概率与统计试题

概率与统计（理）

1. 江苏5．从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的

概率为______

2. 福建理13．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若

从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。 3. 湖北理5．已知随机变量ξ服从正态分布()

22N ，a ，且Ｐ（ξ＜4）＝0.8，则Ｐ（0＜

ξ＜2）＝

Ａ．0．6

B ．0．4

C ．0．3

D ．0．2

4 .湖北理7．如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、

2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．9、

0．8、0．8，则系统正常工作的概率为

A ．0．960

B ．0．864

C ．0．720

D ．0．576

5. 湖北理12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少

取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。（结果用最简分数表示） 6. 湖北理15．给n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色。当4n ≤时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相．．．邻．

的着色方案如下图所示：

由此推断，当6n =时，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相．邻．的着色方案共有 种，（结果用数值表示） 7. 湖南理4

男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计

60

50

110

由()()()()()

22

n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得，()2

2110403020207.860506050K ??-?=≈???．

2()P K k ≥

0．050 0．010 0．001 k

3．841

6．635

10．828

参照附表，得到的准确结论是

A ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别相关”

B ．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别相关”

D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

8. 湖南理15．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方

形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则 （1）P （A ）= _____________; （2）P （B|A ）= ． 9. 江西理6．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，

3），（12.5，4），（13，5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，

3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r <<

B ．210r r <<

C ．210r r <<

D ．21r r =

10. 江西理12．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若

此点到圆心的距离大于

12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1

4

，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不．

在家看书的概率为 11 .全国理7．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种

12. 全国课标理（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学

参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

（A ）

13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34

13. 广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程???y bx a =+中的?b 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销

售额为

A ．63．6万元

B ．65．5万元

C ．67．7万元

D ．72．0万元

14. 陕西理9．设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，

直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以 下结论中准确的是 A ．x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B ．x 和y 的相关系数在0到1之间

C ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同

D ．直线l 过点(,)x y

15. 陕西理10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号

景点中任选4个实行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

A ．

1

36

B ．

19

C ．

5

36

D ．

16

16. 上海理12．随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默

认每月天数相同，结果精确到0.001）。

17. 四川理1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是

A ．

1

6

B ．

1

3

C ．

1

2

D ．

23

18. 四川理12．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向

量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为

m ，则

m

n

=

A ．

4

15 B ．

1

3

C ．

2

5

D ．

23

19. 天津理9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队

的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________ 20. 浙江理9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机

的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

A ．

1

5

B ．

2

5

C ．

35 D 45

21. 浙江理15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假

定该毕业生得到甲公司面试的概率为2

3

，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X 为该毕业生得到面试得公司个数。若1

(0)12

P X ==，

则随机变量X 的数学期望

()

E X

22. 重庆理13．将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率

__________

23. 辽宁理（5）从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶

数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=

（A）1

8

（B）

1

4

（C）

2

5

（D）

1

2

24. 广东理6．甲、乙两队实行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队

需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

A．1

2

B．

3

5

C．

2

3

D．

3

4

北京理17．本小题共13分

以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选择一名同学，求这两名同学的

植树总棵树Y 的分布列和数学期望。

（注：方差()()()

2222

121n s x x x x x x n ??=-+-++-?

???，其中x 为1x ，2x ，……

n x 的平均数）

（17）（共13分）

解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为

;4

35

410988=+++=

x

方差为

.16

11

])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s

（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组

同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选择一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，所以P （Y=17）=.8

1162= 同理可得;41)18(=

=Y P ;41)19(==Y P .8

1)21(;41)20(====Y P Y P 所以随机变量Y 的分布列为：

Y 17

18

19

20

21

P

8

1 41 41 41 8

1 =17×8

1

+18×4

1+19×4

1+20×4

1+21×8

1 =19

广东理17．（本小题满分13分）

为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产

品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：

（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。

用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优

等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。

17．（本小题满分13分）

解：（1）

98

7,573514

=?=，即乙厂生产的产品数量为35件。 （2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品2,5

故乙厂生产有大约2

35145

?

=（件）优等品， （3）ξ的取值为0，1，2。

211

23323222

555

331

(0),(1),(2)10510

C C C C P P P C C C ξξξ?=========

所以ξ的分布列为

故012.105105

E ξξ=?+?+?+=的均值为

湖南理18．（本小题满分12分）

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。

（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；

（Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期型。

18．解（I ）P （“当天商品不进货”）P =（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品

销售量为1件”）.10

3

205201=+=

（Ⅱ）由题意知，X 的可能取值为2,3.

