学科专业知识(中学数学)

第一节实数

一、实数的概念★★

(一)实数的组成

实数有理数整数正整数

零

负整数

分数正分数

负分数有限小数或无限循环小数

无理数正无理数

负无理数无限不循环小数

（二）数轴

画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.

任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.

数轴上面一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数.

（三）相反数

如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.

（四）绝对值

|a|=a（a>0）

0(a=0)

-a(a<0)

1.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.

2.正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.两个负数比较大小，绝对值大的反而小.

（五）倒数

乘积为1的两个数互为倒数.

1.a的倒数是1a(a≠0).

2.0没有倒数.

3.若a与b互为倒数，则ab=1.

二、实数的运算★★

(一)加法

1.同号相加，取相同的符号，把绝对值相加.

2.异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

3.一个数与0相加，仍得这个数.

（二）减法

减去一个数，等于加上这个数的相反数.

（三）乘法

1.两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘.

2.任何数与0相乘得0.

3.乘积为1的两个有理数互为倒数.

（四）除法

1.除以一个数等于乘一个数的倒数.

2.0不能作除数.

（五）乘方

求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫次数. （六）开方

如果x2=a且x≥0，那么a=x；如果x3=a，那么3a=x.

（七）混合顺序

在同一个式子里，先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的.

第二节代数式

一、代数式★

(一)代数式的概念

用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式（单个的数字或单个字母也是代数式）.

(二)代数式的值

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值.

(三)代数式的分类

代数式有理式整式单项式

多项式

分式

无理式（二次根式）

二、整式★★★

（一）整式基本概念

1.整式

不含除法运算或分数，以及虽含有除法运算及分数，但除式或分母中不含变数式者，称为整式.

2.整式的分类

整式单项式（定义系数次数）

多项式（按同类项次数升或降幂排列）

3.单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式.单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数.一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的指数.

4.多项式

几个单项式的和，叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式.多项式中的符号,看作各项的性质符号.一元n次多项式最多有n+1项. 多项式中,次数最高的项的次数,就是这个多项式的次数.

（1）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.

（2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式

按这个字母升幂排列.

5.同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项.

掌握同类项的概念时应注意:

(1)判断几个单项式或项是否是同类项,要掌握两个条件:

①所含字母相同.

②相同字母的指数也相同.

(2)同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关.

(3)所有常数项都是同类项.

（4）合并同类项.

①合并同类项的概念

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.

②合并同类项的法则

同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变.

③合并同类项步骤

准确地找出同类项；逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变；写出合并后的结果.

④合并同类项应注意事项

如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.

不要漏掉不能合并的项.

只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式，也可能是多项式).

第三节方程与方程组

一、一元一次方程★★

(一)基本概念

含有未知数的等式叫做方程.

在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程.通常形式是ax+b=0(a,b为常数，且a≠0).其中a是未知数的系数，b是常数. 等式性质：

1.等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立.

2.等式两边同时乘一个数或除以同一个不为0的数，等式仍然成立.

3.等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立.

解方程一般依据等式的这三个性质.

（二）方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.

1.解一元二次方程的一般步骤

（1）去分母——等式的性质2

（2）去括号——分配律

（3）移项——等式的性质1

（4）合并——分配律

（5）系数化为1——等式的性质2

（6）验根——把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等

2.解一元一次方程的注意事项

（1）分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；

（2）去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；

（3）去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

（4）移项时，切记要变号，不要丢项，应先合并再移项，以免丢项；

（5）系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；（6）不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法.

（三）列方程解应用题的一般步骤

1.审题

分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量及它们之间的数量关系.

2.设未知数

设未知数有直接和间接两种，恰当地设未知数有利于列方程和解方程.

3.找等量关系

根据已知条件找出等量关系列方程或方程组.

4.列方程

5.解方程

6.检验

7.写出答案

第二章不等式

核心考点提示

1.掌握不等式的基本性质，以及不等式证明的基本方法，熟记常见的重要不等式.

2.掌握求解常见不等式方程（分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等）的基本方法.

3.了解不等式的基本应用以及简单的线性规划问题的基本方法.

