七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线
专题24 相交线与平行线
阅读与思考
在同一平面内,两条不同直线有两种位置关系:相交或平行.
当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交,就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础,把握对顶角有公共顶点,而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上,这是识图的关键. 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据. 1.平行线的判定
(1)同位角相等、内错角相等,或同旁内角互补,两直线平行; (2)平行于同一直线的两条直线平行;
(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行. 2.平行线的性质
(1)过直线外一点,有且只有一条直线和这条直线平行; (2)两直线平行,同位角相等、内错角相等、同旁内角互补;
(3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形:
例题与求解
【例1】 (1) 如图①,AB ∥DE ,∠ABC =0
80,∠CDE =0
140,则∠BCD =__________.
(安徽省中考试题)
(2) 如图②,已知直线AB ∥CD ,∠C =0
115,∠A =0
25,则∠E =___________.
(浙江省杭州市中考试题)
图②
A
解题思路:作平行线,运用内错角、同旁内角的特征进行求解.
【例2】如图,平行直线AB ,CD 与相交直线EF ,GH 相交,图中的同旁内角共有( ). A .4对 B .8对 C .12对 D .16对
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图进行分解入手.
C
D
B
例2题图 例3题图
【例3】 如图,在△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F ,AC //ED ,CE 是∠ACB 的平分线,求证:∠EDF =∠BDF .
(天津市竞赛试题)
解题思路:综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质,由于图形复杂,因此,证明前注意分解图形.
【例4】 如图,已知AB ∥CD ,∠EAF =
41∠EAB ,∠FCF =41∠ECD .求证:∠AFC =4
3
∠AEC . (湖北省武汉市竞赛试题)
D
E
C A
B 图1
解题思路:分别过点E ,F 作平行线,利用平行线的性质找角之间的关系.
A
D
例4题图 例5题图
【例5】如图,已知∠1= ∠2,∠C =∠D ,求证:∠A =∠F .
解题思路:从角出发,导出两直线的位置关系,再推出新的角的关系,新的两直线的位置关系,是解这类问题的基本思路.
【例6】(1)已知平面内有4条直线a ,b ,c 和d ,直线a ,b 和c 相交于一点,直线b ,c 和d 也相交于一点,试确定这4条直线共有多少个交点?并说明你的理由.
(2)作第5条直线e 与(1)中的直线d 平行. 说明:以这5条直线的交点为端点的线段有多少条?
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:(1)先设直线a ,b ,c 的交点为P ,直线b ,c ,d 的交点为Q ,证得P 与Q 实为同一点,得出结论.
(2)绘出图形,帮助解答,注意平行线的性质.
F
A B
C
1 D
E 2
能力训练
A 级
1.在同一平面内有1a ,2a ,3a …,10a 十条直线,如果1a //2a ,2a ⊥3a ,3a //4a ,4a ⊥5a ,
5a //6a ,6a ⊥7a ,…,那么1a 与10a 的位置关系是____________.
2.如图,已知AE ∥BD ,∠1=0
130,∠2=0
30,则∠C =__________.
(湖南省常德市中考试题)
3.如图,直线a ,b 都与直线c 相交,下列命题中,能判断a ∥b 的条件是_____________(把你认为正确的序号填在横线上)
①∠1=∠2; ②∠3=∠6; ③∠1=∠8;④∠5+∠8=0
180.
(陕西省中考试题)
第4题图
第3题图
第2题图
A E
a
4. 将两张矩形纸片如图所示摆放,使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一边上,则∠1+∠2__________.
(山东省烟台市中考试题)
5.下面四个命题中正确的是( ).
A .相等的两个角是对顶角
B .和等于0
180的两个角互为邻补角 C .连结两点的最短线是过这两点的直线
D .两条直线相交所成的四个角都相等,则这两条直线互相垂直
(“希望杯”邀请赛试题)
6.下列命题
①两条相交直线组成的四个角相等,则这两直线垂直.
②两条相交直线组成的四个角中,若有一个直角,则四角都相等. ③两条直线相交,一角的两邻补角相等,则这两直线垂直. ④两条直线相交,一角与其邻补角相等,则这两直线垂直. 其中正确的有( ).