P X P ==)2(（“当天商品销售量为1件”）;4

1205==

P X P ==)3(（“当天商品销售量为0件”）P +（“当天商品销售量为2件”）P

+（“当天商品销售量为3件”）.4

3

205209201=++=

故X

X 的数学期望为.4

4342=?+?

=EX

江西理16．（本小题满分12分）

某饮料公司招聘了一名员工，现对其实行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X 表示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别水平． （1）求X 的分布列；

（2）求此员工月工资的期望。

16．（本小题满分12分）

解：（1）X 的所有可能取值为：0，1，2，3，4

1444

4

5()(0,1,2,3,4)i

C C P X i i C -===

即

（2）令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2100，2800，3500

1(3500)(4)70

8(2800)(3)35

53

(2100)(2)70

11653

3500280021002280.

707070

P Y P X P Y P X P Y P X EY ========

==≤=

=?+?+?=则

所以新录用员工月工资的期望为2280元.

辽宁理（19）（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）实行田间试验．选择两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种

2你认为应该种植哪一品种？

附：样本数据n x x x ,,,21???的的样本方差])()()[(122221

2x x x x x x n

s n -+???+-+-=，其中x 为样本平均数．

19．解：

（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且

4

8

13

444

822444

831

444

84

811(0),708

(1),

3518

(2),358

(3),

3511(4).70

P X C C C P X C C C P X C C C P X C P X C ==

============

=

即X 的分布列为

………………4分 X 的数学期望为

181881()01234 2.7035353570

E X =?

+?+?+?+?= ………………6分 （II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

222222221

(403397390404388400412406)400,

8

1

(3(3)(10)4(12)0126)57.25.

8

x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲

………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

2

222222221

(419403412418408423400413)412,

8

1(7(9)06(4)11(12)1)56.

8

x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙

………………10分 由以上结果能够看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.

全国理18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种

保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立 （I ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X 的期望。

18．解：记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；

B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买； （I ）()0.5,()0.3,,P A P B C A B ===+

…………3分

()()()()0.8.P C P A B P A P B =+=+= …………6分

（II ）,()1()10.80.2,D C P D P C ==-=-=

~(100,0.2)X B ，即X 服从二项分布，

…………10分 所以期望1000.220.EX =?=

…………12分

全国课标理（19）（本小题满分12分）

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A 配方的频数分布表

B 配方的频数分布表

（I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率； （II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为

2,942,941024,102t y t t -

=≤

从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相对应组的概率）．

（19）解

（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的平率为228

=0.3100

+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210

0.42100

+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42

（Ⅱ）用B 配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[)[)[]90,94,94,102,102,110的频率分别为0.04，，054，0.42，所以 P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42， 即X 的分布列为

X 的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68

福建理19．（本小题满分13分）

某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相对应的执行标准

11（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，

相对应的等级系数组成一个样本，数据如下：

3 5 3 3 8 5 5 6 3

4 6 3 4 7

5 3 4 8 5 3

8 3 4 3 4 4 7 5 6 7

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2

的数学期望． （III ）在（I ）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂

的产品更具可购买性？说明理由．

注：（1）产品的“性价比”=

产品的零售价

期望

产品的等级系数的数学；

（2）“性价比”大的产品更具可购买性．

19．本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理水平、运算求解水平、应用意识，

考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。

解：（I ）因为16,50.46780.16,67 3.2.EX a b a b =?+++?=+=所以即 又由X 1的概率分布列得0.40.11,0.5.a b a b +++=+=即

由67 3.2,0.3,0.5.0.2.a b a a b b +==????

+==??

解得 （II ）由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X 2的概率分布

所以

22222223(3)4(4)5(5)6(6)7(7)8(8)

EX P X P X P X P X P X P X ==+=+=+=+=+=30.340.250.260.170.180.1

4.8.

=?+?+?+?+?+?=

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （III ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：

因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为6

1.6= 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.8

1.2.4

=

据此，乙厂的产品更具可购买性。

山东理18．（本小题满分12分）

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 实行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.