考纲知识导读

不等式

不等式及其基本性质

不等式的概念

不等式的基本性质

不等式的证明

几个重要不等式

解不等式

分式不等式的解法

无理不等式的解法

绝对值不等式的解法

指数不等式与对数不等式的解法

一元二次不等式的解法

高次不等式的解法

二元一次不等式（组）与简单线性规划问题

二元一次不等式（组）与平面区域

简单的二元线性规划问题

一线名师精讲

第一节不等式及其基本性质

一、不等式的概念★

用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”或“≠”连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式.不等式分为严格不等式和非严格不等式.

二、不等式的基本性质★

1.如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y；（对称性）

2.如果x＞y，y＞z；那么x＞z；（传递性）

3.如果x＞y，而z为任意实数或整式，那么x＋z＞y＋z；（加法法则）

4.如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（乘法法则）

5.如果x＞y，z＞0,那么x÷z＞y÷z;如果x＞y，z＜0,那么x÷z＜y÷z；

6.如果x＞y，m＞n，那么x+m＞y+n；(充分不必要条件)

7.a>b,ab>01a<1b；（倒数法则）

8.a>b,ab>0an>bn(n∈N*且n>1)；（乘方法则）

9.a>b>0na>nb(n∈N*且n>1)；（开方法则）

10.含有绝对值不等式的性质：

（1）|a|+|b|≥|a+b|；

（2）|a|-|b|≤|a+b|；

（3）|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

三、不等式的证明★★★

（一）比较法

比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法).

1.差值比较法

差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“若a-b≥0，则a≥b；若a-b≤0，则a≤b”.其一般步骤为：

（1）作差：观察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；

（2）变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；

（3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法.

2.商值比较法

商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，ab≥1，则a≥b；ab≤1，则a≤b”.其一般步骤为：

（1）作商：将左右两端作商；

（2）变形：化简商式到最简形式；

（3）判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.

应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. (二)综合法

从已知条件或已经证明的不等式出发，根据不等式的性质、基本不等式或函数单调性直接证出待证不等式.

(三)分析法

从待证的不等式出发分析使这个不等式成立的充分条件，直至使不等式成立的条件都已具备，就可确定待证不等式成立，这种思想通常简单地称为“执果索因”.

(四)缩放法

缩放法是要证明不等式A

第二节解不等式

一、分式不等式的解法★

（一）化分式不等式为标准型

方法：移项，通分，右边化为0，左边化为f（x）g（x）的形式.

（二）将分式不等式转化为整式不等式求解

具体解法如下：

1.f（x）g（x）>0f(x)g(x)>0；

2.f(x)g(x)<0f(x)g(x)<0；

3.f(x)g(x)≥0f(x)g(x)≥0，

g(x)≠0；

4.f(x)g(x)≤0f(x)g(x)≤0，

g(x)≠0.

例1解不等式：x-3x+7<0.

解法1：化为两个不等式组来解：

∵x-3x+7<0，∴x-3>0，

x+7<0，或x-3<0，

x+7>0，

由x-3>0，

x+7<0，得x∈,由x-3<0，

x+7>0，得-7

∴原不等式的解集是{x|-7

解法2：化为二次不等式来解：

∵x-3x+7<0,∴（x-3）（x+7）<0,∴-7

∴原不等式的解集是{x|-7

第三节二元一次不等式（组）与简单线性规划问题

一、二元一次不等式（组）与平面区域★★

（一）基本概念

1.二元一次不等式

含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.

2.二元一次不等式组

由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3.二元一次不等式（组）的解集

满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.

注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.

（二）二元一次不等式的表示区域

二元一次不等式Ax+By+C>0（<0）在直角坐标系中表示Ax+By+C=0某侧所有点组成的平面区域.直线叫做这两个区域的边界.

若是“＞”号，则区域不包括边界，直线画为虚线.若是“≥”号，则区域包括边界，直线画为实线.

判断二元一次不等式表示平面区域的方法：

直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，

只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点.

例1画出下列不等式表示的区域

(1)(x-y)(x-y-1)≤0；(2)x≤|y|≤2x.

解：(1)原不等式可化为x-y≥0，

x-y-1≤0，0≤x-y≤1或x-y≤0

x-y≥1矛盾无解，

故点(x,y)在一带形区域内（含边界），如图1所示.

(2)由x≤2x，得x≥0；当y>0时，有x-y≤0，

2x-y≥0，点(x,y)在一三角形区域内(含边界)；

当y≤0，由对称性得出.如图2所示.

