【独家整理】近五年(2015-2019)全国各地区高考真题汇总——2019年江苏卷数学试题(精校解析

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

注意事项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。本卷满分为160 分，考试时间为120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。参考公式：

1n2n

样本数据 x1, x2 ,?, x n的方差s2 1x i x ，其中x n1x i．

n i 1 n i1

柱体的体积V Sh，其中 S是柱体的底面积，h 是柱体的高．

1

锥体的体积 V 1 Sh，其中 S是锥体的底面积，h是锥体的高．

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分．请把答案填写在

答

．题

．

卡

．

相

．

应

．

位

．

置

．

上

．

．

1.已知集合A { 1,0,1,6} ，B x x 0, x R ，则A B _________________ .

【答案】{1,6} .

【解析】

【分析】由题意利用交集的定义求解交集即可 . 【详解】由题知，AI B {1,6} .

点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题

2

2.已知复数 (a 2i)(1 i) 的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是 _ . 【答案】 2. 【解析】 【分析】

本题根据复数的乘法运算法则先求得 z ，然后根据复数的概念，令实部为 0即得 a 的值 .

2

【详解】 Q (a 2i)(1 i) a ai 2i 2i 2 a 2 (a 2)i ， 令a 2 0得 a 2.

【点睛】 本题主要考查复数的运算法则， 虚部的定义等知识， 意在考查学生的转化能力和计 算求解能力 .

3.下图是一个算法流程图，则输出的

答案】 5. 解析】 分析】

结合所给的流程图运行程序确定输出的值即可

【详解】执行第一

次， S S x 2 1

,x 1 4 不成立，继续循环， x x 2 执行第二次， S S x 3 ,x 2 4 不成立，继续循环， x x 1 3 ；

2 2

执行第三次， S S x 3,x 3 4 不成立，继续循环， x x 1 4 ；

2

执行第四次，

S S x 5,x 4 4 成立，输出 S 5.

点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

S 的值是 ____

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．

(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．

(3)按照题目的要求完成解答并验证．

4.函数y 7 6x x2的定义域是______________ .

【答案】[ 1,7] .

【解析】

【分析】

由题意得到关于 x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.

【详解】由已知得7 6x x2 0 , 即x2 6x 7 0

解得1 x 7 ，

故函数的定义域为[ 1,7] .

【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

5.已知一组数据 6，7，8，8， 9，10，则该组数据的方差是.

5 【答案】5.

3

【解析】

【分析】

由题意首先求得平均数，然后求解方差即可 .

【详解】由题意，该组数据的平均数为6 7 8 8 9 10 8 ，

6

所以该组数据的方差是1[(6 8)2(7 8)2(8 8) 2 (8 8)2(9 8)2

(10 8)2] 5.

63

【点睛】本题主要考查方差的计算公式，属于基础题 .

6.从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 2 名同学中至少有

1 名女同学的概率是 ___ 【答案】 7 .

10

【解析】 【分析】

先求事件的总数， 再求选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的事件数， 最后根据古典概型的 概率计算公式得出答案 .

详解】从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿服务，共有 C 52 10种情况 .

若选出的 2 名学生恰有 1 名女生，有 C 31C 21 6种情况， 若选出的 2 名学生都是女生，有 C 22 1 种情况，

点睛】计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是

与古典

排列”“组合

2

7.在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x 2 b y

2 近线方程是 ___ . 【答案】 y 2x .

【解析】 【分析】

根据条件求 b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案

解得 b 2或b 2 ，

因为 b 0，所以 b 2 . 因为 a 1 ，

所以所求的概率为

61 10 7

1

0 概型结合考查， 由于古典概型概率的计算比较明确， 所以， 计算正确基本事件总数是解题的 重要一环 .在处理问题的过程中，应注意审清题意， 明确 “分类 ”分“步 ”，根据顺序有无， 明确

1（b 0） 经过点（ 3，4），则该双曲线的渐

详解】由已知得 32

42 b 2

1，

所以双曲线的渐近线方程为y 2x.