A .4个
B .3个
C .2个
D .1个
7.如图,DH ∥EG ∥BC ,且DC ∥EF ,那么图中与∠BFE 相等的角(不包括∠BFE )的个数是( ). A.2 B .4 C .5 D .6
(山东省菏泽地区中考试题)
8.如图,AB ∥CD ∥EF ∥GH ,AE ∥DG ,点C 在AE 上,点F 在DG 上,设与∠ɑ相等的角的个数为
m (不包括∠a 本身),与∠β互补的角的个数为n .若a ≠β,则m +n 的值是( ).
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
第8题图
第7题图
G B
H
9.如图,已知AB ∥ED ,∠NCB =0
30,CM 平分∠BCE ,CN ⊥CM ,求∠B 的度数.
10.如图,已知E 是AB ,CD 外一点,∠D =∠B +∠E ,求证:AB ∥CD .
A
E
N
11.平面上有10条直线,无任何3条交于一点,要使它们出现31个交点,怎样安排才能办到?
(吉林省竞赛试题)
A
B
C
12.如图,已知CD ∥EF ,∠1+∠2=∠ABC ,求证:
AB //GF .
(重庆市竞赛试题)
B级
1. 如图,∠A=0
60,∠1=∠2,则∠ADC的度数是___________.
2.如图,直线a∥b,那么x
的度数是____________.
(五城市联赛试题)
第1题图第2题图
第3题图
C'
B
A
B
D
3.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,
C分别落在D',C'的位置,若∠EFB=0
65,则∠AED'=__________.
(山东省中考试题)4.如图,已知DE∥BC,∠
2=0
70,∠1=0
40,那∠EBA的度数是_____________.
B
D l
第4题图第5题图
5. 如图,直线k∥l,∠4-∠3=∠3-∠2=∠2一∠3=d>0.其中∠3<0
90,∠1=0
50,则∠4最大可能的整数值是( ).
A. 1070 B.1080
C.1090 D.1100
6. 如图,AB∥CD∥EF,EH⊥CD于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于( ).
A.1800 B.2700
C.3600 D.4500
(北京市竞赛试题) 7.如图,两直线AB,CD平行,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ( ).
A.6300 B. 7200
C.8000 D. 9000
(“希望杯”邀请赛试题)
C
D
第6题图第7题图
8.两条直线a,b互相平行,直线a上顺次有10个点A1,A2…,A10,直线b上顺次有9个点B1,B2,…,B3,将a上每一个点与b上每一个点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点,则这些线段的交点个数是( )
A. 90
B.1620
C.6480
D.2006
9.如图,已知两条平行线AB,CD被直线EF所截,交点分别为G,H
,P为HD上任意一点,过P点的直线交HF于O点,求证:∠HOP=∠AGF-∠HPO.
C D
10.如图,在△ABC 中,AB =7,AC =11,点M 是BC 的中点,AD 是∠BAC 的平分线,MF ∥AD .求FC 的长.
(2013年“《数学周报》”杯竞赛试题)
D
M
B
C
11.平面上有七条两两不平行的直线,试证:其中必有直线的交角小于260
.
(莫斯科八年级竞赛试题)
12.⑴如图①,MA 1∥NA 2,则∠A 1+∠A 2=_________.
如图②,MA 1∥NA 3,则∠A 1+∠A 2+∠A 3=_________. 如图③,MA 1∥NA 4,则∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4=_________. 如图④,MA 1∥NA 5,则∠A 1+∠A 2+∠A 3+∠A 4+∠A 5=_________.
从上述结论中你发现了什么规律?请在图②,图③,图④中选一个证明你的结论. (2)如图5,n NA ||MA 1,则=∠++∠+∠+∠n A A A A 321 .
(3)利用上述结论解决问题:如图已知CD ||AB ,AB E ∠和CDE ∠的平分线相交于F ,
140E =∠,求B FD ∠的度数.
A 6
A n
A 5
A 4
A 2 A 1 M
N
A 2
(第21题)
A 1
M
N
A 3
A 2 A 1
M
N
A 3
A 4
A 2 A 1
M
N
A 3 A 5
A 4 A 2 A 1
M
N
A 3 图①
图②
图③ 图④
图⑤
F
E
B
A
C
D
图⑥
专题24 相交线与平行线
例1 (1)40° 过点 C 作CF ∥AB ,则∠BCF =∠ABC =80°.∠DCF =180°—140°=40°,∴∠BCD =80°-40°=40°.