例2画出不等式组x-y+5≥0，

x+y≥0，

x≤3，表示的平面区域.

解：不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为右图所示的三角形区域.

第四章函数

核心考点提示

1.了解函数的概念.

2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程.

3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.

6．能够运用函数的性质，指数函数、对数函数和三角函数的性质解决某些简单的实际问题.

一线名师精讲

第一节函数的概念和基本性质

一、函数的概念★

设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的函数，记作y=f（x），x∈A.

其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数y=f（x）的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数y=f(x)的值域.

二、函数的表示方法★

1.函数的三要素：①对应法则f；②定义域A；③值域{f（x）|x∈A}.只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数.

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f∶A→B.

这里A,B为非空的数集.

（2）A：定义域，原象的集合，{x|x∈A}；f（x）：值域，象的集合,{f(x)|x∈A}；

f：对应法则，x∈A ，y∈B.

（3）函数符号：y=f(x)y是x的函数，简记f(x).

2.常见函数的表示方法:

(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0):定义域R, 值域R;

(2)反比例函数f(x)=kx(k≠0):定义域{x|x≠0}, 值域{f(x)|x≠0};

(3)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为R，值域：当a>0时，y|y≥4ac-b24a；当a<0时，y|y≤4ac-b24a.

说明：在求函数的定义域时，一般情况下应该考虑：

（1）偶次方根的被开方数不小于零；

（2）分母不等于零；

（3）零的零次幂没有意义.

三、函数的基本性质★★★

1．奇偶性

（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数.

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数.

注意：

①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，其-x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.

（2）利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；

②确定f(－x)与f(x)的关系；

③作出相应结论：

若f(－x)= f(x) 或f(－x)－f(x)=0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)=－f(x) 或f(－x)＋f(x)=0，则f(x)是奇函数.

（3）简单性质：

①图象的对称性：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇.

第二节一次函数与二次函数

一、一次函数和正比例函数★★★★

(一)一次函数

定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数是一次函数.

注意：①k、b是常数，k为不等于0的常数.②当b=0时，一次函数为正比例函数，因此可知，一次函数包含正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，也就是说，正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数.

1.一次函数的图象

定义函数y=kx+b叫做一次函数，k、b都是常数，且k≠0.

图象

经过点(0,b)的一条直线

性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小

（1）一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是经过点(0,b)且平行于直线y=kx的一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时,向上平移,当b<0时,向下平移）.

（2）直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与x轴的交点为-bk,0,与y轴的交点为(0,b).

（3）直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)与直线y=kx(k是常数,k≠0)的关系:

①直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)平行于直线y=kx(k是常数,k≠0).

②直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0)可通过平移直线y=kx(k是常数,k≠0)得到.例如：把直线y=2x沿y轴向上平移3个单位就可以得到直线y=2x+3;直线y=3x-5是直线y=3x沿y轴向下平移5个单位得到的.

2.一次函数图象的画法

因一次函数的图象是一条直线，所以取两点即可画出图象.

（1）一般地，直线y=kx+b取两点(0,b)和-bk,0.

（2）画一次函数的图象要注意自变量的取值范围.

注意：画一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象除了上述方法之外，还可由直线y=kx(k 是常数,k≠0)沿y轴平移|b|个单位长度得到（当b>0时,向上平移；当b<0时,向下平移）.

3.一次函数的性质

一般地，一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)有下列性质：

（1）当k>0时,y随着x的增大而增大（或y随x的减小而减小）,函数图象是从左向右上升（或从右向左下降）.

（2）当k<0时,y随着x的增大而减小（或y随x的减小而增大）,函数图象是从左向右下降（或从右向左上升）.

第七章统计与概率

第一节统计

一、统计量★★★

（一）平均数

一般地，如果有n个数x1,x2…，xn,那么x=1n（x1+x2+…+xn）叫做这n个数的平均数,x 读作“x拔”.

（二）加权平均数

一般来说，如果在n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，……，xk出现fk次（这里f1+f2+…+fk=n）,那么根据平均数公式，这n个数的平均数可以表示为x=x1f1+x2f2+…+xkfkn.

当一组数据中有数据多次重复出现时，用加权平均数公式计算简便些.在上述公式中，相同数据xi的个数fi叫做权.这个“权”含有所占分量轻重的意思.fi越大，表示xi的个数越多，于是xi的“权”就越重.

