且c//a,求证：b 、
c 是异面直线. 1:通过直线和直线外一点有且只 〔2〕正 ABC 』6 2 a 〕
16 〔2〕平行直线一一在同一平面。如〔1〕空间四边形 ABCD 中，E 、F 、 行于y 轴的线段平行性不变，但在直观图中其长度为原先的一半 。如〔1〕用斜二测画法画一个水平放置
5、异面直线所成角 的求法：〔1〕范畴： (0,—］ ；〔2〕求法：运算异面直线所成角的关键是平移 〔中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长
方体等，以便易于发觉两条异面直线间的关系〕 转化为相交两直线的夹角。 如〔1〕正四棱锥P ABCD 的
.-O
所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线 BE 与PA 所成的角的余弦值等于 _________ 〔答： 2〕；〔 2〕
3
在正方体AC i 中，M 是侧棱DD i 的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A i B i 上的一点，那么OP 与AM 所成的角的大小为 〔答：90°〕；〔3〕异面直线a 、b 所成的角为50°， P 为空间一点，那么过 P 且与
a 、
b 所成的角差不多上 30°的直线有且仅有 _________ 条〔答：2〕；〔4〕假设异面直线a,b 所成的角为一，且
3
直线c a ，那么异面直线b,c 所成角的范畴是____〔答：［―,—］〕；
6 2
6、异面直线的距离的概念 ：和两条异面直线 都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线
的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有许多条， 垂直不一
定相交。女口〔 1〕ABCD 是矩形，沿对角线 AC 把厶ADC 折
BC ,求证：BD 是异面直线 AD 与BC 的公垂线；〔2〕如图，在正方 ABCD —
A 1
B 1
C 1
D 1中，EF 是异面直线 AC 与A 1D 的公垂线，那么由正 顶点所连接的直
线中，与 EF 平行的直线有____条〔答：1〕；
7、两直线平行的判定：〔1〕公理4:平行于同一直线的两直线互 线面平行的性质：假如一条直线和一个平面平行，那么通过这条直线 个平面相交的交线和这条直线平行； 〔3〕面面平行的性质：假如两个平行
平面同时与第三个平面相交，那 么它们的交线平行；〔4〕线面垂直的性质：假如两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
&两直线垂直的判定：〔1〕转化为证线面垂直；〔2〕三垂线定理及逆定理。
9、直线与平面的位置关系 ：〔1〕直线在平面内；〔2〕直线与平面相交。其中，假如一条直线和平面
内任何一条 直线都垂直，那么这条 直线和那个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于许多条直线； 〔3〕 直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。 如〔1〕以下命题中，正 确的选项是 A 、假设直线a 平行于平面 内的一条直线b ，那么a 〃 E 、假设直线a 垂直于平面
的斜线b 在平面 内的射影，那么a 丄b C 、假设直线a 垂直于平面 ，直线b 是平面 的斜线，那么 a 与b 是异面直线 D 、假设一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角 也相等，那么它一定是正棱锥〔答： D 〕；〔 2〕正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界 上运动，同时总保持 AP 丄BD 1,那么动点P 的轨迹是 _______________ 〔答：线段BQ 〕。
10、直线与平面平行的判定和性质 ：〔1〕判定：①判定定理：假如平面内一条直线和那个平面平面平
行，那么这条直线和那个平面平行；② 面面平行的性质：假设两个平面平行，那么其中一个平面内的任何
直线与另一个平面平行。〔2〕性质：假如一条直线和一个平面平行，那么通过这条直线的平面和那个平面 相交的交线和这条直线平行。 在遇到线面平行时，常需作出过直线且与平面相交的辅助平面，以便运用线
面平行的性质。如〔1〕a 、B 表示平面，a 、b 表示直线，那么a //a 的一个充分不必要条件是 A 、a 丄 3, a ±3 B 、aQB= b ，且 a / bC 、a / b 且 b //a D 、a//B 且 a B 〔答：D 〕；〔 2〕
正方体ABCD-A i B 1 C i D 1中，点N 在BD 上，点M 在B Q 上，且CM=DN ，求证：MN //面AA 1B 1B 。
11、直线和平面垂直的判定和性质 ：〔1〕判定：①假如一条直线和一个平面内的 两条相交 直线都垂直， 那么这条直线和那个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和那个平 面垂直。〔2〕性质：①假如一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和那个平面内所有直线都垂直。②假
如两条直线都垂直于同一个平面， 那么这两条直线平行。如〔1〕假如命题”假设x y, y //乙那么x z
