材料力学孙训方习题答案
[习题2-2]一打入基地内的木桩如图所示,杆轴单位长度的摩擦力f=kx**2,试做木桩的后力图。
解:由题意可得:
33
233
110
,,3/()3/(/)l
l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====?
?1
有3
[习题2-3] 石砌桥墩的墩身高m l 10=,其横截面面尺寸如图所示。荷载kN F 1000=,材料的密度3
/35.2m kg =ρ,试求墩身底部横截面上的压应力。
解:墩身底面的轴力为:
g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图 )(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=????+?--=
墩身底面积:)(14.9)114.323(2
2
m A =?+?=
因为墩为轴向压缩构件,所以其底面上的正应力均匀分布。
MPa kPa m kN A N 34.071.33914.9942.31042
-≈-=-==
σ
[习题2-7] 图示圆锥形杆受轴向拉力作用,试求杆的伸长。
2-7图
解:取长度为dx 截离体(微元体)。则微元体的伸长量为:
)()(x EA Fdx l d =? ,??==?l l x A dx
E F dx x EA F l 00)
()(
l
x
r r r r =--121,22112
112d x l d d r x l r r r +-=+?-=, 22
11
222)(u d x l d d x A ?=??
? ??+-=ππ,dx l d d du d x l d d d 2)22(12112
-==+- du d d l dx 122-=,)()(22)(221212u
du
d d l du u d d l
x A dx -?-=?-=ππ
因此,
)()(2)()(2
02100
u du
d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
???
--===?π l
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0112
21021221)(21)(2??
????
?????
?+--=???
???-=ππ ????
?
?
???
???-+
--=21221)(2111
221d d l l d d d d E Fl π ???
???--=
122122)(2d d d d E Fl π2
14d Ed Fl π=
[习题2-10] 受轴向拉力F 作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该材料的弹性常数为ν,E ,试
求C 与D 两点间的距离改变量CD ?。
解:EA
F
E A
F νν
νεε-
=-=-=/'
式中,
δ
δδa a a A 4)()(2
2
=--+=,故:δ
ν
εEa F 4'
-
=
δνεEa F a a 4'-
==?, δ
νE F a a a 4'
-=-=? δ
νE F a a 4'-
=,a a a CD 12145)()(24
3
232=+= '12
145
)'()'(24
3
232''a a a D C =+= δ
ν
δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''?-=?-=-=
-=?
[习题2-11] 图示结构中,AB 为水平放置的刚性杆,杆1,2,3材料相同,其弹性模量
GPa E 210=,已知m l 1=,221100mm A A ==,23150mm A =,kN F 20=。试求C
点的水平位移和铅垂位移。
2-11图
受力图
变形协调图
解:(1)求各杆的轴力
以AB 杆为研究对象,其受力图如图所示。 因为AB 平衡,所以
0=∑X ,045cos 3
=o N
,03=N
由对称性可知,0=?CH ,)(10205.05.021kN F N N =?=== (2)求C 点的水平位移与铅垂位移。
A 点的铅垂位移:mm mm mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2111=??==
? B 点的铅垂位移: mm mm
mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2222=??==
? 1、2、3杆的变形协(谐)调的情况如图所示。由1、2、3杆的变形协(谐)调条件,并且考虑到AB 为刚性杆,可以得到
C 点的水平位移:)(476.045tan 1mm l o
BH AH CH =??=?=?=?
C 点的铅垂位移:)(476.01mm l C =?=?
[习题2-12] 图示实心圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接,在A 点作用有铅垂向下的力
kN F 35=。已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=,钢的弹性模量
GPa E 210=。试求A 点在铅垂方向的位移。
解:(1)求AB 、AC 杆的轴力
以节点A 为研究对象,其受力图如图所示。 由平衡条件得出:
0=∑X :045sin 30sin =-o AB o AC
N N
AB AC N N 2=………………………(a)
0=∑
Y :03545cos 30cos =-+o
AB o AC N N 7023=+AB AC N N ………………(b)
(a) (b)联立解得:
kN N N AB 117.181==;kN N N AC 621.252== (2)由变形能原理求A 点的铅垂方向的位移
222
211212221
EA l N EA l N F A +
=? )(12
22
2
1121EA l N EA l N F A +=?
式中,)(141445sin /10001mm l o ==;)(160030sin /8002mm l o
== 2
2
11131214.325.0mm A =??=;2
2
21771514.325.0mm A =??=
故:)(366.1)177
2100001600
25621113210000141418117(35000122mm A =??+??=
?
