历年考研真题年数学一
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .
(2)已知(e )e x x
f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .
(3)设L 为正向圆周22
2=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分?-L
ydx xdy 2的值
为__________.
(4)欧拉方程)0(0242
22
>=++x y dx dy
x dx
y d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001??
??=??????
A ,矩阵
B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B =__________ .
(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >
= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把+
→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x
x x
???
===
30
2
sin ,tan ,cos 2
γβα,使排在后
面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,
(D)αγβ,,
(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得 (A)()f x 在(0,)δ内单调增加
(B)()f x 在)0,(δ-内单调减少 (C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f >
(D)对任意的)0,(δ-∈x 有
()(0)f x f >
(9)设
∑∞
=1
n n
a
为正项级数,下列结论中正确的是
(A)若n n na ∞
→lim =0,则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛
(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞
→n n na lim ,则级数
∑∞
=1
n n
a
发散
(C)若级数
∑∞
=1n n
a
收敛,则0lim 2
=∞
→n n a n
(D)若级数
∑∞
=1
n n
a
发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞
→n n na lim
(10)设()f x 为连续函数,??
=t t
y
dx x f dy t F 1
)()(,则)2(F '等于
(A)2(2)f
(B)(2)f (C)(2)f -
(D) 0
(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为
(A)??????????101001010
(B)?????
?????100101010 (C)????
??????110001010
(D)????
??????100001110 (12)设,A B 为满足=AB O 的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关
(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足
αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于
(A)2
αu
(B)2
1α
-
u
(C)2
1α-u
(D) α-1u
(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布,且其方差为.02>σ 令
∑==n
i i X n Y 1
1,则
(A)2
1Cov(,)X Y n
σ=
(B)21Cov(,)X Y σ= (C)2
12)(σn
n Y X D +=
+
(D)2
11)(σn
n Y X D +=
-
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)
设2e e a b <<<,证明2224
ln ln ()e
b a b a ->
-. (16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66
?=k 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时) (17)(本题满分12分)
计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ??∑
-++=
其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.
(18)(本题满分11分)
设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当
1α>时,级数1n
n x α
∞
=∑收敛. (19)(本题满分12分)
设(,)z z x y =是由2
2
2
6102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.
(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组
121212(1)0,2(2)20,(2),()0,
n n n a x x x x a x x n nx nx n a x ++++=??++++=?≥???++++=
?
试问a 取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(21)(本题满分9分)
设矩阵12314315a -????=--??????
A 的特征方程有一个二重根,求a 的值,并讨论A 是否可相似对角化.
(22)(本题满分9分)
设,A B 为随机事件,且111(),(|),(|)432
P A P B A P A B =
==,令 ;,,0,1不发生发生A A X ??
?= .
,
,0,1不发生发生B B Y ???= 求:(1)二维随机变量(,)X Y 的概率分布. (2)X 和Y 的相关系数.XY ρ
(23)(本题满分9分)
设总体X 的分布函数为
,1,
1,
0,11),(≤>?????
-=x x x x F ββ
其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本,
求:(1)β的矩估计量. (2)β的最大似然估计量.
2004年考研数学试题答案与解析（数学一）
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为1-=x y .
【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标.
【详解】 由11
)(ln ==
'='x
x y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-?=-x y ， 即 1-=x y .
【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为
11
==
'
=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-?=-x y ， 即 1-=x y . 本题比较简单，类似例题在一般教科书上均可找到. （2）已知x
x
xe
e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=
2)(ln 2
1
x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可. 【详解】 令t e x
=，则t x ln =，于是有
t t t f ln )(=
'， 即 .ln )(x x
x f =' 积分得 C x dx x x x f +==?2)(ln 2
1
ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数
为f(x)= 2
)(ln 2
1x .
【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分. （3）设L 为正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分
?-L
ydx xdy 2的
值为
π2
3 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分. 【详解】 正向圆周22
2
=+y x 在第一象限中的部分，可表示为
.
2
0:,
sin 2,
cos 2π
θθθ→
??
