2020年湖南省岳阳市中考数学试卷(附答案解析)

2020年湖南省岳阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1．（3分）﹣2020的相反数是（）

A．﹣2020B．2020C．﹣D．

2．（3分）2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少11090000人，数据11090000用科学记数法表示为（）

A．0.1109×108B．11.09×106C．1.109×108D．1.109×107 3．（3分）如图，由4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（）

A．B．C．D．

4．（3分）下列运算结果正确的是（）

A．（﹣a）3＝a3B．a9÷a3＝a3C．a+2a＝3a D．a?a2＝a2

5．（3分）如图，DA⊥AB，CD⊥DA，∠B＝56°，则∠C的度数是（）

A．154°B．144°C．134°D．124°

6．（3分）今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中7名学生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是（）

A．36.3，36.5B．36.5，36.5C．36.5，36.3D．36.3，36.7 7．（3分）下列命题是真命题的是（）

A．一个角的补角一定大于这个角

B．平行于同一条直线的两条直线平行

C．等边三角形是中心对称图形

D．旋转改变图形的形状和大小

8．（3分）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x

的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）

A．0＜＜1B．＞1C．0＜＜1D．＞1

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）

9．（4分）因式分解：a2﹣9＝．

10．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是．

11．（4分）不等式组的解集是．

12．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠A＝20°，则∠BCD＝°．

13．（4分）在﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax2+4x﹣2中a 的值，则该二次函数图象开口向上的概率是．

14．（4分）已知x2+2x＝﹣1，则代数式5+x（x+2）的值为．

15．（4分）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组为．16．（4分）如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB＝8，BD与半圆O 相切于点B．点P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE⊥OC 于点E，延长BE交PC于点F，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①PB＝PD；②的长为π；③∠DBE＝45°；④△BCF∽△PFB；⑤CF?CP为定值．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：（）﹣1+2cos60°﹣（4﹣π）0+|﹣|．

18．（6分）如图，点E，F在?ABCD的边BC，AD上，BE＝BC，FD＝AD，连接BF，

DE．

求证：四边形BEDF是平行四边形．

19．（8分）如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），B两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）将一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），使平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，求b的值．

20．（8分）我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：

（1）本次随机调查的学生人数为人；

（2）补全条形统计图；

（3）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数；（4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率．

21．（8分）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料．

22．（8分）共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A 地北偏东45°方向上，在B地北偏西68°向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）

23．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P，Q分别从C点，A点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t（s），连接PQ，过点P 作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE．

（1）如图2，当t＝5s时，延长EP交边AD于点F．求证：AF＝CE；

（2）在（1）的条件下，试探究线段AQ，QE，CE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当t＞s时，延长EP交边AD于点F，连接FQ，若FQ平分∠AFP，求的值．

24．（10分）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x﹣）2+与x轴交

于点A（﹣，0）和点B，与y轴交于点C．

（1）求抛物线F1的表达式；

（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．

①求点D的坐标；

②判断△BCD的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）

1．【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．

故选：B．

2．【解答】解：11090000＝1.109×107，

故选：D．

3．【解答】解：从该几何体的左侧看到的是一列两层，因此选项A的图形符合题意，

故选：A．

4．【解答】解：（﹣a）3＝﹣a3，因此选项A不符合题意；

a9÷a3＝a9﹣6＝a6，因此选项B不符合题意；

a?a2＝a1+2＝a3，因此选项D不符合题意；

故选：C．

5．【解答】解：∵DA⊥AB，CD⊥DA，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴AB∥CD，

∵∠B＝56°，

故选：D．

6．【解答】解：将这组数据重新排列为36.3，36.3，36.7，36.5，36.5，36.7，36.8，

所以这组数据的众数为36.5，中位数为36.5，

故选：B．

7．【解答】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，如直角的补角等于它，原命题是假命题；

B、平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题；

C、等边三角形不是中心对称图形，原命题是假命题；

D、旋转不改变图形的形状和大小，原命题是假命题；

故选：B．

8．【解答】解：由题意关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x6，x4（x3＜x4），就是关于x的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）与直线y＝﹣5的交点的横坐标，画出函数的图象草图如下：

∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，

由图象可知：7＜＜1一定成立，

故选：A．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，满分32分）

9．【分析】a2﹣9可以写成a2﹣32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．【解答】解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣5）．

10．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．

【解答】解：依题意，得x﹣2≥0，

解得：x≥2，

故答案为：x≥5．

11．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3，

解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，

故答案为：﹣3≤x＜4．

12．【分析】根据直角三角形两锐角互余求得∠B＝70°，然后根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝BD，求出∠BCD＝∠B即可．

【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝20°，则∠B＝70°，

∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，

∴∠BCD＝∠B＝70°，

故答案为70．

13．【分析】二次函数图象开口向上得出a＞0，从所列5个数中找到a＞0的个数，再根据概率公式求解可得．

【解答】解：∵从﹣3，﹣2，1，2，3五个数中随机选取一个数，共有7种等可能结果，其中使该二次函数图象开口向上的有1、2、3这3种结果，

∴该二次函数图象开口向上的概率是，

故答案为：．

14．【分析】直接将原式变形，再利用已知代入原式得出答案．

【解答】解：∵x2+2x＝﹣1，

∴5+x（x+7）＝5+x2+2x＝5﹣1＝4．

故答案为：3．

15．【分析】根据“现用30钱，买得2斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．

【解答】解：依题意，得：．

故答案为：．

16．【分析】①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，若PD＝PB，得出P为

的中点，与实际不符，即可判定正误；

②先求出∠BOC，再由弧长公式求得的长度，进而判断正误；

③由∠BOC＝60°，得△OBC为等边三角形，再根据三线合一性质得∠OBE，再由角的和差关系得∠DBE，便可判断正误；

④证明∠CPB＝∠CBF＝30°，再利用公共角、∠PBF＜∠BFC，可得△BCF与△PFB不相似，便可判断正误；

⑤由等边△OBC得BC＝OB＝4，再由相似三角形得CF?CP＝BC2，便可判断正误．

【解答】解：①连接AC，并延长AC，与BD的延长线交于点H，如图1，

∵M，C是半圆上的三等分点，

∵BD与半圆O相切于点B．

∴∠H＝60°，

∴∠PDB＝∠H+∠DCH＝∠ABP+60°，

若∠PDB＝∠PBD，则∠ABP+60°＝90°﹣∠ABP，

∴P点为的中点，这与P为上的一动点不完全吻合，

∴PB不一定等于PD，

②∵M，C是半圆上的三等分点，

∵直径AB＝8，

∴的长度＝，

③∵∠BOC＝60°，OB＝OC，

∴∠ABC＝60°，OB＝OC＝BC，

∴∠OBE＝∠CBE＝30°，

∴∠DBE＝60°，

④∵M、C是的三等分点，

∵∠CBF＝30°，

∠PBF＜∠BFC，

故④错误；

∴△BCF∽△PCB，

∴CF?CP＝CB4，

∴CF?CP＝16，

故答案为：②⑤．

三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2+2×﹣1+

＝2+1﹣1+

＝2+．

18．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，

∴BE＝DF，

∴四边形BEDF是平行四边形．

19．【分析】（1）根据一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），可得m＝4，进而可求反比例函数的表达式；

（2）根据一次函数y＝x+5的图象沿y轴向下平移b个单位（b＞0），可得y＝x+5﹣b，根据平移后的图象与反比例函数y＝的图象有且只有一个交点，联立方程根据判别式＝0即可求出b的值．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象相交于A（﹣1，m），

∴m＝6，

∴反比例函数解析式为：y＝﹣；

∴y＝x+5﹣b，

∴x+6﹣b＝﹣，

∵△＝（5﹣b）2﹣16＝0，

答：b的值为9或1．

20．【分析】（1）从两个统计图中可得，选择“园艺”的有18人，占调查人数的30%，可求出调查人数；

（2）求出选择“编制”的人数，即可补全条形统计图；

（3）样本中，选择“厨艺”的占，因此估计总体800人的是选择“厨艺”的人数．（4）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算选中“园艺、编织”的概率．

【解答】解：（1）18÷30%＝60（人），

故答案为：60；

答：该校七年级800名学生中选择“厨艺”劳动课程的有200人；

∴P（园艺、编织）＝＝．

21．【分析】设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合A型机器人搬运1200kg所用时间与B型机器人搬运1000kg所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论．

