离散数学第四版课后答案(第4章)
第4章 习题解答
4．1 A ：⑤； B ：③； C ：①； D ：⑧； E ：⑩ 4．2 A ：②； B ：③； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑦ 4．3 A ：②； B ：⑦； C ：⑤； D ：⑧； E ：④ 分析 题4.1-4.3 都涉及到关系的表示。先根据题意将关系表示成集合表达式，然后再进行相应的计算或解答，例如，题4.1中的
}2,2,1,2,2,1,1,1{},
2,2,1,1{><><><><=><><=s s E I
};2,2,2,1,1,1{><><><=s I
而题4.2中的
}.1,4,4,3,1,2,4,1,1,1{><><><><><=R
为得到题4.3中的R 须求解方程123=+y x ，最终得到
}.
1,9,2,6,3,3{><><><=R
求R R 有三种方法，即集合表达式、关系矩阵和关系图的主法。下面由题4.2的关系分别加以说明。
1°集合表达式法 将ranR
ran domR
domR ,, 的元素列出来，如图4.3所示。然
后检查R 的每个有序对，若R y x >∈<,，则从domR 中的x 到ranR 中的y 画一个箭头。若danR 中的x 经过2步有向路径到达ranR 中的y ，则R R y x >∈<,。由图4.3可知
}.
1,3,4,2,1,2,4,4,1,44,1,1,1{><><><><>><<><=R R
如果求G F ，则将对应于G 中的有序对的箭头画在左边，而将对应于F 中的有序对的箭头画在右边。对应的三个集合分别为ranF
domF ran domG
,, ，然后，同样地寻找domG 到ranF 的
2步长的有向路径即可。
2° 矩阵方法
若M 是R 的关系矩阵，则R R 的关系矩阵就是M ·M ，也可记作M 2
，在计算乘积时的相加不是普通加法，而是逻辑加，即0+0=0，0+1=1+0=1+1=1，根据已知条件得
?????
???????=?????????????????????????=10
1
0001
1001
1001000
1
1000
0001
10
01000
1
1000000110
01
2
M
2
M
中含有7个1，说明R R 中含有7个有序对。
图4.3 图4.4 3°关系图方法
设G 是R 的关系图。为求n
R 的关系图'
G ，无将G
的结点
复制到'
G 中，然后依次检查G 的每个结点。如果结点x 到y
有一条n 步长的路径，就在'
G 中从x 到y 加一条有向边。当
所有的结点检查完毕，就得到图'
G 。以题4.2为例。图4.4
（1）表示R 的关系图G 。依次检查结点1，2，3，4。从1出发，沿环走2步仍回到1，所以，'
G 中有过1的环。从1
出发，经<1,1>和<1,4>，2步可达4，所以，'
G 中有从1到4
的边。结点1检查完毕。类似地检查其他3个结点，2步长的路径还有2→1→1，2→1→4，3→4→1，4→1→1，4→1→4。将这些路径对应的边也加到'
G 中，最终得到2
R 的关系图。
这个图给在图4.4(2).
4．4 A ：④； B ：⑧； C ：⑨； D ：⑤； E ：⑩ 分析 根据表 4.1中关系图的特征来判定521
,,R R R
的性
质，如表4.2所示。
表4.2
从表中可知21
,R R
和3R 不是传递的，理上如下：在1
R 中有
边<3,1>和<1,2>，但缺少边<3,2>.在2
R 中有边<1,3>和<3,2>，
但缺少边<1,2>。在3
R 中有边<1,2>和<2,1>，但缺少过1的环。
4.5 A ：①； B ：③； C ：⑧； D ：⑨； E ：⑤ 分析 等价关系和划分是两个不同的概念，有着不同的表示方法，等价关系是有序对的集合，而划分是子集的集合，切不可混淆起来，但是对于给定的集合A ，A 上的等价关系R 和A 的划分π中一一对应的，这种对应的含义是
x
R y x ?>∈<,和y 在π的同一划分块里。
换句话说，等价说系R 的等价类就是划分π的划分块，它们表示了对A 中元素的同一种分类方式。
给定划分π，求对应的等价关系R 的方法和步骤说明如下：
1°设π中含有两个以上元素的划分块有l 块，记作
t B B B .,,21 。若},,,{21j i x x x B =，2≥j ，则.
