(word完整版)数学北师大版高中选修2-2北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》教案
北师大版高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》全部教案
§1变化的快慢与变化率
第一课时变化的快慢与变化率——平均变化率
一、教学目标：1、理解函数平均变化率的概念；
2、会求给定函数在某个区间上的平均变化率，并能根据函数的平均变化率判断函数在某区间上变化的快慢。
二、教学重点：从变化率的角度重新认识平均速度的概念，知道函数平均变化率就是函数在某区间上变化的快慢的数量描述。
教学难点：对平均速度的数学意义的认识
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
(一)、客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：
第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。
十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。
本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。
积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是
计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。 (二)、探析新课
问题1：物体从某一时刻开始运动，设s 表示此物体经过时间t 走过的路程，显然s 是时间t 的函数，表示为s =s (t ) 在运动的过程中测得了一些数据，如下表：
t/s 0 2 5 10 13 15 … s/m
6
9
20
32
44
…
物体在分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢。
在0～2s 这段时间内，物体的平均速度为
)/(3020
6s m =--； 在10～13s 这段时间内，物体的平均速度为)/(410
1320
32s m =--。
显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快。
问题2：某病人吃完退烧药，他的体温变化如下图所示：
比较时间x 从0min 到20min 和从20min 到30min 体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？
分析：根据图像可以看出：
当时间x 从0min 到20min 时，体温y 从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃； 当时间x 从20min 到30min 时，体温y 从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃。
两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段时间短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快。 我们也可以比较在这两段时间中，单位时间内体温的平均变化量，于是当时间x 从0min 到20min 时，体温y 相对于时间x 的平均变化率为
025.020
5
.0020395.38-=-=--（℃/min ）
当时间x 从20min 到30min 时，体温y 相对于时间x 的平均变化率为
05.010
5
.020305.3838-=-=--（℃/min ）
这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降的越快，这里体温从20min 到30min 这段时间下降的比0min 到20min 这段时间要快。
（三）、小结：1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ?+内的平均变化率为x
y
??，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。 （四）、练习：P27页练习1，2，3，4题；习题2-1中 1 （五）作业布置：1、已知曲线2
12
y x =
上两点的横坐标是0x 和0x x +?，求过AB 两点的直线斜率。
2、一物体按规律2
10s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平均速度。 五、教后反思：
第二课时 变化的快慢与变化率——瞬时变化率
一、教学目标：1、理解函数瞬时变化率的概念；2、会求给定函数在某点处的瞬时变化率，并能根据函数的瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢。3、理解瞬时速度、线密度的物理意义，并能解决一些简单的实际问题。 二、教学重点：知道瞬时变化率刻画的是函数在某点处变化的快慢。
教学难点：对于平均速度与瞬时速度的关系的理解 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：函数平均变化率的概念 1、对一般的函数y =f （x ）来说，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从f （1x ）变为2()f x 。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，函数)(x f y =在),(00x x x ?+内的平均变化率为x
y
??，如我们常用到年产量的平均变化率。2、函数的平均变化率与函数单调性之间的关系。 （二）、探究新课
例1、一个小球从高空自由下落，其走过的路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数关系为22
1gt s =
其中，g 为重力加速度)/8.9(2
s m g =，试估计小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。
分析：当时间t 从t 0变到t 1时，根据平均速度公式
101)()(t t t s t s t s --=??， 可以求出从5s 到6s 这段时间内小球的平均速度
9.531
5
.1224.17656)5()6(=-=--s s （m/s ）
。 我们有时用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。为了提高精确度，可以缩短时间间隔，如求出5～5.1s 这段时间内的平均速度
5.491
.05
.12245.12751.5)5()1.5(=-≈--s s （m/s ）
。 用它来近似表示t=5s 时的瞬时速度。
如果时间间隔进一步缩短，那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s 这个时刻的瞬时速度。 解：我们将时间间隔每次缩短为前面的
1
，计算出相应的平均速度得到下表：
10049m/s 。从上面的分析和计算可以看出，瞬时速度为49m/s 的物理意义是，如果小球保持这一刻的速度进行运动的话，每秒将
要运动49m 。
例2、如图所示，一根质量分布不均匀的合金棒，长为10m 。x （单位：m ）表示OX 这段棒长，y （单位：kg ）表示OX 这段棒的质量，它们满足以下函数关系：x x f y 2)(==。
估计该合金棒在x =2m 处的线密度。
分析：一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度。 解：由x x f y 2)(==，我们可以计算出相应的平均线密度得到下表
x 0/s x 1/s
长度x 的改变量 （Δx ）/m
质量y 的改变量 （Δs ）/kg
平均线密度
??
?
????x y /（kg/m ） 2 2.1 0.1 0.070 0.70 2 2.01 0.01 0.0071 0.71 2 2.001 0.001 0.00071 0.71 2 2.0001 0.0001 0.000071 0.71 2
…
…
…
…
可以看出，当1趋于0=2m 时，平均线密度趋于0.71kg/m ，因此，可以认为合金棒在0=2m 处的线密度为0.71kg/m 。从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.71kg/m 的物理意义是，如果有1m 长的这种线密度的合金棒，其质量将为0.71kg 。
（三）、小结：对于一般的函数)(x f y =，在自变量x 从x 0变到x 1的过程当中，若设Δx = x 1－x ０，)()(01x f x f y -=?，则函数的平均变化率是
x
x f x x f x x x f x f x y ?-?+=--=??)
