用高斯定理求解有电介质时的电场强度
用高斯定理求解有电介质时的电场强度
物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539
在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷
的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【V
dS P S
????-='ρ，n
e P P ?-=)('12σ】，
P 又取决于E （E P χε0=），这就似乎形成计算上的循环。高斯定理通过列出有
关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。
当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理
??=?S
q
dS D 0
其中P E D +≡0ε.
如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为r ε，
两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分
布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为
01
'ρεερr
r --
= 总电荷体密度为
r
ερ
ρρρ00'=+=
因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度
图2
1r ε2
r ε图1
21''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面
的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为
10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为
n n e b D e b D 202101,ρρ==
两侧的电场强度为
n r n r e b
E e b E 2
020210101,εερεερ==
单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图
2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而
2
2
1
1
r r b b εε=
因21b b b +=,求得零电场面的位置
2
1212111,r r r r r r b
b b b εεεεεε+=
+=
用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为
i b E r r )
(2100εεερ+±
=
同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为
xi D 0ρ=内
板内的电场强度为
i x
E r
εερ00=
内 式中x 为板内场点的坐标.
第四节电位移有电介质时的高斯定理
第四节电位移有电介质时的高斯定理
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8-4 电位移 有电介质时的高斯定理 在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷。这时，高斯定理应有些什么变化呢？ 我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论。在如下图所示的情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为S 。设极板上的自由电荷面密度为0σ，电介质表面上的极化电荷面密度为σ'。由高斯定理，有 ? '-= ?s Q Q 00 ) (1 d εS E （8-12） 式中Q Q ' 和0分别为S Q S Q σσ'='= 00和。我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出 r 00/εQ Q Q ='- （8-13） 把它代入（8-12）有 ? = ?s Q r 00 d εεS E 或 ?=?s Q r 0d S E εε （8-14） 现在不妨，令 E E D εεε==r 0 （8-15） 其中εεε=r 0叫做电介质的电容率。那么式（8-14）可写成 ?=?s Q d S D （8-16） 式中D 称作电位移，而??s S D d 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量。D 的单位为 2m C -?
讨论：证明: 关于 r Q Q Q ε0 0= '-的证明 电介质中的电场强度E 应为 E E E '+=0 考虑到E '的方向与0E 的方向相反，以及E 与E '的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E 的值为 r 0 0εE E E E = '-= 故 r r 1 E E εε-= ' 因为 0/εσ' ='E ，000/εσ=E 从而可得 0r r 1 σεεσ-= ' 由于S Q 00σ=、S Q σ' ='，故上式亦可写成 0r r 1 Q Q εε-= ' 即 r Q Q Q ε0 0= '- 式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。故 有 电介质时的高斯定理可叙述如下： 在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为 ??s S D d ∑ ==n i i Q 1 0 （8-17） 可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起。
怎样计算电场强度
§10 怎样计算电场强度？ 静电场的电场强度计算，一般有三种方法： 1、 从点电荷场强公式出发进行叠加； 2、 用高斯定理求解； 3、 从电场强度和电势的微分关系求解。 这三种方法各有优点： 从点电荷的场强公式出发，通过叠加原理来计算，在原则上，是没有不可应用的。但是，叠加是矢量的叠加，因此计算往往十分麻烦。 用高斯定理求电场强度，方法简单，演算方便，它有较大的局限性，只适宜于某些电荷对称分布的场强的计算，或者场强不是对称的，但为几种能用高斯定理求解折场的合成。 用场电势的微分关系求场强也有普遍性，而且叠加是代数叠加。这一种方法也简便，不过还比不上高斯定理。 所以求场强时，一般首先考虑是琐能用高斯定理，其次考虑是否能用场强与电势的微分关系去求。下面分别加以讨论。 一、从点电荷的场强公式出发通过叠加原理进行计算 点电荷的场强公式： 301 (1)4i i i q E r r πε= ∑r r 当电荷连续分布时： ()() 303 0301(2) 4134144r E dl r r E ds r r E d r λπεσπερτπε===???r r r r r r 式中 λ－电荷的线密度； σ－电荷的面密度； ρ－电荷的体密度。 式（2）、（3）、（4）中，积分应普遍一切有电荷分布的地方。计算时，还必须注意这是矢量和。 1、 善于积分变量的统一问题
如果积分上包含有几个相关的变量，只有将它们用同一变量来表示，积分才能积得结果。 这在应用点电荷的场强公式求带电体的场强时，或者应用毕－沙－拉定律求B r 时，常常遇到。 因此，要积分必须先解决积分变量的统一问题。 积分上包含有几个变量，相互之间存在一定的关系。因此，任一变量都可选作自变量，而将其他变量用该变量来统一表示。必须指出，不但可以将积分号中包含的变量选作自变量，而且也可选择不包含在积分号中但与积分号中的变量都有关的量作为自变量，要根据具体情况而定。 现以图2－10－1所示均匀带电直线的场强计算为例来讨论积分变量的统一问题。 由图可知： 2 0cos 4x dl dE r λθπε= 2 0sin 4y dl dE r λθπε= 202 0cos (5) 4sin (6) 4x x y y dl E dE r dl E dE r λθπελθπε∴====?? ?? 上述三个变量中，共有三个相关变量：θ、l 、r 。为了把积分计算出来，必须把三个变量统一用某一个变量，可以θ、l 、r 中的任一个，或者用它的相关变量来表示。究竟选哪 一个好呢？ 如果选择θ为自变量，则应把l 、r 都化作θ的函数来表示。由图示几何关系可得： 2222cot l a dl acse d r a cse θθθθ =-== 于是得： ()()2 12 1 21002100cos sin sin 44sin cos cos 44x y E a a E a a θθθθλλ θθθπεπελλ θθθπεπε==-==-? ? x 图2－10－1
用高斯定理求解有电介质时的电场强度
用高斯定理求解有电介质时的电场强度 物理与电信工程学院 10级课程与教学论 张雅琪 2010021539 在电介质中，由电场引起的极化电荷会激发附加电场，使原电场发生改变，反过来又会影响极化情况。如此相互影响，最终达到平衡。在直接计算空间场强时会遇到如下困难：要由电荷分布求场强E ，必须同时知道自由电荷及极化电荷 的密度，而极化电荷密度取决于极化强度P 【V dS P S ????-='ρ，n e P P ?-=)('12σ】， P 又取决于E （E P χε0=），这就似乎形成计算上的循环。高斯定理通过列出有 关E 、P 、'ρ、'σ的数量足够的方程，然后联立求解，同时引入一个新矢量场D 以消去'ρ和'σ，方便求解。 当空间有电介质时，只要把自由电荷和极化电荷同时考虑在内，可以得到有电介质的高斯定理 ??=?S q dS D 0 其中P E D +≡0ε. 如图1所示，假设有一厚度为b 的无限大均匀介质平板中有体密度为0ρ的均匀分布自由电荷，平板的相对介电常数为r ε， 两侧分别充满相对介电常数为1r ε和2r ε的均匀介质.要求板内外的电场强度E ，首先分析介质平板中激发电场的电荷分 布，因介质板内有自由电荷0ρ，在自由电荷处对应的极化电荷密度为 01 'ρεερr r -- = 总电荷体密度为 r ερ ρρρ00'=+= 因此，平板中电荷为均匀分布.另外，在介质板两侧为不同的介质，由于21r r εε≠，故在两界面上的极化电荷面密度 图2 1r ε2 r ε图1
21''σσ≠.在板内存在一个电场强度0=E 的平面'OO ，不妨称它为零电场面.此面 的电位移矢量0=D ,如图2.以'OO 面为基面,向两侧作底面积为S ,垂直'OO 面伸出平板外的柱体,柱体的表面为高斯面,根据对称性,E 与D 的方向垂直介质板的表面,因此高斯面侧面的电通量为0.两个高斯面包围的自由电荷的电荷量分别为 10Sb ρ和20Sb ρ.根据介质中高斯定理,求得介质板两侧的电位移矢量为 n n e b D e b D 202101,ρρ== 两侧的电场强度为 n r n r e b E e b E 2 020210101,εερεερ== 单位矢n e 的方向为背向介质板表面,如图 2所示,介质板两侧的电场的大小相等,即21E E =.因而 2 2 1 1 r r b b εε= 因21b b b +=,求得零电场面的位置 2 1212111,r r r r r r b b b b εεεεεε+= += 用i 表示方向向右的单位矢,则板外两侧介质的电场为 i b E r r ) (2100εεερ+± = 同理,以零电场面为基面在板内作底面积为S 、长为x 的高斯面，求得介质板内电位移矢量为 xi D 0ρ=内 板内的电场强度为 i x E r εερ00= 内 式中x 为板内场点的坐标.
介质中的高斯定理
第 2 章静电场 2.4 介质中的静电场方程 2.4.2 介质中的高斯定律
1.介质中高斯定律的微分形式 ερ = ??E 0 ερρp += ??E （真空中）（电介质中）定义电位移矢量（Displacement ） ?D 线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。 D ——辅助矢量，又称电通密度，C /m 2代入P ?-?=p ρ) (1 P E 0 ??-=??ρερ ε=+??)(0P E P E D +=0ε则有 ρ =??D 电介质中高斯定律的微分形式 为自由电荷体密度 ρ
2. 介质中高斯定律的积分形式 ? ∑=?S q S D d 介质中高斯定律的积分形式 ? ∑∑+= ?S q q ) (S E p 0 1 d ε代入??-=S p q S P d ??∑?-=?S S q S P S E d d 0 ε?∑?=?+?S S q S P S E d d 0 ε?∑=?+S q S P E d )(0 εq 为闭合面包围的自由电荷
? D 线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；? P 线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。 ? E 线由正电荷出发，终止于负电荷； D 线 E 线 P 线 D 、 E 与P 三者之间的关系 图示平行板电容器中放入介质板后，其D 线、E 线和P 线的分布。
3.D 和E 的关系D = ε0E + P P = χe ε0E ?? ?? D = ε0 E +χe ε0E = ε0(1+χe ) E = ε0εr E = εE D = εE 介质的本构关系或组成关系 e r 1χεε ε+==ε——介质的电容率（介电常数）F/m εr ——介质的相对电容率（相对介电常数）无量纲 χe 、εr 和ε的取值取决于媒质的特性
应用高斯定理求场强
应用高斯定理求场强 1、均匀带电球壳的场强 设有一半径为的球壳均匀带电，其所带电量为，求球壳内外的电场强度。 解：（1）、球壳外的场强 通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得 所以 （2）、球壳内的场强
通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得 所以 2、均匀带电球体的场强 设有一半径为的均匀带电球体，其所带电荷的体密度为，求球体内外的电场强度。 解：（1）、球体外的场强 通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得 所以 （2）、球体内的场强 通过点以为球心、为半径作一封闭球面为高斯面。由于对称性，该面
上场强的数值都相同，方向沿半径向外。应用高斯定理，得 所以 3、无限大均匀带电平面的场强 设有一无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为，求带电平面的电场强度。 解：经过平面中部作一封闭圆柱面为高斯面，其轴线与平面正交，底面积为。令为两底面上的场强，则通过的电通量为，由高斯定理，得 所以 若有两平行无限大均匀带电平面，其所带电荷的面密度为。可以
证明，在两平行板中间，电场强度为 在两平行板外侧，电场强度为 4、无限长均匀带电直导线的场强 设有一无限长均匀带电直导线，其所带电荷的线密度为，求带电导线周围的电场强度。 解：过直导线作一高为、截面半径为r 的封闭圆柱面为高斯面。根据电场轴的对称性，通过圆柱侧面的电通量为，通过圆柱底面的电通量为0。由高斯定理，得 所以
A08_库仑定律_电场强度_电通量_高斯定理
单元八 库仑定律 电场 电场强度 1 一 选择题 01. 下列几种说法中哪一个是正确的? 【 C 】 (A) 电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向； (B) 在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同； (C) 场强方向可由F E q = 定义给出，其中q 为试验电荷的电量，q 可正、可负，F 为试验电荷 所受的电场力； (D) 以上说法都不正确。 02. 一带电体可作为点电荷处理的条件是 【 C 】 (A) 电荷必须呈球形分布； (B) 带电体的线度很小； (C) 带电体的线度与其它有关长度相比可忽略不计； (D) 电量很小。 03. 如图所示, 在坐标原点放一正电荷Q ，它在P 点 (1,0x y =+=) 产生的电场强度为E ，现在，另外有一个负电荷2Q -，试问应将它放在什么位置才能使P 点的电场强度等于零? 【 C 】 (A) x 轴上1x >； (B) x 轴上01x <<； (C) x 轴上0x <； (D) y 轴上0y >； (E) y 轴上0y <。 04. 在一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩p 的方向如图所示。当释放 后，该电偶极子的运动主要是： 【 D 】 (A) 沿逆时针方向旋转，直至电矩p 沿径向指向球面而停止； (B) 沿顺时针方向旋转，直至电矩p 沿径向朝外而停止； (C) 沿顺时针方向旋转至电矩p 沿径向朝外，同时沿电力线方向远离球面移动； 选择题_03图示 选择题_04图示 选择题_05图示
(D) 沿顺时针方向旋转至电矩p 沿径向朝外，同时逆电力线方向向着球面移动。 05. 如图所示为一沿x 轴放置的“无限长”分段均匀带电直线，电荷线密度分别为(0)x λ+<和 (0)x λ->则Oxy 坐标平面上点(0,)a 处的场强E 为 【 B 】 (A) 0； (B) 02i a λπε ； (C) 04i a λπε ； (D) 0()4i j a λπε+ 。 二 填空题 06. 带有N 个电子的一个油滴，其质量为m ，电子的电量的大小为e ，在重力场中由静止开始下落(重力加速度为g )，下落中穿越一均匀电场区域，欲使油滴在该区域中匀速下落，则电场的方向为向下，大小为 mg Ne 。 07. 如图所示的曲线表示一种球对称性电场的场强大小E 的分布，r 表示离对称中心的距离。这是由半径为R 均匀带电为q +的球体产生的电场。 08. 一半径为R 的带有一缺口的细圆环，缺口长度为d ()d R <<环上均匀带有正电，电荷为q ，如图所示。则圆心O 处的场强大小2 3 08qd E R πε= 。 09. 某区域的电场线如图所示，把一个带负电的点电荷q 放在点A 或B 时，在A 点受的电场力大 10. 电偶极子的电偶极矩是一个矢量，它的大小是ql (其中l 是正负电荷之间的距离)，它的方向是由 负电荷指向正电荷 。 三 判断题 11. 若将放在电场中某点的试探电荷q 改为q -，则该点的电场强度大小不变，方向与原来相反 。 【 错 】 12. 静电场中的电场线不会相交，不会形成闭合线。 【 对 】 四 计算题 13. 两个电量分别为71210q C -=+?和72210q C -=-?的点电荷，相距0.3m ，求距1q 为0.4m 、距2q 为0.5m 处P 点电场强度。 填空题_07图示 填空题_08图示 填空题_09图示
静电场的高斯定理复习题
－ 选择题 1.关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是： ()A 如果高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷； ()B 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零； ()C 如果高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷； ()D 如果高斯面内有净电荷， 则通过高斯面的电场强度通量必不为零。 〔 〕 答案：()D 2.如在边长为a 的正立方体中心有一个电量为q 的点电荷，则通过该立方体任一面的电场强度通量为 ()A 0/q ε ； ()B 0/2q ε； ()C 0/4q ε； ()D 0/6q ε。 〔 〕 答案：()D 3.在电场强度为E Ej = 的匀强电场中，有一如图所示的三棱柱，取表面的法线向外，设过面AA'CO ，面B'BOC ，面ABB'A'的电通量为1φ， 2φ，3φ，则 ()A 1230E b c E b c φφφ===； ()B 1230Eac Eac φφφ=-==； ()C 123Eac Ebc φφφ=-=-=-； ()D 123Eac Ebc φφφ===。 〔 〕 答案：()B 4.已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和 0i q =∑，则可肯定： ()A 高斯面上各点场强均为零。 ()B 穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。 ()C 穿过整个高斯面的电通量为零。 ()D 以上说法都不对。 〔 〕 答案：()C 5.有两个点电荷电量都是q +，相距为2a ，今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面。 在球面上取两块相等的小面积 1S 和2S ， 其位置如图所示。设通过1S 和2S 的电场强度通量分别为1φ和2φ，通过整个球面的电场强度通量为φ，则 ()A 120,/q φφφε>=； ()B 120,2/q φφφε<=； ()C 120,/q φφφε==； ()D 120,/q φφφε<=。 〔 〕 答案：()D 6.一点电荷，放在球形高斯面的中心处。下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： ()A 将另一点电荷放在高斯面外； ()B 将另一点电荷放进高斯面内； ()C 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内； ()D 将高斯面半径缩小。 答案：()B 7.A 和B 为两个均匀带电球体，A 带电荷q +，B 带电荷q -，作一与A 同心的球面S 为高斯面，如图所示。则
第四节 电移 有电介质时的高斯定理
8-4 电位移 有电介质时的高斯定理 在高斯面内不仅会有自由电荷，而且还会有极化电荷。这时，高斯定理应有些什么变化呢？ 我们仍以在平行平板电容器中充满各向同性的均匀电介质为例来进行讨论。在如下图所示的情形中，取一闭合的正柱面作为高斯面，高斯面的两端面与极板平行，其中一个端面在电介质内，端面的面积为S 。设极板上的自由电荷面密度为0σ，电介质表面上的极化电荷面密度为σ'。由高斯定理，有 ?'-=?s Q Q 00 ) (1 d ε S E （8-12） 式中Q Q ' 和0分别为S Q S Q σσ'='= 00和。我们不希望在式（8-12）中出现极化电荷，利用前节讨论的结果，我们可以计算出 r 00/εQ Q Q ='- （8-13） 把它代入（8-12）有 ? = ?s Q r 00 d εεS E 或 ?=?s Q r 0d S E εε （8-14） 现在不妨，令 E E D εεε==r 0 （8-15） 其中εεε=r 0叫做电介质的电容率。那么式（8-14）可写成 ?=?s Q d S D （8-16） 式中D 称作电位移，而??s S D d 则是通过任意闭合曲面S 的电位移通量。D 的单位为 2m C -?
讨论：证明: 关于 r Q Q Q ε0 0= '-的证明 电介质中的电场强度E 应为 E E E '+=0 考虑到E '的方向与0E 的方向相反，以及E 与E '的关系式（8-9），可得电介质中电场强度E 的值为 r 0 0εE E E E = '-= 故 r r 1 E E εε-= ' 因为 0/εσ' ='E ，000/εσ=E 从而可得 0r r 1 σεεσ-= ' 由于S Q 00σ=、S Q σ' ='，故上式亦可写成 0r r 1 Q Q εε-= ' 即 r Q Q Q ε0 0= '- 式（8-16）虽是从平行板电容器得出的，但可以证明在一般情况下它也是正确的。故 有 电介质时的高斯定理可叙述如下： 在静电场中，通过任意闭合曲面的电位移通量等于该闭合曲面内所包围的自由电荷的代数和，其数学表达式为 ??s S D d ∑ ==n i i Q 1 0 （8-17） 可以看出，电位移通量只和自由电荷联系在一起。
NO.1 作业(库仑定律 电场强度 高斯定理)
A C B E （B ） A C B E （ D ） A C B （C ） E （A ） A C B E No. 1 电场强度 高斯定理 一. 选择题 1. [ C ] 下列几个说法中哪一个是正确的？ （A ）电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向。 （B ）在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同。 （C ）场强可由q F E / =定出，其中q 为试验电荷，q 可正、可负，F 为试验电荷所受的电场力。 （D ）各个说法都不正确。 2. [ B ] 均匀带正电的圆环轴线上，电场强度取得最大值的位置在 （A ）0=z 处。 （B ）∞<
纸质作业 NO.1 电场强度 高斯定理(参考答案)
No.1 电场强度 高斯定理 ◆ 本章学习目标 1. 理解描述真空中点电荷间相互作用的库仑定律及其物理意义和适用条件。 2. 理解力的叠加原理并能熟练应用。 3. 理解电场强度的定义及其物理意义，能熟练应用场的叠加原理计算各种电荷分布产生的电场分布。 4. 理解描述静电场的有源性的高斯定理，掌握应用高斯定理计算电场强度的方法 ◆ 填空题 1.描述真空中电荷间相互作用力的库仑定律的数学表达式是 r ?412 2 10r q q F πε= ρ ；该定律的适用条件为 点电荷 。 2.电场强度的定义为 0 00lim q F E q ρ ρ→= ；该定义式的分子表示 场源电荷给试验电荷q 0的作 用力 ；分母表示 试验电荷q 0的电荷量 。 3.点电荷q 在空间的电场强度的数学表达式为 r ?41 2 0r q E πε= ρ , 该电场在空间的分布具有 球 对称性; 连续电荷分布体中，任意一个微元电荷d q 在空间的电场强度的数学表达式为 r ?d 41d 2 0r q E πε= ρ 。 4.在计算电荷连续分布带电体产生的电场时，首先应将微元电荷d q 产生的电场E ρ d 分解为 k ?d j ?d i ?d d z y x E E E E ++=ρ ；再进行下列运算： x x E E ?=d ； y y E E ?=d ； z z E E ?=d 。 5.电场强度的通量的定义或计算式是 A E ΦΦA e A e ρ ρd d ?== ? ? 。 6. 高斯定理的数学表达式是 0 d ε∑?= ?=内 i A e q A E Φρ ρ ；该定理表明静电场是 有源场 。 ◆ 综合练习题 1. 如图所示，真空中有一半径为R 的均匀带电球面，总带电量为Q (Q>0)。今在球面上挖去非常小的一块的面积△A (连同电荷) ，且假设挖去后不影响原来的电荷分布。若球心处有一正点电荷q 0，则挖去△S 后球心处点电荷q 0所受电场力的大小和方向。 A
N04 电场强度和高斯定理试题 参考答案.
NO.4 电场强度和高斯定理（参考答案） 班级：学号：姓名：成绩： 一选择题 1．真空中一“无限大”均匀带负电荷的平面如图所示，其电场的场强分布图线应是（设场强方向向右为 正、向左为负）： (A) (B) (C) 参考：左侧电场方向沿+x ，而右侧电场方向沿-x 。[ D] 2．两个同心均匀带电球面，半径分别为R a和R b(R a＜R b)，所带电量分别为Q a和Q b，设某点与球心相距r，当R a＜r＜R b时，该点的电场强度的大小为： （A） 4 1 πε·2r Q Q b a + ；（B） 4 1 πε·2r Q Q b a - ； （C） 4 1 πε·(2 2 b b a R Q r Q+) ；（D） 4 1 πε·2r Q a 。 参考：由电场叠加原理或高斯定理易知。[ D] 3．如图所示，两个“无限长”的、半径分别为R1和R2的共轴圆柱面均匀带电，沿轴线方向单位长度上的带电量分别为λ1和λ2，则在内圆柱面里面、距离轴线为r处的P点的电场强度大小E为： （A）r 2 1 2πε λ λ+ ；（B） 2 2 1 1 2 2R Rπε λ πε λ+ ； （C） 1 1 2R πε λ ；（D）0。[ D] 参考：该题与上题相似。 4．有两个点电荷电量都是+q，相距2a，今以左边的点电荷所在处为球心，以a为半径作一球形高斯面，在球面上取两块相等的小面积元S1和S2，其位置如图所示，设通过S1和S2的电场强度通量分别为Φ1和Φ2，通过整个球面的电场强度通量为Φs，则： (A) Φ1＞Φ2 ; Φs=q/ε0 ; (B) Φ1＜Φ2 ; Φs=2q/ε0 ; (C) Φ1=Φ2 ; Φs=q/ε0 ; (D) Φ1＜Φ2 ; Φs=q/ε0 . [ D] 5．真空中一半径R的导体球面的球心处有一点电荷电量为+Q，则球内外的场强分别为： (A)2 4内r Q πε + ，2 4外r Q πε + ；(B) 2 4内r Q πε - ，2 4外r Q πε + ； (C) 2 4内r Q πε + ，2 4外r Q πε + ；(D) 2 4内r Q πε - ，0 。参考：由高斯定理易知。[ A] 二填空题 — —
大学物理第7章静电场中的导体和电介质课后习题及答案
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案 1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明： R r =21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以 半径为R 的导体球的电势为 R R V 0211π4επσ= 14εσR = 半径为r 的导体球的电势为 r r V 0222π4επσ= 24εσr = 用细导线连接两球，有21V V =，所以 R r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。 证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ， 4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得 S S d E S ?+= =??)(1 0320 σσε 故 +2σ03=σ 上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。 （2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即 022220 4 030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ= 3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。 解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为 = O V R q dq R 3π4π41 00εε+ ? 03π4π400=+'=R q R q εε 故 - ='q 3 q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