空间直线和平面总结 知识结构图+例题
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
期中复习
［知识串讲］
空间直线和平面： （一）知识结构
（二）平行与垂直关系的论证
1、线线、线面、面面平行关系的转化：
线线∥
(a//b,b//c a//c)
αβ
αγβγ
//,// ==????
a b a b
面面平行性质 线面平行性质
a a
b a b
////αβαβ?=????
?
? 面面平行性质1
αβαβ
////a a ???
?
?
面面平行性质
αγβγαβ
//////??
??
A b
2. 线线、线面、面面垂直关系的转化：
面面垂直判定
面面垂直定义
αβαβ
αβ
=--
?⊥
?
?
?
l l
，且二面角
成直二面角
3. 平行与垂直关系的转化：
面面∥
面面平行判定2
面面平行性质3
a b
a
b
//
⊥
?⊥
?
?
?
α
α
a
b
a b
⊥
⊥
?
?
?
?
α
α
//
a
a
⊥
⊥
?
?
?
?
α
β
αβ
//
αβ
α
β
//
a
a
⊥
⊥
?
?
?
a
4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”
5. 唯一性结论：
（三）空间中的角与距离
1. 三类角的定义：
（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （时，∥或）θαα=??0b b
（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°
2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角； （2）证明其符合定义； （3）指出所求作的角； （4）计算大小。
3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。
4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。
常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。 简单几何体：
（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）
性质侧棱都相等侧面是平行四边形对角面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形直截面周长侧棱长底面积高直截面面积侧棱长侧柱S V =?=?=???
?
????????
（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）
h
S 31
V ?=底锥
定理：截面与底面平行
则有221h h S S =底
截
正棱锥的性质
??????
?????
??
???=+=-=?α=+=+=?θ=α=-=?OEB Rt n 180sin 2a a 41r h l R SEB Rt cos r a 41l r h h SOE Rt sin l sin h R l h SOB
Rt 22
22222222 图）及元素之间的关系四个直角三角形（如上全等的等腰三角形侧棱都相等，侧面都是
O O O
O S S 11
221=λ是两个平行截面且、如图
）
（与定比分点公式比较则λ+λ+=1S
S S 21
概率与统计
（一）散型随机变量的分布列
性质：??
?=++=≥1p p 21i 0p 21
i ，，
二项分布：)p 1q (npq D np E )p n k (b q
p C )p n (B ~k
n k k n -==ξ=ξ=?ξ-，，，，，
若b a +ξ=η
则b aE )b a (E E +ξ=+ξ=η
ξ-=+ξ=ηD a )b a (D D 2
期望： ++++=ξn n 2211p x p x p x E
方差： +ξ-++ξ-+ξ-=ξn 2
n 222121p )E x (p )E x (p )E x (D
（二）抽样方法
??
?
??分层抽样系统抽样简单随机抽样
【典型例题】
例1. 如图，在四面体ABCD 中作截面EFG ，若EG ，DC 的延长线交于M ，FG 、BC 的延长线交于N ，EF 、DB 的延长线交于P ，求证M 、N 、P 三点共线。
证明：由已知，显然M 、N 、P 在平面EFG 上 又M 、N 、P 分别在直线DC 、BC 、DB 上
故也在平面BCD 上
即M 、N 、P 是平面BCD 与平面EFG 的公共点 ∴它们必在这两个平面的交线上 根据公理2. M 、N 、P 三点共线
例2. 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么AM 与CM 所成角的余弦值为（ ）
52.
D 5
3.
C 2
10.
B 2
3.
A
分析：如图，取AB 中点E ，CC 1中点F 连结B 1E 、B 1F 、
EF
则B 1E//AM ，B 1F//NC
∴∠EB 1F 为AM 与CN 所成的角 又棱长为1
∴=
==B E B F EF 11525262，，
∴∠=+-?=
c o s EB F B E B F EF B E B F 1121221122
5 ∴选D
例3. 已知直线平面，直线平面，有下面四个命题：l m ⊥?αβ
①②③④αβαβαβ
αβ/?⊥⊥??⊥⊥?///////l m l m
l m l m 其中正确的两个命题是（ ） A. ①与② B. ③与④ C. ②与④
D. ①与③
分析：
对于①
①正确
l l m l m ⊥????⊥??
??
?⊥∴ααβββ//
对于②，如图
l a m l m ⊥⊥??
??
???αββ///
∴②错
对于③
③正确
l l m m m ⊥????⊥??
??
?⊥∴ααβαβ//
对于④，如图
l l m m ⊥⊥??
??
???αβαβ///
∴④错
∴①③正确，选D
例4. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F 。（1）证明PA//面EDB 。（2）PB ⊥平面EFD 。
证：（1）连AC ，AC 交BD 于O ，连EO ∵底面ABCD 是正方形 ∴点O 是AC 中点 又E 为PC 中点 ∴EO//PA
又面，且面EO EDB PA EDB ?? ∴PA//面EDB
（2）∵PD ⊥底面ABCD ∴BC ⊥PD
又且BC DC PD DC D ⊥= ∴BC ⊥面PDC ∴BC ⊥DE 又E 为等直角三角形中点
∴⊥=DE PC PC BC C 且 ∴DE ⊥面PBC ∴DE ⊥PB 又已知且EF PB EF DE E ⊥= ∴PB ⊥面DEF
例5. 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，求证：A 1C ⊥BC 1。
证明：设E 、E 1分别是BC 、B 1C 1的中点，连AE ，A 1E 1，B 1E ，E 1C 则面，面及AE B BCC A E B BCC EB E C ⊥⊥11111111//
AE B BCC AB BC EB BC EB E C E C BC A E B BCC A C BC ⊥⊥?
