高中数学—命题和充要条件—学生版

命题和充要条件

知识梳理 一、命题的概念

1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。

2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。

3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出

，记作βα?。

相反的，如果

成立不能推出

成立，那么就说由

不可以推出

，记作α

β。

4、如果

，并且αβ?，那么就说与

等价，记作βα?。

二、四种命题形式

1、一个数学命题用条件，结论

表示就是“如果

α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如

果 ，那么

”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。

2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如

果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。 3、命题

、

的否定分别记作α、β。

4、如果把原命题“如果

，那么

”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题，

我们将它叫做原命题的逆否命题。

5、四种命题形式及其相互关系:

6、常见结论的否定形式：（拓展内容）

三、充要条件

1、充分条件与必要条件：

一般地，用α、β分别表示两个命题，如果

成立，可以推出

也成立，即

，那么

叫做

的充分

条件。叫做

的必要条件。

2、充要条件：

如果既有，又有

，即有βα?，那么

既是

的充分条件又是

的必要条件，这时我们就说

是

的充要条件。

例题解析

一、有关命题的概念

【例1】判断下列语句是否是命题：

⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷2

60x +>；⑸112+>；

【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？

（2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？

（3）求证：R x ∈，方程012

=++x x 无实根.

（4）5>x

（5）人类在2020年登上火星.

【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ，

，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11，

．其中真命题的个数为（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【例4】下列判断中正确的是 ( ).

A. “12是偶数且是18的约数”是真命题

B. “方程210x x ++=没有实数根”是假命题

C. “存在实数x ，使得23x +≤且216x >”是真命题

D. “三角形的三个内角的和大于或等于120?”是假命

题

【例5】对于直角坐标平面内的任意两点11()，

A x y 、22()，

B x y ，定义它们之间的一种“距离”： 1212AB x x y y =-+-．给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则AC CB AB +=； ②在ABC ?中，若90C ∠=?，则2

2

2

AC CB AB +=； ③在ABC ?中，AC CB AB +>．

其中真命题的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【巩固训练】

1、判断命题真假：如果2a <，那么2a < （ ）

2、若[]2,5x ∈和{}

|14x x x x ∈<>或都是假命题，则x 的范围是__________

3、已知,A B 是两个集合，下列四个命题：

①B ,A x A x B ?∈?不包含于对任意有②B A A B ??=?不包含于

③B A A ?不包含于不包含B ④B ,A x A x B ?∈?不包含于存在，其中真命题的序号是

4、下面有四个命题：①集合N 中最小的数是1；②若a -不属于N ，则a 属于N ；③若,,N b N a ∈∈则b a +的

最小值为2；④x x 212=+的解可表示为{

}1,1.其中真命题的个数为（ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

二、命题的四种形式及其关系

【例6】命题“若x y =，则||||x y =”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假

【例7】有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；

（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_______

【例8】写出命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假.

【例9】写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假． ⑴“负数的平方是正数”；

⑵“若a 和b 都是偶数，则a b +是偶数”； ⑶“当0c >时，若a b >，则ac bc >”； ⑷“若5x y +=，则3x =且2y =”；

【例10】已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程2

4(2)10x m x +-+=无实根；若p 与q 中有且仅有一个为真命题，求实数m 的取值范围．

【巩固训练】

1、有下列四个命题：

①“若0x y +=，则,x y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若1q ≤，则220x x q ++=有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2、原命题：“设a b c ∈R ，

，，若a b >，则22ac bc >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

3、命题：“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是（ ）

A ．若21x ≥，则1x ≥或1x -≤

B ．若11x -<<，则21x <

C ．若1x >或1x <-，则21x >

D ．若1x ≥或1x -≤，则21x ≥

4、有下列四个命题：①命题“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若1≤m ，则220x x m -+=有实根”的逆否命题；④命题“若A B B =I ，则A B ?”的逆否命题． 其中是真命题的是 （填上你认为正确的命题的序号）．

5．原命题的否命题是“三条边相等的三角形是等边三角形”，原命题的逆命题是

三、有关等价命题

【例12】与命题“，，不全是负数”等价的命题是（ ） A 、，，中至少有一个是正数 B 、，，全不是负数

C 、，，中只有一个是负数

D 、，，中至少有一个是非负数 【例13】与“一元二次方程

有一正根、一负根”等价的命题是（ D ）

A 、

B 、

C 、

D 、

【例14】命题：已知a ，b 为实数，若20x ax b ++≤有非空解集，则240a b -≥。写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断这些命题的真假？

【例15】下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）方程2560x x -+=的解是3x =；

（2）,,,a b c d 是实数，,a b c d ==，可以得到a c b d +=+； （3）对顶角相等．

【巩固训练】

1、下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ③“x >2”是“1x <1

2

”的充分不必要条件；

④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真． 其中说法不正确的序号是________．

2、，，中至少有一个是非负实数的等价命题是（ ）

A 、，，中全不是负数

B 、，，中只有一个是负数

C 、，，中至少有一个是正数

D 、，，不全是负数

3、设a,b 两个实数,能推出“a,b 中至少有一个大于1”的条件是（ ） (A) a+b>1 (B) a+b=2 (C) ab>1 (D) a+b>2

四、充要条件的判定

【例16】对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是（ ）

A ．“ac bc >”是“a b >”的必要条件

B ．“ac bc =”是“a b =”的必要条件

C ．“ac bc >”是“a b >”的充分条件

D ．“ac bc =”是“a b =”的充分条件

【例17】若“a b c d ?>≥”和“a b e f

的（ ）

A ．必要非充分条件

B ．充分非必要条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分也非必要条件

【例18】已知命题p ：40k -<<；命题q ：函数21y kx kx =--的值恒为负．则命题p 是命题q 成立的（ ）

A ．充分但不必要条件

B ．必要但不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【例19】已知集合{|35}M x x x =<>或，{|()(8)0}P x x a x =--≤.