【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg原料，

依题意，得：＝，

经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，

答：A型机器人每小时搬运120kg原料，B型机器人每小时搬运100kg原料．

22．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据锐角三角函数即可求出新建管道的总长度．【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

AB＝7，∠ACD＝45°，∠CBD＝90°﹣68°＝22°，

∴BD＝AB﹣AD＝7﹣CD，

∵tan∠CBD＝，

∴CD＝2，

BD＝7﹣2＝5，

BC＝≈≈5.41，

答：新建管道的总长度约为8.2km．

23．【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，再判断出CP＝AP，进而判断出△APF≌△CPE，即可得出结论；

（2）先判断出AF＝CE，PE＝PF，再用勾股定理得出AQ2+AF2＝QF2，即可得出结论；（3）先判断出△F AQ≌△FPQ（AAS），得出AQ＝PQ＝t，AF＝PF，进而判断出PE＝CE，再判断出△CNE∽△CBA，得出CE＝t，在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE2，在Rt△BQE中，QE2＝BQ2+BE2，得出PQ2+PE2＝BQ2+BE2，t2+（t）2＝（6﹣t）2，进而求出t，即可得出结论．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，

由运动知，CP＝t＝5，

∴AP＝CP，

∴∠P AF＝∠PCE，∠AFP＝∠CEP，

∴AF＝CE；

理由：如图2，

∴AF＝CE，PE＝PF，

∴QE＝QF，

∴AQ2+CE2＝QE7；

由运动知，AQ＝t，CP＝t，

∵FQ平分∠AFE，

∵∠F AQ＝∠FPQ＝90°，FQ＝FQ，

∴AQ＝PQ＝t，AF＝PF，

∵∠DAC＝∠ACB，∠APF＝∠CPE，

∴PE＝CE，过点E作EN⊥AC于N，

∵∠NCE＝∠BCA，

∴，

∴CE＝t，

在Rt△QPE中，QE2＝PQ2+PE3，

∴PQ2+PE2＝BQ2+BE2，

∴t＝，

∴AP＝10﹣CP＝，

∴△APF∽△CPE，

∴＝＝．

24．【分析】（1）把点A（﹣，0）代入抛物线F1：y＝a（x﹣）2+中，求出a的值，即可求解；

（2）①由平移的原则：左加，右减，上加，下减，可得抛物线F2的解析式，与抛物线F1联立方程组，解出可得点D的坐标；

②根据两点的距离公式和勾股定理的逆定理可得：△BDC是等腰直角三角形；

（3）设P[m，﹣]，根据两点的距离公式和勾股定理列方程可解出m的值，并确认两直角边是否相等，可得符合条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）把点A（﹣，0）代入抛物线F6：y＝a（x﹣）2+中得：

0＝a（﹣﹣）2+，

∴抛物线F2：y＝﹣（x﹣）2+；

∴y＝﹣（x+）2+，

﹣x＝，

∴D（﹣1，1）；

②当x＝5时，y＝﹣＝4，

∴C（0，4），

解得：x＝﹣或2，

∵D（﹣1，1），

CD7＝（0+1）2+（4﹣1）4＝10，

∴BD2+CD2＝BC2且BD＝CD，

（3）存在，

∵B（2，0），D（﹣1，1），

分三种情况：

①当∠DBP＝90°时，BD2+PB2＝PD6，

即10+（m﹣2）2+[﹣]5＝（m+1）2+[﹣（m+）2+﹣1]2，

当m＝﹣4时，BD＝，PB＝＝6，即△BDP不是等腰直角三角形，不符合题意，

∴BD＝PB，即△BDP是等腰直角三角形，符合题意，

②当∠BDP＝90°时，BD2+PD2＝PB2，

解得：m＝﹣1（舍）或﹣8，

∴BD＝PD，即此时△BDP为等腰直角三角形，

③当∠BPD＝90°时，且BP＝DP，有BD2＝PD2+PB2，如图3，

当△BDP为等腰直角三角形时，点P1和P2不在抛物线上，此种情况不存在这样的点P；综上，点P的坐标是（6，﹣3）或（﹣2，﹣2）．