【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题 .双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a, b密切相关，事实上，标准方程中化 1为 0，

即得渐近线方程 .

8.已知数列{a n}（n N *）是等差数列，S n是其前 n项和.若a2a5 a8 0,S9 27，则S8的值是 ____ .

【答案】 16.

【解析】

【分析】

由题意首先求得首项和公差，然后求解前 8 项和即可 .

a2a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 0

【详由题意可98

S9 9a19 8d

2

27

解得：a1 5 87

1，则S8 8a1 d 40 28 2 16. d2 2

【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建a1,d 的方程组 .

9. ___ 如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是 120，E为CC1的中点，则三棱锥 E-BCD的体积是 .

答案】 10.

【解析】

【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积 .

【详解】因为长方体ABCD A1B1C1D1 的体积为 120，

所以AB BC CC1 120 ，

因为E 为 CC1 的中点，

1

所以CE CC1 ，

2由长方体的性质知CC1 底面ABCD ，所以CE是三棱锥E BCD 的底面BCD 上的高，

11 所以三棱锥E BCD 的体积V AB BC CE

32

1 1 1 1

AB BC CC1 120 10 .

3 2 2 1 12

【点睛】本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律 .在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题 .

4

10.在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线 y x

（x 0）上的一个动点，则点 P 到直线

x+y=0 x

的距离的最小值是____ .

【答案】 4.

【解析】

【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离

【详解】当直

线gR2平移到与曲线y x 4 相切位置时，切点 Q 即为点 P到直线gR2

的

r2

x r2 距离最小 .

由y 1 42

1，得x 2（ 2

舍），

y 3 2 ，

即切点Q( 2,3 2) ，

x

即 y ln x 0

1，

故答案为： 4 ．

【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，

采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题

11. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点 （-e ，

-1）（e 为自然对数的底数） ，则点 A 的坐标是 . 【答案】 （e, 1）. 解析】 分析】

设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值可得切点坐标

则切点 Q 到直线 gR

2 的距离为

r 2

232 12 12

4，

渗透了直观想象和数学运算素养 x 0

0，

【详解】设点A x0, y0 ，则y0 ln x0 .又y 1

x

当x x0 时， 1 y，

x0

1

点 A 在曲线ln x 上切线为y y0 1 (x x0) ，

x0

3

22

1 uuur

2

3 uuur 2 uuur

得1 AB 3AC ,即 AB

uuur AC , 故

AB AC

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质， 直线与曲线只有一个公共点， 直线不一定是

曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

12. 如图，在 V ABC 中， D 是BC 的中点， E 在边AB 上，BE=2EA ，AD 与CE 交于点 O .若

解析】

分析】 由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值 详解】如图，过点 D 作 DF//CE ，交 AB 于点 F ，由 BE=2EA ， D 为 BC 中点，知 BF=FE=EA,AO=OD.

uu ur uuur uu ur uuu r uuur 3 uuu r uuu r uuur uuur

6 AO gEC 3ADg AC AE 2

AB AC g AC AE

3

uuur u uur uuur 1 uuur 3 uu ur uuu r 1uuu

r uuur 2

1 uuur

uuur

AB AC g AC 1 AB ABgAC

1 AB AC ABgAC

uuur uuur

uuur uuur 6AO EC ，则 AB 的值是 AC

答案】 3.

1 2

1 3 3

1

3

2

3 2

3

3

3 2uuu r uuur 1

uuur 2 uuur 2 uuu r uuu r 1 uuur 2 3 uuur 2

uuur uuur

ABgAC AB AC ABgAC AB 3 AC ABgAC 2 3

3

2 2

1

2

1 3 3

1

3

当 tan

1

时， 2 上式= 22

2 10

算素养 .采取几何法，利用数形结合和方程思想解题

tan

2

π

3 ，则 sin 2

的值是 _____ .