18．解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，

乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，

则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件。 因为()0.6,()0.5,()0.5,P D P E P F === 由对立事件的概率公式知

()0.4,()0.5,()0.5,P D P E P F ===

红队至少两人获胜的事件有：

,,,.DEF DEF DEF DEF

因为以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 所以红队至少两人获胜的概率为

()()()()

0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.

P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=??+??+??+??= （II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3。

又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件， 且各盘比赛的结果相互独立，

所以(0)()0.40.50.50.1,P P DEF ξ===??=

(1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++

0.40.50.50.40.50.50.60.50.5

0.35

=??+??+??=

(3)()0.60.50.50.15.P P DEF ξ===??=

由对立事件的概率公式得

(2)1(0)(1)(3)0.4,P P P P ξξξξ==-=-=--=

所以ξ的分布列为：

ξ

0 1 2 3 P

0．1

0．35

0．4

0．15

所以00.110.3520.430.15 1.6.E ξ=?+?+?+?=

陕西理20．（本小题满分13分）

如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）

10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L 1的频率 0．1 0．2 0．3 0．2 0．2 L 2的频率 0

0．1

0．4

0．4

0．1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。 （Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，

针对（Ⅰ）的选择方案，求X 的分布列和数学期望。

20．解（Ⅰ）A i 表示事件“甲选择路径L i 时，40分钟内赶到火车站”，B i 表示事件“乙选

择路径L i 时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相对应的概率可得 P （A 1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P （A 2）=0．1+0．4=0．5，

P （A 1） ＞P （A 2）,

∴甲应选择L

i

P （B 1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P （B 2）=0．1+0．4+0．4=0．9，

P （B 2） ＞P （B 1）,

∴乙应选择L

2．

（Ⅱ）A,B 分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知()0.6,()0.9P A P B ==,又由题意知，A,B 独立，

(0)()()()0.40.10.04

P X P AB P A P B

∴====?=

(1)()()()()()

P X P AB AB P A P B P A P B

==+=+

0.40.90.60.10.42

=?+?=

(2)()()()0.60.90.54

P X P AB P A P B

====?=

∴00.0410.4220.54 1.5.

EX=?+?+?=

四川理18．（本小题共12分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点租车骑游。曱，乙各租一车一次。设

甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,

42

；两小时以上且不超

过三小时还车的概率分别为11,

24

；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；

18．解析：

（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为

1111 428

P=?=，付2元为

2111 248

P=?=，

付4元为

3111 4416

P=?=

则所付费用相同的概率为

123

5 16

P P P P

=++=

（2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8

1(0)8

11115(2)442216

1111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416

P P P P P ξξξξξ

====?+?=

==?+?+?===?+?=

==?=

84822

E ξ=+++=

天津理16．（本小题满分13分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球很多于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戏中，

（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率；

（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .

16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相

互独立事件等基础知识，考查使用概率知识解决简单的实际问题的水平.满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则

21

32322531

().5

C C P A C C =?=

（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则2

3B A A =，又

22111

322222222253531

(),2

C C C C C P A C C C C =?+?=

且A 2，A 3互斥，所以23117

()()().2510

P B P A P A =+=

+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.

212

279(0)(1),10100

7721(1)(1),101050749

(2)().

10100

P X P X C P X ==-

===-====

X 的数学期望()012.100501005

E X =?+?+?=

重庆理17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8

分）

某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；

（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望

17．（本题13分）

解：这是等可能性事件的概率计算问题.

（I ）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式22

42

C ?种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为

2

244

28

.273C ?= 解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验. 记“申请A 片区房源”为事件A ，则1

().3

P A =

从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为

222

44128(2)()().3327

P C ==

（II ）ξ的所有可能值为1，2，3.又

4

2132224

3244234431(1),273

()(22)1414

(2)((2))

272733P C C C C C C P P ξξξ==

=+-======或 12123

3424344

44

(3)((3)).9933

C C C C A P P ξξ======或 综上知，ξ有分布列

从而有

114465123.2727927

E ξ=?

+?+?=

安徽理（20）（本小题满分13分）

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别,,p p p 123，假设,,p p p 123互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立. （Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为,,q q q 123，其中,,q q q 123是,,p p p 123的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ；

（Ⅲ）假定p p p 1231>>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。

（20）（本小题满分13分）本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的水平以及抽象概括水平、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识. 解：（I ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是

)1)(1)(1(321p p p ---，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于