?==y x
于是
θθθθθπ
d y d x x d y L
]s i n 2s i n 22c o s 2c o s 2[220
?+?=-??
=.2
3sin 220
2πθθππ
=
+
?
d 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.
（4）欧拉方程)0(0242
22
>=++x y dx dy
x dx y d x 的通解为 221x c x c y +
=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换t
e x =化为常系数线性齐次微分方程即可.
【详解】 令t
e x =，则
dt
dy
x dt dy e dx dt dt dy dx dy t 1=
=?=-， ][1112222
2222dt dy
dt
y d x dx dt dt y d x dt dy x dx y d -=?+-=， 代入原方程，整理得
0232
2=++y dt dy dt
y d ， 解此方程，得通解为 .2
2
1221x c x c e c e
c y t t
+=
+=-- 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令t
e x =，则欧拉方程
)(2
22
x f cy dx dy
bx dx
y d ax =++， 可化为 ).(][22t e f cy dt dy
b dt dy dt
y d a =++- （5）设矩阵????
??????=100021012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=**2，其中*
A 为A 的伴随矩
阵，E 是单位矩阵，则=B
9
1
. 【分析】 可先用公式E A A A =*
进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A ，得
A A BA A ABA +=**2， 而3=A ，于是有
A B AB +=63， 即 A B E A =-)63(，
再两边取行列式，有
363==-A B E A ，
而 2763=-E A ，故所求行列式为.9
1=
B 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵*A ，一般均应先利用公式E A AA A A ==**进行化简.
（6）设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则}{DX X P >
=
e
1 . 【分析】 已知连续型随机变量X 的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可.
【详解】 由题设，知2
1
λ=DX ，于是
}{DX X P >
=dx e X P x ?+∞
-=>λ
λλλ
1}1
{
=.11
e
e
x
=-∞+-λ
λ 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）把+
→0x 时的无穷小量dt t dt t dt t x
x x
???
===
30
2
sin ,tan ,cos 2
γβα，使
排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是
(A) γβα,,. (B) βγα,,. (C) γαβ,,. (D) αγβ,,. [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.
【详解】 0c o s 2t a n lim cos tan lim
lim 2
20
02=?==+
+
+
→→→?
?
x x
x dt
t dt t x x
x x x αβ
，可排除(C),(D)选项， 又 x
x x
x dt
t dt
t x x x
x x tan 221
sin lim tan sin lim lim 2
3
03
02
?
==+
+
+
→→→?
?
βγ
=
∞=+→20lim 41x
x
x ，可见γ是比β低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将γβα,,分别与n
x 进行比较，再确定相互的高低次序.
（8）设函数f(x)连续，且,0)0(>'f 则存在0>δ，使得
(A) f(x)在（0，)δ内单调增加. （B ）f(x)在)0,(δ-内单调减少.
(C) 对任意的),0(δ∈x 有f(x)>f(0) . (D) 对任意的)0,(δ-∈x 有f(x)>f(0) . [ C ]
【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.
【详解】 由导数的定义，知
0)
0()(lim
)0(0
>-='→x
f x f f x ，
根据保号性，知存在0>δ，当),0()0,(δδ -∈x 时，有
0)
0()(>-x
f x f
即当)0,(δ-∈x 时，f(x)
∑∞
=1
n n
a
为正项级数，下列结论中正确的是
(A) 若n n na ∞
→lim =0，则级数
∑∞
=1
n n
a
收敛.
（B ） 若存在非零常数λ，使得λ=∞
→n n na lim ，则级数
∑∞
=1
n n
a
发散.
(C) 若级数
∑∞
=1n n
a
收敛，则0lim 2
=∞
→n n a n .
(D) 若级数
∑∞
=1
n n
a
发散, 则存在非零常数λ，使得λ=∞
→n n na lim . [ B ]
【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.