不成立，那么字母 x 、y 、z 在空间所表示的几何图形一定是 〔答：x 、y 是直线，z 是平面〕；〔2〕a , b , C 是直线，a 、3是平面，以下条件中能得出直线 a 丄平面a 的是 A 、a 丄b , a±c 其中b a c a B 、a 丄 b ,b/a C 、a 丄 3,a//3
D 、a//b,b1a 〔答： D 〕；〔 3〕AB 为 O O 的直径，C 为 O O 上的一点，AD 丄面 ABC , A
E 丄BD 于E , A
F 丄CD 于F ，求证：BD 丄平面 AEF 。
12、三垂线定理及逆定理：〔1〕定理：在平面内的一条直线，假如它和那个平面的一条斜线的射影垂 直，那么因为空间中， 起，使AD 丄 体 方体的八个 相平行；
〔2〕 的平面
它也和这条斜线垂直。〔2〕逆定理：在平面内的一条直线，假如它和那个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。
13、直线和平面所成的角：〔1〕定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线
和那个平面所成的角。〔2〕范畴：［0；,90；］;〔3〕求法：作出直线在平面上的射影；〔4〕斜线与平面所成的角的特点：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。女口〔1〕在正三棱柱ABC-A I B I C I中，AB=1，D
■- ? 6
在棱BB I上，BD=1，那么AD与平面AA I C I C所成的角为〔答：arcsin——丨；〔2〕正方体
4
ABCD-A 1B1C1D1中，E、F分不是AB、C I D I的中点，那么棱A I B I与截面A i ECF所成的角的余弦值是____________ 1
〔答：丄〕；〔3〕PA, PB, PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角差不多上60，那么直线PC与平3
面PAB所成角的余弦值为_______ 〔答：工3〕；〔4〕假设一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的
3
角那么sin B的值为____________〔答：竺丨。
3
14、平面与平面的位置关系：〔1〕平行一一没有公共点；〔2〕相交一一有一条公共直线。
15、两个平面平行的判定和性质：〔1〕判定：一个假如平面内有两条相交直线和另一个平面平行，那
么这两个平面平行。〔2〕性质：假如两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如〔1〕,是两个不重合的平面，在以下条件中，不能判定平面〃的条件是A、m,n是内一个三角形的
两条边，且m〃,n// B、内有不共线的三点到的距离都相等C、,都垂直于同一条直
线a D、m,n是两条异面直线，m ,n ，且mil ,n〃〔答：B〕；〔2〕给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行；⑥两个平面分不与第三个平面相交所得的两条交线平行，那么这两个平面平行。其中正确的序号是〔答：
①③⑤〕；〔3〕正方体ABCD-A 1B 1 C 1D 1中AB= a。①求证：
平面AD1B1//平面C1DB :②求证：A1C丄平面AD1B1 ；③求平面AD1B1与平面C1DB间的距离〔答：——a〕;
3
16、二面角：〔1〕平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分不在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直。〔2〕作平面角的要紧方法：①定义法：直截了当在二面角的棱上取一点〔专门点〕，分不在两
个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观看图形的特性；②三垂线法：过其中一个面
内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，那么垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；〔3〕二面角的范畴：［0, ］;〔4〕二面角的求法：①
转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式S M= S原cos ，其中为平面角的大小。关于一类
没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交显现棱，然后再选用上述方法〔专门可考虑面积射影法〕。如〔1〕正方形ABCD-A 1B1C1D1中，二面角B-A 1C-A的大小为 _______________________ 〔答：60〕；〔2〕将/ A
为60°的棱形ABCD沿对角线BD折叠，使A、C的距离等于BD那么二面角A-BD-C的余弦值是___________ 〔答：1
—〕；〔3〕正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中对角线BD1 = 8, BD1与侧面B1BCC1所成的为30°,那么二面角
3
C1 —BD 1—B1的大小为〔答：arcsin^6〕；〔4〕从点P动身引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹
3
1
角差不多上60°,那么二面角B-PA-C的余弦值是___________ 〔答：—〕；〔5〕二面角a -l- B的平面角为120 ° ,
3
A、B€ l, AC a, BD B, AC 丄l , BD 丄l，假设AB=AC=BD=1，那么CD 的长_________ 〔答：2〕；〔6〕ABCD为菱形，/ DAB = 60°, PD丄面ABCD，且PD = AD，那么面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小为
__________ 〔答：arctan —3〕。
2
17、两个平面垂直的判定和性质：〔1〕判定：①判定定理：假如一个平面通过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；〔2〕性质：假如两个
平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。\
们的交线交于一点 0，P 到三个面的距离分不为 3、4、5,那么0P 的长为 棱锥P-ABCD 中，PA 丄底面ABCD ,底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 平面MBD 丄平面PCD 〔答：BM PC 丨；〔3〕过S 引三条长度相等但不共面的线
段
如〔1〕三个平面两两垂直，它 「 ____ 〔答：5Q2〕；〔2〕在四
满足 ____________ 时, SA 、SB 、SC ,且/ ASB= / ASC=60。，/ BSC =90 °，求证 :平面 ABC 丄平面 BSC 。
专门指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的差不多思路是利用线面关系的转化，即:
线//线
线//面 面//面
判定 线丄线
线丄面
面丄面 性质 线//线 线丄面
面//面 如〔i 〕直线l 平面 ，直线m
平面，给出以下四个命题：① // l ② l // m :③ l // m 设a, b 是两条不同直线， ， :④l
是两个不同平
面， a 那么 。其中正确的命题是
m // 。其中正确的命题是 给出以下四个命题：①假设 ③假设a , ，那么 〔答：①③④〕 a b, a a//
或 a
m 〔答：①③〕；〔2〕 ,b ,那么 i8、空间距离的求法：〔专门强调：立体几何中有关角和距离的运算，要遵循 的原那么〕
〔i 〕异面直线的距离：①直截了当找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一
条直线作平面和另一条直线平行。 ③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分不作相互平行的两个平面。
〔答:至
3 如正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，那么异面直线 BD 与B i C 的距离为
a 〕。 〔2〕点到直线的距离：一样用三垂线定理作出垂线再求解。 女口〔 i 〕等边三角形 ABC 的边长为2 ?.一 2， AD 是BC 边上的高，将 ABD 沿AD 折起，使之与 ACD 所在平面成i20的二面角，这时 A 点到BC 〔答：上竺〕；〔2〕点P 是i20°的二面角a -|-3内的一点，点P 到a 、B 的距离分不是 3、 2 的距离是
2丁39、r 、 八十、小
〔答： --- 〕；〔3〕在正方体ABCD — A i B i C i D i 的侧面AB i 内有一动
3
点P 到棱A i B i 与棱BC 的距离相等，那么动点 P 所在曲线的形状为 _____________ 〔答：抛物线弧〕。
〔3〕点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过点确定面的垂面是关键；
②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。如〔i 〕长方体ABCD A i B i C i D i 的棱
2、6 〔答：竺2〕；〔2〕在棱长 3 4,那么P 到|的距离为 AB AD 4cm, AA i 2cm ，那么点A g 到平面AB i D i 的距离等于
为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA i 的中点，那么A i 到平面MBD 的距离为 〔答: 6
~6~ 〔4〕直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化 为
求点到平面的距离。
〔5〕两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
〔6〕球面距离〔球面上通过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度〕 ：求球面上两点 A 、B 离的步骤：①运算线段AB 的长；②运算球心角/ A0B 的弧度数；③用弧长公式运算劣弧 AB 的长。
R ，在北纬45圈上有 代B 两地，它们的纬度圈上的弧长等于
— 4 设地球半径为 面距离〔答: 小圆的周长为 PA 12,PB 间的距
巨 如求代B 两地间的球 R ——〕；〔2〕球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的