???⊥????⊥⊥????⊥面面1111111111111111
//
注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。
例6. 下列正方体中，l 是一条体对角线，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，如何证明l ⊥面MNP 。
（1） D 1 P C 1
（2） D
C 1
N
（3） D
C 1
B
分析：①在侧面的射影显然与、垂直l MP MN ∴⊥⊥∴⊥MP l MN l
l MNP ，面
②显然分别与在底面上射影垂直及与垂直l MN MP
∴⊥l M N P 面
③如图，取棱A 1A 、DC 、B 1C 1的中点，分别记为E 、F 、G ，显然EMFNGP 为平面图形，而D 1B 与该平面垂直 ∴l ⊥面MNP
例7. 如图，斜三棱柱中，，，，ABC A B C AC A B AA AC AB -⊥===''''''810
∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。 （）求证：面面；1AA C C ABC ''⊥ （）求侧面的面积。2AA B B ''
分析：要证明面面，只要证明面，又，只要AA C C ABC BC AA C C BC AC ''''⊥⊥⊥
证明，故只要证明平面。BC AC AC A BC ⊥⊥'''
证明：（）∵为菱形1AA C C '' ∴⊥AC A C '' 又面AC A B
AC A BC AC BC '''''⊥∴⊥∴⊥
又∠ACB=90°，即AC ⊥BC
∴⊥BC AA C C 面'' 又面面面BC ABC ABC AA C C ?∴⊥''
（）作于2A D AC D '⊥
面面，为交线AA C C ABC AC ''⊥
∴⊥A D ABC '面
°与底面成的角，即∠为侧棱∠60AC 'A AA AD 'A =∴ 过作于，连结，则D DE AB E A E A E AB ⊥⊥'' 又，AD A D =?==?=860486043cos 'sin
∴D 为AC 中点 在中Rt ABC ?
DE BC AD
AB
DE =∴=
?=461012
5
∴=
+=+=A E A D DE ''()()2222431258
521
∴=?=?
=S AB A E
A AB
B 平行四边形'''108
5211621
例8. 已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，沿DE 将△ABC 折成直二面角，使A 到A’的位置（如图）。求： （1）C 到A’D 的距离；
（2）D 到平面A’BC 的距离；
（3）A’D 与平面A’BC 所成角的正弦值。
解：（1）∵二面角A’－DE －B 是直二面角
又A’E ⊥ED ，CE ⊥ED
∴ED ⊥面A’EC 及EC ⊥面A’ED
作EF ⊥A’D 于F ，连结CF ，则CF ⊥A’D ∴CF 即为C 点到直线A’D 的距离 在Rt △A’ED 中，EF ·A’D=A’E ·ED
∴=
?=EF 43512
5
∴=
+=+=FC EF EC 222212544345(
)
/BC 'A DE BC 'A BC BC //DE 2面，面，）
（?? ∴DE//面A’BC
∴E 到面A’BC 的距离即为D 点到平面A’BC 的距离 过E 作EM ⊥A’C 于M ∵ED ⊥面A’EC 又BC//ED
∴BC ⊥面A’EC ∴BC ⊥EM
∴EM ⊥面A’BC
∴为点到平面的距离即为点到面的距离且EM E A BC D A BC EM ''=22 或者用体积法： 由V V D A BC A BCD --=''
即131
3S h S A E A BC BCD ??''?=?
∴=?=???=h S A E S BC CE A E
BC A C BCD A BC
??''''1
21222
（）设与平面所成角为3A D A BC ''θ
5D 'A 22h BC 'A D 2==及的距离为点到面）知又由（ ∴=
=s i n 'θh A D 22
5
例9. 如图，直三棱柱中，∠°，，，侧棱ABC A B C ACB AC CB -===
1119012
AA AA B B D B C M 111111=，侧面的两条对角线交点为，的中点为。
（）求证：平面；1CD BDM ⊥
（）求面与面所成二面角的大小。21B BD CBD
（1）证明：连结，则CA CA BC 112==
又为中点①D A B CD BD 1∴⊥
易知面AC BB C C ⊥11
∴CB CD BB C C 111是在底面上射影 故只要BM CB ⊥1 设BM CB E 1=
在和中
Rt CBB Rt BB M CB BB BB MB ??11111211
2
2===
°∠又∠90M BB CBB 11==
∴Rt CBB Rt BB M ??11~
∴=∠∠B C B
B BM 11 又∠∠°B BM CBM 190+=
∴+=∴=∠∠°∠°B C B C B M C E B 19090
∴⊥∴⊥BM CB BM CD 1
②
由①②知面CD BDM ⊥
（2）解： AB 12
312=
+=
∴===B D BD BB 111
即△为正三角形，取中点，则B DB BD F B F BD 11⊥ 又取BC 中点N ，连结NF
∴NF
CD //1
2
又CD BD
NF BD ⊥∴⊥ ∴∠为所求二面角的平面角NFB 1
又，B N CD BC BD 12222
222162211
=+==-=-=(
)
∴==
NF B F 123
21， 在△中由余弦定理DCB 1
c o s ()()()∠N F B FN FB NB FN FB 1
2
1
21
2222
21232622123
233=+-??=+-??=-
∴-所求二面角为πa r c c o s
3
3
例10. 将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验，如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的
点数之和大于9时，则称为这次试验成功。
（1）求一次试验成功的概率；（2）在试验成功的所有情况中，以ξ表示两次抛掷的骰子出现的点数和，求ξ的概率分布列及数学期望。 解：（1）两次抛掷出现点数之和大于9的有（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6） 61
666p =?=
∴一次成功的概率为
（2）在成功的条件下，ξ=10，11，12
61)12(P 3162)11(P 2163)10(P ==ξ===ξ==
=ξ，，且
332611*********E =?+?+?
