第28计 三角开门 八面玲珑

第28计 三角开门 八面玲珑

●计名释义

三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点： 1.公式多，变换多，技巧多；

2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；

3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.

●典例示范

【例1】 设a ,b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值是 （ ） A.-22 B.535-

C.-3

D.2

7

-

【解答】 a 2+2b 2=6

3262b a +

?=1. 设?????==θ

θsin 3cos 6y x (θ∈［0，2π］)，则 a+b =6cos θ+3sin θ=3cos(θ-φ)，其中cos φ=

36，sin φ=3

3

，∴a+b ≥-3，选C

.

【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.

【例2】 已知正数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 . 【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见； 由条件y 2=3x -

2

3x 2

. ∴x 2+y 2=x 2+212332-=??? ?

?-

x x x 2+3x =2

1

-(x -3)2+29. ∴当且仅当x =3时，（x 2+y 2）max =

2

9

.你能发现这种解法有什么毛病吗？ 先检验一下，如x =3,会有什么情况发生，将x =3代入已知条件，得： 3×9+2y 2=18. ∴2y 2=-9.

显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y 的范围，准确的解法是：

∵y 2=3x -23x 2≥0，∴x 2-2x ≤0. 得x ∈［0,2］，而x 2+y 2=2

1-(x -3)2+29. 令z =2

1

-(x-3)2+29，则当x ≤3时，z 为增函数，已求x ∈［0,2］，故当x =2时，

z max =21(2-3)2+2

9

= 4，即(x 2+y 2)max = 4.

【评注】 本题若用三角代换，能够避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得： (x -1)2+

3

2y 2

=1. 数学破题36计

设??

???=+=θθ?y ?x sin 23

cos 1，则 x 2+y 2=(1+cos θ)2+

23sin 2θ=2

1

-cos 2θ+2cos θ+2521-(cos θ-2)2+29. 因为cos θ∈［-1,1］,故当cos θ=1时，(x 2+y 2)max =21-+2

9

=4.

此时，x =2，y =0.

【例3】 设抛物线y 2=4px (p >0)的准线交x 轴于点M ，过M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求AB 中点的轨迹方程.

【解答】 抛物线y 2=4px 的准线为x = -p ，交x 轴于M (-p ,0),

设过M 的直线参数方程为：???=+-=θ

θ

sin cos t y t p x (t 为参数)代入y 2=4px ：

t 2sin 2θ-4pt cos θ+4p 2=0 (1) 方程(1)有相异二实根的条件是：

,1cot 0

)sin (cos 160sin 2

2

22>????>-=?≠θθθθp 1,

设方程(1)之二根为t 1，t 2，则t 1+t 2=

.sin cos 42θ

θ

o

设AB 之中点为Q (x,y )， ∵t =θ

θ

221sin cos 22p t t =+. ∴???

????

=?=+-=?+-=θθθθθθθθcot 2sin sin cos 2cos 2cos sin cos 2222p p y p p p p x ，消去θ得：y 2=2p (x+p ), ∵|cot θ|>1，∴|y |>2p ，即所求AB 中点的轨迹方程为：y 2=2p (x+p )(|y |>2p ). 【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，因为它能减少变量(由x,y 两个变量减为一个变量t ).所以其运算过程常比一般方程简便. 但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：??

?+=+=θ

θsin cos 00t y y y x x

其中P (x 0，y 0)为定点，θ是直线的倾斜角：参数t 表示动点M (x,y )与定点P (x 0，y 0)所连有向线段的数量，若M 在P 上方则t >0，反之t <0.

【例4】 两圆O 1与O 2外离，其半径分别为r 1，r 2，直线AB 分别交两圆于 A 、C 、D 、B ,且AC =DB ，过A ，B 的切线交于E ，求证：

2

1

r r EB EA =.

【思考】 本例是平面几何题吗?

不是，谁要试图仅用平几知识证明，

肯定难以成功，但若引入三角，则不然. 【解答】 作两圆直径AF ，BG ，连

CF ，DG ，命∠EAB =∠F =∠α,∠EBA =∠G =∠β, 那么AC =2r 1sin α，BD =2r 2sin β,

已知AC=BD ，∴2r 1sin α=2r 2sin β， 例4题图

α

βsin sin 21=r r , △EAB 中，由正弦定理：

,sin sin α

β

=EB EA ∴

21r r EB EA =.

【例5】某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路m 千米，B 距铁路n 千米. 在铁路上要建

造两个火车站C 与D ，并修两条公路AC 与BD . A 地的矿石先用汽车由公路运至火车站C ，然后用火车运至D ，再用汽车运到冶炼厂B （如图所示）A 、B 在铁路MN 上的投影A ′、B ′距离为l 千米.若汽车每小时行u 公里，火车每小时行v 公里（v>u ）,要使运输矿石的时间最短，火车站C 、D 应建在什么地方？

【分析】 求的是C 、D 建的地方， 为了将问题简化，暂不考虑车站D ，

设法求出从A 经过C 到B ′所需最短时间. 【解答】 ∵AC =

,cos A

m

A ′C =mtanA , ∴C

B ′=A ′B ′-A ′

C =l-mtanA

∴从A 经过C 到B ′所需时间为 例5题图

t =A A

u v

v

m v l A v A A u m v l v A m l A u m cos sin cos sin cos 1

tan cos -?

