傅立叶的基本理论

只要是理工科毕业的朋友，都学过傅立叶级数与傅立叶变换，但真正要与实际应用联系起来，用它来阐述应用中的各类问题，我们总会感觉概念模糊，似懂非懂，不知从何说起。是的，作者和你一样，常常有这样的体会。现在，让我与你一起重新学习傅立叶的基本理论和应用，最后还给出一份FFT（快速傅立叶变换）的源码（基于C）。希望对你有所帮助。Let’s go！

1．历史回顾

谈傅立叶变换，不能不说三角函数。三角函数起源于18世纪，主要是与简谐振动的研究有关。当时的科学家傅立叶对三角函数作了深入研究，并用三角级数解决了很多热传导的问题。三角函数的展开式如下：

f(t) = (1/2a0) + (a1·cos(x)+b1·sin(x)) + (a2·cos(2x)+b2·sin(2x)) + …

其中，系数a和b表示不同频率阶数下的幅度。

成立条件：

n 周期性条件，也就是说f(x)描述的波形必须每隔一段时间周期T就会重复出现；

n Dirichlet条件，周期T内，有限的最大最小值，有限的不连续点；

任何区间内绝对可积；

研究目的：

把一个基于时间变量t的函数展开成傅立叶级数的目的是分解为不同的频率分量,以便进行各种滤波算法。这些基本的组成部分是正弦函数SIN（nt）和余弦函数COS(nt)。

应用领域：

l 信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控等；

l 研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时，把f(t)展开为三角级数最为关键。

l 概率与统计，量子力学等学科。

2．傅立叶变换

H(w) = ∫h(t)·e^jwt·dt, （区间：-∽～+∽，w = 2πf）

讨论：这里为什么会选择复指数的形式而没有用正弦余弦表示？

答案：欧拉公式的引入使得这条经典的数学公式变得更简单，即e^jx = cos(x) + jsin(x)

3．快速傅立叶变换（FFT）

常规的傅立叶变换算法并不适用于嵌入式控制系统，原因是运算量太大（涉及到复数运算），比如离散的傅立叶变换等同于用序列Y(n×1列矢量)乘以n×n 矩阵Fn，需要n×n次乘法。若n=1024,则是104，8576次乘法运算。哇，这么多呀！什么概念呢？如果你选用的CPU单周期指令为25ns, 单周期也可以完成一次乘法运算，那么要计算1024点的傅立叶变换则需要26.2144ms,这还不包括加法或其它运算，对于大多数实时系统，这个处理时间实在太长。于是寻找一个快速的傅立叶变换算法是人们所期望的。

本来我想把FFT的整个数学推导过程列完出来，但当自己硬着头皮看完后，发现对我没有任何用处，我又不是专门研究数学算法的，哪有那么多时间跟着书本的公式去慢慢推导。我想，这些推导问题还是让数学家想去吧。我需要的不过是理解它，然后学会应用它就行。有兴趣的读者可以参考相关的资料，这方面的资料实在太多了。

虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原因是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算，想想这是多么繁琐的事情。可能会有些初学者认为，有这么复杂吗？我在PC上使用C++一样可以对复数直接进行加、减、乘、除运算。你说得不错，可以这么做，但那是C++封装了对复数处理的类，直接调用就行。在PC上运算这种类型的算法一般不考虑时间和空间，多一两秒的运行时间不会有什么灾难性的结果。

所以我们要衡量一个处理器有没有足够的能力来运行FFT算法，根据以上的简单介绍可以得出以下两点：

l 处理器要在一个指令周期能完成乘和累加的工作，因为复数运算要多次查表相乘才能实现。其二就是间接寻址，可以实现增/减1个变址量，方便各种查表方法。

l FFT要对原始序列进行反序排列，处理器要有反序间接寻址的能力。

所以，在数字信号的分析处理应用中，DSP比其它的处理器有绝对的优势，因为DSP完全具备以上条件。这就是单片机（51系列，AVR，PIC等等）或ARM 处理器很少用来进行数字信号分析的原因。