例1某班有50名学生，数学期中考试成绩90分的有9人，84分的有12人，73分的有10人，65分的有13人，56分的有2人，45分的有4人，计算这个班学生的数学期中考试平均成绩（保留到小数点后第一位）.

解：x=150(90×9+84×12+73×10+65×13+56×2+45×4)=73.7.

（三）中位数

把一组数据按从小到大的数序排列，处在中间位置的一个数（或中间位置两个数的平均值）叫做这组数据的中位数.（如果数据个数是奇数，中间位置的那个数即该组数据的中位数；如果数据个数是偶数，中间两个数的平均数即该组数据的中位数.）

中位数的算法：如果用字母n表示样本数据的个数，那么：

当样本数据的个数为奇数时，求出（n+1）÷2的值(位置数)，其所对应的数即为中位数.

当样本数据的个数为偶数时，中位数为n÷2与n÷2+1分别对应的数之和的平均值.

例2学校开展为贫困地区捐书的活动，以下是八名学生捐书的册数：2，2，2，3，6，5，6，7，则这组数据的中位数为（）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 4.5

分析：题目中的数据看似按顺序排列的，但有两个数据实际并没有按顺序排列，故需先将这组数据重新排序后再求中位数.

【答案】C

【解析】将这组数据排序后为：2，2，2，3，5，6，6，7，这组数据个数是偶数，中间两个数的平均数即为该组数据的中位数.所以这组数据的中位数为（3+5）÷2=4，故应选C. （四）众数

众数是一组数据中出现次数最多的那个数.

众数是在统计分布上具有明显集中趋势点的数值，代表数据的一般水平.用众数代表一组数据，可靠性较差.不过，众数不受极端数据的影响.

如果有两个或两个以上个数出现次数都是最多的，那么这几个数都是这组数据的众数. 例如：1，2，2，3，3，4的众数是2和3.

注意：众数在一组数中有一个或多于1个，也可以不存在.

第二节概率

一、随机事件的概率★★

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.随机变量常用希腊字母ξ、η等表示.

2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.

3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.

4.事件与基本事件：

事件随机事件：在条件S下，可能发生也可能不发生的事件.

确定事件不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件.

必然事件：在条件S下，一定会发生的事件.

基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件.一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.

5.频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小.随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化.

第十三章几何初步

核心考点提示

1.了解点、线、面、角的基本概念，掌握三角形、四边形等基本图形的特性.

2.掌握基本几何体的面积、体积公式的推导与应用.

3.掌握基本视图与投影的原理，了解图形变换的基本性质与应用.

第一节基本几何元素

一、直线、射线与线段★★★

直线射线线段

图形

续表

直线射线线段

延伸方向两端无限延伸向一端无限延伸不向任何方向延伸

表示方法①直线AB或直线BA

②直线l①射线OA

②射线l①线段AB或线段BA

②线段a

能否度量不能不能能

直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简述为：两点确定一条直线.

两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，公共点为它们的交点.

射线和线段都是直线的一部分.

线段公理：两点之间，线段最短.

连结两点间的线段的长度叫做两点间的距离.

把一条线段分成相等的两条线段的点，叫做线段的中点.

如右图，点M是线段AB的中点，则有AM=MB=12AB或2AM=2MB=AB.

类似的，把线段分成相等的三条线段的点，叫做线段的三等分点.

把线段分成相等的n条线段的点，叫做线段的n等分点.

二、角★★★★

1.定义

角是由两条有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两边.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.

2.角的表示

3.角的度量

度量制：度、分、秒是角的常用度量单位.

1°=60′,1′=60″.

4.角的分类

（1）对顶角

两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角.两条直线相交，构成两对对顶角.互为对顶角的两个角相等（对顶角的性质）.对顶角是针对具有特殊位置的两个角的名称；对顶角相等反映的是两个角之间的大小关系.

如右图，∠1与∠2为一对对顶角，∠3与∠4为一对对顶角.

注意：对顶角一定相等，但是，相等的角不一定是对顶角.

任何两条直线可以看成一个组合, 这样的组合有C2n=n(n-1)2个,每个组合有两对对顶角,因此,n条直线相交于一点,共有2C2n=n(n-1)对不同的对顶角.

（2）同位角

两个都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置的角叫做同位角.

如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角.

平行线的判定：同位角相等，两直线平行.

