广东省高三数学寒假作业(九)

一、选择题 1．已知函数

的大致图象如图所示， 则函数

的解析式应为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．设

，曲线

在

处的切线与

轴的交点的纵坐标为

，则

( ) A ．80 B ．32

C ．192

D ．256

3．设

，函数

的导函数是

，且

是奇函数，则的值为

A ．

B ．

C ．

D ．

4．已知

，则 的值为 ( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．若

上是减函数，则的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

6．已知函数()y f x =是定义在实数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时()()xf x f x '<-成立（其中()()f x f x '是的导函数），若3(3)a f =，(1)b f =，2211(log )(log )44c f =

则,,a b c 的大小关系是（ ）

A ．c a b >>

B ．c b a >>

C ．a b c >>

D ．a c b >>

7．已知，

，直线与函数、的图象

都相切，且与

图象的切点为

，则（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

8．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

9．定义在R 上的可导函数f(x)，已知y ＝e f ′(x)

的图象如下图所示，则y ＝f(x)的增区间

是

A ．(－∞，1)

B ．(－∞，2)

C ．(0,1)

D ．(1,2)

二、填空题

10．对任意x ∈R ，函数f(x)的导数存在，则的大

小关系为：

11．对于三次函数，给出定义：设是函数

的导数，

是

的导数，若方程

有实数解

，则称点

为函数

的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个

三次函数都有对称中心，且“拐点”应对对称中心．根据这一发现，则函数

的对称中心为 ．

12．已知函数

2

()2(2)f x x xf =-',则函数)(x f 的图象在点()()2,2f 处的切线方程是 13．若函数x

ax x f 1

)(2-=的单调增区间为(0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．

三、解答题

14．设函数.

(Ⅰ）若，求

的最小值；

(Ⅱ）若

，讨论函数

的单调性.

15．（本小题满分14分）已知函数，.（其中为自然对数的底数），

(Ⅰ）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；

(Ⅱ）若对于任意实数≥0，恒成立，试确定实数的取值范围；

(Ⅲ）当时，是否存在实数，使曲线C：在点

处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

16．(本小题满分12分)已知函数。

如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；

当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。

17．（本小题满分12分）

设函数()()2

()2ln 11f x x x =---． (1）求函数)(x f 的单调递增区间；

(2）若关于x 的方程()230f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．

18．（12分）已知函数

)-()-()(2

b x a x x f =（b a R b a <∈,,）. ①当2,1==b a 时，求曲线)(x f y =在点(2)),2(f 处的切线方程；

②设21,x x 是)(x f 的两个极值点，3x 是)(x f 的一个零点),(2313x x x x ≠≠.证明：存在实数4x ，使得4321,,,x x x x 按某种顺序排列后构成等差数列，并求4x .

19．（本题满分10分）

设函数3

()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线

670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-．试求a ，b ，c 的值。

广东省2014届高三寒假作业（九）数学

一、选择题 1．D

【解析】如图，因为函数定义域是{x|x≠0}，排除A 选项， 当x→－∞，f （x ）→0，排除B ，

根据函数图象不关于y 轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项C ， 故选D ． 2．A

【解析】 x=2时，

；

，

曲线

在x=2处的切线斜率为曲线在点（2，

）的导数，

即切线斜率k= ，

所以曲线在

处的切线方程为

x=0时，上式化为，所以

=

，

80，故选A 。

3．A

【解析】根据题意，由于函数的导函数是

，且

是奇函数，则

可知

故选A. 4．C 【解析】由已知=

，故选C 。

5．C

【解析】定义域

，

在

上是减函数

在

上恒成立，即设

的最小值为－1，

6．A

【解析】由题意()()(),()()0,(())0,xf x f x f x xf x f x xf x '''<-=-∴+<∴<所以

()()g x xf x =是(,0)-∞上的减函数，而()g x 是偶函数，所以()g x 是(0,)+∞上的增函数，

而

21

(3),(1),(log )(2),.