【详解】 取n n a n ln 1
=，则n n na ∞→lim =0，但∑∑∞
=∞==1
1ln 1n n n n n a 发散，排除(A)，(D)；
又取n
n a n 1=
，则级数
∑∞
=1
n n a 收敛，但∞=∞
→n n a n 2lim ，排除(C), 故应选(B). 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式，
01lim
lim ≠==∞→∞→λn
a na n n n n ，而级数∑∞=11
n n 发散，因此级数∑∞
=1
n n a 也发散，故应选(B). （10）设f(x)为连续函数，?
?=
t
t
y
dx x f dy t F 1
)()(，则)2(F '等于
(A) 2f(2). (B) f(2). (C) –f(2). (D) 0. [ B ] 【分析】 先求导，再代入t=2求)2(F '即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.
【详解】 交换积分次序，得
??
=
t t
y
dx x f dy t F 1
)()(=???-=t x t
dx x x f dx dy x f 111)1)((])([
于是，)1)(()(-='t t f t F ，从而有 )2()2(f F ='，故应选(B).
【评注】 在应用变限的积分对变量x 求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: ?
'-'=')
()
()()]([)()]([])([
x b x a x a x a f x b x b f dt t f
否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x 换到积分号外或积分线上.
（11）设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B,再把B 的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为
(A) ??????????101001010. (B) ?????
?????100101010. (C) ?????
?????110001010. (D) ????
?
?????100001110. [ D ]
【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A 作两次初等列变换，相当于右乘两
个相应的初等矩阵，而Q 即为此两个初等矩阵的乘积.
【详解】由题设，有
B A =??????????100001010，
C B =??????????100110001， 于是， .100001110100110001100001010C A A =????
?
?????=????
????????????????
可见，应选(D).
【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩阵的性质以及与初等变换的关系.
（12）设A,B 为满足AB=O 的任意两个非零矩阵，则必有 (A) A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关.
(C) A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关.
(D) A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关. [ A ]
【分析】A,B 的行列向量组是否线性相关，可从A,B 是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.
【详解1】 设A 为n m ?矩阵，B 为s n ?矩阵，则由AB=O 知，
n B r A r <+)()(.
又A,B 为非零矩阵，必有r(A)>0,r(B)>0. 可见r(A) 【详解2】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，而B 为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A 的列向量组线性相关. 同理，由AB=O 知，O A B T T =，于是有T B 的列向量组，从而B 的行向量组线性相关，故应选(A). 【评注】 AB=O 是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的： 1） AB=O ?n B r A r <+)()(; 2） AB=O ?B 的每列均为Ax=0的解. （13）设随机变量X 服从正态分布N(0,1)，对给定的)10(<<αα，数αu 满足 αα=>}{u X P ，若α=<}{x X P ，则x 等于 (A) 2 αu . (B) 2 1α - u . (C) 2 1α-u . (D) α-1u . [ C ] 【分析】 此类问题的求解，可通过αu 的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论. 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，αα=-<}{u X P ，于是 }{2}{}{}{}{11x X P x X P x X P x X P x X P ≥=-≤+≥=≥=<-=-α 即有 21}{α -= ≥x X P ，可见根据定义有2 1α-=u x ，故应选(C). 