()()()(000101， 而当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于在点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。 （四）、练习：课本30P 练习2：1、2. （五）、作业：课本31P 习题2-1：3、4、5 五、教后反思：
第三课时 瞬时速度与瞬时加速度
一、教学目标：了解平均速度的概念，掌握运动物体的瞬时速度瞬时加速度的概念及求法． 二、教学重点，难点：瞬时速度瞬时加速度的概念及求法． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）．问题情境
1．情境：一质点运动方程为2
10s t =+，（其中s 表示在时刻t 的位移，时间单位：秒，位移单位：米）；求质点在时刻3t =处的切线的斜率．2．问题：在时刻3t =处的切线的斜率有什么物理意义？ （二）、学生活动 解：2
2
2
(3)103106s t t t ?=+?+--=?+?，∴
6s t t ?=+??，当t ?趋近于0时，6s
t t
?=+??趋近于6，质点在时
刻3t =处的切线的斜率为6；它的物理意义时刻3t =时的瞬时速度． （三）．建构数学 1． 平均速度：
物理学中，运动的物体的位移与所用时间比称为平均速度．
若位移s 与所经过时间t 的规律是)(t s s =，设t ?为时间改变量，从0t 到0t t +?这段时间内，物体的位移是
00()()s s t t s t ?=+?-，那么位移的改变量s ?与时间改变量t ?的比就是这段时间内物体的平均速度v ， 即：
00()()
s t t s t s v t t
+?-?=
=
??，平均变化率反映了物体在某一时间段内运动快慢程度的物理量。 2． 瞬时速度：物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t 的“速度”，即0t 的瞬时速度，用v 表示，物体在0t 时的瞬时速度v （即0t t =时()s t 对于时间的瞬时变化率），运动物体在0t 到0t t +?这一段时间内的平均速度v ，当t ?无限趋近于0时，
00()()
s t t s t s t t
+?-?=
??趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在0t t =时的瞬时速度． 3． 瞬时加速度
物理学中我们学习过运动的物体在某一时刻0t 的“加速度”，即0t 的瞬时加速度，用a 表示，物体在0t 时的瞬时加速度
a （即0t t =时速度()v t 对于时间的瞬时变化率），运动物体在0t 到0t t +?这一段时间内的平均加速度a ，当t ?无限趋
近于0时，有00()()
v t t v t v a t t
+?-?=
=
??趋近于常数a ． （四）．知识运用：1．例题：
例1．设质点按函数2
16015s t t =-所表示的规律运动，求质点在时刻3t =时的瞬时速度（其中s 表示在时刻t 的位移，时间单位：秒，位移单位：米）．
解：从03t =到03t t t +?=+?这段时间内，
物体的位移是(3)(3)16015(6)s s t s t t t ?=+?-=??-??+?，
那么位移的改变量s ?与时间改变量t ?的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即7015s
v t t
?==-??，当t ?无限趋近于0时，有7015s
v t t
?=
=-??趋近于常数70，∴质点在时刻3t =时的瞬时速度为70v =． 例2．跳水运动员从10m 高的跳台腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，t s 后运动员相对于水面的高度为2() 4.9 6.510H t t t =-++，确定2t s =时运动员的速度 ．
解：从02t =到02t t t +?=+?这段时间内的平均变化率为，
(2)(2)13.1 4.9H t H t t +?-=--??，当t ?无限趋近于0时，有
(2)(2)
13.1 4.9H t H t t
+?-=--??趋近于常数13.1-，∴当2t s =时运动员的瞬时速度为13.1-．
例3．设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设t s 时的速度为2
()3v t t =+，求0t t s = 时轿车的加速度．
解：在0t 到0t t +?的时间间隔内，轿车的平均加速度为000()()2v t t v t v a t t t t
+?-?=
==+???， 当t ?趋近于常数0时，有a 趋近于常数02t ，所以0t t s =时轿车的加速度为02t ．
2．练习：课本P30页第 1，2题．
（五）．回顾小结：运动物体的瞬时速度的一般步骤是：①求位移增量与时间增量的比s
t
??； ②判断当t ?趋近于常数0时，
s
t
??是否无限趋近于一常数；③求出这个常数． （六）、作业：习题2-1中 A 组第3题 B 组1、2 五、教后反思：
§2 导数的概念及其几何意义
第四课时 导数的概念
一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.
二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为
x
x f x x f x x x f x f x y ?-?+=--=??)
()()()(000101 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。 （二）、探究新课
在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作
x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='→?→)
()()()()(000
01010lim lim
1。
例1、一条水管中流过的水量y （单位：3
m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为
3323)2(3)2()2(=??=??-?+=?-?+x
x x x x f x f （3m /s ）.
当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3
m /s ）.
导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。也就是如果水管的中的水以x =2s 时的瞬时速度流动的话，每经过1s ，水管中流过的水量为33
m 。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y （单位：kg ）是其工作时间x （单位：h ）的函数)(x f y =。假设函数)(x f y =在x=1和x=3处的导数分别为4)1(='f 和5.3)3(='f ，试解释它们的实际意义。
解：4)1(='f 表示该工人工作1h 的时候，其生产速度（即工作效率）为4kg/h ，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产4kg 的食品。
5.3)3(='f 表示该工人上班后工作3h 的时候，，其生产速度为3.5kg/h ，也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产出3.5kg/h 的食品。
例3、服药后，人体血液中药物的质量浓度y （单位：μg/mL ）是时间t （单位：min ）的函数)(t f y =，假设函数)(t f y =在t=10和t=100处的导数分别为5.1)10(='f 和6.0)100(-='f ，试解释它们的实际意义。
解：5.1)10(='f 表示服药后10min 时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/（mL ·min ）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min ，血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/（mL ·min ）。
6.0)100(-='f 表示服药后100min 时，血液中药物的质量浓度下降的速度为－0.6μg/（mL ·min ）。也就是说，如果保持这一速度，每经过1min ，血液中药物的质量浓度将下降－0.6μg/（mL ·min ）。
(三)、小结：1、瞬时速度的变化率的概念；2、导数的概念；3、利用导数的定义求函数的导数的方法步骤： （四）、练习：课本33P 练习：1、2.
（五）、作业：课本37P 习题2-2中A 组2、3
补充题：1、求函数f (x )=x x +-2
在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．
解：x x
x x x y ?-=?-?+-+?+--=??32
)1()1(2 200(1)(1)2
(1)lim
lim (3)3x x y x x f x x x
?→?→?--+?+-+?-'-===-?=?? 2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh 时，原油的温度（单
位：C o
）为2
()715(08)f x x x x =-+≤≤，计算第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
解：在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率就是'
(2)f 和'
(6)f
根据导数定义，
0(2)()f x f x f
x x
+?-?=??22(2)7(2)15(27215)3x x x x +?-+?+--?+==?-? 所以00
(2)lim
lim(3)3x x f
f x x ?→?→?'==?-=-?
同理可得:(6)5f '=
0000
1()()23lim
x y f x x f x y x y
x →=+-V V V V V V 、求函数的变化率、求函数的平均变化率、求极限
在第2h 时和第6h 时，原油温度的瞬时变化率分别为3-和5，说明在2h 附近，原油温度大约以3/C h o
的速率下降，在第6h 附近，原油温度大约以5/C h o
的速率上升．
注：一般地，'
0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况．
五、教后反思：
第五课时 导数的几何意义（一）
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。 二、教学重点：了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导数的概念及求法。 （二）、探究新课
设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为
x
y
??，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ?+）两点的直线的斜率。这条直线称为曲线)
(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线
l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。
函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。 1、导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即 0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
?→+?-'==?
