

4

π D.

3

π 【答案】B 【解析】 【分析】 由图象可得6

x π

=

时，函数sin()y A x ω?=+的函数值为0，可以解出?的表达式，再利用平

移的知识可以得出t 的最小值． 【详解】解：由图象可得6

x π

=时，函数sin()y A x ω?=+的函数值为0，即

()6

k k Z ωπ

?π+=∈，

()6

k k Z ωπ

?π∴=-

+∈，

sin()6

y A x k ωπ

ωπ∴=-

+，将此函数向左平移()0t t >个单位得，

()sin ()6f x A x t k ωπωπ??

=+-+????

，又因为()f x 为奇函数，

11()6t k k k Z ωπ

ωππ∴-+=∈，

11(,)6

k k

t k Z k Z π

πω

-∴=

+

∈∈，

因为0t > min 6

t π

∴=

．

故选：B ．

【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝

2T

π

即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.

(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 9. 设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】 【分析】

首先判断“01x <<，且01y <<”能否推出 “22log log 0x y +<；再判断

22log log 0x y +<能否推出“01x <<，且01y <<”，利用充分条件和必要条件的定义即可

判断.

【详解】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；

若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如1

16

x =

，2y =可得22log log 0x y +<，所以

22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，

所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A

【点睛】关键点点睛：本题

的

关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能

否推出结论，结论能否推出条件.

10. 对于函数()f x ﹐若集合()(){

}

0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是

“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,x

x a

f x x x a ???≤? ?=???

?>?

是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. [)0,2

C. [)0,4

D. [)2,4

【答案】B 【解析】 【分析】

根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案.

【详解】解：根据题意，函数21,()2,x

x a

f x x x a ???≤? ?=????>?

是“2阶准偶函数”，

则集合()(){

}

0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.

当0a <时，函数21,()2,x

x a f x x x a ???≤? ?=????>?

有一段部分为2

,y x x a =>，注意的函数2y

x 本身

具有偶函数性质，故集合()(){

}

0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，

当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x

?? ???，()f x -为122-??= ???

x

x

，故当122x

x ??

= ???

，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合

()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；

当0a =时，函数21,0()2,0

x

x f x x x ???≤? ?=????>?

，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-??= ???x

x ，根据题

意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B

【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，

()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与

综合分析能力，是中档题.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 若复数(1)z i i =+，则||z = _______. 2 【解析】 【分析】

化简可得1z i =-+，利用求模公式，即可求得答案. 【详解】由题意得：2

(1)1z i i i i i =+=+=-+， 所以22(1)12z =-+=

2 12. 已知tan 24πα??

-= ??

?

，则tan α=________. 【答案】-3. 【解析】 【分析】

由两角差的正切公式展开，解关于tan α的方程．

【详解】因为tan 24πα?

?-= ??

?，所以

tan 12tan 31tan ααα-=?=-+．

【点睛】本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号． 13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若19a =，公差2d =-，则n S 的最大值为_______. 【答案】25 【解析】 【分析】

由已知求出等差数列{}n a 的通项公式，求出满足0n a ≥的最大n 值，代入可得n S 的最大值． 【详解】

19a =，2d =-，912112n

a n n

令0n a ≥，解得11

2

n ≤

，又*n N ∈，则15n ≤≤ n S 的最大值为5

5459

2252

S

故答案为：25

14. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点. ①若BD xBA yBC =+，则x y +=_______； ②BD BM ?= _______.

【答案】 (1). 3

4

(2). 1 【解析】 【分析】

①用,BA BC 表示出BD ，得出x ，y 的值即可求出x y +； ②结合正三角形的性质，根据平面向量数量积的定义计算． 【详解】①

M 是BC 的中点，∴1

2

BM

BC ， D 是AM 的中点，∴11112

2

2

4

BD BA BM BA BC =+=+， 12

x ∴=，14y =，故34x y +=．

②

ABC ?是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点，

AM BC ∴⊥，且1BM =，

∴2

cos 1BD BM BD BM DBM BM ?=??∠==．

故答案

：

3

4

，1．

【点睛】本题主要考查向量的运算及平面向量数量积公式，平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b

a b ，二是1212a b x x y y ?=+.

15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ， 点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.

