数列与不等式知识点及练习
数列与不等式
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：
①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112
-+?=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足??
?
≤≥+0
01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足??
?≥≤+0
1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。
2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2()
1(11n S S n S a n n
n 若1a 适合n a ，则把它们
统一起来，否则就用分段函数表示.
题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式；
⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式.
总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①
② .
题型3 构造等比数列求通项
例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式.
总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：
“”或“求解. 数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式： 3. 4、 5.
二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列的前n 项和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）（2）)1
21
121(211)12)(12()2(2
+--+=+-=n n n n n a n （3）])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=
n n n n n n n a n
三.错位相减法:可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列.
例1：求和：
. 例2:数列1，3x ，5x 2,…,(2n-1)x
n-1
前n 项的和．
小结：错位相减法类型题均为：
n
n
a b 等差数列等比数列连续相加。四.常用结论
1）1+2+3+...+n =
2
)
1(+n n 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2n 3）2
3
3
3
)1(2121??
?
???+=+++n n n Λ 4） )12)(1(613212222++=++++n n n n Λ
5） 111)1(1+-=+n n n n
)21
1(21)2(1+-=+n n n n
重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：①（当a = b 时，） 【注意】： ，
2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关
系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”
*.若0x >，则1
2x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”
）; 若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）
*.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 3、含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）：
（，）；
*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0>ab 时，
ab b a 222≥+同时除以ab 得
2≥+b a a b 或b
a a
b -≥-11。 *,,b a 均为正数，b a b
a -≥22
八种变式： ①222b a ab +≤ ； ②2
)2
(b a ab +≤； ③2)2(
222b a b a +≤+ ④)(22
2
b a b a +≤+；⑤若b>0,则b a b a -≥22；⑥a>0,b>0,则b
a b a +≥+4
11；⑦若a>0,b>0,则ab b a 4)11(
2≥
+； ⑧ 若0≠ab ，则222)1
1(2111b a b
a +≥+。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“
b a =”。
放缩不等式： ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】：. ②，，则；
③，； ④，.
⑤,
函数()(0)b
f x ax a b x =+
>、图象及性质 (1)函数()0)(>+
=b a x b ax x f 、图象如图：
(2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
②单调递增区间：(,-∞
，)+∞
；单调递减区间：(0,
，[0)
最值定理
（积定和最小）
①，若积，则当时和有最小值；
（和定积最大）
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小. （2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大. ③已知，若，则有则的最小值为： ④已知，若则和的最小值为：
② .
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数的值域；
⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视； 例4.求函数的最大值；
⑸连用公式：例5.已知，求的最小值； ⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值； ⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值； ⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值
1、数列95
,74,53,32,
1的一个通项公式n a 是（ ） A 、12+n n B 、12-n n C 、32-n n D 、3
2+n n
2、已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
4282a a a =，11=a 则（ ）
A 、
B 、2
C 、
22 D 、2
1 3、已知等差数列{}n a 前n 项和为n S 且0>n a 已知02
564=-+a a a 则=9S （ ）
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20
4、已知)1,0(,21∈a a ，记21a a M =，121-+=a a N 则M 与N 的大小关系（ ） A 、M
5、若01