3 4，那么那个球的半径为 _________ 〔答：2J3〕；〔3〕三棱锥P ABC 的三个侧面两两垂直， i6, PC 20，假设P, A, B,C 四个点都在同一球面上， 那么此球面上两点 A 、B 之间的球面
g ，通过这3点的
距离是__________〔答：5/2丨。
19、多面体有关概念：〔1〕多面体：由假设干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体
的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。〔2〕多面体的对角线：多
面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。〔3〕凸多面体：把一个多面体的任一个
面舒展成平面，假如其余的面都位于那个平面的同一侧，如此的多面体叫做凸多面体。
20、棱柱:〔1〕棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱〔侧棱不垂直于底面〕和直棱柱〔侧棱垂直于底面〕，其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分不
为三角形，四边形，五边形…，分不称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；〔2〕棱柱的性质：①棱柱的各个
侧面差不多上平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面差不多上矩形，正棱柱的各个侧面差不多上全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面差不多上平行四边形。女口〔1〕斜三棱柱A I B I C I — ABC，各棱长为a , A i B=A i C=a，那么侧面
BCC i B i是_____ 形，棱柱的高为 _____ 〔答：正方；—a〕；〔2〕以下关于四棱柱的四个命题：①假设有两
3
个侧面垂直于底面，那么该四棱柱为直棱柱；②假设两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，那么该四棱柱为直棱柱；
③假设四个侧面两两全等，那么该四棱柱为直棱柱；④假设四棱柱的四条对角线两两相等，那么该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为〔答：②④〕。
21、平行六面体：
〔1〕定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
〔2〕几类专门的平行六面体：｛平行六面体｝｛直平行六面体｝｛长方体｝｛正四棱柱｝｛正方体｝；
〔3〕性质：①平行六面体的任何一个面都能够作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，同时在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为a+b+c = 6,全面积为11,那么其对角线为 __________ 〔答：5〕
22、棱锥的性质：假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原先棱锥的体积比等于顶点至截面
距离与棱锥高的立方比。如假设一个锥体被平行于底面的平面所截，假设截面面积是底面积的;，那么锥
4
体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为 ________ 〔答：1 : 8〕
23、正棱锥：〔1〕定义：假如一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，如此
的棱锥叫正棱锥。专门地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体ABCD中，有如下
命题：①假设AC BD,AB CD ,那么AD BC ；②假设E、F、G分不是BC、AB、CD的中点，那么FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③假设点O是四面体ABCD外接球的球心,
那么O在面ABD上的射影是ABD外心④假设四个面是全等的三角形，那么ABCD为正四面体。其
中正确的选项是—〔答：①③〕
〔2〕性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面差不多上全
形，各等腰三角形底边上的高〔叫侧高〕也相等。②正棱锥h、斜
高在底面的射影〔底面的内切圆的半径r〕、侧棱、侧影〔底面的
外接圆的半径R〕、底面的半边长可组成四个直角正棱锥的运算
集中在四个直角三角形中：
Rt SOB, Rt SOE , Rt EOB,Rt SBE，其中a,l,,分长、侧棱
长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。
锥的四个面中，最多有—个面为直角三角形〔答：4〕；〔2〕
R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，那么上层小球最高处离桌面的距离为* 2恵
〔答：( 2)R〕。
3等的等腰三角的高h、斜高棱在底面的射三角形。如图，
不表示底面边如〔1〕在三棱把四个半径为