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
?→+?-'==? ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程. 2、导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0
()()
()lim x f x x f x f x y x
?→+?-''==?
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数()f x 在点0x 处的导数'
0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法
之一。
例1、已知函数2
)(x x f y ==， x 0＝－2。
（1）分别对Δx =2，1，0.5求2
x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；
（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2
x y =在点（－2，4）处的切线。
解：（1）Δx =2，1，0.5时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。2
x y =在这些区间上的平均变化率分别为
22)2(02)2()0(2
2-=--=--f f ，
31)2()1(1)2()1(2
2-=---=---f f ，
5.35
.0)2()5.1(5.0)2()5.1(2
2-=---=---f f .
其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）和点（-1，1）的直线l 2，
过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l 3.
（2）2
x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为
x x
x x x x ?+-=??+?-=?--?+-4)(4)2()2(2
22.
令Δx 趋于0，知函数2
x y =在x 0＝－2处的导数为-4。 曲线2
x y =在点（-2，4）处的切线为l ，如右图所示。 例2、求函数3
2)(x x f y ==在x =1处的切线方程。 解：先求3
2x y =在x =1处的导数：
x
y O
P
1l 2l
23
3322133()()2(1)(1)2(1)21662()x x x f x f x x x x x x
??+?+?+?-+?-+?-???===+?+????
令Δx 趋于0，知函数3
2x y =在x =1处的导数为6)1(='f 。
这样，函数3
2x y =在点（1，)1(f ）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，2），斜率为6. 因此切线方程为y -2=6(x -1). 即y =6x -4. 切线如图所示。
（三）、小结：函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。函数)(x f y =在
x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
（四）、练习：课本37P 练习：1、2. （五）、作业：课本37P 习题2-2中A 组4、5 五、教后反思：
第六课时 导数的几何意义（二）
一、教学目标：掌握切线斜率由割线斜率的无限逼近而得，掌握切线斜率的求法． 二、教学重点，难点：（1）能体会曲线上一点附近的“局部以直代曲”的核心思想方法；（2）会求曲线上一点处的切线斜率．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、问题情境 1．情境：设P 是曲线上的一点，将点P 附近的曲线放大、再放大，则点P 附近将逼近一条确定 的直线l ．
2．问题：怎样找到在曲线上的一点P 处最逼曲线的直线l 呢？ （二）、学生活动 如上图直线12,l l 为经过曲线上一点P 的两条直线． （1）判断哪一条直线在点P 附近更加逼近曲线．
（2）在点P 附近能作出一条比12,l l 更加逼近曲线的直线3l 吗？ （3）在点P 附近能作出一条比123,,l l l 更加逼近曲线的直线4l 吗？ （三）、建构数学
1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线，
设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +?+?，则割线PQ 的斜率为
00()()()()
()PQ f x x f x f x x f x k x x x x
+?-+?-=
=+?-?．
2． 切线的定义：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；
3． 切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ?无限趋近于0时，()()
f x x f x x
+?-?无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．
（四）、数学运用
1．例题：
例1．已知曲线2
y x =，
（1）判断曲线(1,1)P 在点P 处是否有切线，如果有，求切线的斜率，然后写出切线的方程． （2）求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率。
分析：（1）若Q 是曲线2
y x =上点P 附近的一点，当Q 沿着曲线2
y x =无限接近点P 时，割线PQ 的斜率是否无限接近于一个常数．若有，则这个常数是曲线2
y x =在点P 处的切线的斜率；（2）为求得过点(2,4)的切线斜率，我们从经过点(2,4)的任意一点直线（割线）入手。
解：（1）在曲线2
y x =上点P 附近的取一点Q ，设点Q 的横坐标为1x +?， 则函数的增量为2
2
(1)12()y x x x ?=+?-=?+?，
∴割线PQ 的斜率为22()2PQ
y x x k x x x
??+?===+???， ∴当x ?无限趋近于0时，2PQ k x =+?无限趋近于常数2， ∴曲线2
x y =在点P 处有切线，且切线的斜率为2， ∴所求切线方程是12(1)y x -=-，即21y x =-．
（2）设(2,4)P ，2
(2,(2))Q x x +?+?，则割线PQ 的斜率为
2(2)44PQ
x k x x
+?-==+??
当x ?无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于常数4，从而曲线()y f x =在点(2,4)P 处切线的斜率为4。 例2
．已知()f x =
()y f x =在1x =处的切线的斜率．
分析：为了求过点(1,2)的切线的斜率，要从经过点(1,2)的任意一条割线入手． 解：设(1,2)P
，(1Q x +?，则割线PQ 的斜率：
2PQ
k ===．
当x ?无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于常数1，∴曲线()y f x =在点P 处有切线，且切线的斜率为1． 例3．已知曲线方程1
1y x
=-，求曲线在(2,1)P -处的切线方程． 解：设1
(2,
)1(2)
Q x x +?-+?是点P 附近的一点，
1
1
11(2)
(1)1PQ
x x k x x x x
+-?-+?===??--?+?．
当x ?无限趋近于0时，PQ k 无限趋近于常数1，∴曲线()y f x =在点P 处有切线，且切线的斜率为1．所求直线方程：
30x y --=．
2．练习：练习 第 1，2，3题；习题2-2A 组中 第 3题．
（五）．回顾小结：求切线斜率一般步骤是：①求函数增量与自变量增量的比y x ??；②判断当x ?无限趋近于0时，y
x
??是否无限趋近于一常数；③求出这个常数．
（六）．课外作业：1、补充：判断曲线2
2y x =在点(1,2)P 处是否有切线？如果有，求出切线的方程． 2、习题2-2中B 组 1、2
五、教后反思：
第七课时 导数的几何意义习题课
一、教学目标：会利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程。 二、教学重点：曲线上一点处的切线斜率的求法
教学难点：理解导数的几何意义 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）、复习：导数的几何意义：函数)(x f y =在x 0处的导数就是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。 （二）、探究新课
例1、在曲线34
x
y =
上求一点P 使得曲线在该点处的切线满足下列条件： （1）平行于直线y ＝x ＋1；
（2）垂直于直线2x －16y ＋1＝0； （3）倾斜角为135°。 解：设点坐标为（0x ，0y ），则
2
0200
2020202
20)
(48)()(484
)(4x x x x x x x x x x x x x x x x x y ?+?--=??+?-?-=?-?+=?? ∴当Δx 趋于0时，30
40008
8)(x x x x f -=-
='。 （1）∵切线与直线y ＝x ＋1平行。
∴1)(0='x f ，即18
30
=-
x ，∴20-=x ，10=y 。即P （―2，1）。 （2）∵切线与直线2x －16y ＋1＝0垂直，
∴1)16
2
(·)(0-=--
'x f ，即181·830-=-x ，∴10=x ，40=y 。即P （―1，4）
。 （3）∵切线倾斜角为135°，
∴1135tan )(0
0-=='x f ，即18
30
-=-