【评注】 本题αu 2 1-（14）设随机变量)1(,,,21>n X X X n 独立同分布，且其方差为.02 >σ 令 ∑==n i i X n Y 1 1，则 (A) Cov(.),2 1n Y X σ= (B) 21),(σ=Y X Cov . (C) 212)(σn n Y X D += +. (D) 2 11)(σn n Y X D +=-. [ A ] 【分析】 本题用方差和协方差的运算性质直接计算即可，注意利用独立性有： .,3,2,0),(1n i X X Cov i == 【详解】 Cov(∑∑==+==n i i n i i X X Cov n X X Cov n X n X Cov Y X 2 111111),(1),(1)1,(), = .1 121σn DX n = 【评注】 本题(C),(D) 两个选项的方差也可直接计算得到：如 2 222 22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -++=++++=+ = 222 233σσn n n n n +=+， 2 222 22111)1()111()(σσn n n n X n X n X n n D Y X D n -+-=----=- =.22222 2σσn n n n n -=- （15）（本题满分12分） 设2 e b a e <<<, 证明)(4 ln ln 22 2a b e a b -> -. 【分析】 根据要证不等式的形式，可考虑用拉格朗日中值定理或转化为函数不等式用单调性证明. 【证法1】 对函数x 2 ln 在[a,b]上应用拉格朗日中值定理，得 .),(ln 2ln ln 2 2 b a a b a b <<-= -ξξ ξ 设t t t ln )(= ?，则2 ln 1)(t t t -='?， 当t>e 时， ,0)(<'t ? 所以)(t ?单调减少，从而)()(2 e ?ξ?>，即 2222ln ln e e e =>ξξ ， 故 )(4 ln ln 22 2 a b e a b -> -. 【证法2】 设x e x x 22 4 ln )(- =?，则 24 ln 2 )(e x x x -='?， 2 ln 12)(x x x -=''?, 所以当x>e 时，,0)(<''x ? 故)(x ?'单调减少，从而当2 e x e <<时， 044)()(2 22=-= '>'e e e x ??， 即当2 e x e <<时，)(x ?单调增加. 因此当2 e x e <<时，)()(a b ??>， 即 a e a b e b 2 2 22 4ln 4ln ->- ， 故 )(4ln ln 22 2a b e a b ->-. 【评注】 本题也可设辅助函数为2 2 2 2),(4ln ln )(e x a e a x e a x x <<<-- -=?或 2 2 22),(4ln ln )(e b x e x b e x b x <<<-- -=?，再用单调性进行证明即可. （16）（本题满分11分） 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下. 现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为).100.66 ?=k 问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时. 【分析】 本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可. 【详解1】 由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t). 根据牛顿第二定律，得 kv dt dv m -=. 又 dx dv v dt dx dx dv dt dv =?=， 由以上两式得 dv k m dx -=， 积分得 .)(C v k m t x +- = 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v k m C =，从而 )).(()(0t v v k m t x -= 当0)(→t v 时， ).(05.1100.6700 9000)(6 0km k mv t x =??=→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【详解2】 根据牛顿第二定律，得 kv dt dv m -=, 所以 .dt m k v dv -= 两端积分得通解t m k Ce v -=，代入初始条件00 v v t ==解得0v C =， 故 .)(0t m k e v t v -= 飞机滑行的最长距离为 ).(05.1)(0 00 km k mv e k mv dt t v x t m k == -== ∞+-∞ +? 或由t m k e v dt dx -=0，知)1()(000--==--?t m k t t m k e m kv dt e v t x ，故最长距离为当∞→t 时，).(05.1)(0 km m kv t x =→ 【详解3】 根据牛顿第二定律，得 dt dx k dt x d m -=22, 02 2=+dt dx m k dt x d ， 其特征方程为 02=+ λλm k ，解之得m k -==21,0λλ， 故 .21t m k e C C x -+= 由 00 2000,0v e m kC dt dx v x t t m k t t t =-====-===， 得 ,0 21k mv C C =-= 于是 ).1()(0t m k e k mv t x --= 当+∞→t 时，).(05.1)(0 km k mv t x =→ 所以，飞机滑行的最长距离为1.05km. 