(2)90° 过点E 作EM ∥AB ,∴AB ∥CD ,∴EM ∥CD ,∠AEM =180°—25°=155°. ∠CEM =180°—115°=65°,∴∠E =∠AE —∠CEM =155°-65°=90°. 例2 D 提示:原图可分解为8个基本图形.
例3 提示:由DF ∥CE 得,∠BDF =∠BCE ,∠FDE =∠DEC ,AC ∥DE ,得∠DEC =∠ECA . 例4 过E 作EM ∥AB .∴AB ∥于CD ,∴EM ∥CD .
∴∠AEC =∠AEM +∠CEM =∠EAB +∠ECD .同理:∠AFC =∠FAB +∠FCD .∴∠AEC =∠FAB +∠FCD +∠EAF +∠
ECF =∠AFC +?∠EAB +14+∠ECD =∠AFC +?∠AEC .故∠AFC =?∠AEC .
例5 提示:先证BD ∥CE ,再证DF ∥BC .
例6 (1)直线a ,b ,c ,d 共有1个交点,理由如下:设直线a ,
b ,
c 的交点为P ,直线b ,c ,
d 的交点为Q .这意味着点P 和点Q
都是直线b 和c 的交点.而两条不同直线至多有一个交点.因此P 和Q 必为同一个点.即4条直线a ,b ,c 和d 相交于同一个点.因此这4条直线只有一个交点.
(2)不妨设(1)中交点为O .因为作的第5条直线e 与(1)中的直线d 平行,所以直线e 和直线d 没有公共点,因此这些e 不过点O .而直线a ,b ,c 与直线e 必然都相交. 如图所示.
设直线e 与直线a ,b ,c 分别相交于点A ,B ,C .这时有A ,B ,C ,O 共四个不同的点.可以连出OA ,
OB ,OC ,AB ,AC ,BC 共6条不同的线段.
A 级
1. 1a //10a
2.20°
3.①②③④
4.90°
5.D
6.B
7.C
8.D
提示:m =5,n =6,m +n =5+6=11. 9.60° 10.提示:过点E 作EF ∥AB . 11如图所示.
12.作CK ∥FG ,延长GF ,CD 交于H 点,则∠1+∠2=∠ABC ,故∠ABC +∠BCK =180°,即CK ∥AB ,AB ∥GF .
B级
1.120°
2.72°
3.50°
4.30°
5.C 提示:∠2=50°+d,∠3=50°+2d,∠4=50°+3d,又∵∠3=50°+2d<90°,∴d<20°,∠4=50°+3d<110°.故∠4的最大整数值为109°.
6.B
7.D
8.B 提示:由题意知每一个交点由a上两点和b上两点所确定.在a上
取两点有种情况,在b上取两点有种情
况,故交点个数为45*36=1620个.
9.提示:过点O作CD的平行线.
10.如图,设N是AC的中点,连接MN,则MN∥AB.
又MF∥AD,∴∠FMN=∠BAD=∠DAC=∠MFN.
∴FN=MN=?AB.
因此FC=FN+NC=?AB+12AC=?(AB+AC)=?(7+11)=9.
11.提示:在平面上任取一点O,将已知的七条直线平移过点O,它们把以O为圆心的圆周角分成14
个彼此相邻的角a?,a?,……,。其中的每一个都和原来某两条直线交角中的一个相等,假设
12.(1)180° 360° 540° 720° 证明略.(2)(n-1)180°
(3)过F作FG∥AB,则AB∥FG∥CD.