x ，∴20=x ，10=y 。即P （2，1）。 例2、求曲线1)(3
+==x x f y 过（1，1）点的切线的斜率。
解：设过（1，1）点的切线与13
+=x y 相切与点)1,(300+x x P ，则
202
0320203030)(33)()(33)1(1)(x x x x x
x x x x x x x x x x y ?+?+=??+?+?=?+-+?+=?? 当Δx 趋于0时， 2
003)(x x f ='，
由导数的几何意义可知，曲线在点P 处的切线的斜率为2
03x k = ①
又过（1，1）点的切线的斜率11
1030--+=x x k ②
∴由①②得：1
30302
-=x x x 解得：00=x 或230=x ，∴0=k 或427
=k ，
∴曲线13
+=x y 过（1，1）点的切线的斜率为0或4
27。 例3、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况．
解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上述三个时刻附近的变化情况．
（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降． （2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，所以，在1t t =附近曲线下降，即函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．
（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，所以，在2t t =附近曲线下降，即函数
2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．
从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．
（三）、小结：利用导数的几何意义求曲线)(x f y =在0x x =处切线方程的步骤：（1）已知曲线的切点),(00y x P ①求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '；②根据直线的点斜式方程，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。（2）过曲线外的点),(11y x P ①设切点为),(00y x ，求出切点坐标；②求出函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '；③根据直线的点斜式方程，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-。 （四）、练习：练习册30P ：7、8． （五）、作业：练习册30P ：5、6、9、10 五、教后反思：
§3 计算导数
第八课时 计算导数（一）
一、教学目标：
1、能根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数)(x f y =在0x 处的导数的步骤；
2、理解导函数的概念，并能用它们求简单函数的导数。
二、教学重点：根据导数的定义计算一般函数)(x f y =在0x 处的导数；
教学难点：导数的定义运用
三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
（一）复习导入新课
导函数的定义
.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数=
x x f x x f y x f x ?-?+==→?)
()(lim
)(0
''即
注 意
.)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量
该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x
那么，如何利用导数的定义求函数的导数？从而导入新课。 （二）、探析新课 计算函数)(x f y =在0x x =处的导数的步骤如下：
（1）通过自变量在0x 处的Δx ，确定函数在0x 处的改变量：)()(00x f x x f y -?+=?； （2）确定函数)(x f y =在0x 处的平均变化率：
x x f x x f x y ?-?+=??)
()(00； （3）当Δx 趋于0时，得到导数x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()()(000
0lim
。
例1、求函数x x
x f y +=
=2
)(在下列各点的导数 （1）0x x =； （2）1=x ； （3）2-=x 。 解：（1）∵x x x x x
x x x x x x x f x x f y ?+?+?-=???
? ??+-?++?+=
-?+=?020********)(2)()(. ∴
12
202002
0+?+-=??+?+?-
=??x
x x x x x x x x
x
y
。
∴当Δx 趋于0时，得到导数12
12)(20020000lim lim +-=???? ?
?+?+-=??='→?→?x x x x x y x f x x 。 （2）由（1）可知当1=x 时有：111
2
)1(2-=+-
='f 。 （3）由（1）可知当1=x 时有：21
1)
2(2)2(2
=+--
=-'f 。 一般地：如果一个函数)(x f y =在区间[a ，b ]上的每一点x 处都有导数，导数值记为)(x f '：
x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()()(lim
则)(x f '是关于x 的函数，称)(x f '为)(x f 的导函数，通常也简称为导数。
例2、求x x x f y -==2
3)(的导函数)(x f '，并利用导函数)(x f '求)1(f '，)2(-'f ，)0(f '。 解：∵()
x x x x x x x x x x x f x x f y ?-?+?=--?+-?+=-?+=?6)(33)()(3)()(2
20200.
∴1636)(32-+?=??-?+?=??x x x
x x x x x y 。 ∴当Δx 趋于0时，得到导函数16)163()(lim lim 0
0-=-+?=??=
'→?→?x x x x y
x f x x 。 分别将1=x ，2-=x ，0=x 代入)(x f '，可得
5116)1(=-?='f ，131)2(6)2(-=--?=-'f ，1106)0(-=-?='f 。
（二）、小结：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，利用导数的定义计算函数)(x f y =在0x x =处的导数的步骤如下： （1）通过自变量在0x 处的Δx ，确定函数在0x 处的改变量：)()(00x f x x f y -?+=?； （2）确定函数)(x f y =在0x 处的平均变化率：
x x f x x f x y ?-?+=??)()(00； （3）当Δx 趋于0时，得到导数x
x f x x f x f x ?-?+='→?)
()()(000
0lim
（三）、练习：课本40P 练习：1、2.
（四）、作业：课本41P 习题2-3：A 组1、2、4 （五）
、课外练习：求函数()y f x ==
的导数
因为
()()
y f x x f x x x
x ?+?-==??
?=
=
所以0lim lim x x y y x ?→?→?'===?五、教后反思：
第九课时 计算导数（二）
一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。 二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的流程图。 （1）求函数的改变量)()(x f x x f y -?+=?
（2）求平均变化率
x
x f x x f x y ?-?+=
??)
()( （3）取极限，得导数/
y ＝()f x '=x
y x ??→?0lim
本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3
问题：1
-=x y ，2-=x y ，3
-=x y 呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？ （二）、新课探析
1、基本初等函数的求导公式：
⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2
()2x x '=
⑸ 32
()3x x '= ⑹ 2
11()x x '=-
⑺
'=
由⑶~⑹你能发现什么规律?
⑻ 1
()x x
α
αα-'= （α为常数）
⑼ ()ln (01)x
x
a a a a a '=>≠，
⑽ a a 11(log x)log e (01)x xlna
a a '=
=>≠，且 ⑾ x
x e )(e =' ⑿ x
1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －='
从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。 2、例题探析
例1、求下列函数导数。
（1）5
-=x y （2）x
y 4= （3）x x x y =
（4）x y 3log = （5）y=sin(
2π+x) (6) y=sin 3
π
（7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '
例2、已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。 例3、若直线y x b =-+为函数1
y x
=
图象的切线,求b 的值和切点坐标.