,,,2,1,,,t s j t s R x x i t s ≠=>∈< 求出t R R R
,,,21
。
2° .21
A t I R R R
R =
本题中的1
π的划分块都是单元集，没有含有个以上元素
的划分块，所以，2,πA
I
R =含有两个划分块，故对应地等价关
系含有两个等价类。3
π中只有一个划分块+
+
Z
Z
.包含了集合中
的全体元素，这说明,,,1
+
∈?>∈ y x 因此，这个划分块对 应的关系1 R 就+ Z 上的全域关系，从而得到A I R R 1 =也是+ Z 上 的全域关系。 4．6 A ：③； B ：⑩； C ：⑤； D ：⑩； E ：⑤ 分析画哈斯图的关键在于确定结点的层次和元素间的盖住关系，下面讨论一下画图的基本步骤和应该注意的问题。 画图的基本步骤是： 1°确定偏序集≤> <,A中的极小元，并将这些极小元放在哈斯图的最底层，记为第0层。 2°若第n层的元素已确定完毕，从A中剩余的元素中选取至少能盖住第n层中一个元素的元素，将这些元素放在哈斯图的第n+1层。在排列第n+1层结点的位置时，注意把盖住较多元素的结点放在中间，将只盖住一个元素的结点放在两边，以减少连线的交叉。 3°将相邻两层的结点根据盖住关系进行连线。 以本题的偏序集为例，1可以整除S中的全体整数，故1是最小元，也是唯一的极小元应该放在第0层。是1的倍数，即2，3，5，7，S中剩下的元素是4，6，8，9，10。哪些应该放在第2层呢？根据盖住关系，应该是4，6，9和10。因为4盖住，2，6盖住2和3，9盖住3，10盖住2和5. 8不盖住2，3，5，7中的任何一个元素，最后只剩下一个8放在第3层。图4.5给出了最终得到的哈斯图。在整除关系的哈斯图中，盖住关系体现为最小的倍数或最小的公倍数关系。 如果偏序集是?> P，那么哈斯图的结构将呈现出十分 (A <), 规则的形式。第0层是空集?，第1层是所有的单元集，第2层是所有的2元子集，…，直到最高层的集合A。这里的 盖住关系就体现为包含关系。 在画哈斯图时应该注意下面几个问题。 1°哈斯图中不应该出现三角形，如果出现三角形，一定是盖住关系没有找对。纠正的方法是重新考察这3个元素在偏序中的顺序中的顺序，然后将不满足盖住关系的那条边去掉。请看图 4.6(1)中的哈斯图。图中有两个三角形，即三角形abc和abd。根据结点位置可以看出满足如下的偏序 关系：d a , , , , c b b a d b a c 从而得到c a 。这就说明c和d不盖住a， b b a 和d 应该把ac边和ad边从图中去掉，从而得到正确的哈斯图，如图4.6(2)所示。 2°哈斯图中不应该出现水平线段。根据哈斯图的层次结构，处在同一水平位置的结点是同一层的，它们没有顺序 上的“大小”关系，是不可比的。出现这种错误的原因在于没有将“较大”的元素放在“较小”元素的上方。纠正时只要根据“大小”顺序将“较大”的元素放到更高的一层，将水平线改为斜线就可以了。 3°哈斯图中应尽量减少线的交叉，以使得图形清晰、易读，也便于检查错误，图形中线的交叉多少主要取决于同一层结点的排列顺序，如果出现交叉过多，可以适当调正结点的排列顺序，注意变动结点时要同时移动连线。 最后谈谈怎样确定哈斯图中的极大元、极小元、最大元、最小元、最小上界和最大下界，具体的方法是： 1°如果图中有孤立结点，那么这个结点既是极小元，也是极大元，并且图中既无最小元，也无最大元（除了图中只有唯一孤立结点的特殊情况）。 2°除了孤立结点以外，其他的极小元是图中所有向下通路的终点，其他的极大元是图中所有向上通路的终点。 3°图中唯一的极小元是最小元，唯一的极大元是最大元；否则最小元和最大元不存在。 4°设B为偏序集≤> <,A的子集，若B中存在最大元，它就是B的最小上界；否则，从A-B中选择那些向下可达B中每一个元素的结点，它们都是B的上界，其中的最小元是B 的最小上界。类似地可以确定B的最大下界。 观察图4.5,1是所有向下通路的终点，是极小元，也是 最小元，向上通路的终点有9，6，8，10和7，这些是极大元。由于极大元不是唯一的，所以，没有最在元。地于整个偏序集的最小上界和最大下界，就是它的最在元和最小元，因此，该偏序集没有最小上界，最大下界是1。 4.7 A ：④； B ：⑤； C ：③； D ：①； E ：⑦ 4.8 A ：②； B ：①； C ：④； D ：②； E ：⑨ 分析 给定函数 B A f →:，怎样判别它是否满足单射性 呢？通常是根据函数的种类采取不同的方法。 1° 若 B A f →:是实数区间上的连续函数，那么，可以 通过函数的图像来判别它的单射性。如果f 的图像是严格单调上升（或下升）的，则f 是单射的。如果在f 的图像中间有极大或极小值，则f 不是单射的。 2° 若f 不是通常的初等函数。那么，就须检查在f 的对应关系中是否存在着多对一的形式，如果存在 2121,,x x A x x ≠∈但)()(21x f x f =，这就是二对一，即两个自变量对 应于一个函数值，从而判定f 不是单射的。 