①当点P 第一次入水时，t =__________；

②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是________. 【答案】 (1). 2

3

π (2). 32π

【解析】 【分析】

（1）根据题意，列出方程cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，分类讨论即可求解； （2）求出导数得，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，进而求解 【详解】（1）当0t =时，点P 在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m ，半径3m ，设为r ，则cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，当点P 第一次入水时，水面高2.5m ，即 2.5H =，

代入3cos 4H t =+得，1cos 2t =-

，第一次入水即在满足1

cos 2

t =-的情况下满足现实条件0t ≥后可取的最小值，23

t π=

（2）瞬时变化率取得最大值，即'()H t 最大，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，此时，0t 的最小值为32

π 故答案为：①

23

π；②32π

【点睛】关键点睛：解题的关键在于求出cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥和

'()3sin H t t =-，根据题目的实际情况求解，难度属于中档题

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16. 在△ABC 中，sin 2sin B C =，3

cos 4

A =. （1）若△ABC 的面积为7，求c 的值； （2）求

a

c

的值. 【答案】（1）2；（2）2. 【解析】 【分析】

（1）由正弦定理可得2b c =，根据3cos 4A =可求得7

sin 4

A =，利用面积公式即可求出c ； （2）由余弦定理即可求出. 【详解】解：（1）由正弦定理得：

sin sin b c B C

=. 因为sin 2sin B C =，所以2b c =. 因为3

cos 4

A =

，0A π<<， 所以27sin 1cos A A =-=，

因为7S =

211

sin 2sin 722

S bc A c A =

=??=

所以24c =，所以2c =； （2）由（1）知2b c =， 因为3cos 4

A =

， 所以2

2

2

2

2

2

23

2cos 4424

a b c bc A c c c c =+-=+-?=， 所以2a c =

，所以

2a

c

=17. 已知等差数列{}n a 满足59a =，3922a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；

（2）等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足2020n S <的n 的最大值. 条件①：312b a a =+；条件②：37S =；条件③：1n n b b +>.

【答案】（1）21n a n =-；（2）选择①②：10；选择①③：10；选择②③：10. 【解析】 【分析】

（1）利用等差数列的通项公式将已知条件转化为关于1a 和d 的方程，即可求解；

（2）选择①②时，根据条件①②可以求出11b =，34b =.，再利用37S =可以求出22b =，即可求出{}n b 的公比，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可；

选择①③时，首先利用312b a a =+和11b a =求出11b =，34b =，再利用1n n b b +>可得2q

，

利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不等式即可；选择②③时，37S =，11b =，可得

217q q ++=结合1n n b b +>，可得公比2q

，利用等比数列前n 项和公式计算出n S ，解不

等式即可.

【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=， 因为59a =，3922a a +=， 所以1492102

t a d a d +=??

+=?，解得：11

2a d =??=?

所以21n a n =-； （2）（I ）选择①②

设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，

因为37S =，所以23132b S b b =--=，

所以212b q b ==，所以1(1)

211n n n b q S q

-==--， 因为2020n S <，所以212020n -≤， 所以10n ≤，即n 的最大值为10. （II ）选择①③

设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，

所以2

3

1

4b q b =

=，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q

，

所以1(1)

211n n n b q S q

-=

=--， 因为2020n S <，所以212020n -<， 所以10n ≤.即n 的最大值为10. 选择②③

设等比数列{}n b 的公比为q 因为37S =，11b =， 所以2

17q q ++=.

所以2q ，或3q =-.

因为1n n b b +>，所以2q

.

所以1(1)

211n n n b q S q

-=

=-- 因为2020n S <，所以212020n -< 所以10n ≤.即n 的最大值为10.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是熟记等差和等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和公式，关键是利用1n n b b +>得出2q .

18. 已知函数2()(23)x f x e x x =-. （1）求不等式()0f x >的解集；

（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 【答案】（1）{|x 0x <或32x ?

>??

；（2）最小值e -，最大值22e . 【解析】 【分析】

（1）直接解不等式可得不等式的解集；

（2）对函数求导，令()0f x '=，求出方程根，得出单调性可得函数的最值． 【详解】（1）因为0x e >，

由()2

(0)23x

f x e x x =->，得2230x x ->.

所以0x <或32

x >

. 所以不等式()0f x >的解集为{|x 0x <或32x ?>??

；

（2）由()223()x f x e x x =-得：2

()(23)x f x e x x '=+-()()231x

e

x x =+-.

令()0f x '=，得1x =，或3

2

x =-

（舍）. ()f x 与()f x '在区间[0，2]上的情况如下：

x 0 （0，1） 1 （1，2） 2 ()'f x

－

+

()f x

0 减

e -

增

22e

所以当1x =时，()f x 取得最小值()1f e =-； 当2x =时，()f x 取得最大值()2

22f e =.

19. 已知函数π()2sin 6f x x ??=+

??

?

. （1）求()f x 的单调递减区间；

（2）设π()()6g x f x f x ?

?=- ??

?. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,23??，求m 的最大值.

【答案】（1）42,2()3

3k k k Z π

πππ?

?++

∈???

?

；（2）56π

. 【解析】 【分析】 （1）令322262

πππ

k πx k π+

≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解； （2）先求出并化简()2sin 233g x x π?

?