1< a ，则下列不等式： b c a c c b c a b a ab b a 22)4(,)3(,)2(,)1(<+>+><+中正确的是（ ） A 、（1）（2） B 、（2）（3） C 、（1）（3） D 、（3）（4） 6、不等式 121 3≥--x x 的解集是 （ ） A 、??????≤≤243x x B 、??????<≤243x x C 、??? ? ??≤>432x x x 或 D 、{}2 7、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5935 5 ,9a S a S ==则（ ） A 、 1 B 、 1- C 、 2 D 、 1 2 8、在的条件下，，00>>b a 三个结论：①22b a b a ab +≤+，②，2 22 2b a b a +≤+ ③b a b a a b +≥+2 2，其中正确的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 9、目标函数y x z +=2，变量y x ,满足?? ? ??≥<+≤+-125530 34x y x y x ，则有 （ ） A 、3,12min max ==z z B 、,12max =z z 无最小值 C 、z z ,3min =无最大值 D 、z 既无最大值，也无最小值 10、在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ） A 、11<<-a B 、20< C 、2 321<<- a D 、2 1 23<<- a 二、填空题：（每小题5分，共25分） 11、等比数列{}n a 公比,0>q 已知n n n a a a a 6,1122=+=++,则{}n a 的前4项和 =4S ___________ 12、等比数列{}n a 的前n 项和n S ，又2132S S S +=，则公比=q ___________ 13、若0>x ,0>y 且12=+y x ，则xy 的最大值为___________ 14、实数x 、y 满足不等式组?? ? ??≥-≥≥0 01 y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________ 15、关于x 的不等式211 (1)0(0)x a x a a a a -+ +++<>的解集为 三、解答题： 16、（本小题满分12分）等比数列{}n a 中，已知16,241==a a ， （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若53,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项， 试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S . 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2 48n S n n =- (1) 求数列{}n a 的通项公式 ； (2) 求n S 的最大或最小值. 18、（本小题满分12分）已知向量)sin ,2(cos θθn n a n =，),)(sin 2,1(*N n n b n ∈=θ若 n n a C =·n n b 2+， （1）求数列{}n C 的通项公式； （2）求数列{}n C 的前n 项和n S . 19、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+ （1）设1 2 -= n n n a b ，证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 20、（本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1 万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元． （Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？ （Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？ 21、（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1 112,2-- ==n n a a a ，Λ,4,3,2=n ， (1) 求证：数列? ?? ???-11n a 为等差数列； (2) 求数列{}n a 的通项公式； （3）令∑=+= n i i i n a a T 11 ，求证：43+ B A B B C BADCC 二、填空题：（每小题5分，共25分） 11、 215 12、2 1 - 13、81 14、 [－1,1) 15、1(1,)a a + 三、解答题： 16、解 ： （ 1 ） 设 公 比 为 q ，则 n n n q a a q q 2,2,216113==∴=∴=------------------------6分 （2）由（1）得,32,853==a a 则12,32,853===d b b 2812-=∴n b n n n S n 2262 -=-----------------------（12分） 17、解：（1）当n=1时，4711-==S a 当n 2时，4921-=-=-n S S a n n n 故492-=n a n （2）由 2 48n S n n =-576)24(2--=n ， 于是n S 有最小值是-576，此时24=n ； 无最大值。------------12分 18、(1) n n a C =·n n b 2+122sin 22cos 2+=++=n n n n θθ ),(* N n ∈------------6分 (2) 22)12(2)222(1 2-+=+-=++++=+n n n S n n n n Λ )(*N n ∈------------12分 19、解：（1）由n n n a a 221+=+得 12 211+=-+n n n n a a }{11n n n b b b ∴=-∴+是等差数列- n n n S 223222232?+???+?+?+=-----------------------8分 （1）-（2）n n n n S 22 2211 2 ?-+???+++=-- =n n n n n n 2222 121?-=?--- 1)1(2+-=∴n S n n ----------------------12分 20、解：（1）设第n 年获取利润为y 万元 n 年共收入租金30n 万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列， 共222 ) 1(n n n n =?-+ 因此利润)81(302n n y +-=，令0>y 解得：273< 润．--------------------------------------6分 （2）方案一：年平均利润n n n n n W --=+-= 81 30)81(302 1281230=-≤（当且仅当n n =81 ，即n=9时取等号） 所以9年后共获利润：12469+?=154（万元） 方案二：利润144)15()81(302 2+--=+-=n n n y 所以15年后共获利润：144+ 10=154 （万元） 两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．-------------------------13分 21 数列与不等式测试题 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1 x x > 成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0 7. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ). A. 12 B. 1 2 - C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n = -+，前n 项和为9 19 ，则项数n 为（ ） A. 7 B.8 C. 9 D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 10.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正 整数k 构成集合为 （ ） A ．{5} B ．{6} C ．{5,6} D ．{7} 11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ） A. 212-12 12.若a 是12b +与12b -的等比中项，则 22ab a b +的最大值为（） A. 12 B.4 C.5 D.2 第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.公差不为0的等差数列{}n a 中，2 37 11220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = . 数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式 (1)14(2)23，，，，，…，，，，…38516732964418635863 (3)(4)12--13181151242928252 ，，，，…，，，，… 解 (1)所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n －1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2×2n ，所以，已知数列的 通项公式为：．