广东省广州市九年级(上)期末数学试卷

九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.下列标志，是中心对称图形的是（）

A. B. C. D.

2.四边形ABCD是圆的内接四边形，若∠ABC=70°，则∠ADC的度数

是（）

A. 70°

B. 90°

C. 110°

D. 120°

3.已知关于x的方程x2+ax-6=0的一个根是2，则a的值是（）

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

4.把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）

A. y=?2x2+1

B. y=?2x2?1

C. y=?2(x+1)2

D. y=?2(x?1)2

5.如图，把△ABC绕着点A逆时针旋转40°得到△ADE，

∠1=30°，则∠BAE=（）

A. 10°

B. 30°

C. 40°

D. 70°

6.在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有

（）人．

A. 9

B. 10

C. 12

D. 15

7.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C

作⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若PA=4，

则△PEF的周长是（）

A. 4

B. 8

C. 10

D. 12

8.关于抛物线y=-（x+1）2+2，下列说法错误的是（）

A. 图象的开口向下

B. 当x>?1时，y随x的增大而减少

9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD=2AD，

CE=2AE，则下列结论中不成立的是（）

A. △ABC∽△ADE

B. DE//BC

C. DE：BC=1：2

D. S△ABC=9S△ADE

10.已知x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，且满足x1+x2-3x1x2=4，那么b的值

为（）

A. 5

B. ?5

C. 4

D. ?4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.点A（-6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是______．

12.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围

是______．

13.已知圆锥的侧面积为16πcm2，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为______cm．

14.如图已知二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如

图所示，则当y1＜y2时x的取值范围______．

15.如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=12x2-2上运动，当⊙P与x轴相切

时，圆心P的坐标为______．

16.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关

于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1≤x≤5的范

围内有解，则t的取值范围是______．

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分）

17.解方程

（1）x2+5x=0

（2）x（x-2）=3x-6

18.已知：如图，D是AC上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．

（1）求证：△ABC∽△DAE；

（2）若AB=8，AD=，6，AE=3，求BC的长．

19.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（0，1），B（3，3），C（1，3）．

（1）画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1；

（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB2C2；直接写出点C2的坐标为______；

（3）求在△ABC旋转到△AB2C2的过程中，点C所经过的路径长．

20.已知抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点是点A（-3，

0），且经过点B（-2，6）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点（-12，y1）与点（2，y2）都在该抛物线上，直接写

出y1与y2的大小关系．

21.某农场准备围建一个矩形养鸡场，其中一边靠墙（墙的

长度为15米），其余部分用篱笆围成，在墙所对的边

留一道1米宽的门，已知篱笆的总长度为23米．

（1）设图中AB（与墙垂直的边）长为x米，则AD的

长为______米（请用含x的代数式表示）；

（2）若整个鸡场的总面积为y米2，求y的最大值．

22.如图，已知：AB为⊙O直径，PQ与⊙O交于点C，AD⊥PQ于点D，且AC为∠DAB

的平分线，BE⊥PQ于点E．

（1）求证：PQ与⊙O相切；

（2）求证：点C是DE的中点．

23.已知：如图，BC为⊙O的弦，点A为⊙O上一个动点，△OBC的周长为16．过C

作CD∥AB交⊙O于D，BD与AC相交于点P，过点P作PQ∥AB交于Q，设∠A的度数为α．

（1）如图1，求∠COB的度数（用含α的式子表示）；

（2）如图2，若∠ABC=90°时，AB=8，求阴影部分面积（用含α的式子表示）；

（3）如图1，当PQ=2，求AB?CDAB+CD的值．

24.如图，AB为⊙O的直径，且AB=m（m为常数），点C为

AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD

的延长线于点P，弦CD交AB于点E．

（1）当DC⊥AB时，则DA+DBDC=______；

（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC

之间的数量关系；并说明理由；

②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；

（3）当PDAC=9220时，求DEOA的值．

25.如图，抛物线y=a（x-m-1）2+2m（其中m＞0）与其对称轴l相交于点P．与y轴相

交于点A（0，m）连接并延长PA、PO，与x轴、抛物线分别相交于点B、C，连接BC将△PBC绕点P逆时针旋转，使点C落在抛物线上，设点C、B的对应点分别是点B′和C′．