【评注】 本题求飞机滑行的最长距离，可理解为+∞→t 或0)(→t v 的极限值，这种条件应引起注意. （17）（本题满分12分） 计算曲面积分 ,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ??∑ -++= 其中∑是曲面)0(12 2 ≥--=z y x z 的上侧. 【分析】 先添加一曲面使之与原曲面围成一封闭曲面，应用高斯公式求解，而在添加 的曲面上应用直接投影法求解即可. 【详解】 取1∑为xoy 平面上被圆12 2 =+y x 所围部分的下侧，记Ω为由∑与1∑围成的空间闭区域，则 dxdy z dzdx y dydz x I ??∑+∑-++= 1 )1(3222 33 .)1(3221 233dxdy z dzdx y dydz x ??∑-++- 由高斯公式知 d x d y d z z y x d x d y z d z d x y d y d z x ??? ??Ω ∑+∑++=-++)(6)1(3222 22331 =rdz r z dr d r )(6 20 1 10 22 ? ?? -+π θ =.2)]1()1(2 1 [122 3 2 21 0ππ=-+-? dr r r r r 而 ????≤+∑=-- =-++1 2 33221 33)1(322y x dxdy dxdy z dzdx y dydz x π， 故 .32πππ-=-=I 【评注】 本题选择1∑时应注意其侧与∑围成封闭曲面后同为外侧（或内侧），再就是在1∑上直接投影积分时，应注意符号(1∑取下侧，与z 轴正向相反，所以取负号). （18）（本题满分11分） 设有方程01=-+nx x n ，其中n 为正整数. 证明此方程存在惟一正实根n x ，并证 明当1>α时，级数 ∑∞ =1 n n x α收敛. 【分析】 利用介值定理证明存在性，利用单调性证明惟一性.而正项级数的敛散性可用比较法判定. 【证】 记 .1)(-+=nx x x f n n 由01)0(<-=n f ，0)1(>=n f n ，及连续函数 的介值定理知，方程01=-+nx x n 存在正实数根).1,0(∈n x 当x>0时，0)(1 >+='-n nx x f n n ，可见)(x f n 在),0[+∞上单调增加, 故方程 01=-+nx x n 存在惟一正实数根.n x 由01=-+nx x n 与0>n x 知 n n x x n n n 110<-=<，故当1>α时，αα )1(0n x n <<. 而正项级数∑∞ =11n n α收敛，所以当1>α时，级数∑∞=1 n n x α 收敛. 【评注】 本题综合考查了介值定理和无穷级数的敛散性，题型设计比较新颖，但难度 并不大，只要基本概念清楚，应该可以轻松求证. （19）（本题满分12分） 设z=z(x,y)是由01821062 2 2 =+--+-z yz y xy x 确定的函数，求),(y x z z =的极值点和极值. 【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【详解】 因为 01821062 2 2 =+--+-z yz y xy x ，所以 02262=??-??--x z z x z y y x ， 0222206=??-??--+-y z z y z y z y x . 令 ??? ????=??=??0,0y z x z 得 ? ? ? =-+-=-,0103,03z y x y x 故 ?? ?==. , 3y z y x 将上式代入01821062 2 2 =+--+-z yz y xy x ，可得 ??? ??===3,3,9z y x 或 ?? ? ??-=-=-=.3,3,9z y x 由于 02)(22222222=??-??-??-x z z x z x z y ， ,02222622=???-?????-???-??--y x z z x z y z y x z y x z 02)(22222022222=??-??-??-??-??-y z z y z y z y y z y z ， 所以 61 )3,3,9(2 2=??= x z A ，21)3,3,9(2-=???=y x z B ，3 5 ) 3,3,9(2 2= ??=y z C ， 故03612 >= -B AC ，又06 1 >=A ，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3. 类似地，由 6 1 )3,3,9(2 2-=??= ---x z A ，21)3,3,9(2=???=---y x z B ，3 5)3,3,9(2 2-=??=---y z C ， 可知03612 >=-B AC ，又06 1 <-=A ，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意 x,y,z 满足原方程. （20）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组 ) 2(, 0)(,02)2(2,0)1(212121≥?? ???? ?=++++=++++=++++n x a n nx nx x x a x x x x a n n n 试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n ，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a 的可能取值进行讨论即可. 【详解1】 对方程组的系数矩阵A 作初等行变换，有 .00002111122221111B a na a a a a n n n n a a A =? ???? ? ??????--+→????????????