a =2n 12n n+1 - (2)从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n ，而分母组成的数列3，15，35，63，…可以变形为1×3，3×5，5×7，7×9，…即每一项可以看成序号n 的(2n －1)与2n ＋1的积，也即(2n －1)(2n ＋1)，因此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+22121()() ． (3)从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n 与n ＋2的积，也即n(n ＋2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因 此，所给数列的通项公式为： a n n n n =-+()() 112·． (4)所给数列可改写为，，，，，…分子组成的数列为124292162252 1，4，9，16，25，…是序号n 的平方即n 2，分母均为2．因此所 给数列的通项公式为．a =n n 2 2 【例2】 求出下列各数列的一个通项公式． (1)2，0，2，0，2，… (2)10000，，，，，，，， (131517) (3)7，77，777，7777，77777，… (4)0.2，0.22，0.222，0.2222，0.22222，… 解 (1)所给数列可改写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，1，－1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式a n ＝(－1)n+1＋1． 所给数列亦可看作2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的 通项公式为奇数为偶数这一题说明了数列的通项公式不唯一．a =2(n )0(n )n ??? (2)100012345所给数列，，，，，，，…可以改写成，，，，，，…分母组成的数列为，，，，，，，…是自然13151711021304150617 67 数列n ，分子组成的数列为1，0，1，0，1，0，…可以看 三角函数、数列、不等式练习题 命题人：刁化清 一、选择题 1．对于任意的实数,,a b c ，下列命题正确的是 A ．若22bc ac >，则b a > B ．若0,≠>c b a ，则bc ac > C ．若b a >，则 b a 11< D ．若b a >，则22b c ac > 2. 设0 C ．0()0f x < D ．)(0x f 的符号不确定 7. 在等差数列｛n a ｝中，若,8171593=+++a a a a 则=11a （ ） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 8．已知等差数列前n 项和为n S ，且，则13S 的值为 A ．13 B ．26 C ．8 D ．162 9．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 10=2,S 30=14,则S 40等于（ ） A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 10．在ABC ?中，角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若2cos a c B =，则ABC ?的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 {}n a 351024a a a ++= 第六章数列测试题 一，选择题 1,气象站一天各时刻测得的气温排成的一列数（ ） A 不是数列B 是数列C 是无序数列D 是有序数但不是数列 2,已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n = n 2 +3n+2,以下四个数中，是数列｛ a . ｝中 的一项是（） A 18 3 ?数列 B54 1 22 1 32 C 102 D 156 —，二^ …的一个通项公式是（ ） 1 4 1 A , a . 1 n 2 1 an =TTE a n = n(n 2) D 以上都不对 4. A C 下列各数列中, 0,1,0,1,0,1,? -1,1,-1,1, 是等差数列的是( B 0.3, 0.33, 0.333, D 8,8,8,8, 、5 —与另一个数的等差中项，则另一个数（ ） 、3 ?、 5 6. 在等差数列 ｛a n ｝中，若 a 4 a 6 10,则 a 2 a 3 a 4 a 6 a ? 等于 9, 已知x,2x+2,3x+2是一个等比数列的前3项，贝U 等比数列的第4项是（） A -27 B 12 C -13.5 D 13.5 10. 设等比数列的首项与第2项的和为30, a s a 4 120,则a s +a 6=（） A 120 B 240 C 480 D 600 二，填空题 1. 数列 a n = （n+1） （n+2）的第 ___ 项为 110。 1 1 2 3 4 2. 数列--,0,-,-,-,-，…的一个通项公式为 ________________________ 2 4 5 6 7 3. 等差数列的第2项为-5,第6项与第4项之差为6,那么这个数列的首项是— 75 3 4. 已知 住公,？成等差数列，那么x= ______ 8 2 5. 等差数列的前4项之和为30,公差是3,则a s = ___________ 6. 在等比数列｛ a n ｝中Q=9, a 6=243，则S 6= ____________ 3n 7. ___________________________________ 已知等比数列中，a n =一，则 a 1 = , q= ___________________________________ 6 1 8. 已知等比数列中，q=--，a * =1,S n =-20，则a 1 _________________________ 3 9. 110是通项公式为的a n n 1 n 2数列的第 _________________ 项 10. _________________________________________________ 首项为5,末项为 27,公差为2的等差数列共有 ________________________________ 项 三，解答题 1,已知成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上1, 3, 9后 得到的三个数成等比数列，求这三个数。 10 B 35 C 40 D 65 7, 等比数列前3项依次为、2,3.2,6 2,则第4项是（） A 1 B 1212 C 9 12 D 3 2 8 .在0与16之间插入两个数，使前三个数成等差数列，后三个数成等比数列, 则这两个数的和等于（） A 8 B 10 C12 D 16 2.已知数列｛ a n ｝的通项公式为a n = （-1） 2n 1 n ---------- 求此数列的第 5 项。 数列与不等式专题练习 一、选择题 1．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 3．12+与12-，两数的等比中项是（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．2 1 4．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113 -是此数列的第（ ）项 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ） A ．513 B ．512 C ．510 D ．8 225 6．已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10- 7．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5 935,95S S a a 则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ． 21 8．若)32lg(),12lg(,2lg +-x x 成等差数列，则x 的值等于（ ） A ．1 B ．0或32 C ．32 D ．5log 2 9．已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是（ ） A ．15(0,)2+ B ．15(,1]2- C ．15[1,)2+ D ．)2 51,251(++- 10．在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ） A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．以上都不对 11．在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ） A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．