变式1、求曲线y=x 2
在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率
变式2、求曲线y=x 2
过点(0,-1)的切线方程
变式3、求曲线y=x 3
过点(1,1)的切线方程
变式4、已知直线1y x =-,点P 为y=x 2
上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. （三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用
导数公式表
（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与时间t （单位：年）有如
下函数关系0()(15%)t
p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品
的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有'
() 1.05ln1.05t
p t = 所以'
10
(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。 （五）、作业布置：见练习册P34页3、4、6、7 五、教学反思：
§4 导数的四则运算法则
第九课时 导数的加法与减法法则
一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 二、教学重点：函数和、差导数公式的应用
教学难点：函数和、差导数公式的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：导函数的概念和导数公式表。 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比
x
y
??（也叫函数的平均变化
率）有极限即
x
y
??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/x x y =，即
x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0/
2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线
)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/
x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，
4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：
（1）求函数的改变量()(x f x x f y -?+=?2）求平均变化率
x
x y ?=
??（3）取极限，得导数/
y ＝()f x '=x
y x ??→?0lim
5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1
)'(-=n n nx
x
（二）、探析新课
两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
)()(])()([)
()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+
证明：令)()()(x v x u x f y ±==，
)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-?+±?+=?v u x v x x v x u x x u ?±?=-?+±-?+=)]()([)]()([，
∴
x v x u x y ??±??=??，x
v x u x v x u x y x x x x ??±??=?
??
????±??=??→?→?→?→?0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['
'
'
x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：
（1）x
x y 22+=； （2）x x y ln -=
； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x x
x
y +-=
。 解：（1）2ln 22)2()()2(22x
x x x x x y +='+'='+='。
（2）x
x
x x x x y 1
21)(ln )()ln (-
=
'-'='-='。 （3）[
]123)1()()()()1()1)(1(2
2
3
2
32
+-='-'+'-'='-+-='
-+='x x x x x x x x x x y 。
()
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x y 21
222)()()(111)4(23232122
122222++-
=++-='+'-'='+-='
??
? ??+-='??? ??+-='------
例2：求曲线x
x y 1
3
-
=上点（1，0）处的切线方程。 解：()
22331311x x x x x x y +='??
?
??-'='
?
?? ?
?
-='。
将1=x 代入导函数得 41
1
13=+?。 即曲线x
x y 1
3
-
=上点（1，0）处的切线斜率为4，从而其切线方程为 )1(40-=-x y ， 即44-=x y 。
(三)、练习：课本44P 练习：1、2.
补充题：1、求y ＝x 3
＋sin x 的导数．解：y'＝(x 3
)'＋(sin x )' ＝3x 2
＋cos x ．
2、求y ＝x 4－x 2－x ＋3的导数．解：y'＝4x 3
－2x －1．
（四）课堂小结：本课要求：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。4、法则：两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即
)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+
（五）、作业：课本47P 习题2-4：A 组2、3 B 组2 五、教后反思：
第十课时 导数的乘法与除法法则
一、教学目标：1、了解两个函数的积、商的求导公式；2、会运用上述公式，求含有积、商综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。 二、教学重点：函数积、商导数公式的应用
教学难点：函数积、商导数公式 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、复习：两个函数的和、差的求导公式 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x
y
??（也叫函数的平均变化率）有极限即
x
y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0
/
x x y =，即
x
x f x x f x f x ?-?+=→?)
()(lim
)(000
0/
(北师大版)高一数学必修1全套教案
(北师大版)高一数学必修1全套教案
第一章集合 课题:§0 高中入学第一课（学法指导） 教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。 教学过程： 一、欢迎词： 1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一 级学校深造。希望同学们能够以新的行动， 圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同 学们取得优异成绩，实现宏伟目标。 2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐 劳、严肃认真、严格要求 3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定 一年，… 4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么 要学数学？如何学数学？高中数学知识结
构？新课程标准的基本思路？本期数学教 学、活动安排？作业要求？ 二、几个问题： 1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。 2.如何学数学： 请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。 高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料. 3.高中数学知识结构： 书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必
修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列）， 高二下期（选修系列），高三年级：复习资 料。 知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。 4.新课程标准的基本理念： ①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。 5.本期数学教学、活动安排： 本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，
北师大版高中数学必修知识点
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为 C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，211 22 S lr r α= = ． 9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是 (),x y ，它与原点的距离是() r r = >，则sin y r α=，cos x r α=， ()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+= ()2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-；() sin 2tan cos α αα = sin sin tan cos ,cos tan αααααα? ?== ?? ?． 13、三角函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ???． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，
北师大版高中数学必修1-知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 （8）交集、并集、补集 B {|x x x ∈A A = ?=? B A ? A B B ? B {|x x x ∈A A = A ?= B A ?