[习题2-13] 图示A 和B 两点之间原有水平方向的一根直径mm d 1=的钢丝,在钢丝的中点C 加一竖向荷载F 。已知钢丝产生的线应变为0035.0=ε,其材料的弹性模量
GPa E 210=,
钢丝的自重不计。试求:
(1)钢丝横截面上的应力(假设钢丝经过冷拉,在断裂前可认为符合胡克定律); (2)钢丝在C 点下降的距离?; (3)荷载F 的值。 解:(1)求钢丝横截面上的应力
)(7350035.0210000MPa E =?==εσ
(2)求钢丝在C 点下降的距离?
)(72100002000
735mm E l EA Nl l =?=?==
?σ。其中,AC 和BC 各mm 5.3。 996512207.05
.10031000
cos ==α
o 7867339.4)5
.10031000
arccos(==α
)(7.837867339
.4tan 1000mm o
==?
(3)求荷载F 的值
以C 结点为研究对象,由其平稀衡条件可得:
0=∑Y :0sin 2=-P a N
ασsin 2sin 2A a N P ==
)(239.96787.4sin 114.325.0735202N =?????=
[习题2-15]水平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED 支撑,如图,在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截面积分别为A1=12平方毫米,A2=6平方毫米,A,3=9平方毫米,杆的弹性模量E=210Gpa ,求:
(1) 端点A 的水平和铅垂位移。 (2) 应用功能原理求端点A 的铅垂位移。 解:(1)
3
3
233
110
3123111171196
1222,3/()3/(/)cos 450sin 4500.450.150
60,401,0,60100.15 3.87210101210401l
l
N N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====?=?
-+-+=??-?+?=?
∴=-=-=-???===?????==??1有3
由胡克定理,
796x 2y 2100.15 4.76
2101012104.762320.23A l A l l -?=????=?=?=??+??=↓从而得,,()
(2)
y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=??-????=?=↓()
[习题2-17] 简单桁架及其受力如图所示,水平杆BC 的长度l 保持不变,斜杆AB 的长度可随夹角θ的变化而改变。两杆由同一种材料制造,且材料的许用拉应力和许用压应力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力,且结构的总重量为最小时,试求: (1)两杆的夹角;
(2)两杆横截面面积的比值。 解:(1)求轴力
取节点B 为研究对象,由其平衡条件得:
∑=0Y
0sin =-F N AB θ θ
sin F
N AB =
∑=0X
0cos =--BC AB N N θ θθθ
θcot cos sin cos F F
N N AB BC =?=-= 2-17 (2)求工作应力 θσsin AB AB AB AB A F
A N ==
BC
BC BC BC A F A N θ
σcot ==
(3)求杆系的总重量
)(BC BC AB AB l A l A V W +=?=γγ 。γ是重力密度(简称重度,单位:3
/m kN )。
)cos (l A l
A BC AB
+=θ
γ )cos 1
(BC AB A A l +?=θ
γ
(4)代入题设条件求两杆的夹角 条件①: ][sin σθσ===
AB AB AB AB A F A N ,θ
σsin ][F
A A
B = ][cot σθσ===
BC BC BC BC A F A N , ]
[cot σθ
F A BC = 条件⑵:W 的总重量为最小。 )cos 1(BC AB A A l W +?=θγ)cos 1
(BC AB A A l +?=θ
γ )][cot cos 1sin ][(
σθθθσγF F l +??=)sin cos cos sin 1(][θ
θ
θθσγ+=Fl
[]???? ??+=θθθσγcos sin cos 12Fl []???
? ??+=θθσγ2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知,W 是θ角的一元函数。当W 的一阶导数等于零时,W 取得
最小值。
[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=???