+=??? ??-+=-+ 因为v l ，v m ，a v 为常数，问题转化为求y =A A

u v

cos sin -的最小值. ∵y ′=A

A u v

2cos 1

sin -，令y ′=0,得u v

A =

sin 时，sin A <1. sin A u

v

时，y ′>0.

故函数y ，从而函数t 当sin A =u

v

时，取得极小值：.12

2min u

u v v u v u u v y -='??

? ??--

= ∵

sin A =

v u

，∴A ′C =mtanA =22u v mu -，即车站C 距A ′为22u

v mu -千米，它与l 的长短无关.

同理，站D 距B ′为

2

2

u

v nu -千米.

【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.

●对应训练

1

已知方程x 2+x sin2θ- sin θcot θ=0(π<θ<

2

3

π)之二根为α,β，求使等比数列1,2

11,1

1

???? ??++βαβα??，…前100项之和为零的θ值. 2

设实数对(x,y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，求

y

x 1

+的最小值. 3已知圆的方程是x 2+y 2=1，四边形P ABQ 为该圆内接梯形，底边AB 为圆的直径且在x 轴上，当梯形ABCD 的周长l 最大时，求P 点的坐标及这个最大的周长.

4△ABC 中，已知三内角满足关系式y =2+cos C cos (A-B )- cos 2C . (Ⅰ)证明任意交换A 、B 、C 位置y 的值不变； （Ⅱ）求y 的最大值.

5.一条河宽1km ，相距4km (直线距离)的两座城市A 与B 分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A 与B . 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?

●参考答案

1

由条件：?

?

?-=-=-=+θθθαβθ

βαcos cot sin 2sin ,

∴θθθαββαβαsin 2cos 2sin 1

1

==+=+，即等比数列的公比q =2sin θ，∴S 100=θθsin 21])sin 2(1[1100--?.

已知S 100=0，∴(2sin θ)100=1且2sin θ≠1,于是2sin θ= -1,sin θ=2

1

-

, ∵θ∈(π，

23π), ∴θ=6

7

π. 2圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为C (1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求

y

x 1

+的最小值，先求

1

+x y

的最大值. 如图，1

+x y

表示圆上的点(x,y )与

定点P (-1,0)连线的斜率,P A ，PB 为

圆C 的切线，则PB k x y =?

??

??+max

1，连PC,

设∠BPC =∠APC =θ，则tan θ=

2

1

, 第2题解图 tan ∠BP A =tan2θ=3421121

22=??

? ??-?

, 即341max =??? ??+x y ，从而4

31=???? ??+y x . 3如图所示，有A (1,0),B(-1,0),

⊙方程为x 2+y 2=1，∴设P (cos θ，sin θ)为 圆上一点，不妨设P 在第一象限， 则有Q (-cos θ,sin θ). ∴|PQ |=2cos θ,

Rt △P AB 中∠PBA =

2

θ, ∴|BQ |=|P A |=|AB | sin

2θ=2sin 2θ， l =2+2cos θ+4sin 2θ=2+2(1-2sin 22θ)+4sin 2θ=5-4(sin 2θ21

-)2, 第3题解图

当且仅当sin 2θ=2

1

，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，l max =5，此时

点P 的坐标为???

? ??23,21???. 4

(Ⅰ)y =2+cos C ［cos (A-B ) - cos C ］

=2+cos C ［cos (A-B )+cos (A+B )］=2+2cos A cos B cos C

此为关于A 、B 、C 的对称轮换式，故任意交换A 、B 、C 的位置，y 的值不变. (Ⅱ)y =2-［cos C 21-

cos (A-B )］2 +41cos 2(A-B ),为求y 的最大值必须［cos C 2

1

-cos (A-B )］2取得最小而

4

1cos 2

(A-B )取得最大. ∵［cos C 21-cos (A-B ) 2≥0，且41cos+(A-B )≤41当且仅当???

??==-)cos(21

cos 1

)cos(AB C B A 时以上两条同时成立. ∴y max =49

，此时C B A C B A ==???

???==-21

cos 1

)cos(故△ABC 为正三角形. 5.解法一：如图所示，设OM =x km ，则AM =15-x ，BM =21x +. 总修建费 S=2（15-x ）+42

1x +

=215+21x ++x +3(21x +-x )

=215+（21x ++x ）+

x

x ++2

13≥215+23

由21x ++x =

x

x ++213,得当x =

3

3

时， S 取最小值

215+23，此时，

AM ≈3.3，BM ≈1.2.

故当先沿岸铺设3.3 km 地下电缆，

再铺设1.2 km 水下电缆连通A 与B 时， 第5题解图 总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元. 解法二：如图所示，设∠OBM =α(0<α

cos 1， AM=AO-MO =15-tan α，总修建费S =215-tan α)+αcos 4=215+α

αcos )

sin 2(2-

设t =

αα

cos sin 2-，则sin α+t cos α=2

∴ sin(α+φ)=2

11t

+

由

112

2

≤+t

及t >0，得t ≥3， ∴ S ≥215+23

将t =3代入sin α+t cos α=2，解得α=

6

π ∵ 0<

6

π

41 ∴ AM =15-

33≈3.3，BM =3

32≈1.2

故S min =2×３．３＋４×１．２＝１１．４.