（1）当m=1时，该抛物线的解析式为：______．

（2）求证：∠BCA=∠CAO；

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项正确．

故选：D．

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180

度后两部分重合．

2.【答案】C

【解析】

解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠ABC=70°，

∴∠ADC=180°-70°=110°．

故选：C．

直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．

3.【答案】C

【解析】

解：将x=2代入x2+ax-6=0，得22+2a-6=0．

解得a=1．

故选：C．

一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．利用方程解的定义将x=2代入方程式即可求解．

本题考查的是一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．

4.【答案】A

【解析】

解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y=-2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y=-2x2+1．

故选：A．

根据“上加下减”的原则进行解答即可．

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

5.【答案】D

【解析】

解：根据题意可知旋转角∠CAE=40°，所以∠BAE=30°+40°=70°．

故选：D．

先找到旋转角，根据∠BAE=∠1+∠CAE进行计算．

本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角．

6.【答案】B

【解析】

解：设参加此次活动的人数有x人，

由题意得：x（x-1）=90，

解得：x1=10，x2=-9（不合题意，舍去）．

即参加此次活动的人数是10人．

故选：B．

每个人都要送给他自己以外的其余人，等量关系为：人数×（人数-1）=90，把相关数值代入计算即可．

本题考查一元二次方程的应用，得到互送贺卡总张数的等量关系是解决本题的关键．

7.【答案】B

【解析】

解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，

⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，

∴AE=CE，FB=CF，PA=PB=4，

∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PA+PB=8．

故选：B．

由切线长定理知，AE=CE，FB=CF，PA=PB=12，然后根据△PEF的周长公式即可求出其结果．

本题主要考查了切线长定理的应用，解此题的关键是求出△PEF的周长

=PA+PB．

8.【答案】D

【解析】

解：A．y=-（x+1）2+2，

∵a=-1＜0，

∴图象的开口向下，故本选项正确，不符合题意；

B．∵y=-（x+1）2+2，

∴开口向下，对称轴为x=-1，

∴当x＞-1时，y随x的增大而减少，故本选项正确，不符合题意；

C．顶点坐标为（-1，2），故本选项正确，不符合题意；

D．∵当x=0时，y=1，

∴图象与y轴的交点坐标为（0，1），故本选项错误，符合题意；

故选：D．

利用二次函数的性质逐一判断后即可得到答案．

本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

9.【答案】C

【解析】

解：

∴，

∴DE∥BC，故B正确；

∴△ABC∽△ADE，故A正确；

∴，故C错误；

∴S△ABC=9S△ADE，故D正确；

故选：C．

由已知条件易证DE∥BC，则△ABC∽△ADE，再由相似三角形的性质即可得到问题的选项．

本题考查了相似三角形的判定和性质，证明DE∥BC是解题的关键．

10.【答案】A

【解析】

解：∵x1，x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两根，

∴x1+x2=-b，x1x2=-3，

∵x1+x2-3x1x2=4，

∴-b+9=4，

解得：b=5，

故选：A．

由韦达定理得出x1+x2=-b，x1x2=-3，将其代入x1+x2-3x1x2=4列出关于b的方程，解之可得答案．

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1?x2=．

11.【答案】（6，-3）

【解析】

解：点A（-6，3）与A′关于原点对称，则点A′的坐标是（6，-3），

故答案为：（6，-3）．

根据关于原点的对称点，横坐标、纵坐标都互为相反数，可得答案．

本题考查了关于原点对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反

12.【答案】m＜1

【解析】

解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-2，c=m

∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1×m＞0，

解得m＜1．

若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

13.【答案】2

【解析】

解：设圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意得×2π×r×8=16π，解得r=2，

所以圆锥的底面圆的半径为2cm．

故答案为2．

圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到

×2π×r×8=16π，解得r=2，然后解关于r的方程即可．

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14.【答案】0＜x＜1

【解析】