B B ? ⑷ ⑼ 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律: 0-1律： 等幂律： 求补律：A ∩ A ∪ =U 反演律： (A ∩B)=( A)∪( B) (A ∪B)=( A)∩( B) 第二章函数 §1函数的概念及其表示一、映射1．映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的 元 素，在集合B 中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：如果f :A →B 是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1．定义：设A 、B 是 ，f :A →B 是从A 到B 的一个映射，则映射f :A →B 叫做A 到B 的 ，记作 .2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同 .;A B B A A B B A ==)()();()(C B A C B A C B A C B A ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A ==,,,A A A U A A U A U Φ =ΦΦ ===.,A A A A A A ==
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修) 2
北师大版高中数学 必修1 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题 必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单 应用 阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行 趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计 §3 排序问题 §4 几种基本语句 课题学习确定线段n等分点的 算法 第三章概率 §1 随机事件的概率 §2 古典概型 §3模拟方法――概率的应用 探究活动用模拟方法估计圆周 率∏的值 必修4 全书目录： 第一章三角函数 §1 周期现象与周期函数 §2 角的概念的推广 §3 弧度制 §4 正弦函数 §5 余弦函数 §6 正切函数 §7 函数的图像 §8 同角三角函数的基本关系 阅读材料数学与音乐 课题学习利用现代信息技术探 究的图像 第二章平面向量 §1 从位移、速度、力到向量 §2 从位移的合成到向量的加法 §3 从速度的倍数到数乘向量 §4 平面向量的坐标 §5 从力做的功到向量的数量积 §6 平面向量数量积的坐标表示 §7 向量应用举例 阅读材料向量与中学数学 第三章三角恒等变形 §1 两角和与差的三角函数 §2 二倍角的正弦、余弦和正切 §3 半角的三角函数 §4 三角函数的和差化积与积化 和差 §5 三角函数的简单应用 课题学习摩天轮中的数学问题 探究活动升旗中的数学问题
高中数学北师大版必修全册知识点总结
高中数学必修1知识点 第一章集合与函数概念 （1）集合的概念 把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法 N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集. （3）集合与元素间的关系 对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ?，两者必居其一. （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集
⑼ 集合的运算律： 交换律： 结合律: 分配律: 0-1律： 等幂律： 求补律：A ∩uA = A ∪CuA =U uU =u =U 反演律：u (A ∩B)=(u A)∪(u B) u (A ∪B)=(u A)∩(u B) .;A B B A A B B A Y Y I I ==)()();()(C B A C B A C B A C B A Y Y Y Y I I I I ==)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A Y I Y I Y I Y I Y I ==,,,A A A U A A U A U Φ=ΦΦ===I U I U .,A A A A A A ==Y I
高中数学目录——北师大版
北师大版高中数学必修一 ·第一章集合 · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算 ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性 · 4、二次函数性质的再研究 · 5、简单的幂函数 ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数 · 4、对数 · 5、对数函数 · 6、指数函数、幂函数、对数函数增·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图 · 3、直观图 · 4、空间图形的基本关系与公理· 5、平行关系 · 6、垂直关系 · 7、简单几何体的面积和体积 · 8、面积公式和体积公式的简单应用·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征
· 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性 · 9、最小二乘法 ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计 · 3、排序问题 · 4、几种基本语句 ·第三章概率 · 1、随机事件的概率 · 2、古典概型 · 3、模拟方法――概率的应用 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数 · 2、角的概念的推广 · 3、弧度制 · 4、正弦函数 · 5、余弦函数 · 6、正切函数 · 7、函数的图像 · 8、同角三角函数的基本关系 ·第二章平面向量 · 1、从位移、速度、力到向量 · 2、从位移的合成到向量的加法· 3、从速度的倍数到数乘向量 · 4、平面向量的坐标 · 5、从力做的功到向量的数量积· 6、平面向量数量积的坐标表示· 7、向量应用举例 ·第三章三角恒等变形 · 1、两角和与差的三角函数 · 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数 · 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用 北师大版高中数学必修五 ·第一章数列 · 1、数列的概念 · 2、数列的函数特性 · 3、等差数列
高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习
北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解 第一章集合与函数概念 知识架构 第一讲集合
★知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图； 3.集合中元素与集合的关系： 三：集合的基本运算 ①两个集合的交集:A B = {}x x A x B ∈∈且; ②两个集合的并集: A B ={}x x A x B ∈∈或; ③设全集是U,集合A U ?,则U C A ={} x x U x A ∈?且 {|B x x ={|B x x =
★重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合 的交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2．集合的表示法 （1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如{})(x f y x =、{})(x f y y =、{} )(),(x f y y x =等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： 问题：已知集合221,1,9432x y x y M x N y ????=+==+=????????? 则M N=（ ） A. Φ； B. {})2,0(),0,3(； C. []3,3-； D. {}3,2 [错解]误以为集合M 表示椭圆 14 922=+y x ，集合N 表示直线123=+y x ，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B [正解] C ； 显然{} 33≤≤-=x x M ，R N =，故]3,3[-=N M (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用 Venn 图。 3．集合间的关系的几个重要结论 （1）空集是任何集合的子集，即A ?φ （2）任何集合都是它本身的子集，即A A ? （3）子集、真子集都有传递性，即若B A ?，C B ?，则C A ? 4．集合的运算性质 （1）交集：①A B B A =；②A A A = ；③φφ= A ；④A B A ? ，B B A ? ⑤B A A B A ??= ；
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修） 北师大必修 《数学1(必修)》 全书目录： 第一章集合 §1 集合的含义与表示 §2 集合的基本关系 §3 集合的基本运算 阅读材料康托与集合论 第二章函数 §1 生活中的变量关系 §2 对函数的进一步认识 §3 函数的单调性 §4 二次函数性质的再研究 §5 简单的幂函数 阅读材料函数概念的发展 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数 §2 指数概念的扩充 §3 指数函数 §4 对数 §5 对数函数 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 阅读材料历史上数学计算方面的三大发明 第四章函数应用 §1 函数与方程 §2 实际问题的函数建模 阅读材料函数与中学数学 探究活动同种商品不同型号的价格问题
必修2 全书目录： 第一章立体几何初步 §1 简单几何体 §2 三视图 §3 直观图 §4 空间图形的基本关系与公理 §5 平行关系 §6 垂直关系 §7 简单几何体的面积和体积 §8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的 课题学习正方体截面的形状 第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程 §2 圆与圆的方程 §3 空间直角坐标系 阅读材料笛卡儿与解析几何 探究活动1 打包问题 探究活动2 追及问题 必修3 全书目录 第一章统计 §1 统计活动：随机选取数字 §2 从普查到抽样 §3 抽样方法 §4 统计图表 §5 数据的数字特征 §6 用样本估计总体 §7 统计活动：结婚年龄的变化 §8 相关性 §9 最小二乘法 阅读材料统计小史 课题学习调查通俗歌曲的流行趋势 第二章算法初步 §1 算法的基本思想 §2 算法的基本结构及设计
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一 ·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点） · 1、集合的基本关系 · 2、集合的含义与表示 · 3、集合的基本运算（重点） （2课时） ·第二章函数 · 1、生活中的变量关系 · 2、对函数的进一步认识 · 3、函数的单调性（重点） · 4、二次函数性质的再研究（重点） · 5、简单的幂函数 （5课时） ·第三章指数函数和对数函数 · 1、正整数指数函数 · 2、指数概念的扩充 · 3、指数函数（重点） · 4、对数 · 5、对数函数（重点） · 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点） （3课时） ·第四章函数应用 · 1、函数与方程 · 2、实际问题的函数建模 （2课时） 北师大版高中数学必修二 ·第一章立体几何初步 · 1、简单几何体 · 2、三视图（重点） · 3、直观图（1课时） · 4、空间图形的基本关系与公理（重点） · 5、平行关系（重点）
· 6、垂直关系（重点） · 7、简单几何体的面积和体积（重点） · 8、面积公式和体积公式的简单应用（重点、难点）（4课时） ·第二章解析几何初步 · 1、直线与直线的方程 · 2、圆与圆的方程 · 3、空间直角坐标系 （4课时） 北师大版高中数学必修三 ·第一章统计 · 1、统计活动：随机选取数字 · 2、从普查到抽样 · 3、抽样方法 · 4、统计图表 · 5、数据的数字特征（重点） · 6、用样本估计总体 · 7、统计活动：结婚年龄的变化 · 8、相关性 · 9、最小二乘法 （3课时） ·第二章算法初步 · 1、算法的基本思想 · 2、算法的基本结构及设计（重点） · 3、排序问题（重点） · 4、几种基本语句 （2课时） ·第三章概率 · 1、随机事件的概率（重点） · 2、古典概型（重点） · 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点） （4课时） 北师大版高中数学必修四 ·第一章三角函数 · 1、周期现象与周期函数