都不对 12．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ） A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+ 高一数学章节测试题——数列 10.已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则 使得n S 达到最大值的n 是（ ） A.21 B.20 C.19 D. 18 11.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ） A.1 B.9 C.10 D.55 12.已知等比数列{}n a 满足0,1,2, n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=（ ） A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2 n D. 2 (1)n - 选择题答题卡： 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14.在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式 =n a _____________. 15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________. 16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若2004a 和2006a 是方程03842 =+-x x 的两根，则 =+20072006a a _____________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知{}n a 为等比数列，3 20 ,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式. 一．方法综述 数列与函数、不等式相结合是数列高考中的热点问题，难度较大，求数列与函数、不等式相结合问题时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列中的恒成立问题、数列中的最值问题、数列性质的综合问题、数列与函数的综合问题、数列与其他知识综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略 类型一数列中的恒成立问题 【例1】【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（） A．B． C．D． 【答案】A 【解析】 由题意得，则，等差数列的公差， . 由， 得， 则不等式恒成立等价于恒成立， 而， 问题等价于对任意的，恒成立. 设，， 则，即， 解得或. 故选:A. 【指点迷津】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得 ，借助裂项相消法得到，又 ，问题等价于对任意 的 ， 恒成立. 【举一反三】已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 项和为n S ，且满足()2 142,n n S S n n n N -++=≥∈，若 对任意1,n n n N a a ++∈<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,5 B ．()4,6 C ．[)3,5 D ．[)4,6 【答案】A 类型二 数列中的最值问题 【例2】【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知数列满足 ， ，则使 的正整数的最小值是（ ） A ．2018 B ．2019 C ．2020 D ．2021 《数列》单元练习试题 一、选择题 1．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *），则4a 等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0 2．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么（ ） （A ）它的首项是2-，公差是3 （B ）它的首项是2，公差是3- （C ）它的首项是3-，公差是2 （D ）它的首项是3，公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则 =2 4a S （ ） （A ）2 （B ）4 （C ）215 （D ）217 4．设数列{}n a 是等差数列，且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ） （A ）54S S < （B ）54S S = （C ）56S S < （D ）56S S = 5．已知数列}{n a 满足01=a ，133 1+-=+n n n a a a （∈n N *），则=20a （ ） （A ）0 （B ）3- （C ）3 （D ） 23 6．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ） （A ）130 （B ）170 （C ）210 （D ）260 7．已知1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ，则（ ） （A ）5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+ （C ）5481a a a a +=+ （D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 8．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数 列有（ ） （A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项 9．设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2=q ，且30303212=????a a a a ，那么 30963a a a a ???? 等于（ ） 数列与不等式复习题（一） 1．数列 ,8,5,2,1-的一个通项公式为 （ ） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．()43)1(--=n a n n D ．()43) 1(1 --=-n a n n 2、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 3、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为（ ） A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 4．不等式01 31 2>+-x x 的解集是 （ ） A ．}21 31|{>- 高一数列专项典型练习题 一．选择题（共11小题） 1．（2014?天津模拟）已知函数f （x ）= （a ＞0，a≠1），数列{a n }满足a n =f （n ）（n ∈N *）， 且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围（ ） A ． [7，8） B ． ￥ （1，8） C ． （4，8） D ． （4，7） 2．（2014?天津）设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1= （ ） ^ A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ． ﹣ ， 3．（2014?河南一模）设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若，则=（ ） A ． 1 B ． ﹣1 C ． : 2 D ． 4．（2014?河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k 的值为（ ） A ． 、 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 ^ 5．（2014?河西区三模）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ） A ． 11 B ． 5 C ． ﹣8 > D ． ﹣11 6．（2014?