下面考虑满射性的判别，满射性的判别可以归结为f 的值域ranf 的计算。如果B ranf =，则 B A f →:是满射的，否则不 是满射的。求ranf 的方法说明如下： 1° 若B A f →:是实数区间上的初等函数，为了求ranf 首 先要找到f 的单调区间。针对f 的每个单调区间求出f 的该区音的最小和最大值，从而确定f 在这个区间的局部值域。ranf 就是所有局部值域的并集。对于分段的初等函数也可以采用这种方法处理。 2° 若f 是用列元素的方法给出的，那么ranf 就是所有有序对的第二元素构成的集合。 本题中只有1 f 是定义于实数区间上的初等函数。易见， 指数函数的图像是严格单调上升的，并且所有的函数值都大于0。从而知道1 f 是单射的，但不是满射的。对于 2 f ，由 1)1()1(2 2 =-=f f 可知，它不是单射的。但N ranf =2 ，所 以，它是满射的。 3 f 既不是单射的，也不是满射的，因为 ,0)0()3(33==f f 且4 3}.2,1,0{f f =是单射的，但不是满射的。因为 n m ≠时,必有,1,1,>+>≠< + 4.10 A ：③； B ：①； C ：⑦； D ：⑤； E ：⑨ 分析 （1）先求出T 的特征函数}0,,1,,1,{><><><=c b a T χ ， 它是从S 到}1,0{的函数。而s S 中的函数是从},,{c b a 到},,{c b a 的函数，这就是说该函数应包含3个有序对，有序对的第一元素是c b a ,,，而第二元素应该从c b a ,,中选取（可以重复选取）。不难年出只有①满足要求。 （2）等价关系R 对应的划分就是商集S/R 。检查R 的表达式，如果R y x >∈<,，那么x,y 就在同一个等价类。不难看出S 中的元素被划分成两个等价类：}{},,{c b a ，因而对应的划分有2个划分块。 考虑自然映射,/:R S S g →它将S 中的元素所在的等价类， 即将a 映到},{][b a a =，将b 映到},{][b a b =，将c 映到}{][c c =，将g 写成集合表达式就是 }.}{,},{,,},{,{><><><=c c b a b b a a g 通常的自然映射是满射的，但不一定是单射的，除非等价关系为恒等关系，这时每个等价类只含有一个元素，不同元素的等价类也不同，g 就成为双射函数了。 4.11 (1) ,6,2,4,2,2,2,6,1,5,1,4,1,3,1,2,1,1,1{><><><><><><><><><=R }.6,6,5,5,4,46,3,3,3><><>><<>< (2) ,1,5,4,4,2,4,1,4,3,3,1,3,2,2,1,2,1,1{><><><><><><><><><=R }.6,6`,3,6,2,61,6,5,5><><>><<>< (3) ,5,3,4,3,2,3,1,3,4,2,3,2,1,2,3,1,2,1{><><><><><><><><><=R }.5,6,4,6,6,5,3,5,6,4,5,43,4,2,4><><><><><>><<><] 4.12 对称性 4.13 },,{21 ><=d c R R }, ,,,{12><><=c a d a R R },,,,,,{2 1><><><=d a b a a a R }, ,,,,,{3 2><><><=d b b c c b R 4.14 图4.7 分析 根据闭包的计算公式 2 1 )(,)(,)(R R R t R R R s R R R r ===- 可以得到由关系图求闭包的方法. 设G 是R 的关系图,G 的结点记为)(),(),(,,,,21 R t R s R r x x x n 的 关系图分别记作s r G G ,和t G . 为求r G ,先将图G 的结点和边拷贝到r G 中，缺少环的结点都加上环就得到了)(R r 的关系图. 为求s G ,也须将图G 拷贝到s G ,然后检查s G 的每一对结点 i x 和)(j i x j ≠.如果在i x 和j x 之间只存在一条单向的边,就在这 两个结点间加上一条方向相反的边.当s G 中所有的单向边都 变成双向边以后，就得到了)(R s 的关系图. 最后考虑t G .首先将图G 拷贝到t G ,然后从1 x 开始依次检 查n x x x ,,,21 .在检查结点),,2,1(n i x i =时，要找出从i x 出发经过 有限步（至少1步，至多n 步）可达的所结点（包括i x 自己在内）。如果从i x 到这种结点之间缺少边，就把这条边加到t G 中，当n 个结点全部处理完毕，就得到)(R t 的关系图。 以本题为例，依次检查结点.,,,d c b a 从a 出发可达e d c b ,,,四个结点，所以图t G 中应该加上d a c a →→,和的边。