4

13.已知 tan

π 4

【答案】

a A 2

v A

r A

2

2

v A A 1

2

:4.

【解析】 a C

v C

2

r C v C

【分析】

由题意首先求得 tan 的值， 然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐 次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可

tan

tan

tan 1 tan

2

【详解】

tan 1 tan 1

3

tan

4

1 tan

得 3tan 2 5tan 2 0，

解得 tan

2 ，或 tan

1

点睛】 本题考查在三角形中平面向量的数量积运算， 渗透了直观想象、 逻辑推理和数学运

sin 2

sin 2 cos

4 cos2 sin

4

22

sin2

2 2sin cos cos 2 sin 2 cos2 =

22 2sin c s o in s 2 c c o o s s 2 sin

=

2 2tan 1 tan 2 =

2

2

tan 2 1

当 tan

2时，上

式

2 2 1 22 2

2 = ； 22 1

10

3.

1

21

33

1

3

分别考查函数 x 和函数 g x 图像的性质，考查临界条件确定 k 的取值范围即可 详解】当 x 0,2 时， f(x) 1 x 1 2,即 x 1 2 y 2 1,y 0.

又 f(x) 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为 4，如图，函数 f(x) 与 g(x) 的图象，要

使 f (x) g(x) 在(0,9］上有 8个实根，只需二者图象有 8个交点即可 .

当 g(x)

1

时，

当 g(x) k(x 2)时， g(x)的图象为恒过点( -2，0)的直线，只需函数 f (x)与 g(x)的图 象有 6个交点.当 f(x)与 g( x)图象相切时， 圆心(1，0)到直线 kx y 2k 0的距离为 1，

函数 f(x) 与 g(x) 的图象有 3个交点；当 g(x) k (x 2) 过点

解析】

分析】

综上， sin 2 2

.

4 10

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养 用分类讨论和转化与化归思想解题 .

.采取转化法，利

k(x 2),0 x 1

是奇函数 .当 x (0,2] 时， f (x) 1 (x 1)2 ， g(x)

1 ，其中 k>0. 若 ,1 x

2 2

14.设 f ( x), g ( x)是定义在 R 上的两个周期函数， f (x)的周期为 4，g(x)的周期为 2，且 f (x)

在区间 (0，9］上，关于 x 的方程 f(x) g(x)有 8个不同的实数根，

则 k 的取值范围

34

即

1，得k

2）因为

1

（1,1）时，函数 f （x ） 与 g （x ） 的图象有 6个交点，此时 1 3k ，得 k .

3

综上可知，满足 f （x ） g （x ）在（0,9］上有 8个实根的 k 的取值范围为 1

， 2

.

34

【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大 .不能正确画出

函数图象的交点而致误， 根据函数的周期性平移图象， 找出两个函数图象相切或相交的临界 交点个数，从而确定参数的取值范围 .

、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答．题．卡．指．定．区．域． 内作答，解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．

答案】（1） c 3；（2）2 5 .

35

解析】

分析】 （1）由题意结合余弦定理得到关于 c 的方程，解方程可得边长 c 的值； （2）由题意结合正弦定理和同角三角函数基本关系首先求得 cosB 的值，然后由诱导公式可得

详解】（ 1）因为 a 3c,b 2,cos B 2， 3

所以 c 3 . cosB= 2 ，求 c 的值；

2）若

sinA

cosB

，求 sin(B

2b

） 的值．

sin(B 2) 的值.

由余弦定理 cosB

222

a c

b 2

，得

2ac

(3c)2 c 2 ( 2) 2

2 3c c

，即 c 2

1）若 a=3c ，

3

sin A cosB

2b 2）因为

从而cos2B (2sin B)2，即cos2 B 2 2 4

4 1 cos B ，故cos2 B .

5

π

因此sin B

2

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力 .

16.如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中， D，E分别为 BC， AC的中点， AB=BC．

求证：（1）A1B1∥平面 DEC 1；

（2）BE⊥C1E．

【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析 .