解：由题意可得：x2+c=x+c，

解得：x1=0，x2=1，

则当y1＜y2时x的取值范围：0＜x＜1．

首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y1＜y2时x的取值范围．

此题主要考查了二次函数与不等式（组），正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．

15.【答案】（22，2）或（-22，2）或（0，-2）

【解析】

解：∵⊙P的半径为2，圆心P在抛物线

y=x2-2上运动，

∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，

∴PA=2，

∴|x2-2|=2

即x2-2=2，或x2-2=-2，

解得x=±2，或x=0，

∴P点的坐标为：（2，2）或（-2，2）

或（0，-2）．

故答案为：（2，2）或（-2，2）或（0，-2）．

根据⊙P的半径为2，以及⊙P与x轴相切，即可得出y=±2，求出x的值即可得出答案．

此题主要考查了图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出y=2，求出x 的值是解决问题的关键．

16.【答案】-5≤t≤4

【解析】

解：∵抛物线的对称轴为直线x=-

=2，解得m=4，

∴抛物线解析式为y=-x2+4x，

抛物线的顶点坐标为（2，4），

当x=1时，y=-x2+4x=-1+4=3；

当x=5时，y=-x2+4x=-25+20=-5，

当直线y=t与抛物线y=-x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，-5≤t≤4，如图．

所以关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，t 的取值范围为-5≤t≤4．

故答案为-5≤t≤4．

先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y=-x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y=t与抛物线y=-x2+4x 在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了数形结合的思想．

17.【答案】解：（1）x（x+5）=0，

x=0或x+5=0，

所以x1=0，x2=-5；

（2）x（x-2）-3（x-2）=0，

（x-2）（x-3）=0，

x-2=0或x-3=0，

所以x1=2，x2=3．

【解析】

（1）利用因式分解法解方程；

（2）先变形得到x（x-2）-3（x-2）=0，然后利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．18.【答案】（1）证明：∵DE∥AB，

∴∠EDA=∠CAB，

∵∠B=∠EAD，

∴△ABC∽△DAE，

（2）解：∵△ABC∽△DAE，

∴ABDA=BCAE，

∴86=BC3，

∴BC=4．

【解析】

（1）利用两角对应相等的两个三角形相似即可判断．

（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

19.【答案】（-2，2）

【解析】

解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△AB2C2即为所求，其中点C2的坐标为（-2，2），

故答案为：（-2，2）．

（3）∵∠CAC2=90°，AC==，

∴点C所经过的路径长为=π．

（1）由中心对称的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（2）由旋转变换的定义和性质作图变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）利用弧长公式计算可得．

本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．

20.【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=-1，与x轴一个交点是点A（-3，0），∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（1，0），

设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），

（2）∵点（-12，y1）到直线x=-1的距离比点（2，y2）到直线x=-1的距离要小，

而抛物线的开口向下，

∴y1＞y2．

【解析】

（1）先利用对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为（1，0），则可设交点式为y=a（x+3）（x-1），然后把B点坐标代入求出a即可；

（2）根据二次函数的性质，通过比较点（-，y1）和点（2，y2）到直线x=-1的距离大小确定y1与y2的大小关系．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

21.【答案】24-2x

【解析】

解：（1）由题意得，AD=23+1-2x=24-2x，

故答案为：24-2x；

（2）根据题意得，y=x（24-2x）=-2x2+24x=-2（x-6）2+72，

∴y的最大值为72米2．

（1）根据题意列代数式即可得到结论；

（2）根据题意列出函数关系式，然后，根据二次函数的性质即可得到结论．

本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】证明：（1）连接OC，

∵AC平分∠DAB

∴∠OAC=∠OCA

∴∠DAC=∠ACO

∴AD∥OC，且AD⊥PQ

∴OC⊥PQ，且OC为半径

∴PQ与⊙O相切

（2）∵OC⊥PQ，AD⊥PQ，BE⊥PQ

∴OC∥AD∥BE

∴DCCE=OAOB=1

∴DC=CE

∴点C是DE的中点．

【解析】

（1）连接OC，由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得∠DAC=∠ACO，可得AD∥OC，由平行线的性质可得OC⊥PQ，可得结论；