=ξ∴
【模拟试题】
一. 选择题
1. 一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（ ） A. 成异面直线 B. 相交 C. 平行 D. 平行或相交
2. 已知直线a ，b ，平面αβγ，，，有下列四个命题 ①a a //////αβαβ，?；
②αββγαγ/////，/?；
③a a ⊥⊥?αβαβ，//； ④a b a b ⊥⊥?αβαβ，，//// 其中正确的命题有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. 以上都不对
3. 边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，
BC a
=
12，这时二面角B －AD －C 的大小为（ ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
4. 设a ，b 是两条异面直线，P 是a ，b 外的一点，则下列结论正确的是（ ） A. 过P 有一条直线和a ，b 都平行 B. 过P 有一条直线和a ，b 都相交 C. 过P 有一条直线和a ，b 都垂直 D. 过P 有一个平面与a ，b 都平行
5. 若a ，b 是异面直线，点A 、B 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AD=AC ，BD=BC ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
二. 填空题
6. 设正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，则
D C
1
11
（1）A 点到CD 1的距离为_____________ （2）A 点到BD 1的距离为_____________ （3）A 点到面BDD B 11的距离为_____________ （4）A 点到面A BD 1的距离为_____________
（5）AA BB D D 111与面的距离为_____________
7. 如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是DC BC 、中点，现沿AE 、AF 、EF 把它折成一个四面体，使B 、D 、C 三点重合于G ，则V A GEF -=_____________。
8. 把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60°的二面角，则点A 到BC 的距离为_________________。
9. 如图PA ⊥⊙O 面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E 、F 分别是A 在PB 、PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ，②EF ⊥PB ，③AF ⊥BC ，④AE ⊥平面PBC ，其中正确命题的序号是_____________。
10. 平面αβ⊥平面，其交线为l ，A B ∈∈αβ，，AB 与β所成角为30°，则AB 与α所成角的取值范围是_____________。
三. 解答题
11. 四面体ABCS 中，SB 、SC 、SA 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点。求：
（1）BC 与面SAB 所成的角；
（2）SC 与平面ABC 所成角的正弦值。
12. AB 为⊙O 的直径，C 为弧AB 上的一点（异于A 、B ），PA ⊥平面ABC 。（1）求证：面PAC ⊥面PBC ；（2）若AE ⊥PC 于E ，则面AEB ⊥面PBC ，BE 为交线。 13. 在矩形ABCD 中，已知AB AD =
12，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折到△A BE
'的位置，使A C A D ''=。
（1）求证：平面A BE '⊥平面BCDE 。 （2）求A C '和面BCD 所成角的大小。
14. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
SA=AB=BC=1，AD=
1
2。
（I）求V S ABCD
-；
（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。
15. 一个由5人组成的数学课外活动小组，其中2名女生，3名男生，老师每天从5人中随机抽查3人。
（1）求一次抽查时，2名女生全被抽到的概率；
（2）用ξ表示一周5天中，2名女生同时被抽查的次数，求随机变量ξ的概率分布和它的数学期望。
【试题答案】
一. 1. C 2. C 3. C
4. C（当P点和直线a确定的平面α与b平行时，则过P点的直线与a不相交，∴B错，当P点在a或b上时，D不成立）
5. A
二. 6. （），（），（），（），（）1
6
2
2
6
3
3
2
2
4
3
3
5
2
2
7. a3 24
8. 15 4
a
9. ①②③
10. （0°，60°]
（如图∠ABD≥30°，∴90°－∠BAD≥30°
∴∠BAD≤60°∴0<∠BAD≤60°）
三. 11. 解：（1）∵SC⊥SA，SC⊥SB
∴SC⊥面SAB
∴SB是CB在面SAB上的射影
∴∠SBC是直线BC与面SAB所成的角，且为60°
（2）连SM，CM，则SM⊥AB（△SAB为等腰Rt△）
∴AB⊥面CSM
设SH⊥CM于H，则AB⊥SH
∴SH⊥面ABC
∴∠SCH为SC与平面ABC所成的角
设SB=SA=a
则SM a SC a tg a ==?=
2
2
603
，°
∴=+=∴=
=CM a a a SCH SM CM ()()sin 32272
7
7
22∠ 注：“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，却又是面ABC 的斜线。 12. 证：（1）∵PA ⊥面ABC ，PC 在面ABC 上射影为AC 又AB 为⊙O 直径
∴BC ⊥AC ∴BC ⊥PC ∴BC ⊥面PAC 又BC ?面PBC ∴面PAC ⊥面
PBC
（2）由（1）知BC ⊥面PAC
又AE ?面PAC