4． FFT的C实现方法

// 函数名: 快速傅立叶变换（来源《C常用算法集》）

// 本函数测试OK,可以在TC2.0,VC++6.0,Keil C51测试通过。

// 如果你的MCS51系统有足够的RAM时,可以验证一下用单片机处理FFT有多么的慢。

//

// 入口参数：

// l: l = 0, 傅立叶变换; l = 1, 逆傅立叶变换

// il: il = 0,不计算傅立叶变换或逆变换模和幅角；il = 1,计算模和幅角

// n: 输入的点数，为偶数，一般为32，64，128， (1024)

// k: 满足n=2^k(k>0),实质上k是n个采样数据可以分解为偶次幂和奇次幂的次数

// pr[]: l="0时"，存放N点采样数据的实部

// l="1时", 存放傅立叶变换的N个实部

// pi[]: l="0时"，存放N点采样数据的虚部

// l="1时", 存放傅立叶变换的N个虚部

//

// 出口参数：

// fr[]: l="0", 返回傅立叶变换的实部

// l="1", 返回逆傅立叶变换的实部

// fi[]: l="0", 返回傅立叶变换的虚部

// l="1", 返回逆傅立叶变换的虚部

// pr[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的模

// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的模

// pi[]: il = 1,i = 0 时，返回傅立叶变换的辐角

// il = 1,i = 1 时，返回逆傅立叶变换的辐角

// data: 2005.8.15,Mend Xin Dong

kkfft(double pr[], double pi[], int n, int k, double fr[], double fi[], int l, int il)

{

int it,m,is,i,j,nv,l0;

double p,q,s,vr,vi,poddr,poddi;

for (it=0; it<=n-1; it++)

{

m = it;

is = 0;

for(i=0; i<=k-1; i++)

{

j = m/2;

is = 2*is+(m-2*j);

m = j;

}

fr[it] = pr[is];

fi[it] = pi[is];

}

//----------------------------

pr[0] = 1.0;

pi[0] = 0.0;

p = 6.283185306/(1.0*n);

pr[1] = cos(p);

pi[1] = -sin(p);

if (l!=0)

pi[1]=-pi[1];

for (i=2; i<=n-1; i++)

{

p = pr[i-1]*pr[1];

q = pi[i-1]*pi[1];

s = (pr[i-1]+pi[i-1])*(pr[1]+pi[1]); pr[i] = p-q;

pi[i] = s-p-q;

}

for (it=0; it<=n-2; it="it"+2)

{

vr = fr[it];

vi = fi[it];

fr[it] = vr+fr[it+1];

fi[it] = vi+fi[it+1];

fr[it+1] = vr-fr[it+1];

fi[it+1] = vi-fi[it+1];

}

m = n/2;

nv = 2;

for (l0=k-2; l0>=0; l0--)

{

m = m/2;

nv = 2*nv;

for(it=0; it<=(m-1)*nv; it="it"+nv) for (j=0; j<=(nv/2)-1; j++)

{

p = pr[m*j]*fr[it+j+nv/2];

q = pi[m*j]*fi[it+j+nv/2];

s = pr[m*j]+pi[m*j];

s = s*(fr[it+j+nv/2]+fi[it+j+nv/2]); poddr = p-q;

poddi = s-p-q;

fr[it+j+nv/2] = fr[it+j]-poddr;

fi[it+j+nv/2] = fi[it+j]-poddi;

fr[it+j] = fr[it+j]+poddr;

fi[it+j] = fi[it+j]+poddi;

}

}

if(l!=0)

{

for(i=0; i<=n-1; i++)

{

fr[i] = fr[i]/(1.0*n);

fi[i] = fi[i]/(1.0*n);

}

}

if(il!=0)

{

for(i=0; i<=n-1; i++)

{

pr[i] = sqrt(fr[i]*fr[i]+fi[i]*fi[i]); if(fabs(fr[i])<0.000001*fabs(fi[i])) {

if ((fi[i]*fr[i])>0)

pi[i] = 90.0;

else

pi[i] = -90.0;

}

else

pi[i] = atan(fi[i]/fr[i])*360.0/6.283185306; }

}

return;

}