点到平面距离的若干典型求法知识交流

点到平面距离的若干

典型求法

点到平面距离的若干典型求法

目录

1.引言 (1)

2.预备知识 (1)

3.求点到平面距离的若干求法 (3)

3.1定义法求点到平面距离 (3)

3.2转化法求点到平面距离 (5)

3.3等体积法求点到平面距离 (7)

3.4利用二面角求点到平面距离 (8)

3.5向量法求点到平面距离 (9)

3.6最值法求点到平面距离 (11)

3.7公式法求点到平面距离 (13)

1．引言

求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。

2．预备知识

(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

图1

(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。

(3) 四面体的体积公式

13

V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。

(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。

(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。在很多时候为了简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。

图2

(7)空间向量内积:

代数定义: 设两个向量111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则将两个向量对应分量的乘积之和定义为向量a 与b 的内积，记作a b ，依定义有a b =121212x x y y z z ++ 几何定义: 在欧几里得空间中，将向量a 与b 的内积直观地定义为||||cos ,a b a b a b =<>，这里||a 、||b 分别表示向量a 、b 的长度，,a b <>表示两个向量之间的夹角。 向量内积的几何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积。当0,90a b <>=，即a b ⊥时，0||||cos ,||||cos900a b a b a b a b =<>==。

下面说明这两种定义是等价的。

如图3所示，设O 、P 、Q 为空间的三点，令a OP =，b OQ =，c PQ =

图3

由余弦定理 222||||||2||||cos ,c a b a b a b =+-<>

再设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则212121(,,)c x x y y z z =---

从而有

222212121()()()x x y y z z -+-+-=2222221112222||||cos ,x y z x y z a b a b +++++-<>

即

121212||||cos ,x x y y z z a b a b ++=<>

这就证得了两个定义是等价的。

3求点到平面距离的若干求法

3.1 定义法求点到平面距离(直接法)

定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:

(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。

(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。

(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。(注:本文所有解法均使用本例)

图4

解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点

A '作A H '垂直于

AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。

图5

AA '⊥平面A B C D ''''

∴B D ''⊥AA '

又在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=

AA '?平面AA E ', A C ''?平面AA E '

∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E '

A H '?平面AA E '

∴A H '⊥B D ''

又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，

B D ''?平面AB D ''，AE ?平面AB D ''

∴由线面垂直的判定定理知道A H'⊥平面AB D''

根据点到平面距离定义，A H'的长度即为点A'到平面AB D''的距离，下面求A H'的长度。

AB D''?

中，容易得到AB B D D A

''''

===，从而AB D''

?为正三角形，0

60

AB D''

∠=。

进而在Rt AB E'

?

中，0

sin sin60

AE AB AB D

'''

=∠==。

由

11

22

AA E

S AA A E AE A H

'

?

'''

=?=?得到

1

2

3

AA A C a

AA A E

A H

AE AE

'''

?

''

?

'====

从而A'到平面AB D''

的距离为

3

a。

3.2转化法求点到平面距离

有时候限于几何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给几何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。

转化法依据主要有以下两点：

(1)若直线l//平面α，则直线l上所有点到平面α的距离均相等。

(2)若直线AB与平面α交于点M，则点A、B到平面α的距离之比为:

AM BM。特别地，当M为AB中点时，A、B到平面α的距离相等。

下面用转化法重解上面例题

解法二(转化法)

如图6所示，连结AC、A C'、A C''、A B'、AB'，A C''交B D''于点E，连结AE交

AC于点H，延长A C''至点G使得

1

2

C G A C

'''

=，连结CG。

图6 CB ⊥平面AA B B ''

∴从而斜线A C '在平面AA B B ''的射影为A B '

A B '、AB '为正方形AA B B ''对角线

∴AB A B ''⊥，

∴由三垂线定理知道AB A C ''⊥

同理可以得到AD A C ''⊥ 又AB AD A ''=，AB '?平面AB D ''，AD '?平面AB D ''

∴A C '⊥平面AB D ''

∴A H '⊥平面AB D ''，即点H 为A '在平面AB D ''的射影，A H '的长度为所求

//AC A C ''即//AC EG ，且1122

EG EC C G A C A C A C AC ''''''''=+=

+== ∴四边形ACGE 为平行四边形 ∴//AE CG

在A CG '?由等比性质有

13

A H AE A C EG '==' ∴13A H A C ''= 而在正方体ABCD A

B

C

D ''''-中对角线2223A C A A AB BC a ''=++=

∴3

A H a '= 在本例中，未直接计算垂线段A H '的长度，而是找出了其与正方体ABCD A

B

C

D ''''-中对角线A C '的数量关系，从而转化为求正方体ABCD A B C D ''''-对角线A C '长度，而A C '长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。

3.3等体积法求点到平面距离

用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式13

V Sh =求出点到平面的距离h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解上面例子.

解法三(等体积法):如图7所示，作A H '垂直于平面AB D ''于点H ，则AB D ''长度为所求。对于四面体A AB D '''，易见底面AB D ''的高为A H '，底面A B D '''的高为AA '。对四面体A AB D '''的体积而言有：

A A

B D A AB D V V ''''''--=

图7

即有: 1133

A B D AB D AA S A H S '''''??''?=? 也即: A B D AB D AA S A H S '''?''

?'?'= 由2AB B D D A a ''''===，从而AB D ''?为正三角形，060AB D ''∠=，进而可求得 202113sin (2)sin 60222

AB D S AB AD AB D a a ''?''''=?∠== 又易计算得到Rt A B D '''?的面积为212

A B D S a '''?= 所以221323A B D AB D a a AA S A H S a '''?''??'?'=== 我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。

3.4利用二面角求点到平面距离

如图8所示，l 为二面角l αβ--的的棱，AOB ∠为二面角l αβ--的一个平面角。下面考虑点B 到平面α的距离。作BH OA ⊥，垂足为H ，下面证明BH ⊥平面α。