则∠BFD=?(∠ABE+∠CDE),又∠ABE+∠CDE+∠E=360°,得∠ABE+∠CDE=220°,故∠BFD=110°
2017七年级,下册数学期末试卷
E D A 2017七年级下册数学期末模拟试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的.) 1、下面四个图形中,∠1与∠2为对顶角的图形是() A、B、C、D、 2、调查下面问题,应该进行抽样调查的是() A、调查我省中小学生的视力近视情况 B、调查某校七(2)班同学的体重情况 C、调查某校七(5)班同学期中考试数学成绩情况 D、调查某中学全体教师家庭的收入情况 3、点3 (- P,)2位于() A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 4、如图是某机器零件的设计图纸, 在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸, 正确的是( ) A、 B、 C、 D、 5、下列命题中,是假命题的是() A、同旁内角互补 B、对顶角相等 C、直角的补角仍然是直角 D、两点之间,线段最短 6、下列各式是二元一次方程的是() A.0 3= + -z y x B. 0 3= + -x y xy C. 0 3 2 2 1 = -y x D. 0 1 2 = - +y x 7、某班共有学生49人.一天,该班某男生因事请假,当天的男生人数恰为女生人数的一半. 若设该班男生人数为x,女生人数为y,则下列方程组中,能正确计算出x,y的是(). A、 ? ? ?x–y= 49 y=2(x+1)B、?? ?x+y= 49 y=2(x+1)C、?? ?x–y= 49 y=2(x–1)D、?? ?x+y= 49 y=2(x–1) 8、某次知识竞赛共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分.小明得分要超过120分,他至少要答对多 少道题?如果设小明答对x道题,则他答错或不答的题数为20-x. 根据题意得:() A、10x-5(20-x)≥120 B、10x-5(20-x)≤120 C、10x-5(20-x)> 120 D、10x-5(20-x)<120 二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)请把下列各题的正确答案填写在答案卷上. 9、电影票上“6排3号”,记作(6,3),则8排6号记作__________ . 10、 ? ? ? = - = + = 9 6 2 _________ y x y ax a时,方程组 ? ? ? - = = 1 8 y x 的解为. 11、如图,直线a、b被直线c所截,若要a∥b,需增加条件(填一个即可). 12、为了了解某所初级中学学生对2008年6月1日起实施的“限塑令”是否知道,从该校全体学生1200 名中,随机抽查了80名学生,结果显示有2名学生“不知道”.由此,估计该校全体学生中对“限塑令”约 有名学生“不知道”. 13、甲地离学校4km,乙地离学校1km,记甲乙两地之间的距离为km d,则d的取值范围为. 三、解答题(本大题共5小题,每小题7分,共35分) 14、解方程组 1 528 y x x y =- ? ? += ? . 15、解不等式 1 32 2 x x - ≥+,并把它的解集在数轴上表示出来. 16、将一副直角三角尺如图放置,已知∠EAD=∠E=450,∠C=300, AE BC ∥,求AFD ∠的度数. 17、已知等腰三角形的周长是14cm.若其中一边长为4cm,求另外两边长. 9.9 10.1 9.9 10.1 L=10±0.1
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人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 (10)二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1. 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种: ① 当2 12121c c b b a a ==时,方程组有无数多解。(∵两个方程等效) ② 当2 12121c c b b a a ≠=时,方程组无解。(∵两个方程是矛盾的) ③ 当 2121b b a a ≠(即a 1b 2-a 2b 1≠0)时,方程组有唯一的解: ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x (这个解可用加减消元法求得) 2. 方程的个数少于未知数的个数时,一般是不定解,即有无数多解,若要求整数解,可按二元一次方程整数解的求法进行。 3. 求方程组中的待定系数的取值,一般是求出方程组的解(把待定系数当己知数),再解含待定系数的不等式或加以讨论。(见例2、3) 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解, ②无解, ③有唯一的解 解: ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时,方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a =1∶2≠7∶c 时,方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时,方程组有唯一的解, 即当a ≠10时,c 不论取什么值,原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时,方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数? 解:把a 作为已知数,解这个方程组
七年级数学竞赛题