? ???+-?-=θθθθθθσγθFl d dW 022cos 2
2cos 32sin 2=??+-
-θθ
θ 02cos 2cos 32sin 22=---θθθ
12cos 3-=θ ,3333.02cos -=θ
o 47.109)3333.0arccos(2=-=θ,'445474.54o o ==θ
(5)求两杆横截面面积的比值 θσsin ][F A AB =
,]
[cot σθ
F A BC =
θθθσθθ
σcos 1cot sin 1]
[cot sin ][=
==F F
A A BC
AB
因为: 12cos 3-=θ,311cos 22
-=-θ,3
1cos 2=θ
3
1cos =
θ,
3cos 1
=θ
所以:
3=BC
AB
A A
[习题2-18] 一桁架如图所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa 170][=σ,试选择AC 和CD 的角钢型号。
解:(1)求支座反力 由对称性可知, )(220↑==kN R R B A (2)求AC 杆和CD 杆的轴力 以A 节点为研究对象,由其平 衡条件得:
0=∑Y 2-18
0cos =-αAC A N R )(667.3665
/3220
sin kN R N A AC ===
α 以C 节点为研究对象,由其平衡条件得:
0=∑X
0cos =-αAC CD N N )(333.2935/45
/3220
cos kN N N AC CD =?=
=α (3)由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AC 杆:
2
22
569.2186.2156/170366667][cm mm mm
N N N A AC AC ===≥
σ 选用2∟780?(面积2
72.2186.102cm =?)。 CD 杆: 2
22
255.17488.1725/170293333][cm mm mm
N N N A CD CD ===≥
σ 选用2∟675?(面积2
594.17797.82cm =?)。
[习题2-19] 一结构受力如图所示,杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力MPa 170][=σ,材料的弹性模量
GPa E 210=,杆AC 及EG 可视为刚性的。试选择
各杆的角钢型号,并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?。 解:(1)求各杆的轴力 )(24030042
.3kN N AB =?= )(603004
8.0kN N CD =?=
0=∑F
M
02.1605.13003=?-?-?GH N 2-19
)(174)72450(3
1
kN N GH =+=
0=∑Y
030060174=--+EF N
)(186kN N EF =
(2)由强度条件确定AC 、CD 杆的角钢型号 AB 杆:
2
22
12.14765.1411/170240000][cm mm mm
N N N A AB AB ===≥
σ 选用2∟55690??(面积2
424.14212.72cm =?)。 CD 杆: 2
22
529.3941.352/17060000][cm mm mm
N N N A CD CD ===≥
σ 选用2∟32540??(面积2
78.389.12cm =?)。
EF 杆:
2
22
412.10118.1094/170186000][cm mm mm
N N N A EF EF ===≥
σ 选用2∟54570??(面积2
218.11609.52cm =?)。 GH 杆: 2
22
353.10529.1023/170174000][cm mm mm
N N N A GH GH ===≥
σ 选用2∟54570??(面积2
218.11609.52cm =?)。 (3)求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ? )(7.2694.24.14422100003400
240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=??==
?
)(907.03782100001200
60000mm EA l N l CD CD CD CD =??==
?
)(580.18.11212100002000
186000mm EA l N l EF EF EF EF =??==
?
)(477.18
.11212100002000
174000mm EA l N l GH GH GH GH =??==
?
EG 杆的变形协调图如图所示。
3
8
.1=
--?GH EF GH D l l l
38
.1477.1580.1477.1=
--?D )(54.1mm D =?
)(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+?=?
)(7.2mm l AB A ==?
[习题2-21] (1)刚性梁AB 用两根钢杆AC 、BD 悬挂着,其受力如图所示。已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251=和mm d 182=,钢的许用应力MPa 170][=σ,弹性模量
GPa E 210=。试校核钢杆的强度,并计算钢杆的变形AC l ?、BD l ?及A 、B 两点的竖向位
移A ?、B ?。
解:(1)校核钢杆的强度
① 求轴力 )(667.661005.43
kN N AC =?=
)(333.331005
.45.1kN N BC
=?= ② 计算工作应力 2
22514.325.066667mm N
A N AC AC AC ??==
σ MPa 882.135=
2
21814.325.033333mm
N
A N BD BD BD ??==
σ 2-21 MPa 057.131=
③ 因为以上二杆的工作应力均未超过许用应力170MPa ,即][σσ≤AC ;
][σσ≤BD ,所以AC 及BD 杆的强度足够,不会发生破坏。
(2)计算AC l ?、BD l ?
)(618.1625.4902100002500
66667mm EA l N l AC AC AC AC =??==
?
)(560.134
.2542100002500
33333mm EA l N l BD BD BD BD =??==
?
(3)计算A 、B 两点的竖向位移A ?、B ?
)(618.1mm l AC A =?=?,)(560.1mm l BD B =?=?