河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（） A．B．` ﹣ C．6D．﹣6 7．（2014?河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）— A． 9B．12C．14D．18 | 8．（2013?南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47B．45C．| 38 D．54 9．（2013?天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（） A．±9' B． 9C．±3D． 3 10．（2012?天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（） . A．8B．18C．26~ D． 80 11．（2012?天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20B．… 21 C．42D．84 二．填空题（共7小题） 12．（2014?天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________． 、 数列与不等式 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足?? ?≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知为数列{}n a 的前项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们 统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知为数列{}n a 的前项和，，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：① ② . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法： ①令；② 在中令，；③由得，. 例4已知数列{}n a 中，，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为： “”或“求解. 数列求和的常用方法 高一数列练习题 一．选择题（共11小题） 1．已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增 数列，则实数a的取值范围（） A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7） 2．设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D． ﹣ 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（） A．1B．﹣1 C．2D． 4．阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（） A．5B．6C．7D．8 5．设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（） A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11 6．数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（） C．6D．﹣6 A．B． ﹣ A．9B．12 C．14 D．18 8．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（） A．47 B．45 C．38 D．54 9．在等比数列{a n}中，，则a3=（） A．±9 B．9C．±3 D．3 10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（） A．8B．18 C．26 D．80 11．在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（） A．20 B．21 C．42 D．84 二．填空题（共7小题） 12．）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________． 13．某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*）， 等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数 1 5 7 77 2 12 8 96 3 21 12 192 4 32 16 320 5 45 32 1152 6 60 48 2496 则等级为50级需要的天数a50=_________． 14．数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________． 15．已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________． 高一数学检测卷(十一) 一、选择题 1. a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－a D ．a 2＞－a ＞－a 3 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 3．已知x ，y ∈R ＋ ，2x ＋y ＝2，c ＝xy ，那么c 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.22 D.14 4．设{}n a （n ∈N * ）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．的是（ ） A ．d ＜0 B ．a 7＝0 C ．S 9＞S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值 5．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100， 则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( ) A ．102 B ．101 C ．100 D ．99 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 9成等比数列，则 a 1＋a 3＋a 9 a 2＋a 4＋a 10 等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516 8．在平面直角坐标系中，不等式组???? ? x ＋y ≥0x －y ＋4≥0 x ≤1 表示的平面区域面积是( ) A ．3 B ．6 C.9 2 D ．9 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答（1） 1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ； （2）证明： 112233 1111 ln(1)n n n a T a T a T a T ++++ <+. 2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =， 121 111n n n c a a a a -=++???+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式； （2）（i ）求证：11 1n n n n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：231115 1113 n c c c ??????+ +???+< ? ? ???????. 3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质： ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2 i m j a a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k n l a a a =． (Ⅰ)若(1,2, )n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由； (Ⅱ)若1 2(1,2, )n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由； (Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记222 12n n S T T T =++???