∴BC ⊥AE ，又PC ⊥AE ∴AE ⊥面PBC 又AE ?面AEB ∴面AEB ⊥面PBC
或者：由（1）知面PAC ⊥面PBC ，PC 为交线 又AE ⊥PC ∴AE ⊥面PBC
又AE ?面AEB ∴面AEB ⊥面PBC 注：线线垂直线面垂直面面垂直 13. （1）取BE 中点M ，CD 中点N ， 连N M N 'A MN M A 、，，，分别为中点 A B A E A C A D ''''==，
∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥?∴⊥A M BE A N CD MN CD CD A MN CD A M
BE CD A M BCDE A M A BE
A BE BCDE ''''''''，，面又与不平行，必相交面又面面面
（2）连结MC ，
∵A M BCDE '⊥面
∴∠A CM '就是A C '与面BCDE 所成的角
设AB=a ，则
A M a '=
22
在中，Rt MNC MC MN NC a a a ?222222
3225
2=+=+=()() ∴=MC a
10
2
在中，∠Rt A CM tg A CM a
a ?''==
221025
5
∴=∠A CM arctg
'5
5 14. 分析：易证AD ⊥面SAB （I ）
V SA S S AD BC AB S ABC ABCD ABCD -=
??=
+?=1
3123
4()
∴=??=-V S ABC
1313414
（II ）延长CD 、BA 交于点E
连结SE ，SE 即为面CSD 与面BSA 的交线 又∵DA ⊥面SAB
∴过A 作AF ⊥SE 于F 连FD ，则DF ⊥SE
∴∠为二面角的平面角AFD
又易知△SAE 为等腰直角三角形，F 为SE 中点
∴=
===∴∠==
AF SE SA AD AFD AD FA 12222
2122
2又tan
15. 解：（1）2名女生全被抽到的概率为
103
C C C p 3513
22==
（2）某一天中2名女生全被抽到的概率为103
则不全被抽到的概率为
1071031=-
ξ的取值为0，2，3，4，5
则k
5k k 5)
p 1(p C )k (P --
=
=ξ（k=0，1，3，4，5），
103
p =
即)1035(B ~，ξ，
23
1035np E =
?==ξ∴
【励志故事】
扛船赶路
一个青年背着一个大包裹千里迢迢跑来找无际大师，他说：“大师，我是那样的孤独、
痛苦和寂寞，长期的跋涉使我疲倦到极点；我的鞋子破了，荆棘割破双脚；手也受伤了，流血不止；嗓子因为长久的呼喊而喑哑……为什么我还不能找到心中的阳光？” 大师问：“你的大包裹里装的什么？”青年说：“它对我可重要了。里面是我每一次跌倒时的痛苦，每一次受伤后的哭泣，每一次孤寂时的烦恼……靠着它，我才能走到您这儿来。” 于是，无际大师带青年来到河边，他们坐船过了河。上岸后，大师说：“你扛了船赶路吧！”“什么，扛了船赶路？”青年很惊讶，“它那么沉，我扛得动吗？”“是的，孩子，你扛不动它。”大师微微一笑，说：“过河时，船是有用的。但过了河，我们就要放下船赶路。否则，它会变成我们的包袱。痛苦、孤独、寂寞、灾难、眼泪，这些对人生都是有用的，它能使生命得到升华，但须臾不忘，就成了人生的包袱。放下它吧！孩子，生命不能太负重。” 青年放下包袱，继续赶路，他发觉自己的步子轻松而愉悦，比以前快得多。原来，生命是可以不必如此沉重的。
高中数学知识点完整结构图
高中数学知识点1 集合 123412n x A x B A B A B A n A ∈??? ????? ∈?∈?（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ?????????? ????????????≠∈?????=???=∈∈?=??=??=???真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ????????=????=∈∈???=??=?=????????=???=+?=∈?=?=??==?=?，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ????? ?? ?? ?? ?? ?????????? ???????? ??????????????????????? ?????????????????????=???????
(完整版)非常实用的数据结构知识点总结
数据结构知识点概括 第一章概论 数据就是指能够被计算机识别、存储和加工处理的信息的载体。 数据元素是数据的基本单位，可以由若干个数据项组成。数据项是具有独立含义的最小标识单位。 数据结构的定义： ·逻辑结构：从逻辑结构上描述数据，独立于计算机。·线性结构：一对一关系。 ·线性结构：多对多关系。 ·存储结构：是逻辑结构用计算机语言的实现。·顺序存储结构：如数组。 ·链式存储结构：如链表。 ·索引存储结构：·稠密索引：每个结点都有索引项。 ·稀疏索引：每组结点都有索引项。 ·散列存储结构：如散列表。 ·数据运算。 ·对数据的操作。定义在逻辑结构上，每种逻辑结构都有一个运算集合。 ·常用的有：检索、插入、删除、更新、排序。 数据类型：是一个值的集合以及在这些值上定义的一组操作的总称。 ·结构类型：由用户借助于描述机制定义，是导出类型。 抽象数据类型ADT：·是抽象数据的组织和与之的操作。相当于在概念层上描述问题。 ·优点是将数据和操作封装在一起实现了信息隐藏。 程序设计的实质是对实际问题选择一种好的数据结构，设计一个好的算法。算法取决于数据结构。 算法是一个良定义的计算过程，以一个或多个值输入，并以一个或多个值输出。 评价算法的好坏的因素：·算法是正确的； ·执行算法的时间； ·执行算法的存储空间（主要是辅助存储空间）； ·算法易于理解、编码、调试。 时间复杂度：是某个算法的时间耗费，它是该算法所求解问题规模n的函数。 渐近时间复杂度：是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。 评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度。 算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。 时间复杂度按数量级递增排列依次为：常数阶O（1）、对数阶O（log2n）、线性阶O（n）、线性对数阶O（nlog2n）、平方阶O （n^2）、立方阶O（n^3）、……k次方阶O（n^k）、指数阶O（2^n）。