=-

+ ??

?

()g x 的值域可得出 3sin 2,132π???

?-∈-?? ??

???x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最

大值.

【详解】（1）令322262

πππ

k πx k π+

≤+≤+，k Z ∈. 所以42233

ππ

k πx k π+≤≤+，()k Z ∈.

所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ?

?++∈???

?.

（2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ??

?

?=-

=+ ? ??

??

? 31

4sin cos sin 22x x x ??=+ ???

223sin 2cos sin x x x =+ 3(1cos2)sin 2x x =-+

2sin 233x π?

?=-+ ??

?

因为0x m ≤≤， 所以223

3

3

x m π

π

π

-

≤-

≤-

.

因为()g x 的取值范围为0,23??，

所以sin 23x π?

?- ???的取值范围为3??????

所以

422

3

3

m π

π

π

≤-

≤

. 解得：

55126

m ππ≤≤. 所以m 的最大值为

56

π

.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出422

3

3

m π

π

π

≤-

≤

. 20. 已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.

（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围. 【答案】（1）925y x =-+；（2）(][),32,-∞-+∞；

（3）[4,)+∞. 【解析】 【分析】

（1）对函数求导，当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-，进而可得切线方程；

（2）当0a =时，()2f x =在R 上不具有单调性；对函数求导，令()0f x '=，按0a >和0a <分别判断单调性，列不等式可求得a 的取值范围；

（3）先证明：()()12 4f x f x +≥，由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）

，因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x ， 按10x ≤和1>0x 分别证明不等式成立，再证明对任意122x x +>，

()()12f x f x m +≤(4)m ≥不成立即可．

【详解】由()32

324f x ax ax a =-++可得：2

()363(2)f x ax ax ax x '=-=-

（1）当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-.

所以曲线( )y f x =在点()()

3,3f 处的切线方程为925y x =-+. （2）由已知可得0a ≠

①当0a >时，令()0f x '=得0x =，2

2x =.

()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞_上的情况如下：

x

()0∞-,

0 （0，2） 2

(2,)+∞

()'f x

+ 0 0 + ()f x

增

极大值

减

极小值

增

因为()f x 在(),3a a +上具有单调性，所以2a ≥.

②当0a <时，()f x 与()'

f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下：

x

()0∞-,

0 （0，2） 2

(2,)+∞

()'f x

－ 0 ＋ 0 － ()f x

减

极小值

增

极大值

减

因为()f x 在(),3a a +上具有单调性， 所以30a +≤，即3a ≤-. 综上所述，a 的取值范围是(][),32,-∞-+∞.

（3）先证明：()()12 4f x f x +≥.

由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）. 因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x . ①若10x ≤，则2122x x >-≥.

所以()()()()12112444f x f x f x f x a +>+-=+>. ②若1>0x ，因为21>x ，

所以()()12()()224f x f x f f +≥+=，当且仅当122x x ==时取等号. 综上所述，12())4(f x f x +≥.

再证明：12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.

假设存在常数()4m m ≥，使得对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤. 取12x =，且24

2m x a

->+

则 ()()32

22222324f f x ax ax a

+=+-++2222222()()222()224ax x a x a x m =+-+-+>-+>，

与()()12f x f x m +≤矛盾.

所以12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.

【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性，考查导数证明不等式，本题解题的关键为利用第（2）问的单调性，由122x x +>和12x x ≤，确定出21>x ，再按10x ≤和1>0x 分类讨论，利用放缩法证明()()12 4f x f x +≥，以及利用反证法证得

()()12f x f x m +≤(4)m ≥不成立，考查了学生分类讨论思想和逻辑思维能力，属于中档题．

21. 已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ； （2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项

0；

（3）若a

b ，求数列{}n a 的通项公式.

【答案】（1）7；（2）证明见解析；（3）(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =.

【解析】 【分析】

（1）依题意代入计算可得； （2）利用反证法证明即可；

（3）分a b <与a b >两种情况讨论，①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，再证明：

(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,

n =即可；②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,

n =，结合

①的结论即可得解；

【详解】解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.

（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥. 取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得

120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．

（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ?∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<

<.

显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得

02k n i a a a =-．

因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->

>->，

所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同的

数恰为

01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.

所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾. 所以数列{}n a 是递增数列.

再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,

n

= 记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n

=

当1,2n =时，结论成立.

假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,

i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-

因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<

<<<<.

所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.

因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为

01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.

所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+????????， 与10n m a a m d +≠+矛盾.

所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n

=

②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12

对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，

因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-.

因此数列{}n b 满足题设条件.

由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =

所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,

n =

综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =

经检验，数列{}n a 满足题设条件.

【点睛】本题属于数列新定义问题，考查反证法的应用，以及数学归纳法的证明数列的单调性；