+++= 当a=0时， r(A)=1 ,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η 于是方程组的通解为 ,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数. 当0≠a 时，对矩阵B 作初等行变换，有 .10000120002)1(10000121111??????????????--++→???? ????????--+→ n n n a n a B 可知2 ) 1(+-=n n a 时，n n A r <-=1)(，故方程组也有非零解，其同解方程组为 ???????=+-=+-=+-, 0,03,0213 121n x nx x x x x 由此得基础解系为 T n ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为 ηk x =，其中k 为任意常数. 【详解2】 方程组的系数行列式为 1 )2 )1((22221111-++ =+++= n a n n a a n n n n a a A . 当0=A ，即a=0或2 ) 1(+- =n n a 时，方程组有非零解. 当a=0时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ???? ? ???????→????????? ???=000000000111122221111 n n n n A ， 故方程组的同解方程组为 ,021=+++n x x x 由此得基础解系为 ,)0,,0,1,1(1T -=η ,)0,,1,0,1(2T -=η,)1,,0,0,1(,1T n -=-η 于是方程组的通解为 ,1111--++=n n k k x ηη 其中11,,-n k k 为任意常数. 当2 ) 1(+- =n n a 时，对系数矩阵A 作初等行变换，有 ? ? ??? ? ??????--+→????????????+++=a na a a a a n n n n a a A 00 00211 1 122221111 ???? ? ???????--→????????? ???--+→1000012000010000121111 n n a ， 故方程组的同解方程组为 ???????=+-=+-=+-, 0,03,0213 121n x nx x x x x 由此得基础解系为 T n ),,2,1( =η， 于是方程组的通解为 ηk x =，其中k 为任意常数. 【评注】 矩阵A 的行列式A 也可这样计算： ????????????+++=a n n n n a a A 22221111=aE +? ????? ??????n n n n 22221111，矩阵????? ? ??????n n n n 22221111的特征值为2)1(,0,,0+n n ，从而A 的特征值为a,a,2)1(,++n n a , 故行列式.)2 )1((1 -++=n a n n a A （21）（本题满分9分） 设矩阵???? ??????---=51341321a A 的特征方程有一个二重根，求a 的值，并讨论A 是否可相似对角化. 【分析】 先求出A 的特征值，再根据其二重根是否有两个线性无关的特征向量，确定A 是否可相似对角化即可. 【详解】 A 的特征多项式为 5 13 4 10)2(251 3 4 1321 -------=------= -λλλλλλλλa a A E =).3188)(2(5 13 4 101 1 )2(2a a ++--=------λλλλλλ 当2=λ是特征方程的二重根，则有,03181622 =++-a 解得a= -2. 当a= -2时，A 的特征值为2,2,6, 矩阵2E-A=???? ? ?????----321321321的秩为1，故2=λ对应的线性无关的特征向量有两个，从而A 可相似对角化. 若2=λ不是特征方程的二重根，则a 31882 ++-λλ为完全平方，从而18+3a=16，解得 .3 2 -=a 当32 -=a 时，A 的特征值为2，4，4，矩阵4E-A=? ???? ???????---132 1301323秩为2，故4=λ对 应的线性无关的特征向量只有一个，从而A 不可相似对角化. 【评注】 n 阶矩阵A 可对角化的充要条件是：对于A 的任意i k 重特征根i λ，恒有 .)(i i k A E r n =--λ 而单根一定只有一个线性无关的特征向量. (22)（本题满分9分） 设A,B 为随机事件，且2 1 )(,31)(,41)(=== B A P A B P A P ，令 ;,,0,1不发生发生A A X ?? ?= .,,0,1不发生 发生B B Y ???= 求：（I ）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II ）X 和Y 的相关系数.XY ρ 【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随 机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数. 【详解】 （I ） 由于12 1)()()(= =A B P A P AB P ， ,6 1 )()()(== B A P AB P B P 所以， 12 1)(}1,1{= ===AB P Y X P ， 61)()()(}0,1{=-====AB P A P B A P Y X P ， ,12 1 )()()(}1,0{=-====AB P B P B A P Y X P )(1)(}0,0{B A P B A P Y X P +-==== =3 2)()()(1= +--AB P B P A P （或3 2121611211}0,0{=---===Y X P ）， 故(X,Y)的概率分布为 Y X 0 1