【解析】

【分析】

（1）由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；

（2）由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可 .

【详解】（1）因为 D，E分别为 BC，AC 的中点，

由正弦定

理

a

sin A

b cos B

sin B，得2b

sin B

，所以cosB 2sinB .

b

因为sin B 0 ，所以cosB 2sin B 0，从而cos B

25

5

cosB 25

5

所以 ED∥ AB.

在直三棱柱 ABC-A1B1C1中， AB∥A1B1，所以 A1B1∥ ED .

又因为 ED? 平面 DEC1，A1B1 平面 DEC1，所以 A1B1∥平面 DEC 1.

（2）因为 AB=BC，E 为 AC的中点，所以 BE⊥AC.

因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE? 平面 ABC，所以

CC1 ⊥BE.

因为 C1C? 平面 A1ACC 1， AC? 平面 A1ACC1，C1C∩AC=C，

所以 BE⊥平面 A1ACC1.

因为 C1E? 平面 A1ACC1，所以 BE⊥ C1E.

【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知

识，考查空间想象能力和推理论证能力 .

22

xy

1（a b 0）的焦点为 F1（–1、0），17.如图，

在平面

直角坐标系 xOy 中，椭圆 C: 2 2 ab

2 2 2

F2（ 1， 0）．过 F2作 x轴的垂线 l，在 x轴的上方， l与圆 F2:（x 1）2 y2 4a2交于

点 A，与椭圆 C交于点 D.连结AF1并延长交圆 F2于点B，连结BF2交椭圆 C于点E，

连结 DF1．已

5知 DF 1=

2

1）求椭圆 C 的标准方程； 2）求点 E 的坐标．

22

答案】（1）

x

y

1 ；

43

2）E （ 1, 3） .

2

解析】 分析】

（2）解法一：由题意首先确定直线 AF 1的方程，联立直线方程与圆的方程， 确定点 B 的坐标， 联立直线 BF 2与椭圆的方程即可确定点 E 的坐标； 解法二：由题意利用几何关系确定点 E 的纵坐标，

然后代入椭圆方程可得点 E 的坐标 . 【详解】（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.

因为 F 1（－ 1，0），F 2（1，0），所以 F 1F 2=2， c=1.

5 2 2 又因为 DF 1= ，AF 2⊥x 轴，所以

DF 2= DF 12 F 1F 22 因此 2a=DF 1+DF

=4， 从而 a=2

由 b 2=a 2-c 2 ，得 b 2=3.

2 2

因此，椭圆 C 的标准方

x y

1 .

4 3

（2）解法一：

2 2

由（ 1）知，椭圆 x

y

1，

（1）由题意分别求得 a,b 的值即可确定椭圆方程；

4 3

因为 AF2⊥ x轴，所以点 A 的横坐标为 1.

将 x=1 代入圆 F 2的方程 (x-1) 2+y 2=16，解得 y=±4.

因为 BF 2=2a ， EF 1+EF 2=2a ，所以 EF 1=EB ，

因为点 A 在 x 轴上方，所以 y

2x 2

由

2

2

，得 5x 2 6x 11 0 ，

x 1

y 16

解得 x 1或 x

11

5.

11

12

将x

代入 y 2x 2 ，得

y

5

5 11 12 3 因此 B( 151, 152) .又 F 2(1，0)，所以直线 BF 2：y 43(x 1).

y 3(x 1)

4

由 2 2

，得 7x 2 6x 13 0 ，解得 x

xy 1或x

13

7

43

又因为 E 是线段 BF 2 与椭圆的交点，所以 x 1.

3

3

3

将x 1代入 y (x 1)，得 y

3.因此

E( 1, ).

4

2

2

解法二：

x 2

由( 1)知，椭圆 C ：

4 2

y 2

3

1.如图，连结 EF 1.

4).

A(1，

又 F 1(-1， 0)，所以直线 AF 1：y=2x+2.