[习题3-2] 实心圆轴的直径mm d 100=,长m l 1=,其两端所受外力偶矩m kN M e ?=14,材料的切变模量GPa G 80=。试求: (1)最大切应力及两端面间的相对转角;
(2)图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向; (3)C 点处的切应变。
解:(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角 p
e p W M W T
==
max τ。 式中,)(19634910014159.316
1
161333mm d W p =??==
π。 3-2 故:MPa mm
mm
N W M p e 302.7119634910143
6max =??==τ p
GI l
T ?=
?,式中,)(981746910014159.3321321444mm d I p =??==π。故:
o p rad m
m N m
m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004
1229==?????=?=
-? (2)求图示截面上A 、B 、C 三点处切应力的数值及方向
MPa B A 302.71max ===τττ, 由横截面上切应力分布规律可知:
MPa B C 66.35302.715.02
1
=?==ττ, A 、B 、C 三点的切应力方向如图所示。
(3)计算C 点处的切应变
343
10446.0104575.4108066.35--?≈?=?=
=
MPa
MPa
G
C
C τγ [习题3-3] 空心钢轴的外径mm
D 100=,内径mm d 50=。已知间距为m l 7.2=的两横截面的相对扭转角o
8.1=?,材料的切变模量GPa G 80=。试求: (1)轴内的最大切应力;
(2)当轴以min /80r n =的速度旋转时,轴所传递的功率。 解;(1)计算轴内的最大切应力
)(9203877)5.01(10014159.3321
)1(32144444mm D I p =-???=-=
απ。 )(184078)5.01(10014159.3161
)1(16134343mm D W p =-???=-=απ
式中,D d /=α。
p
GI l
T ?=
?, mm
mm mm N l
GI T p
27009203877/80000180/14159.38.142???=
=
?
mm N ?=45.8563014)(563.8m kN ?=
MPa mm
mm N W T p 518.4618407845.85630143max =?==
τ (2)当轴以min /80r n =的速度旋转时,轴所传递的功率 )(563.880
549.9549
.9m kN N
n N M T k k e ?=?=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =?=
[习题3-5] 图示绞车由两人同时操作,若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F 均为,已知轴材料的许用切应力MPa 40][=τ,试求: (1)AB 轴的直径;
(2)绞车所能吊起的最大重量。 解:(1)计算AB 轴的直径
AB 轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶 矩相等:
)(08.04.02.0m kN M M e e ?=?==右左 )(16.02m kN M M e e ?==右主动轮
扭矩图如图所示。 3-5 由AB 轴的强度条件得: ][163
max τπτ≤==
d
M W M e p e 右
右 mm mm
N mm
N M d e 7.21/4014159.38000016][1632
3
=???=≥τπ右 (2)计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等:
35
.02
.0从动轮主动轮
e e M M =
,)(28.016.020
.035
.0m kN M e ?=?=
从动轮 由卷扬机转筒的平衡条件得:
从动轮e M P =?25.0,28.025.0=?P )(12.125.0/28.0kN P ==
[习题3-6] 已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径mm D 60=,内径mm d 50=,功率
kW P 355.7=,转速min /180r n =,钻杆入土深度m l 40=,钻杆材料的GMPa G 80=,
许用切应力MPa 40][=τ。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的,试求: (1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ;
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核; (3)两端截面的相对扭转角。
解:(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m
)(390.0180
355
.7549.9549
.9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴,则:
0=∑x
M
,e M ml =,
)/(00975.040
390
.0m kN l M m e ===
(2)作钻杆的扭矩图,并进行强度校核 ①作钻杆扭矩图
x x mx x T 00975.040
39
.0)(-=-
=-=。]40,0[∈x 0)0(=T ; )(390.0)40(m kN M T e ?-==
扭矩图如图所示。 ②强度校核,p
e
W M =max τ 式中,)(21958])60
50
(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p =-???=-=
απ MPa mm mm N W M p e 761.17219583900003
max =?==
τ 因为MPa 761.17max =τ,MPa 40][=τ,即][max ττ≤,所以轴的强度足够,不会发生破坏。
(3)计算两端截面的相对扭转角
?
=40
)(p
GI dx
x T ? 式中,)(658752])60
50
(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p =-???=-=
απ 40
240
4
122640
]2
[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p
p ?
?
-???==
=? 0
5.8)(148.0≈=rad
[习题3-8] 直径mm d 50=的等直圆杆,在自由端截面上
承受外力偶m kN M e ?=6,而在圆杆表面上的A 点将移动到A 1点,如图所示。已知
mm AA s 31==??
