三角函数以及极限公式整合
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三角函数公式:
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+co
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=(2tanA )/(1-tanA^2)
诱导公式
sin(-α) = -sin α cos(-α) = cos α sin(π/2-α) = cos α cos(π/2-α) = sin α sin(π/2+α) = cos α cos(π/2+α) = -sin α sin(π-α) = sin α
cos(π-α) = -cos α
sin(π+α) = -sin α cos(π+α) = -cos α tanA= sinA/cosA
tan (π/2+α)=-cot α tan (π/2-α)=cot α tan (π-α)=-tan α tan (π+α)=tan α
诱导公式记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限
万能公式
极限
1. 极限的概念
(1)数列的极限:0>?ε,N ?(正整数),当N n >时,恒有ε<-A x n
A x n n =∞
→lim 或 A x n → )(∞→n
几何意义:在),(εε+-A A 之外,{}n x 至多有有限个点N x x x ,,,21 (2)函数的极限
x →∞的极限:0>?ε,0>?X ,当X x >时,恒有ε<-A x f )(
A x f x =∞
→)(lim 或 A x f →)( )(∞→x
几何意义:在()X x X <<-之外,)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
0x x →的极限:0>?ε,0>?δ,当δ<-<00x x 时,恒有ε<-A x f )(
A x f x x =→)(lim 0
或 A x f →)( )(0x x →
几何意义:在0000(,)(,)x x x x x δδ∈-+邻域内,)(x f 的值总在),(εε+-A A 之间。
(3) 左右极限
左极限:0>?ε,0>?δ,当00x x x <<-δ时,恒有ε<-A x f )(
A x f x x =-→)(lim 0
或 A x f x f =-=-)0()(00
右极限:0>?ε,0>?δ,当δ+<<00x x x 时,恒有ε<-A x f )(
A x f x x =+
→)(lim 0
或 A x f x f =+=+)0()(00
极限存在的充要条件:0
lim ()lim ()x x x x f x A f x -+
→→== (4)极限的性质
唯一性:若A x f x x =→)(lim 0
,则A 唯一
保号性:若A x f x x =→)(lim 0
,则在0x 的某邻域内
0A >(0)A < ? ()0f x >(()0)f x <;()0f x ≥(()0)f x ≤ ? 0A ≥(0)A ≤
有界性:若A x f x x =→)(lim 0
,则在0x 的某邻域内,)(x f 有界
2. 无穷小与无穷大
(1)定义:以0为极限的变量称无穷小量;以∞为极限的变量称无穷大量;同一极限
过程中,无穷小(除0外)的倒数为无穷大;无穷大的倒数为无穷小。 注意: 0是无穷小量;无穷大量必是无界变量,但无界变量未必是无穷大量。 例如当x →∞时,x x sin 是无界变量,但不是无穷大量。
(2)性质:有限个无穷小的和、积仍为无穷小;无穷小与有界量的积仍为无穷小;
A x f x x =→)(lim 0
成立的充要条件是α+=A x f )((00(,)x x x δδ∈-+,0lim =α)
(3)无穷小的比较(设 0lim =α,0lim =β): 若lim 0β
α
=,则称β是比α高阶的无穷小,记为()o α;特别α称为()o αβαα+=+的主部
若lim
β
α=∞,则称β是比α低阶的无穷小; 若lim C β
α=,则称β与α是同阶无穷小;
若lim 1β
α=,则称β与α是等价无穷小,记为~βα;
若lim k C β
α
=,(0,0>≠k C )则称β为α的k 阶无穷小;
(4)无穷大的比较: 若lim u =∞,lim v =∞,且lim u
v
=∞,则称u 是比v 高阶的无穷大,记为1()o v ;特别u 称为1()u v o v v +=+的主部 3. 等价无穷小的替换
若同一极限过程的无穷小量αα'~,ββ'~,且lim
αβ'
'
存在,则 ()()
lim
lim ()()
f x f x
g x g x ααββ'='
(lim 0)α=
常用等价无穷小sin tan arcsin arctan ~ln(1)1e ααααααα??
????
??
?
?
?
??
??
?+????-????
?
?
; ??????
??
?
?
?2
1
11cos ~211~21(1)1~1~ln n
n a a
ααααααα-+-- 注意:(1)无论极限过程,只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换; (2)无穷小的替换一般只用在乘除情形,不用在加减情形; (3)等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用,即 若lim ()(0)f f α=,αα'~,则()~()f f αα'
4. 极限运算法则(设 A x f =)(lim ,B x g =)(lim ) (1) []=±)()(lim x g x f ±)(lim x f B A x g ±=)(lim (2) []=?)()(lim x g x f ?)(lim x f B A x g ?=)(lim
特别地,[])(lim )(lim x f C x Cf =,[]=n
x f )(lim []n
n
A x f =)(lim
(3) =)()(lim
x g x f B
A
x g x f =)(lim )(lim (0≠B ) 5.准则与公式(lim 0α=,lim 0β=) 准则1:(夹逼定理)若)()()(x x f x ψ?≤≤,则
A x x ==)(lim )(lim ψ? ? A x f =)(lim
准则2:(单调有界数列必有极限)
若{}n x 单调,且n x M ≤(0M >),则lim n n x →∞
存在({}n x 收敛)
准则3:(主部原则)
()lim
lim ()o o ααα
βββ
+=+; 1111121212()()lim lim ()()o o o o ∞+∞∞=∞+∞∞
公式1: 0sin lim
1x x
x →= ? sin lim
1αα
= 公式2: 1
0lim(1)1lim(1)x
x n n x e n →→∞??+????
=????
+???? ? 1lim(1)1lim(1)e αα∞
??+????=????+∞????
公式3: lim lim(1)e
αα∞?∞
+=,一般地,lim lim(1)f f
e
αα?+=
公式4:1101100
lim lim n n n n n n n
m m m x x m m m m
n m a x a x a a x a n m b x b x b b x b n m
---→∞→∞-?
+++?===?+++??∞
>? 6. 几个常用极限(0,1)a a >≠ (1)1lim
=∞
→n
n a ,1lim =∞
→n n n ; (2)1lim 0
=+→x x x ,lim x x x →+∞
=+∞;
(3)10
lim x x e +→=+∞,1
lim 0x x e -→=; (4)0
lim ln x x +
→=-∞; (5)001lim arctan 21lim arctan 2x x x x ππ+-
→→?
=????=-??; (6)011lim 1
11
n n q q q q q →∞?∞>?=?=??=-?不存在