北师大版高中数学课本目录标准版
必修1 第一章集合 §1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集 第二章函数 §1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射 §3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数 课题学习个人所得税的计算 第三章指数函数和对数函数 §1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数 对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 第四章函数应用 §1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解 §2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例 必修2 第一章立体几何初步 §1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状
第二章解析几何初步 §1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式 必修3 第一章统计 §1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的 数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计 第二章算法初步 §1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句 第三章概率 §1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用 必修4 第一章三角函数 §1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像 从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用
2017新版北师大版小学数学教材内容整合
北师大版小学数学教材内容整合 册别单 元 内 容 版 块 标题课题摘要 一年级上册 前言数学来源于生活 第 一 单 元 生 活 中 的 数 数 与 代 数 1、可爱的校园10以内的个数有什么，有多少，数一数 2、快乐的家园数的意义1、2、 3、4分别可以表示什么。 3、玩具5以内的数数一数，说一说，写一写 4、小猫钓鱼0的认识生活中用到0的地方 5、文具6—10的认识数一数，写一写，6—10分别可以 表示什么。 第 二 单 元 比 较 统 计 与 概 率 1、动物乐园比多少知道符号>,=,<的意义；会读，会写 2、高矮比高矮谁高谁矮，比一比 3、轻重比轻重说一说、掂一掂、称一称 第 三 单 元 加 减 法 （ 一 ） 数 与 代 数 1、有几支铅笔什么是加法认识加号，理解加号的意义，会读 加法算式。 2、有几辆车加法交换律a+b=b+a；两个数相加，交换加数 的位置，和不变。 3、摘果子什么是减法认识减号，理解减号的意义，会读 减法算式。 4、小猫吃鱼得数是0的减法依次减，直到减到0为止。 练习一5以内的加减法 5、猜数游戏做加法想减法，做减法想加法 6、跳绳8和9的加减法数一数，算一算 7、可爱的企鹅8、9的应用题 练习二9以内的加减法 8、分苹果10的加减法10个苹果分成两堆，每堆有几个？ 9、操场上求谁多谁少的应用题甲比乙多4→乙比甲少4 10、乘车一位数加减混合运算从前往后，依次计算 练习三10的加减法，加减混合运算整理与复习（一）0—10加减法表 11、大家来锻炼生活中处处有数学 第 四 单 元 分 类 统 计 与 概 率 1、整理房间大分类怎样整理，分类依据 2、整理书包小分类怎样整理，分类依据 第 五 单 元 位 置 与 顺 序 空 间 与 图 形 1、前后森林运动会，看图说一说 2、上下看图填一填，说一说 3、左右要发言的请举右手，另一只手是？ 4、教室前后左右上下说一说教室里面有什么，是怎样摆 放的？
北师大版高中数学必修知识点总结
北师大版高中数学必修3知识与题型归纳 第一章《统计》知识与题型归纳复习 （一）、抽样方法 1、简单随机抽样 （1）、相关概念：总体、个体、样本、样本容量。（2）、基本思想：用样本估计总体。 （3）、简单随机抽查概念。一般的，设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本)(N n ≤ ，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽 样。其特点：①总体个数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能抽样。 （4）、抽样方法：①抽签法；②随机数表。 2、系统抽样 （1）、定义：当总体元素个数很大时，样本容量不宜太小，这时可将总体分为均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本（等距抽样）。 （2）、步骤：①编号；②分段；③不确定起始个体编号；④按规则抽取。 3、分层抽样 （1）、定义：当总体由差异明显的几部分组成时，为了使抽取的样本更好的反应总体情况，我们经常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样。 适用特征①总体由差异明显的几部分组成；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例等于样本客样在总体中的比例，即 N n 。 （二）、用样本的频率分布估计总体的分布（统计图表） 1、列频率分布表，画频率分布直方图： （1）计算极差（2）决定组数和组距（3）决定分点（4）列频率分布表（5）画频率分布直方图 2、茎叶图；3、扇形图； 4、条形图；5、折线图； 6、散点图。 （三）、用样本的数字特征估计总体的数字特征 1、有关概念 （1）、众数：频率分布最大值所对应的样本数据（或出现最多的那个数据）。 （2）、中位数：累积频率为0.5时，所对应的样本数据。 （3）、平均数：)(1 21n x x x n x +++= Λ （4）、三个概念的区别：①都是描述一组数据集中趋势的量，平均数较重要。②平均数的大小与每个数相关。③众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数更能反映问题，中位数仅与排列有关。 2、样本方差与样本标准差 1样本方差：( )()( )[]2 22212 1 x x x x x x n S n -++-+-=Λ样本方差大说明样本差异和波动性大。 （2）、样本标准差：方差的算术平方根( )()( )[]2 22211 x x x x x x n S n -++-+-= Λ （3）、要有单位，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据单位同。 （四）、变量的相关性： 1、变量与变量之间存在着的两种关系①函数关系：确定性关系。②相关关系：自变量的取值带有一定的随机性的两个变量之间的关系。
北师大版高中数学《必修5》全部教案
北师大版高中数学必修5第一章《数列》全部教案 第一课时 1.1.1 数列的概念 一、教学目标 1、知识与技能：（1）理解数列及其有关概念；（2）了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；（3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式。 2、过程与方法：（1）采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；（2）发挥学生的主体作用，作好探究性学习；（3）理论联系实际，激发学生的学习积极性。 3、情感态度与价值观：（1）.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；（2）.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣. 二、教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 三、教学方法：探究、交流、实验、观察、分析 四、教学过程 （一）、揭示课题:今天开始我们研究一个新课题． 先举一个生活中的例子：场地上堆放了一些圆钢，最底下的一层有100根，在其上一层（称作第二层）码放了99根，第三层码放了98根，依此类推，问：最多可放多少层？第57层有多少根？从第1层到第57层一共有多少根？我们不能满足于一层层的去数，而是要但求如何去研究，找出一般规律．实际上我们要研究的是这样的一列数 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列． （二）、推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓). 生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了. 师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结
高中数学北师大版必修1-全册-知识点总结 高中数学必修1知识点第一章集合与函数概念【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. （2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集. （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集（或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且，则 (4)若且，则或真子集 AB （或BA）， （A为非空子集） (2)若且，则集且B中至少有一元素不属于A （1） 合相等 A中的任一元素都属于B，B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA （7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算（8）交
集、并集、补集名称记号意义性质示意图交集且（1）（2）（3）⑷Α?B?A∩B=A 并集或（1）（2）（3）⑷A?B?A∪B=B 补集?uA ⑴（?uA）∩A=?, ⑵?uA∪A=U, ⑶?u?uA=A, ⑷?uA∩B=?uA∪?uB, ⑸?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) ⑼集合的运算律：交换律：结合律: 分配律: 0-1律：等幂律：求补律：A∩?uA=? A∪CuA=U ?uU=??u?=U 反演律：?u(A∩B)=(?uA)∪(?uB) ?u(A∪B)=(?uA)∩(?uB) 第二章函数§1函数的概念及其表示一、映射 1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B 中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作 . 2．象与原象：如果f:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。 二、函数 1．定义：设A、B是，f:A→B是从A到B的一个映射，则映射f:A→B叫做A到B的，记作 . 2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。 3．函数的表示法有、、。 §2函数的定义域和值域一、定义域： 1．函数的定义域就是使函数式的集合. 2．常见的三种题型确定定义域：①已
北师大版高中数学必修必修课后习题答案
第一章 算法初步 1．1算法与程序框图 练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r . 第二步，计算以r 为半径的圆的面积2 S r π=. 第三步，得到圆的面积S . 2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n . 第二步，令1i =. 第三步，用i 除n ，等到余数r . 第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示. 第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步. 练习（P19） 算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =. 第二步，取出 的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后 第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b a m =-. 第四步，若m d <，则得到5a ；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返 回第二步. 第五步，输出5a .