初中数学几何空间与图形知识点
初中数学《几何空间与图形》知识点 初中数学《几何空间与图形》知识点 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。 比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。
数据结构复习要点(整理版).docx
第一章数据结构概述 基本概念与术语 1．数据：数据是对客观事物的符号表示，在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序所处理的符号的总称。 2. 数据元素：数据元素是数据的基本单位，是数据这个集合中的个体，也称之为元素，结点，顶点记录。 (补充：一个数据元素可由若干个数据项组成。数据项是数据的不可分割的最小单位。 ) 3．数据对象：数据对象是具有相同性质的数据元素的集合，是数据的一个子集。(有时候也 叫做属性。) 4．数据结构：数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。 (1)数据的逻辑结构：数据的逻辑结构是指数据元素之间存在的固有逻辑关系，常称为数据结构。 数据的逻辑结构是从数据元素之间存在的逻辑关系上描述数据与数据的存储无关，是独立于计算机的。 依据数据元素之间的关系，可以把数据的逻辑结构分成以下几种： 1. 集合：数据中的数据元素之间除了“同属于一个集合“的关系以外，没有其他关系。 2. 线性结构：结构中的数据元素之间存在“一对一“的关系。若结构为非空集合，则除了第一个元素之外，和最后一个元素之外，其他每个元素都只有一个直接前驱和一个直接后继。 3. 树形结构：结构中的数据元素之间存在“一对多“的关系。若数据为非空集，则除了第一个元素 (根)之外，其它每个数据元素都只有一个直接前驱，以及多个或零个直接后继。 4. 图状结构：结构中的数据元素存在“多对多”的关系。若结构为非空集，折每个数据可有多个(或零个)直接后继。 (2)数据的存储结构：数据元素及其关系在计算机内的表示称为数据的存储结构。想要计算机处理数据，就必须把数据的逻辑结构映射为数据的存储结构。逻辑结构可以映射为以下两种存储结构： 1. 顺序存储结构：把逻辑上相邻的数据元素存储在物理位置也相邻的存储单元中，借助元素在存储器中的相对位置来表示数据之间的逻辑关系。 2. 链式存储结构：借助指针表达数据元素之间的逻辑关系。不要求逻辑上相邻的数据元素物理位置上也相邻。 5. 时间复杂度分析：1.常量阶：算法的时间复杂度与问题规模n 无关系T(n)=O(1) 2. 线性阶：算法的时间复杂度与问题规模 n 成线性关系T(n)=O(n) 3. 平方阶和立方阶：一般为循环的嵌套，循环体最后条件为i++ 时间复杂度的大小比较： O(1)< O(log 2 n)< O(n )< O(n log 2 n)< O(n2)< O(n3)< O(2 n ) 建筑结构施工图识图入门总结，很详细 知识，力求达到以下四个面能力： 1、理解建筑施工图的成图原理和制图标准； 2、看懂房屋的组成和各部分的材料、做法，能够看懂一般建筑工程的主要施工图纸； 3、能够根据施工图纸进行建筑面积和一般工程量的计算以及常用构件数量的统计； 4、能够发现图纸中较明显的错误、遗漏和图样之间相互矛盾的地。 第一节建筑工程施工图的组成 各专业施工图的容 1、总图：建筑场地围建筑物的位置、形状和尺寸，道路、绿化及各种室外管线的布置等。 2、建筑专业图：建筑平面图、立面图、剖面图、各种详图及门窗表、材料做法表。 3、结构专业图：基础图、各层顶板的平面、剖面、各种构件详图，构件数量表及设计说明。 4、设备专业图：包括给水、排水、采暖、通风各系统的平面图、轴测图和各种详图。 5、电气专业图：包括照明、动力和弱电的系统图、平面图及详图等。 第二节建筑工程图的成图原理 一、投影的概念 用一组假想的投射线把物体的形状投到一个平面上，就可以得到一个图形，称为投影法。 二、投影的种类 1、中心投影：投影线由一点放射出来投射到物体上，这种作图法称为中心投影法。 2、平行投影：投影线呈相互平行状投射到物体上，称平行投影。 （1）正投影：使投影线垂直于投影面时，并且使物体的一个面也垂直于投影线。 （2）斜投影：当投影线倾斜于投影面时，所作出的投影。 三、物体的三面正投影图 1、三面正投影体系的形成 （1）将物体放在三个相互垂直的投影面间； （2）用三组垂直于投影面的投影线作投影； （3）在三个投影面上得到三个正投影图。 2、三面正投影体系的展开 （1）正立投影面不动； （2）水平投影面向下转动90°； （3）侧立投影面向右后转动90°。 3、三面投影图的特性 （1）不全面性 每个投影图只能反映物体两个向的尺寸；立面图反映长度和高度；平面图反映长度和宽度；侧面图反映高度和宽度。 （2）“三等关系” 长对正：立面图与平面图的长度相等； 高平齐：立面图与侧面图的高度相等； 宽相等：平面图与侧面图的宽度相等。 4、镜像投影图 当用正投影图不易表达物体形状时，可在物体下放一个镜面，再用正投影法从上向下进行投影，在镜面中反射出的物体的图形就是镜像投影图。 镜像投影法一般应用在绘制各层结构顶板平面图。 四、剖面图 （一）剖面图的形成：用一个假想的平面把物体切开，移走一部分，作剩下这部分物体的正投影。 （二）剖面图的形式： 1、全剖面图 2、半剖面图 3、局部剖面图 4、阶梯剖面图 （三）剖面图的标注式 1、剖切线：剖切位置、剖切向、剖面编号。 2、剖面图编号 初中数学知识结构图 两点说明： 一、初中数学知识总共包括代数、几何、统计概率三部分。本资料亦按照这一架构汇总。 二、背诵本资料请一定把握以下三点： 1、背诵定义，不仅要背诵定义内容，而且一定要牢记定义中的条件要素； （注：大部分定义等同于公式，同样可以用于解题。比如定义的条件就是选择、填空甚至大题必考的考点。） 2、背诵公式，不仅要背诵公式内容，而且一定要熟记书上的标记例题，掌握公式的运用； 3、不管是背诵定义还是公式，头脑中务必要时刻与平时所做的练习题尤其是错题结合起来，加深对有关公式 定义的理解。 （注：以上三条同样适用于其他各学科。） 1 / 16 2 / 16 1、代数（这部分主要包括实数、代数式、方程式、不等式、函数五个内容。） 1.1 实数 有理数和无理数统称为实数。（实数包括有理数和无理数。） 有理数：整数与分数统称为有理数。它是有限小数或无限循环小数（带循环节符号，如5.? 36?4）。 1.1.1概念 无理数：无限不循环小数叫无理数。（无限不循环小数：①带省略号......；②与π 有关；③带根号且开不尽。如5.63……；3π；3；33） 正整数：如1,2,3...... 整数 零： 0 （0既不是正数也不是负数） 负整数：如 -1，-2....... ① 正分数：如21，34，5.2 ...... 分数 负分数：如-3.5，-65...... 有理数 （通常有 正整数（正数“+”可省略不写，“-”不行。但具体生活题最好写正号，如往东100米写作“+100”） 两种分 正有理数 （我们常常用正数和负数表示一些具有相反意义的量。如往东计正，往西就计负） 类方法） 正分数 ② 零：0 ① 负整数 负有理数 1.1.2 负分数 实数 正无理数 分类 无理数 （通常 负无理数 两种） 正实数（包括正有理数和正无理数） 第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+= 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2 复习提纲 第一章数据结构概述 基本概念与术语（P3） 1．数据结构是一门研究非数值计算程序设计问题中计算机的操作对象以及他们之间的关系和操作的学科. 2．数据是用来描述现实世界的数字,字符,图像,声音,以及能够输入到计算机中并能被计算机识别的符号的集合 2．数据元素是数据的基本单位 3．数据对象相同性质的数据元素的集合 4．数据结构包括三方面内容:数据的逻辑结构.数据的存储结构.数据的操作. （1）数据的逻辑结构指数据元素之间固有的逻辑关系. （2）数据的存储结构指数据元素及其关系在计算机内的表示 ( 3 ) 数据的操作指在数据逻辑结构上定义的操作算法,如插入,删除等. 5.时间复杂度分析 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1、名词解释：数据结构、二元组 2、根据数据元素之间关系的不同，数据的逻辑结构可以分为 集合、线性结构、树形结构和图状结构四种类型。 3、常见的数据存储结构一般有四种类型，它们分别是___顺序存储结构_____、___链式存储结构_____、___索引存储结构_____和___散列存储结构_____。 4、以下程序段的时间复杂度为___O(N2)_____。 int i,j,x; for(i=0;i 人教版五年级下册数学空间与图形知识点汇总 一、轴对称与旋转 1、图形的变换包括平移、旋转和对称。 2、轴对称图形：一个图形沿某一条直线对折;直线两侧的图形能够完全重合;这个图形就是轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。 3、轴对称图形都有对称轴。有一条对称轴的图形有等腰三角形;等腰梯形、线段、角。有两条对称轴的图形有长方形、菱形。有三条对称轴的图形有正三角形。正方形有4条对称轴。 4、轴对称图形的特征： （1）、对应点到对称轴的距离相等; （2）、对应点连线与对称轴互相垂直。 5、轴对称图形的画法： （1）、找出已知图形的关键点。 （2）、在对称轴的另一侧画出关键点的对应点。 （3）、按顺序连接各对应点。 6、旋转：图形或物体绕着一个点或一条轴运动的现象叫做旋转。图形旋转后只改变位置;不改变形状和大小。 一、长方体和正方体的认识 在3个、4个、5个面是正方形！ 练习： （1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形; ( ) 2、正方体的六个面面积一定相等; ( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等; ( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 11、有两个相对的面是正方形的长方体;另外四个面的面积是相等的。（ ） 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 14、正方体不仅相对的面的面积相等;而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等;也可能有两个相邻的面相等。 （ ） 16、一个长方体中最少有4条棱长度相等;最多有8条棱长度相等。（ ） （2）填空： 1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形;最多有（ ）条棱长度相等。 2、一个长方体的底面是一个正方形;则它的4个侧面是 （ ）形。 3、 正方体不仅相对的面相等;而且所有相邻的面（ ）;它的六 个面都是相等的（ ）形。 4、 把长方体放在桌面上;最多可以看到（ ）个面。最少可以看 到（ ）个面。 【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 长方体棱长和= 下面周长×2+高×4 长方体棱长和=右面周长×2+长×4 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎;捆扎效果如图;打结部分需要10厘米彩带;一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和;但由 于彩带的捆扎是和棱相互平行的; 因此;在解决问题时首先确定每部分彩带 与那条棱平行;从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度;左面和右 面的彩带长度=高的长度; 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度 20×4+30×2+10=150cm 自考02331数据构造重点总结(最后修订) 第一章概论 1.瑞士计算机科学家沃思提出：算法+数据构造=程序。算法是对数据运算描述，而数据构造涉及逻辑构造和存储构造。由此可见，程序设计实质是针对实际问题选取一种好数据构造和设计一种好算法，而好算法在很大限度上取决于描述实际问题数据构造。 2.数据是信息载体。数据元素是数据基本单位。一种数据元素可以由若干个数据项构成，数据项是具备独立含义最小标记单位。数据对象是具备相似性质数据元素集合。 3.数据构造指是数据元素之间互有关系，即数据组织形式。 数据构造普通涉及如下三方面内容：数据逻辑构造、数据存储构造、数据运算 ①数据逻辑构造是从逻辑关系上描述数据，与数据元素存储构造无关，是独立于计算机。 数据逻辑构造分类：线性构造和非线性构造。 线性表是一种典型线性构造。栈、队列、串等都是线性构造。数组、广义表、树和图等数据构造都是非线性构造。 ②数据元素及其关系在计算机内存储方式，称为数据存储构造（物理构造）。 数据存储构造是逻辑构造用计算机语言实现，它依赖于计算机语言。 ③数据运算。最惯用检索、插入、删除、更新、排序等。 4.数据四种基本存储办法：顺序存储、链接存储、索引存储、散列存储 （1）顺序存储：普通借助程序设计语言数组描述。 （2）链接存储：普通借助于程序语言指针来描述。 （3）索引存储：索引表由若干索引项构成。核心字是能唯一标记一种元素一种或各种数据项组合。 （4）散列存储：该办法基本思想是：依照元素核心字直接计算出该元素存储地址。 5.算法必要满足5个准则：输入，0个或各种数据作为输入；输出，产生一种或各种输出；有穷性，算法执行有限步后结束；拟定性，每一条指令含义都明确；可行性，算法是可行。 算法与程序区别：程序必要依赖于计算机程序语言，而一种算法可用自然语言、计算机程序语言、数学语言或商定符号语言来描述。当前惯用描述算法语言有两类：类Pascal和类C。 6.评价算法优劣：算法"对的性"是一方面要考虑。此外，重要考虑如下三点： ①执行算法所耗费时间，即时间复杂性； ②执行算法所耗费存储空间，重要是辅助空间，即空间复杂性； ③算法应易于理解、易于编程，易于调试等，即可读性和可操作性。 初中几何空间与图形知识点 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。 截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。 角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。 垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。 垂直平分线定理： 性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相 第一章：有理数 ★知识结构图： 正分数负分数 正整数0 负整数 ★正数和负数 概念、定义： 1.大于0的数叫做正数（positive number）。 2.在正数前面加上负号“-”的数叫做负数（negative number）。 3.整数和分数统称为有理数（rational number）。 4.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（number axis）。 5.在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点（origin）。 6.一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）。 7.一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 8.正数大于0，0大于负数，正数大于负数。两个负数，绝对值大的反而小。 ★有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。 4.有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。 5.有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先将后两个数相加，和不变。 6.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 ★有理数乘法法则 1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘；任何数同0相乘，都得0。 2. 有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。 3. 一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 4.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。 5.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 ★有理数除法法则 1.除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。★做有理数混合运算时，应注意以下运算顺序： 第一章概论 1.数据结构描述的是按照一定逻辑关系组织起来的待处理数据元素的表示及相关操作，涉及数据的逻辑结构、存储结构和运算 2.数据的逻辑结构是从具体问题抽象出来的数学模型，反映了事物的组成结构及事物之间的逻辑关系 可以用一组数据（结点集合K）以及这些数据之间的一组二元关系（关系集合R）来表示：(K, R) 结点集K是由有限个结点组成的集合，每一个结点代表一个数据或一组有明确结构的数据 关系集R是定义在集合K上的一组关系，其中每个关系r（r∈R）都是K×K上的二元关系 3.数据类型 a.基本数据类型 整数类型(integer)、实数类型(real)、布尔类型(boolean)、字符类型（char）、指针类型（pointer）b.复合数据类型 复合类型是由基本数据类型组合而成的数据类型；复合数据类型本身，又可参与定义结构更为复杂的结点类型 4.数据结构的分类：线性结构（一对一）、树型结构（一对多）、图结构（多对多） 5.四种基本存储映射方法：顺序、链接、索引、散列 6.算法的特性：通用性、有效性、确定性、有穷性 7.算法分析：目的是从解决同一个问题的不同算法中选择比较适合的一种，或者对原始算法进行改造、加工、使其优化 8.渐进算法分析 a．大Ο分析法：上限，表明最坏情况 b．Ω分析法：下限，表明最好情况 c．Θ分析法：当上限和下限相同时，表明平均情况 第二章线性表 1.线性结构的基本特征 a.集合中必存在唯一的一个“第一元素” b.集合中必存在唯一的一个“最后元素” c.除最后元素之外，均有唯一的后继 d.除第一元素之外，均有唯一的前驱 2.线性结构的基本特点:均匀性、有序性 3.顺序表 a.