4

a g

b g

c g g c a b ====-∴>> 7． D

【解析】先求出f′（x ），求出=f ′

（1）即其切线l 的斜率和切点，代入点斜式求出切线l 方程，利用l 与g （x ）的图象也相切，连立两个方程，则此方程组只有一解，再转化为一个方程一解，等价于判别式△=0，进而求出m 的值．解：由题意得，f ′

(x)=

，g ′

（x ）=x+m ，

∴与f （x ）图象的切点为（1，f （1））的切线l 的斜率k=f ′

（1）=1，且f （1）=ln1=0，所以切点为（1，0），∴直线l 的方程为：y=x －1， ∵直线l 与g （x ）的图象也相切，∴y=x－1, 此方程组只有一解，即

x 2+(m －1)x+

=0只有一解，∴△=(m－1)2－4×

×

=0，解得

m=－2或m=4（舍去）．故选D ． 8．D 【解析】∵，∴

，∴曲线在点

处的切线斜率为3，由两直线垂

直的结论知：，∴

=

，故选D

9．B

【解析】若f ‘(x)≥0，则e f ′(x)≥ e 0=1，由图知当x<2时，e f ′(x)≥ 1，所以y ＝f(x)的增区间是(－∞，2) 。 二、填空题 10．<

【解析】令F(x)=

因为f′（x ）＞f （x)，所以F'(x)>0，所以F(x)是增函数。 又a>0，所以F （a ）>F(0)，即，即

，故填<。

11．

【解析】由

，得

，所以此函数的对称中心为

．

12．4x －y －8=0

【解析】解：∵函数f （x ）=2x 2－xf′（2），∴f′（x ）=4x －f′（2），∴f′（2）=8－f′（2），、∴f′（2）=4∴f（2）=8－2×4=0∴函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是y －0=4（x －2）即4x －y －8=0

故答案为：4x －y －8=0 13．[)∞+.0 【解析】因为函数

x

ax x f 1)(2-=

的单调增区间为(0，＋∞)，则导函数在给定区间上恒大

于等于零，可知实数a 的取值范围是[)∞+.0，故答案为[)∞+.0。

三、解答题 14．（Ⅰ）（Ⅱ）在

上递增 【解析】（Ⅰ）时，

，

.

当时，

；当

时，.

所以在上单调减小，在

上单调增加

故

的最小值为

（Ⅱ）若，则

，定义域为.

，

由得，所以在上递增， 由得

，所以

在上递减， 所以，，故

.

所以

在

上递增. 15．（1）＝－1；（2）；（3）不存在实数

，使曲线C ：

在点

处的切线与

轴垂直.

【解析】（Ⅰ）

， …1分 ,

在

处的切线的斜率为

，…2分 又直线的斜率为

， ………………………3分

∴（

）

＝－1，∴ ＝－1. ……………………5分

（Ⅱ）∵当≥0时，

恒成立，∴ 先考虑＝0，此时，

，

可为任意实数； ………………………6分

又当＞0时，恒成立，则恒成立，…………7分

设＝，则＝，

当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增，当∈(1,＋∞)时，＜0，

在(1,＋∞)上单调递减，故当＝1时，取得极大值，， (9)

分

∴ 要使≥0，恒成立，＞－，∴ 实数的取值范围为． (10)

分

（Ⅲ）依题意，曲线C的方程为，

令＝，则＝

设，则，

当，，故在上的最小值为，…………………12分

所以≥0，又，∴＞0，

而若曲线C：在点处的切线与轴垂直，则＝0，矛盾。 (13)

分

所以，不存在实数，使曲线C：在点处的切线与轴垂直.…14分

16．；。

【解析】（1）因为， x >0，则，（1分）

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值.

因为函数在区间（其中）上存在极值，

所以 解得.

（2）不等式即为 记

所以

令

，则

， ，

在

上单调递增，

， 从而,故在

上也单调递增，所以

，

所以

.