第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛 初一 第1试 2011年4月25日 下午4:00至5:00 得分_______________ 一、选择题(每小题4分,共40分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将正确 1、若a 的负倒数的相反数是8,b 的相反数的负倒数也是8,则( ) A 、a=b B 、ab D 、ab=1 2、两个直角三角形如图1放置,则∠BFE 与∠CAF 的度数之比等于( ) A 、8 B 、9 C 、10 D 、11 3、对有理数a ,b ,有以下四个判断: ①若|a|=b ,则a=b ; ②若|a|>b ,则|a|>|b|; ③若b a -=,则()b a 2 =-;④若|a|<|b|,则a+-,then ( ) A 、2 b ) c a (b >+ B 、)c a (b )c a (2 +>+ C 、 b 1 c a 1<+ D 、55b )c a (>+ 10、甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A 到B ,甲需要30分钟,乙需要40分钟,如果乙比甲早出发6分钟,则甲追上乙以后,乙再经过( )分钟到达B ; A 、25 B 、20 C 、16 D 、10 二、A 组填空题(每小题4分,共40分) 11、计算:=-÷-+-?÷-?---])2()5()8 3 (3[})2(])25.0(163[ 1{342 ; 12、若a=2009,b=2010-,则=++ab 3b 2a 2 2 ; 30° 45° A B C D E F 图1
(新)浙教版七年级下册数学基础竞赛试卷(最新整理)
武康中学七(下)第一次数学基础知识竞赛 班级 姓名 学号 一、选一选(每小题 4 分,共 32 分) 1.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( ) (A ) x (a - b ) = ax - bx (B ) ax + bx + c = x (a + b ) + c (C ) x 2 - 2x +1 = (x -1)2 (D ) x 2 -1+ y 2 = (x -1)(x +1) + y 2 2. 已知某种植物花粉的直径为 0.00035 米,用科学记数法表示 该种花粉的直径是( ) (A )3.5×10 4 米 (B )3.5×10 -4 米 (C )3.5×10 -5 米 (D )3.5×10 -6 米 3. 如图,由△ABC 平移得到的三角形有几个 ( ) (A )3 (B )5 (C )7 (D )15 4.小马虎在下面的计算中做对的题目是( ) (A ) a 7 + a 6 = a 13 (B ) a 7 ? a 6 = a 42 (C ) (a 7 )6 = a 42 (D ) a 7 ÷ a 6 = 7 6 5. 下列图形中,∠1 与∠2 不是同位角的是( ) ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 1
7.方程组? 6. 下列多项式中,不能运用平方差公式因式分解的是( ) (A ) -m 2 + 4 (B ) -x 2 - y 2 ( C ) x 2 y 2 -1 (D ) (m - a )2 - (m + a ) 2 ?2x - y = 3 ? 4x + 3y = 1 的解是( ) (A ) ??x = 1 (B ) ??x = -1 (C ) ??x = 2 (D ) ?x = -2 ? y = -7 ? y = -1 ? y = -1 ? y = 1 8. 古代有这样一个寓言故事:驴子和骡子一同走,它们驮着不 同袋数的货物,每袋货物都是一样重的。驴子抱怨负担太重, 骡子说:“你抱怨干嘛,如果你给我一袋,那我所负担的就是你的两倍;如果我给你一袋,我们才恰好驮的一样多!” 那么驴子原来所驮货物的袋数是( ) (A )5 (B )6 (C )7 (D )8 二、填一填(每小题 4 分,共 28 分) 9. 当 x = 时,分式 3x - 9 的值为零. x - 2 10. 如图,请添一个使 EB//AC 的条件 。 11.分解因式:16a 2 - 9b 2 = . 12.计算: (- 1)0 ? 3-2 = . 3 13. 如图,直线 AB ,CD 被 EF 所截,且 AB ∥ CD , 如 果 ∠ 1=125° , 那 么 ∠ 2= . 14. 若 非 零 实 数 a , b 满 足 2 a 2 - ab + 1 b 2 = 0 , 则 b 4 a =
最新沪科版七年级数学培优竞赛训练一
培优竞赛训练一 1. 有理数a ,b ,c 在数轴上对应点位置如图所示,用“>”或“<”填空: (1)|a |______|b |; (2)a +b +c ______0: (3)a -b +c ______0; (4)a +c ______b ; (5)c -b ______a . 2. 已知321===c b a ,,,且c b a >>,那么c b a -+= . 3. 已知d c b a 、、、是有理数,169≤-≤-d c b a ,,且25=+--d c b a , 那么=---c d a b . 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ,则=+2 2y x . 5. a 与b 互为相反数,且54=-b a ,那么1 2+++-ab a b ab a = . 6. 设0=++c b a ,0>abc ,则c b a b a c a c b +++++的值是( ). A .-3 B .1 C .3或-1 D .-3或1 7. 若|x |=x ,并且|x -3|=3-x ,请求出所有符合条件的整数x 的值,并计算这些值 的和. 8. 已知m ,n 为整数,且|m -2|+|m -n |=1,求m +n 的值. 9. |x -1|+|y +2|+|z -3|=0,则(x -1)(y -2)(z +3)的值为( ). (A)48 (B)-48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题: (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( ). (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数,且0=++c b a ,那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能
北师大版七年级数学竞赛试题
C A B D M 第(17)题 第14题 七年级数学竞赛试题 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.下列图中,左边的图形是立方体的表面展开图,把它折叠成立方体,它会变成右边的( ) 2.观察这一列数:34-,57, 910-, 1713,33 16-,依此规律下一个数是( ) A. 4521 B. 4519 C. 6521 D. 65 19 3. 己知AB=6cm ,P 是到A ,B 两点距离相等的点,则AP 的长为( ) A .3cm B .4cm C .5cm D .不能确定 4. 五位朋友a 、b 、c 、d 、e 在公园聚会,见面时候握手致意问候,已知:a 握了4次手, b 握了1次, c 握了3次, d 握了2次,到目前为止, e 握了( ) 次 A.1 B. 2 C. 3 D 、4 5、若14 +x 表示一个整数,则整数x 可取值共有( ). A .3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个 6、四个互不相等的整数a 、b 、c 、d ,如果abcd=9,那么a+b+c+d 等于( ) A 、0 B 、8 C 、4 D 、不能确定 二、填空题(每小题3分,共30分) 7、在数轴上1 ,的对应点A 、B , A 是线段BC 的中点,则点C 所表示的数 是 。 8.化简2004120011200112002120021200312003120041---+-+- =________________ 9、观察下列单项式,2x,-5x 2, 10x 3, -17x 4 ,…… 根据你发现的规律写出第5个式子是 ____________第8个式子是 __________ 。 10.如图,己知点B ,C ,D ,在线段AE 上,且AE 长为8cm ,BD 为3cm ,则线段AE 上所有线段的长度的总和为 。 11、如果2-x +x -2=0,那么x 的取值范围是________________. 12、已知a 1+a 2=1,a 2+a 3=2,a 3+a 4=3,…,a 99+a 100=99,a 100+a 1=100,那么a 1+a 2+a 3+…a 100= 。 13、若,,,,,a b c d e f 是六个有理数,且 11111 ,,,,23456 a b c d e b c d e f =-==-==-, 则_______.f a = 14. 如图2,BO 平分∠ABC ,CO 平分∠ACB ,且MN ∥BC ,设 AB =12, BC =24,AC =18,则△AMN 的周长为 ________________。 15、将2009减去它的21,再减去余下的31,再减去余下的41,再减去余下的5 1 ,依次类 推,直到最后减去余下的 2009 1 ,最后答数是__________. 16、若正整数x ,y 满足2004x =15y ,则x +y 的最小值是_______________。 17、如图,在△ABC 中,中线CM 与高线CD 三等分ACB ∠,则B ∠= . 18、方程2011201220113221=?++?+?x x x 的解是____________. 三、解答题(共52分) 19、(本题满分7分)先化简后求值:己知(x+21 )2+1+y =0, 求2x-{}]5)3(24[3y y x x y +--+-的值。 A B A C D 学校:_______________;班级:______________;姓名:______________;考号:____________
七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数
27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学,数与形以及数和形的关联与转化,这是数学研究的永恒主题,就解题而言,数与形的恰当结合,常常有助于问题的解决,美国数学家斯蒂恩说:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思维就整体地把握了问题,并且能创造性地思考问题的解法”.将问题转化为一个图形,把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来,是一个十分重要的解题方法,现阶段借助图形思考是指以下两个方面: 1.从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多,既有用文字叙述的,也有通过图形(如数轴、图表、平面图形等)来呈现的,善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能. 2.有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系,解题中有意地画图(如画直线图、列表、构造图形等)能帮助分析理顺复杂数量关系,使问题获得简解. 阅读与思考 【例1】如图,圆周上均匀地钉了9枚钉子,钉尖朝上,用橡皮筋套住 其中的3枚,可套得一个三角形,所有可以套出来的三角形中,不同 形状的共有____________种。 (“五羊杯”竞赛试题) x y z则解题思路:圆周长保持不变,设圆周长为9,套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤,借助图形分析,找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z
【例2】一列快车从甲地驶往乙地,一列慢车从乙地驶往甲地,两车同时出发,设慢车行驶的时间为x(h),两车之间的距离为 ........y(km),图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究: 信息读取 (1)甲、乙两地之间的距离为___________km。 (2)请解释图中点B的实际意义。 图像理解 (3)求慢车和快车的速度。 (4)求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围。 问题解决 (5)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地,速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时? (江苏省南京市中考试题)解题思路:函数图像包含了两种不同层次的信息:有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息,也有在0~4小时之间以及稍后的一段时间内,快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。
七年级数学竞赛试题及答案
3.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点, E a+2000的值不能是(). 1998?1998+1998,b=- 1999?1999+1999 ,c=- 2000?2000+2000 , CF=BC,则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的 d+2000,则a,b,c,d的大小关系是( 9.有理数-3,+8,-1 2 ,0.1,0,,-10,5,-0.4中,绝对值小于1的数共有_____个;所有 七年级数学竞赛 (时间100分钟满分100分) 一、选择题:(每小题4分,共32分) 1.(-1)2000的值是(). (A)2000(B)1(C)-1(D)-2000二、填空题:(每题4分,共44分) 1.用科学计数法表示2150000=__________. 2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示: 若m=│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│,则1000m=_________. A D 2.a是有理数,则11 若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积 6 (A)1(B)-1(C)0(D)-2000 3.若a<0,则2000a+11│a│等于(). (A)2007a(B)-2007a(C)-1989a(D)1989a 是________平方厘米.F 4.a的相反数是2b+1,b的相反数是3a+1,则a2+b2=____.B C 5.某商店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租车费” 4.已知a=- 1999?1999-1999则abc=().2000?2000-20002001?2001-2001的广告,结果每台超级VCD仍获利208元,那么每台超级VCD的进价是________. 6.如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点.已知图 (A)-1(B)3(C)-3(D)1 5.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原价出售,则可获利() (A)25%(B)40%(C)50%(D)66.7% 6.如图,长方形ABCD中,E是AB的中点,F是BC上的一点,且A D 1 3 ()倍.E 中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的A C D B 长度都是正整数,则线段AC的长度为_______. 7.张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元. 回家后他在存单的背面记下了当国库券于2003年7月8日到期后他可获得的利息 数为390元.若张先生计算无误的话,则该种国库券的年利率是________. 8.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇.相遇后,甲、乙步行速 (A)2(B)3(C)4(D)5 7.若四个有理数a,b,c,d满足 B 1111 a-1997=b+1998=c-1999=)F C 度都提高了1千米/小时.当甲到达B地后立刻按原路向A地返行,当乙到达A地后也 立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,则A、B 两地的距离是_________千米. (A)a>c>b>d(B)b>d>a>c;(C)c>a>b>d(D)d>b>a>c 8.小明编制了一个计算程序.当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和.若输入-1,并将所显示的结果再次输入,这时显示的结果应当是(). (A)2(B)3(C)4(D)5 1 3 正数的平方和等于_________. 10.设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225. (1)如果m和n的最大公约数为15,则m+n=________. (2)如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=________.
七年级数学下册 竞赛辅导资料(4)经验归纳法
初中数学竞赛辅导资料(14)经验归纳法 甲内容提要 1.通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。 通过有限的几个特例,观察其一般规律,得出结论,它是一种不完全的归 纳法,也叫做经验归纳法。例如 ①由 ( - 1)2= 1 ,(- 1 )3=- 1 ,(- 1 )4= 1 ,……, 归纳出- 1 的奇次幂是- 1,而- 1 的偶次幂是 1 。 ②由两位数从10 到 99共 90 个( 9 × 10 ), 三位数从 100 到 999 共900个(9×102), 四位数有9×103=9000个(9×103), ………… 归纳出n 位数共有9×10n-1 (个) ③由1+3=22, 1+3+5=32, 1+3+5+7=42…… 推断出从1开始的n个連续奇数的和等于n2等。 可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段,是知识攀缘前进的阶梯。 2. 经验归纳法是通过少数特例的试验,发现规律,猜想结论,要使规律明 朗化,必须进行足夠次数的试验。 由于观察产生的片面性,所猜想的结论,有可能是错误的,所以肯定或 否定猜想的结论,都必须进行严格地证明。(到高中,大都是用数学归 纳法证明) 乙例题 例1 平面内n条直线,每两条直线都相交,问最多有几个交点? 解:两条直线只有一个交点, 1 2 第3条直线和前两条直线都相交,增加了2个交点,得1+2 3 第4条直线和前3条直线都相交,增加了3个交点,得1+2+3 第5条直线和前4条直线都相交,增加了4个交点,得1+2+3+4 ……… 第n条直线和前n-1条直线都相交,增加了n-1个交点 由此断定n 条直线两两相交,最多有交点1+2+3+……n-1(个), 这里n≥2,其和可表示为[1+(n+1)]× 21 + n , 即 2)1 (- n n 个交点。
七年级数学培优竞赛教案
奥数培训之趣味数学 生活中的数学: 1、诗仙李白豪放豁达,有斗酒诗百篇的美名,为唐代“饮中八仙”之一, 民间流传李白买酒歌谣,是一道有趣的数学问题:李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一抖,三遇店和花,喝完壶中酒。试问:酒壶中原有多少酒? 解:设酒壶中原有酒x 斗,“三遇店和花”意思是李白三遇店,同时也三见花。 第一次见店又见花后,酒有:12-x ; 第二次见店又见花后,酒有:1-122)( -x ; 第三次见店又见花后,喝完壶中酒,所以 依题意,得 ()[]0111222=---x 解方程,得 87= x 答:酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童,甲对乙说:“把你的羊给我一只,我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说:“最好还是把你的羊给我一只,我们的羊数就一样了”,求两个牧童各有多少只羊。 解:设甲有x 只羊,乙有y 只羊。依题意,得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组,得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只,乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快,已知60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完.那么,若在120天里将草吃完,则需要( )头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析:设草一天增加量是a ,每头牛每天吃的草的量是b ,原有草的量是c ,根据60头牛24天可将草吃完,而30头牛60天可将草吃完,列方程组,用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。
解:设草一天增加量是a ,每头牛每天吃的草的量是b ,原有草的量是c 。 根据题意,得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得, 则若在120天里将草吃完,则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水,第二天较第一天减少了10%,第三天又较第二天增加了10%,那么,第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A .一样多. B .多了. C .少了. D .多少都可能. 解:设杯中原有水量为a ,依题意可得, 第二天杯中水量为a ×(1-10%)=0.9a ; 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ; 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了,选C . 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水,乙杯中盛有m 毫升蓝墨水,从甲杯倒出a 毫升到乙杯里(0<a <m ),搅匀后,又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里,则这时( )。 A .甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少. B .甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多. C .甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同. D .甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定. 解:从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后: 乙杯中含红墨水的比例是a m a +, 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +, 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后: 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①
初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化: (一)几个小知识点的梳理与强化:小知识点是常考的考点,也是易错点。理清小知识点,减少失误 1.字母可以表示任意有理数,不能说a 一定是正数,-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ;平方等于本身的数是 ;立方 等于本身的数是 ;倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|-x |=|2 1-|,则x =______; 若|x |=|-4|,则x =____; 若-|x|=-|2|,那么x=___;若-|-x|=-|2|,那么x=____ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ,那么a=____;若 x 2=(-2)2,则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。(-2)3的底数是_______,结果是_______; -32的底数是_______,结果是_______;n 为正整数,则(-1)2n =_ __, (-1) 2n +1=_ __。计算: (1) = ; (2) = ; (3) = ;(4) = (5) = 6.a 的相反数是 ;a+b 的相反数是 ;a-b 的相反数 是 ;-a+b-c 的相反数是 ; 变式训练:若a <b ,则∣a-b ∣= ,-∣a-b ∣= (二)突破绝对值的化简: 7.绝对值即距离,则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为:(体现分类讨论的思想) (a >0) |a| = (a =0 ) (a <0 ) 9.绝对值的非负性: 162=a