（2）由平行线分线段成比例可得DC=CE，即点C是DE的中点．

本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，熟练运用切线的判定和性质是本题的关键．

23.【答案】解：（1）∵∠A的度数为α，

∴∠COB=2∠A=2α，

（2）当∠ABC=90°时，AC为⊙O的直径，

∵CD∥AB，

∴∠DCB=180°-90°=90，

∴BD为⊙O的直径，

∴P与圆心O重合，

∵PQ∥AB交于Q，

∴OQ⊥BC，

∴CQ=BQ，

∵AB=8，

∴OQ=12AB=4，

设⊙O的半径为r，

∵△OBC的周长为16，

∴CQ=8-r，

∴（8-r）2+42=r2，

解得r=5，CB=6，

∴阴影部分面积=2απ×52360?12×6×4=5πα36?12；

（3）∵CD∥AB∥PQ，

∴△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，

∴PQAB=CQCB，PQCD=BQCB，

∴PQAB+PQCD=CQCB+BQCB=CBCB=1，

∵PQ=2，

∴2AB+2CD=1，

（1）根据圆周角定理可得∠COB=2∠A=2α；

（2）当∠ABC=90°时，可得点P与圆心O重合，根据△OBC的周长为16以及AB=8，可求得⊙O的半径为5，可得出扇形COB的面积以及△OBC的面积，进而得出阴影部分面积；

（3）由CD∥AB∥PQ，可得△BPQ∽△BDC，△CPQ∽△CAB，即

，两式子相加可得，即可得出的值．

本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，弓形你的计算．构造相似三角形得出PQ，AB，CD之间的关系是解决（3）问的关键．

24.【答案】2

【解析】

解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵C为的中点，

∴，

∴∠ADC=∠BDC=45°，

∵DC⊥AB，

∴∠DEA=∠DEB=90°，

∴∠DAE=∠DBE=45°，

∴AE=BE，

∴点E与点O重合，

∴DC为⊙O的直径，

∴DC=AB，

在等腰直角三角形DAB中，

DA=DB=AB，

∴DA+DB=AB=CD，

∴=；

（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知，

∴AC=BC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠BNC=∠CMA=90°，

∴∠NBC+∠BCN=90°，∠BCN+∠MCA=90°，

∴∠NBC=∠MCA，

在△NBC和△MCA中，

，

∴△NBC≌△MCA（AAS），

∴CN=AM，

由（1）知∠DAE=∠DBE=45°，

AM=DA，DN=DB，

∴DC=DN+NC=DB+DA=（DB+DA），

即DA+DB=DC；

②在Rt△DAB中，

DA2+DB2=AB2=m2，

∵（DA+DB）2=DA2+DB2+2DA?DB，

且由①知DA+DB=DC=t，

∴（t）2=m2+2DA?DB，

∴DA?DB=t2-m2，

∴△ADB的面积S与t的函数关系式S=t2-m2；（3）如图3，过点E作EH⊥AD于H，EG⊥DB于G，则NE=ME，四边形DHEG为正方形，

由（1）知，

∴AC=BC，

∴△ACB为等腰直角三角形，

∴AB=AC，

∵，

设PD=9，则AC=20，AB=20，

∵∠DBA=∠DBA，∠PAB=∠ADB，

∴△ABD∽△PBA，

∴，

∴，

∴DB=16，

∴AD==12，

设NE=ME=x，

∵S△ABD=AD?BD=AD?NE+BD?ME，

∴×12×16=×12?x+×16?x，

∴x=，

∴DE=HE=x=，

又∵AO=AB=10，

∴=×=．

即可求出结果；

（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN 两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；

②通过完全平方公式（DA+DB）2=DA2+DB2+2DA?DB的变形及将已知条件AB=m代入即可求出结果；

（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．

本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特

殊位置关系．

25.【答案】y=-14x2+x+1

【解析】

解：（1）把点A的坐标代入二次函数表达式得：m=a（-m-1）2+2m，解得：a=-，

则二次函数的表达式为：y=-（x-m-1）2+2m…①，

则点P的坐标为（m+1，2m），点A的坐标为（0，m），

把m=1代入①式，整理得：y=-x2+x+1，

故：答案为：y=-x2+x+1；

（2）把点P、A的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b得：

，解得：，

则直线PA的表达式为：y=x+m，

令y=0，解得：x=-m-1，即点B坐标为（-m-1，0），

同理直线OP的表达式为：y=x…②，