主要特性：元素的类型相同；元素顺序地存储在连续存储空间中，每一个元素唯一的索引值；使用常数作为向量长度 b. 线性表中任意元素的存储位置：Loc(ki) = Loc(k0) + i * L（设每个元素需占用L个存储单元） c. 线性表的优缺点： 优点：逻辑结构与存储结构一致；属于随机存取方式，即查找每个元素所花时间基本一样 缺点：空间难以扩充 d.检索：ASL=【Ο（1）】 e.插入：插入前检查是否满了，插入时插入处后的表需要复制【Ο（n）】 f.删除：删除前检查是否是空的，删除时直接覆盖就行了【Ο（n）】 4.链表 4.1单链表 a.特点：逻辑顺序与物理顺序有可能不一致；属于顺序存取的存储结构，即存取每个数据元素所花费的时间不相等 b.带头结点的怎么判定空表：head和tail指向单链表的头结点 c.链表的插入（q->next=p->next; p->next=q;）【Ο（n）】 d.链表的删除（q=p->next; p->next = q->next; delete q;）【Ο（n）】 e.不足：next仅指向后继，不能有效找到前驱 4.2双链表 a.增加前驱指针，弥补单链表的不足 b.带头结点的怎么判定空表:head和tail指向单链表的头结点 c.插入：（q->next = p->next; q->prev = p; p->next = q; q->next->prev = q;） d.删除：（p->prev->next = p->next; p->next->prev = p->prev; p->prev = p->next = NULL; delete p;） 4.3顺序表和链表的比较 4.3.1主要优点 a.顺序表的主要优点 没用使用指针，不用花费附加开销；线性表元素的读访问非常简洁便利 b.链表的主要优点 无需事先了解线性表的长度；允许线性表的长度有很大变化；能够适应经常插入删除内部元素的情况 4.3.2应用场合的选择 a.不宜使用顺序表的场合 经常插入删除时，不宜使用顺序表；线性表的最大长度也是一个重要因素 b.不宜使用链表的场合 当不经常插入删除时，不应选择链表；当指针的存储开销与整个结点内容所占空间相比其比例较大时，应该慎重选择 第三章栈与队列 1.栈 a.栈是一种限定仅在一端进行插入和删除操作的线性表；其特点后进先出；插入：入栈（压栈）；删除：出栈（退栈）；插入、删除一端被称为栈顶（浮动），另一端称为栈底（固定）；实现分为顺序栈和链式栈两种 b.应用： 1）数制转换 while (N) { N%8入栈； N=N/8;} while (栈非空){ 出栈； 输出；} 2）括号匹配检验 不匹配情况：各类括号数量不同；嵌套关系不正确 算法： 逐一处理表达式中的每个字符ch： ch=非括号：不做任何处理 ch=左括号：入栈 ch=右括号：if (栈空) return false else { 出栈，检查匹配情况， if (不匹配) return false } 如果结束后，栈非空，返回false 3）表达式求值 3.1中缀表达式： 计算规则：先括号内，再括号外；同层按照优先级，即先乘*、除/,后加+、减-；相同优先级依据结合律，左结合律即为先左后右 3.2后缀表达式： <表达式> ::= <项><项> + | <项><项>－|<项> <项> ::= <因子><因子> * |<因子><因子>/|<因子> <因子> ::= <常数> ?<常数> ::= <数字>|<数字><常数> <数字> ∷= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 3.3中缀表达式转换为后缀表达式 InfixExp为中缀表达式，PostfixExp为后缀表 达式 初始化操作数栈OP，运算符栈OPND； OPND.push('#'); 读取InfixExp表达式的一项 操作数：直接输出到PostfixExp中； 操作符： 当‘（’：入OPND; 当‘）’：OPND此时若空，则出错；OPND若 非空，栈中元素依次弹出，输入PostfixExpz 中，直到遇到‘（’为止；若为‘（’，弹出即 可 当‘四则运算符’：循环（当栈非空且栈顶不是 ‘（’&& 当前运算符优先级>栈顶运算符优先 级），反复弹出栈顶运算符并输入到 PostfixExp中，再将当前运算符压入栈 3.4后缀表达式求值 初始化操作数栈OP； while （表达式没有处理完) { item = 读取表达式一项; 操作数：入栈OP； 运算符：退出两个操作数， 计算，并将结果入栈} c.递归使用的场合：定义是递归的；数据结构是 递归的；解决问题的方法是递归的 2.队列 a.若线性表的插入操作在一端进行，删除操作 在另一端进行，则称此线性表为队列 b.循环队列判断队满对空： 队空：front==rear；队满： (rear+1)%n==front 第五章二叉树 1.概念 a. 一个结点的子树的个数称为度数 b.二叉树的高度定义为二叉树中层数最大的叶 结点的层数加1 c.二叉树的深度定义为二叉树中层数最大的叶 结点的层数 d.如果一棵二叉树的任何结点，或者是树叶， 或者恰有两棵非空子树，则此二叉树称作满二 叉树 e.如果一颗二叉树最多只有最下面的两层结点 度数可以小于2；最下面一层的结点都集中在 该层最左边的位置上，则称此二叉树为完全二 叉树 f.当二叉树里出现空的子树时，就增加新的、特 殊的结点——空树叶组成扩充二叉树，扩充二 叉树是满二叉树 外部路径长度E：从扩充的二叉树的根到每个 外部结点（新增的空树叶）的路径长度之和 内部路径长度I：扩充的二叉树中从根到每个内 部结点（原来二叉树结点）的路径长度之和 2.性质 a. 二叉树的第i层（根为第0层，i≥0）最多有 2^i个结点 b. 深度为k的二叉树至多有2k+1-1个结点 c. 任何一颗二叉树，度为0的结点比度为2的 结点多一个。n0 = n2 + 1 d. 满二叉树定理：非空满二叉树树叶数等于其 分支结点数加1 e. 满二叉树定理推论：一个非空二叉树的空子 树(指针)数目等于其结点数加1 f. 有n个结点（n>0）的完全二叉树的高度为 ?log2(n+1)?，深度为?log2(n+1)?? g. 对于具有n个结点的完全二叉树，结点按层 次由左到右编号，则有： 1) 如果i = 0为根结点；如果i>0，其父结点 编号是(i-1)/2 2) 当2i+1建筑结构施工图识图入门总结,很详细
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