,圆杆材料的弹性模量GPa E 210=,试求泊松比ν(提示:各向同性
材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在如下关系:)
1(2ν+=
E
G 。
解:整根轴的扭矩均等于外力偶矩:m kN M T e ?==6。设1,O O 两截面之间的相对对转角为
?,则2d s ?
=??,d
s
??=2?,d s GI l T P ?=?=2? 式 中,)(6135925014159.332
1
321444mm d I p =??==
π 3-8
GPa MPa mm
mm mm mm mm N s I d l T G p 4874.81372.814873613592250100010624
6==??????=???= 由)1(2ν+=
E G 得:289.014874
.812210
12=-?=-=G E ν
[习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴,一为空心圆轴,一为实心圆轴,两者
的材料相同,受力情况也一样。实心轴直径为d ;空心轴的外径为D ,内径为d 0,且
8.00
=D
d 。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力(][max ττ=),扭矩T 相等时的重量比和刚度比。
解:(1)求空心圆轴的最大切应力,并求D 。
p
W T
=
max τ 式中,)1(16
1
43απ-=
D W p ,故: ][1.27)8.01(163
43max,τππτ==-=
D
T
D T 空 ]
[1.273τπT
D =
3-10
(1)求实心圆轴的最大切应力
p
W T
=
max τ,式中,3161d W p π= ,故:][161633max,τππτ===d T d T 实
][163τπT d =
,69375.116][][1.27)(3=?=
T T d D τπτπ,192.1=d
D (3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比
512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.0222
22
2
02=?==-=????-=d D d D l d l d D W W γ
πγπ实空 (4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比
44401845.0)8.01(321D D I p ππ=-=
空,4403125.032
1
d d I p ππ==实 192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.0444
4=?===d D d
D GI GI p p ππ实
空
[习题3-11] 全长为l ,两端面直径分别为21,d d 的圆台形杆,在两端各承受一外力偶矩e M ,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。
解:如图所示,取微元体dx ,则其两端面之间的扭转角为:
P
e GI dx
M d =
? 式中,432
1
d I p π=
l
x
r r r r =--121
2
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+?-=
11
22d x l
d d r d +-=
= 4411
24)(
u d x l
d d d =+-=
dx l
d d du 12-=
,du d d l
dx 12-=
故
:
?????
-=-?===
=l e l
e l
e
l
p e
l p
e u du d d G l M du d d l
u G
M d dx G
M I dx G M GI dx M 0412********)(3213232πππ? l
e l e l e d x l d d d d G l M u d d G l M u du d d G l M 0
311212*********)(332]31[)(32)(32???
??
??
?????????? ??+---=--=-=?πππ =???
? ??++=???? ??-?-=????
??-?--32312
221213231323121313212332)(33211)(332d d d d d d G l M d d d d d d G l M d d d d G l M e e e πππ [习题3-12] 已知实心圆轴的转速min /300r n =,传递的功率kW p 330=,轴材料的许用切应力MPa 60][=τ,切变模量GPa G 80=。若要求在2m 长度的相对扭转角不超过o
1,试求该轴的直径。 解:180
1π??
≤=?=
p e P GI l M GI l T 式中,)(504.10300330549.9549
.9m kN n N M k e ?=?==;432
1
d I p π=。故: G l M I
e p π180≥
,G
l M d e ππ180321
4≥?
mm mm
N mm mm N G l M d e 292.111/8000014.3200010504.10180321803242
2642=??????=?≥π 取mm d 3.111=。
[习题3-16] 一端固定的圆截面杆AB ,承受集度为m 的均布外力偶作用,如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G 。
解:G d dx
x m d G dx x m GI dx
x T dV p
4
224
2221632
122)(ππε=??==
p l GI l m G d l m G
d l m dx x G d m V 632
16316163
243243
20242=?===?πππε 3-16
[习题3-18] 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F 如图,簧丝直径mm d 10=,材料的许用切应力MPa 500][=τ,切变模量为G ,弹簧的有效圈数为n 。试求:
(1)弹簧的许可切应力;
(2)证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=
?。 解:(1)求弹簧的许可应力
用截面法,以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离
体。由平衡条件可知,在簧杆横截面上:
剪力F Q =扭矩FR T =
最大扭矩:2max FR T =
][)41(1616423
2322max "'max τπππτττ≤+=+=+=
+=R d d FR d FR d F W T A Q p , N mm
mm
mm mm N mm R d R d F 3.957)
1004101(10016/5001014.3)41(16]
[][2
33223=?+???=+=τπ