立体几何线线垂直专题史上最全
立体几何垂直总结
1、线线垂直的判断：
线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。 补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。 （2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。 证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。 证明：（1）
BC AC CE AB AE BE =??⊥?=?
同理，AD BD DE AB AE BE =?
?⊥?=?
又∵CE DE E ?= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE
又∵AB ?平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC
例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．
A
E
D
B
C
例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．
证明：90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥ 又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC
BC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥?=AD ∴⊥面SBC
例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：
AE ⊥平面PBC .
证明：∵PA ⊥O e 所在平面，BC 是O e 的弦，∴BC PA ⊥. 又∵AB 是O e 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥.
∵,PA AC A PA =?I 平面PAC ，AC ?平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ?平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PC BC C =I ,PC ?平面PBC ，BC ?平面PBC . ∴AE ⊥平面PBC .
例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，
所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .
又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ?平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .
S
D
C
B
A
A
C
B
P
E
O
g
图2
例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．
求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.
例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥
平面BC1D
证明：连结AC
BD AC
∵⊥∴AC为A
1
C在平面AC上的射影
∴⊥
⊥
?
?
?
?⊥
BD A C
A C BC
A C BC D
1
11
11
同理可证
平面
练习；
1、如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线
段AD上.证明：AP⊥BC；
11
A1B1
D C
A B
2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .证明：DC 1⊥BC 。
3．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求三棱锥EABD 的侧面积．
.
4、在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11=AA ，求点A 到平面BC A 1的距离。