17．（1）函数()f x 的单调递增区间为()1,2．（2）[)2ln35,2ln 24--．

【解析】本题考查导数的工具作用，考查学生利用导数研究函数的单调性的知识．考查学生对方程、函数、不等式的综合问题的转化与化归思想，将方程的根的问题转化为函数的图象交点问题，属于综合题型．

（1）确定出函数的定义域是解决本题的关键，利用导数作为工具，求出该函数的单调递增区间即为f'（x ）＞0的x 的取值区间；

（2）方法一：利用函数思想进行方程根的判定问题是解决本题的关键．构造函数，研究构造函数的性质尤其是单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数a 的取值范围．

方法二：先分离变量再构造函数，利用函数的导数为工具研究构造函数的单调性，根据题意列出关于实数a 的不等式组进行求解

解：（1）函数()f x 的定义域为()1,+∞，………………………………………………1分

∵()()221()2111x x f x x x x -??'=--=-??--??

， ………………………………………2分

∵1x >，则使()0f x '>的x 的取值范围为()1,2，

故函数()f x 的单调递增区间为()1,2． ……………………………………………4分 （2）方法1：∵()()2

()2ln 11f x x x =---，

∴()2

()3012ln 10f x x x a x a x +--=?++--=． …………………………6分

令()()12ln 1g x x a x =++--， ∵23

()111

x g x x x -'=-

=

--，且1x >， 由()03()03g x x g x x ''>><<<得，得1．

∴()g x 在区间[2,3]内单调递减，在区间[3,4]内单调递增， ……………………8分

故2

()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根 (2)0,(3)0,(4)0.g g g ≥???

即30,42ln 20,52ln 30.a a a +≥??

+-

解得：2ln352ln 24a -≤<-． 综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ………………………………12分 方法2：∵()()2

()2ln 11f x x x =---，

∴()2

()3012ln 10f x x x a x a x +--=?++--=． …………………………6分

即()2ln 11a x x =---，

令()()2ln 11h x x x =---， ∵23()111

x

h x x x -'=

-=

--，且1x >， 由()03,()03h x x h x x ''><<<>得1得．

∴()h x 在区间[2,3]内单调递增，在区间[3,4]内单调递减．……………………8分 ∵()23h =-，()32ln 24h =-，()42ln35h =-， 又()()24h h <，

故2

()30f x x x a +--=在区间[]2,4内恰有两个相异实根()()43h a h ?≤<．

……………………………………10分 即2ln352ln 24a -≤<-．

综上所述，a 的取值范围是[)2ln35,2ln 24--． ……………………………12分 18．①2-x y =.②存在实数4x 满足题意，且3

24b

a x +=

. 【解析】（1）将a ，b 的值代入后对函数f （x ）进行求导，根据导数的几何意义即函数在某

点的导数值等于该点的切线的斜率，可得答案．

（2）对函数f （x ）求导，令导函数等于0解出x 的值，然后根据x 3是f （x ）的一个零点可得到x 3=b ，然后根据等差数列的性质可得到答案．

解：①当2,1==b a 时，5)-1)(3x -(x )(='x f ，故1)2(='f ，又0(2)=f ， 所以)(x f 点(2)),2(f 处的切线方程为：2-x y =.

②证明：因为)(x f '=)32b a -a)(x -(x 3+，由于b a <，故32b

a a +<

， 所以)(x f 的两个极值点为32,b a x a x +==，不妨设a x =1，3

22b

a x +=，

因为2313,x x x x ≠≠，且3x 是)(x f 的一个零点，故b x =3，

由于b a <，故

b b a <+32，故321x x x <<，又)3

2b

a -(

b 2 -32+=+a b a ， 故4x =3b 2a )32b a (a 21+=++，此时b b a b a a ,3

2,32,++依次成等差数列，

所以存在实数4x 满足题意，且3

24b

a x +=.

19．2a =，12b =-，0c =．

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

根据已知条件，函数的导数的几何意义，利用()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=- 即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =∵2

'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =-，然后利用斜率知道参数a 的值，得到结论。 解：∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-

即33ax bx c ax bx c --+=--- ∴0c =（4分） ∵2

'()3f x ax b =+的最小值为12- ∴12b =- （6分） 又直线670x y --=的斜率为

1

6

因此，'(1)36f a b =+=- （8分） ∴2a =，12b =-，0c =．(10分)