+ （1）证明：数列11n a ?? ??-? ?是等差数列； （2）记1n n n d a S +=-，证明：11 32 n d << 等比数列测试题 A 组 一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ． 1．20×2n-3 .提示：q 3= 16020=8,q=2.a n =20×2n-3 . 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为2 3，则项数n 等于 . 2.4. 提示：13=98×（2 3 ）n-1,n=4. 3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . .提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得 . 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______． 4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n － 1． a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－ 1=3+b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += 5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵ 12324a a +=，3436a a +=∴563636 4324 a a ?+= =. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为 3 1 的等比数列，则a n 等于 。 6．23（1－n 31）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n －a n －1）=23 （1－n 31）。 7.等比数列 ,8,4,2,13 2 a a a 的前n 项和S n = . 7. 1,,2 1(2)1a 122n n n a S a a ? =??=?-?≠?-?，。提示：公比为a q 2=， 当1=q ，即2 1 = a 时，;,12n S a n == 当1≠q ，即2 1 ≠a 时，12≠a ，则a a S n n 21)2(1--=. 8. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =， 数列及不等式综合测试卷 测 试 卷 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．下列不等式中成立的是（ ） A ．若a b >，则2 2 ac bc > B ．若 a b >，则2 2 a b > C ．若0a b <<，则2 2 a ab b << D ．若 a b <<，则11 >a b 2．下列命题中，正确的是（ ） A.若b a >，d c >，则bd ac > B.若bc ac >，则b a > C.若2 2 c b c a < ，则b a < D.若b a >，d c >， 则d b c a ->- 3．设1 1 1 () ()122 2 b a <<<，那么 A ． a b a b a a << B ．b a a a b a << C ．a a b b a a << D ．a a b a b a << 4．设3log π =a ，3 .02=b ，6 sin log 3π =c ，则 A ．c b a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a c b >> 5．若正数a, b 满足3a+4b=ab ，则a+b 的最小值为（ ） A ．6+2 B ．7+2 C ．7+4 D ．7－6．在等比数列{}n a 中，若1 2 a =，2 50 a a +=，{}n a 的n 项 和为n S ，则2015 2016S S += （ ） A ．4032 B ．2 C ．2- D ．4030- 7．等比数列{}n a 中，4 52,5 a a ==，则数列{lg }n a 的前 8项和等于（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．4 8．已知}{n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项 和，且 64 65 36=S S ,则数列|} log {|2 n a 前10项和为 （ ） A.58 B.56 C.50 D.45 9．已知等比数列{}n a ,且4 82, a a +=则6 2 610(2) a a a a ++的 值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 10．设()f x 是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数 ,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y ?=+，若 ()()11 ,2 n a a f n n N *==∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值 范围是（ ） A. 1,22????? ? B. 1,22????? ? C. 1,12????? ? D. 1,12????? ? 高一数列测试题及答案集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN] 高一数列测试题 选择题（5分×10=50分） 1、三个正数a 、b 、c 成等比数列，则lga 、 lgb 、 lgc 是 （ ） A 、等比数列 B 、既是等差又是等比数列 C 、等差数列 D 、既不是等差又不是等比数列 2、前100个自然数中，除以7余数为2的所有数的和是（ ） A 、765 B 、653 C 、658 D 、660 3、如果a,x 1,x 2,b 成等差数列，a,y 1,y 2,b 成等比数列，那么(x 1+x 2)/y 1y 2等于 （ ） A 、(a+b)/(a-b) B 、(b-a)/ab C 、ab/(a+b) D 、(a+b)/ab 4、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q= （ ） A 、1 B 、-1 C 、-3 D 、3 5、在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2a n -1=128,S n =126，则n 的值为（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 6、若{ a n }为等比数列，S n 为前n 项的和，S 3=3a 3,则公比q 为（ ） A 、1或-1/2 B 、-1 或1/2 C 、-1/2 D 、1/2或-1/2 7、一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大21/2，则最后一项为 （ ） A 、12 B 、10 C 、8 D 、以上都不对 8、在等比数列{a n }中，a n >0,a 2a 4+a 3a 5+a 4a 6=25,那么a 3+a 5的值是（ ） A 、20 B 、15 C 、10 D 、5 9、等比数列前n 项和为S n 有人算得S 1=8,S 2=20,S 3=36,S 4=65,后来发现有一个数算错了，错误的是 （ ） A 、S 1 B 、S 2 C 、S 3 D 、S 4 10、数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 7,a 10,a 15是一等比数列{b n }的连续三项，若该等比数列的首项b 1=3则b n 等于（ ） A 、3·(5/3)n-1 B 、3·(3/5)n-1 C 、3·(5/8)n-1 D 、3·(2/3)n-1 二、填空题（5分×5=25分） 11、公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一等比数列，该等比数列的公比q = 12、各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q= 13、已知a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列，且0数列与不等式测试题及答案
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