（1）求实数a 的取值范围，使它成为{|58}M P x x =<≤I 的充要条件；

（2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}M P x x =<≤I 的一个充分但不必要条件； （3）求实数a 的取值范围，使它成为{|58}M P x x =<≤I 的一个必要但不充分条件.

【巩固训练】

1、0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ ）

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

2、若:A a R ∈，1a <, :B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零，则A 是B 的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

3、已知a b c d ，

，，为实数，且c d >．则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ） A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件

五、充分条件、必要条件、充要条件的求解与证明

【例20】已知条件p ：|1|2x +>，条件q ：x a >，且p ?是q ?的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ）

A ．1a ≥

B ．1a ≤

C ．1a ≥-

D ．3a -≤

【例21】

给出以下四个条件：①0ab >；②0a >或0b >；③2a b +>；④0a >且0b >.其中可以作为“若,R a b ∈，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是________.

【例22】已知不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是1

132

x <<，则m 的取值范围是 （ ）

A.41{|}32m m -≤≤

B.1

{|}2m m <

C. 14{|}23m m -≤≤

D. 4

{|}3

m m ≥

【例23】已知命题p ：1

123

x --

≤；q ：22210(0)x x m m -+->≤，若p ?是q ?的必要非充分条件，求实数m 的取值范围．

【例24】已知0a >，函数2()f x ax bx =-，

⑴当0b >时，若对任意R x ∈都有()1f x ≤，证明：a ≤

⑵当1b >时，证明：对任意[01]x ∈，

，()1f x ≤的充要条件是1b a -≤≤ ⑶当01b <≤时，讨论对任意[01]x ∈，

，都有()1f x ≤的充要条件．

【巩固训练】

1、可以作为“若R a b ∈，

，则0a b +>”的一个充分而不必要条件的是（ ） A ．0ab > B ．0a >或0b > C ．0a >且0b > D ．1ab >

2、设αβ，

是方程20x ax b -+=的两个实根，试分析21a b >>，是两根αβ，均大于1的什么条件？

3、求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的一个充分条件是2a ≥且||4b ≤．

反思总结

命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位.历年高考命题中,充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点,虽然这一部分在课本中只占一小节内容,定义也很简单,但它涉及的知识面很广,几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念,有关充要条件问题的求解是解题的一个难点,解这类问题需熟练掌握条件的概念,理解其含义,结合题设条件正确地分清条件与结论.在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式、立体几何等知识结合起来进行考查．

课后练习

一、填空题：

1、设12:,A x x 是方程2

00()ax bx c a ++=≠的两实数根；12:b

B x x a

+=-，则A 是B 的_____________条件。

2、x(x -y)>0“”是1y

x

<“

”成立的_____________条件。

3、已知命题：“,,0a b R a b ∈+<且”

(1)该命题的一个充分非必要条件是___________; (2)该命题的一个必要非充分条件是___________。

4、命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是 。

5、 “12a b ≠≠或”是“3a b +≠”成立的 条件。

6、“||2|1|1x y x y +<<<”是“|且|”的 条件。

7、定义：若对定义域D 上的任意实数x 都有()0f x =，则称函数()f x 为D 上的零函数．根据以上定义，“()f x 是D 上的零函数或()g x 是D 上的零函数”为“()f x 与()g x 的积函数是D 上的零函数”的 条件．

二、选择题：

8、设m,n 是整数，则“m,n 均为偶数”是“m+n 是偶数”的 ( )

(A)充分而不必要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

9、若非空集合,,A B C 满足A B C =U ，且B 不是A 的子集，则 ( )

A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件

B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件

C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件

D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”必要条件

10、命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是 （ ）

A ．若q 不正确，则p 不正确 B. 若q 不正确，则p 正确 C. 若p 正确，则q 不正确 D. 若p 正确，则q 正确

11、设全集为U ，有以下四个命题：

(1) I A B A = (2) U U C A C B ? (3) I U C B A =Φ (4) I U C A B =Φ

其中是命题A B ?的充要条件的有______个。 ( )

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

12、已知是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，则是的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件

C 、充要条件

D 、既不充分也不必要条件

13、若函数、

的定义域都是R ，则成立的充要条件是（ ）

A 、有一个，使

B 、有无数多个

，使

C 、对R 中任意的，使

D 、R 中不存在使

14、下列命题中正确的是（ ）

①“若220x y +≠，则x y ，

不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题

③“若0m >，则20x x m +-=有实根”的逆否命题

④“若x 是有理数，则x 是无理数”的逆否命题

A ．①②③④

B ．①③④

C ．②③④

D ．①④

三、解答题： 15、（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？ （1）在△ABC 中，p ：A>B q ：BC>AC ；

（2）已知x 、y ∈R ，p ：(x -1)2+(y -2)2=0 q ：(x -1)(y -2)=0

16、设,,a b c 为ABC ?的三边，求证：222x ax b ++与222x cx b +-有一次公因式的充要条件是090A =。