程序框图：
习题1.1 A 组（P20） 1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题. 为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元， 那么 y 与x 之间的函数关系为 1.2,07 1.9 4.9,7x x y x x ≤≤?=? ->? 我们设计一个算法来求上述分段函数的值. 算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x . 第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =； 若不是，则计算 1.9 4.9y x =-. 第三步：输出用户应交纳的水费 y . 程序框图： 2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0. 第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2. 第四步：i = i +1，返回第二步.
北师大版高一数学必修
`北师大版高一数学必修1 第二章函数 §1 生活中的变量关系 桐柏一高中刘莉 ★教学目标 1．知识目标:通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．能够利用初中对函数的认识， 了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系． 2．能力目标:培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析归纳和比较来提高学生的实践能力． 3．情感目标:培养学生合作交流的意识及广泛联想的能力和热爱数学的态度.★教学重难点： 1．重点：生活中变量之间有依赖关系,掌握变量之间的函数关系. 2．难点：变量之间的依赖关系不一定都是函数关系. ★授课类型：新授课 ★教具：多媒体、实物投影仪 ★教学方法:启发式、交互式教学 ★教学过程： 一、创设情景，引入课题 多媒体展示“神舟七号”发射的电脑模拟动画，提出问题：在“神七”发射升空的过程中，随着时间的变化，你能发现哪些量也在变化？从而导出课题生活中的变量关系.(板书课题生活中的变量关系) 二、新课讲解 1、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么? ◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?
◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v 与时间t 是否存在函数关系? 2、知识探究： 阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题 （1）课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。 （2）对问题3，储油量v 对油面高度h 、油面宽度w 都存在依赖关系，两种依赖关系 都有函数关系吗？ （3）请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否 为函数关系。 （4） 归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。 探究结论 ：依赖关系与函数关系 (1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系。 (2)、若两个变量间存在依赖关系，且由对于其中一个变量的每一个值都有另一个变 量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系。 (3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存 在函数关系。 3、议一议： （1） 骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化.如图.请问：骆驼的体温与时间之间存在依赖关系吗？若存在，这种依赖关系是函数关系吗？ 图1 3032343638404204812162024283236404448时间/时温度/摄氏度
高中数学(北师大版)必修1知识点
数学必修1知识点1.集合的基本运算 ；； 2.集合的包含关系:；； 3.识记重要结论：A B A = ?A B ?; A B A A B =?? ; () U U U A B C C A C B = ; ()U U U A B C C A C B = 4．对常用集合的元素的认识 ①{} 2340 A x x x =+-=中的元素是方程2340 x x +-=的解，A即方程的解集； ②}0 6 | {< - =x x B中的元素是不等式0 6< - x的解，B即不等式的解集； ③{} 221,05 C y y x x x ==+-≤≤中的元素是函数221,05 y x x x =+-≤≤的函数值， C即函数的值域； ④() {} 2 2 log21 D x y x x ==+-中的元素是函数() 2 2 log21 y x x =+-的自变量，D即函数的定义域； ⑤() {} ,23 M x y y x ==-中的元素可看成是关于,x y的方程的解集，也可看成以方程23 y x =-的解为坐标的点，M为点的集合，是一条直线。 5.集合 12 {,,,} n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个； 非空的真子集有2n–2个. 6.方程)0 (0 2≠ = + +a c bx ax有且只有一个实根在) , ( 2 1 k k内,等价于0 ) ( ) ( 2 1 < k f k f， 或0 ) ( 1 = k f且 2 2 2 1 1 k k a b k + < - <, 或0 ) ( 2 = k f且 2 2 1 2 2 k a b k k < - < + . 7.闭区间上的二次函数的最值问题： 二次函数)0 ( ) (2≠ + + =a c bx ax x f在闭区间[]q p,上的 最值只能在 a b x 2 - =处及区间的两端点处取得。 8.()()max a f x a f x ≥?≥?? ??；()()min a f x a f x ≤?≤?? ?? 9.由不等导相等的有效方法：若a b ≥且a b ≤，则a b =. 函数 一、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集 合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做 函数的值域． 注：1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；（3)对数式对数式的真数必 须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5指数为零底不可以等于零， 2.相同函数的判断：①定义域一致②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关） 3.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 二次函数在闭区间上必有 最值，求最值问题用“两看法”： 一：看开口方向；二：看对称轴 与所给区间的相对位置关系。
北师大版高中数学选修4-5《不等式选讲》全套教案
课 题： 第01课时 不等式的基本性质 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为 a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可。怎么证呢? 二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?b ，那么bb 。(对称性) ②、如果a>b ，且b>c ，那么a>c ，即a>b ，b>c ?a>c 。 ③、如果a>b ，那么a+c>b+c ，即a>b ?a+c>b+c 。 推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．即a>b ， c>d ?a+c>b+d ． ④、如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac