高考英语作文稿纸

（第6题）

E

P

D

C

B

A

数学基础练习（1）

一、填空题（70分）

1．已知集合{}{}11,0A x x B x x =-<<=>，则A B = ． 2．若复数

5

12i

m +-（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数m = ． 3．双曲线2

2

12

y x -=的离心率为 ．

4

在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在120分以上的概率为 ．

5．函数2ln(2)y x =-的定义域为 ．

6．如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，

AD 4PA =，点E 为棱CD 上一点，则三棱锥E －PAB 的体积为 ．

7．右图是一个算法流程图，则输出的x 的值为 ．

8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若242

a a =，245

16

a a +=，则5a = ．

9．若曲线321:612C y ax x x =-+与曲线2:e x C y =在1x =处的两条切线互相垂直，则实数a 的值为 ．

10．设函数π

()sin())(0,)2

f x ωx φωx φωφ=++><的最小正周期为π，且满足

()()f x f x -=，则函数()f x 的单调增区间为 ．

11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AE 与BD 交于点M ，AB =1AD =，且1

6

MA MB ?=- ，则AB AD ?= ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，

AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ．

二、解答题

15．已知向量πsin(),36α?

?=+ ??

?a ，(1,4cos )a =b ，(0,π)α∈．

（第7

（1）若a ⊥b ，求tan α的值； （2）若a ∥b ，求α的值．

16．如图，四边形11AA C C 为矩形，四边形11CC B B 为菱形，且平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，

D ，

E 分别为边11A B ，1C C 的中点．

（1）求证：1BC ⊥平面1AB C ；

（2）求证：DE ∥平面1AB C ．

17．如图，有一段河流，河的一侧是以O

为圆心，半径为OCD ，河的另一侧是一段笔直的河岸l ，岸边有一烟囱AB （不计B 离河岸的距离），且OB 的连线恰好与河岸l 垂直，设OB 与圆弧 CD

的交点为E ．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C ，点O 和点E 处测得烟囱AB 的仰角分别为45?，30?和60?． （1）求烟囱AB 的高度；

（2）如果要在CE 间修一条直路，求CE 的长．

（第17题）

l

C 1

B 1

A 1

（第16题）

E

C

B

A

D

18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(0)

a b

>>

，

且过点，过椭圆的左顶点A作直线l x

⊥轴，点M为直线l上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：AP OM

⊥；

（3）试问OP OM

?

是否为定值？若是定值，

请求出该定值；若不是定值，请说明理由．

附加题

B．求曲线1

x y

+=在矩阵M

10

1

3

??

??

=

??

??

??

对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．C．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为2cos2sin

r q q

=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l

的参数方程为

1,

x t

y

=+

??

?

=

??

(t为参数)，求直线l被曲线C所截得的弦长．

（第22题）

22．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，

底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?

，PA M 为PC 的中点．

（1）求异面直线PB 与MD 所成的角的大小； （2）求平面PCD 与平面PAD 所成的二面角的正弦值．

数学参考答案

一、填空题

1．{}01x x << 2．1- 3

．0.3 5

．(

)

,-∞+∞

6．4 7．16 8．132

9．13e - 10．π

[π,π],()2k k k -+∈Z 11．

3

4

12

． 二、解答题

15．解：（1）因为a ⊥b ，所以π

sin()12cos 06

αα++=， ……………………………2分

1cos 12cos 02ααα++=

25cos 02

αα+=， …………………4分 又cos 0α≠

，所以tan α=． ………………………………………………6分 （2）若a ∥b ，则π

4cos sin()36

αα+=， ……………………………………………8分

即1

4cos cos )32

ααα+=，

2cos22αα+=， ………………………………………………………10分 所以π

sin(2)16

α+=， ………………………………………………………………11分

因为(0,π)α∈，所以ππ13π2(,)666

α+

∈， ………………………………………13分

所以ππ262α+

=，即π

6

α=． ……………………………………………………14分 16．证明：（1）∵四边形11AA C C 为矩形，∴AC ⊥1C C ，………………………………2分 又平面11CC B B ⊥平面11AA C C ，平面11CC B B 平面11AA C C =1CC ，

∴AC ⊥平面11CC B B ， ……………………………………………………………3分 ∵1C B ?平面11CC B B ，∴AC ⊥1C B ， ……………………………………………4分 又四边形11CC B B 为菱形，∴11B C BC ⊥， …………………………………………5分 ∵1B C AC C = ，AC ?平面1AB C ，1B C ?平面1AB C ，

∴1BC ⊥平面1AB C ．…………………………………………………………………7分 （2）取1AA 的中点F ，连DF ，EF ，

∵四边形11AA C C 为矩形，E ，F 分别为1C C ，1AA 的中点， ∴EF ∥AC ，又EF ?平面1AB C ，AC ?平面1AB C ,

∴EF ∥平面1AB C ， ………………………………………………………………10分 又∵D ，F 分别为边11A B ，1AA 的中点，

∴DF ∥1AB ，又DF ?平面1AB C ，1AB ?平面1AB C ,

∴DF ∥平面1AB C ，∵EF DF F = ，EF ?平面DEF ，DF ?平面DEF ， ∴平面DEF ∥平面1AB C ，…………………………………………………………12分 ∵DE ?平面DEF ，∴DE ∥平面1AB C ．…………………………………………14分 17．解：（1）设AB 的高度为h ，

在△CAB 中，因为45ACB ∠=?，所以CB h =， ………………………………1分 在△OAB 中，因为30AOB ∠=?，60AEB ∠=?， ………………………………2分

所以OB =，EB =， ………………………………………………………4分

=15h =． ………………………………………6分 答：烟囱的高度为15米． ……………………………………………………………7分

（2）在△OBC 中，222

cos 2OC OB BC COB OC OB

+-∠=?

5

6

==，…………………10分所以在△OCE中，2222cos

CE OC OE OC OE COE

=+-?∠

5

300300600100

6

=+-?=．…………………13分答：CE的长为10米．……………………………………………………………14分18．解：（1）∵椭圆C：

22

22

1

x y

a b

+=(0)

a b

>>

∴22

2

a c

=，则22

2

a b

=，又椭圆C

过点，∴

22

13

1

2

a b

+=．…………2分∴24

a=，22

b=，

则椭圆C的方程

22

1

42

x y

+=．…………………………………………………4分（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为(2)

y k x

=-，设

11

(,)

P x y，将(2)

y k x

=-代入椭圆C的方程

22

1

42

x y

+=中并化简得：

2222

(21)4840

k x k x k

+-+-=，………………………………………………………6分解之得

2

12

42

21

k

x

k

-

=

+

，

2

2

x=，

∴

112

4

(2)

21

k

y k x

k

-

=-=

+

，从而

2

22

424

(,)

2121

k k

P

k k

--

++

．………………………………８分令2

x=-，得4

y k

=-，∴(2,4)

M k

--，(2,4)

OM k

=--

．………………………9分又

2

22

424

(2,)

2121

k k

AP

k k

--

=+

++

＝

2

22

84

(,)

2121

k k

k k

-

++

，…………………………………11分∴

22

22

1616

2121

k k

AP OM

k k

-

?=+=

++

，

∴AP OM

⊥．………………………………………………………………………13分（3）

2

22

424

(,)(2,4)

2121

k k

OP OM k

k k

--

?=?--

++

=

222

22

841684

4

2121

k k k

k k

-+++

==

++

．∴OP OM

?

为定值4．…………………………………………………………16分

B．解：设点

00

(,)

x y为曲线1

x y

+=上的任一点，在矩阵

10

1

3

M

??

??

=

??

??

??

对应的变换作用下得到的点为(,)

x y

''，

则由0

10

1

3

x x

y y

??'

????

??=

????

??'

??

??

??

??

，………………………………………………………………3分

得：00,

1,3x x y y '=??

?'=?? 即00,3,x x y y '=??'=? ………………………………………………………5分 所以曲线1x y +=在矩阵10103M ??

??=??????

对应的变换作用下得到的曲线为

31x y +=， ………………………………………………………………………………8分

所围成的图形为菱形，其面积为122

2233

??=． …………………………………10分

C ．解：曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，

圆心为(1,1)

…………………………………………………………3分

0y -=， ………………………………………5分

所以圆心到直线的距离为1

2

d ==

， ………………………………8分

所以弦长= ………………………………………………………10分 22．解：（1）设AC 与BD 交于点O ，以O 为顶点，向量OC ，OD 为x ，y 轴，平行于AP 且

方向向上的向量为z 轴建立直角坐标系．………………………………………………1分

则(1,0,0)A -，(1,0,0)C

，(0,B

，D

，(P -，

所以M

，MD =

，(1,PB = ， ……………………3分

cos ,0MD PA MD PA MD PA

?<>==

=

．…………………………………4分 所以异面直线PB 与MD 所成的角为90?． …………………………………………5分 （2）设平面PCD 的法向量为1111(,,)x y z =n ，平面PAD 的法向量为2222(,,)x y z =n ，

因为(CD =-

，(1PD =

，(0,0,PA =

，

由11111110,0,

CD x PD x ??=-+=???=+=??n n

令11y =

，得1=n ， ……………………7分

由2222220,0,

PA PD x z ??==???=-=??n n

令21y =-

，得21,0)=-n ， …………………8分

所以121212cos ,?<>===n n n n n n

，所以12sin ,<>=n n ．……………10分