平行线的性质：两直线平行，同位角相等.

第二节多边形

一、三角形★★★★★

1．定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形.

2.三角形的边角关系

（1）三角形的内角和等于180°.

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和.

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.

（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线、中线、高、中位线.

①等腰三角形中，顶角平分线、中线、高三线互相重叠；

②三角形的中位线是两边中点的连线，它平行于第三边且等于第三边的一半.

（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.

（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.

（9）三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点

距离的2倍.

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心.

（11）三角形的一边与另一边延长线的夹角叫做三角形的外角.

①三角形的内心、重心都在三角形的内部.

②钝角三角形垂心、外心在三角形外部.

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上.（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部.

3.特殊三角形

（1）直角三角形

定义：有一个角为90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC.

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理).

性质2:在直角三角形中，两个锐角互余.

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C2）.

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形.

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.

判定3：若a2＋b2=c2，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）.

（2）等腰三角形

定义：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰.

性质：两底角相等；两条腰相等；顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；

判定：等角对等边；两底角相等。

（3）等边三角形

定义：等边三角形（又称正三角形）为三边相等的三角形.其三个内角相等，均为60°.它是锐角三角形的一种.

性质：顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；等边三角形的各角都相等，并且都等于60°.

判定：三个内角或三个对应位置的外角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

4.相似三角形

（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形.

（2）相似三角形的性质

相似三角形对应边成比例，对应角相等；

相似三角形对应边的比叫做相似比；

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；

相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比；

若a、b、b、c成比例，即a∶b=b∶c，则称b是a和c的比例中项.

（3）相似三角形的判定

三边对应成比例，则这两个三角形相似；

两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似；

两角对应相等，则两三角形相似.

第十四章直线、平面、简单几何体

核心考点提示

1.掌握平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系．

2.掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．

3.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，掌握三垂线定理及其逆定理．

4.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．

5.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

6.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.

考纲知识导读

直线、平面、简单几何体点、线、面及其位置关系点、线、面

位置关系

简单几何体

一线名师精讲

第一节点、线、面及其位置关系

一、点、线、面★★★

1.空间图形是由点、线、面组成的

空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.

点、线、面的基本位置关系如下表所示：

图形符号语言文字语言（读法）

A∈a点A在直线a上

A a点A不在直线a上

A∈α点A在平面α内

Aα点A不在平面α内

a∩b=A直线a、b交于A点

aα直线a在平面α内

a∩α=a与平面α无公共点

a∩α=A直线a与平面α交于点A

α∩β=l平面α、β相交于直线l

集合中“∈”的符号只能用于点与直线、点与平面的关系，“

直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言.

2.平面的基本性质及其应用

公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.

公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

公理2的推论：

①经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面；

②经过两条相交直线，有且只有一个平面；

③经过两条平行直线，有且只有一个平面.

公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线. （1）公理1可用来证明点在平面内或直线在平面内；

（2）公理2可用来确定一个平面，为平面化作准备或用来证明点线共面；

（3）公理3可用来确定两个平面的交线，或证明三点共线，三线共点.

3.点共线、线共点、点线共面

（1）点共线问题

证明空间点共线问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上.

（2）线共点问题

证明空间三线共点问题，先证两条直线交于一点，再根据第三条直线经过这点，把问题转化为证明点在直线上.

（3）证明点线共面的常用方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再根据有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合.

例1将下列文字语言转化为符号语言：

（1）点A在平面α内，但不在平面β内；

（2）直线a经过平面α外一点M；

（3）直线l在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l.）

解：（1）A∈α，Aβ；

（2）M∈a，Mα；

（3）lα，lβ（即α∩β＝l）.

第二节简单几何体

1.棱柱、棱锥、棱台和多面体

（1）棱柱

①两个面互相平行；

②其余各面都是四边形；

③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等.

棱柱性质：

①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；

②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形；

③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.

（2）棱锥

棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．

棱锥具有以下性质：

①底面是多边形；

②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；

③平行于底面的截面与底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．

（3）棱台

是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．

（4）多面体

是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．2.圆柱、圆锥、圆台、球

以矩形的一边为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱；以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆锥；

以直角梯形垂直于两边的腰所在的直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆台；以一半圆的直径为旋转轴，旋转一周形成的几何体叫做球.

圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：

①平行于底面的截面都是圆；

②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；

③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．