从b 出发可 达e d c ,,三个结点，所以，图t G 中应该加上d b →的边。从c 出 发可达c 和d ，在t G 中应该加上边c c →，即通过c 的环，类 似地分析可以知道，在t G 中还应该加上过d 的环。 4．15 若S 不是单元集，则}{)(?-S P 不构成S 的划分。 4．16 在图4.8（1）中极小元、最小元是1，极大元、最大元是24，在图4.8(2)中极小元、最小元是1，极大元是5， 6，7，8，9，没有最大元。 4．17 （1）不能； （2）能； （3）不能。 分析 函数和关系的区别在于它们的对应法则。在关系R 的表达式中，如果R y x >∈<,，就说x 对应到y ，对于二元关系R ，这种对应可以是一对一的，多对一的和一对多的。这里的一对多指的是一个x 对应到多个y ，但是对于函数，则不允许这种一对多的对应。至于单射函数，不但不允许一对多，也不允许多对一，只能存在一对一的对应。为了判别一个关系是否为函数，就要检查关系的对应中是否存在一对多的情况。如本题中的（1）式，<1,2>和<1,1>同时在关系中出现，因此不是函数。又如（3）式，<1,1>和<1,-1>也同时在关系中出现，破坏了函数定义。 4．18 当S I R =时满足要求。 4．19 N N h g f g h g f f g f f ∈ ,,,,，且 ,22)(. 2)(+=+=n n f g n n f f ,0)(. 12)(=+=n g h n n g f ?? ?=, 2 为奇数为偶数n n h g ?? ?=. 3 1 )(为奇数为偶数n n n h g f 分析 注意合成的正确表示方法。表示f 和g 合成的方法有两种： 1°说明g f 是从哪个集合到个集合的函数，然后给出 )(x g f 的计算公式。 2° 给出g f 的集合表达式。 本题中的结果都采用了第一种表示方法，先说明地果函数是从N 到N 的函数，然后分别给出函数值的计算公式。也可以彩用第二种方法，如 }|2,{N n n n f f ∈>+<= , }.,,|3,,1,{为奇数为偶数且y x N y x z y x h g f ∈><><= 但是，如果写成2+=n f f 就错了，因为f f 是函数，是 有序对的集合，与函数值)(n f f 是根本不同的两回事，不能 混为一谈。 4．20 ,:1 R R R R f ?→?- .2 ,2),(1 >-+=< ><-y x y x y x f 分析 首先由f 的双射性确定 1 -f 一定存在，然后通过f 的定义求出反函数的对应法则。设f 将> . 2 2 22,,v u y v u x v u y v u x v y x u y x y x y x v u -= ∧+= ?-=∧+=?=-∧=+>?-+>=<< 因而反函数的对应法则是> ,2v u v u -+。 4．21 （1） 如下列出f g 的对应关系 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8… )(x f 1 2 3 4 0 5 6 7 8… )) ((x f g 3 1 3 2 0 3 3 3 4… 从而得到 N N f g →: ?????? ?? ??? =≥====4 0623 21152,03)(x x x x x x x x f g 为偶数且的奇数或大于等于 f g 是满射的，但不是单射的。 （2） }. 3,1{})2,1,0({=f g 4．22 （1）}},,{},{},{,{)(b a b a A P ?= }, ,,,{4321f f f f B A =其中 },1,0,{, 0,{,0,{21>><<=>><=b a f b a f }, 1,1,{,0,{,1,{42>><<=>><=b a f b a f （2）令A B A P f →)(:，且 4321}),({,})({,})({,)(f b a f f b f f a f f f ====? 分析 对于任意集合A ，都可以构造从)(A P 到A }1,0{的双射 函数，任取A 的子集B A P B ),(∈的特征函数}1,0{:→A B χ 定义为 ?? ?-∈∈=B A x B x x B 0 1)(χ 不同的子集的特征函数也不同，因此，令 B A B A P χ??=→)(}1,0{)(: ? 是 ) (A P 到A }1,0{的双射，在本题的实例中的?是 ,})({,)(31f a f ==??? .}),({,})({42f b a f b ==?? 4．23 （1） x x f B A f 2 )(,:=→ （2） .sin )(,:x x f B A f =→ 分析 给定集合A ，B ，如何构造从A 到B 的双射？一般可采用下面的方法处理。 1° 若A ，B 都是有穷集合，可以先用列元素的方法表示A ，B ，然后顺序将A 中的元素与B 中的元素建立对应，如习题4.22. 1° 若A ，B 都是有穷集合，可以先用列元素的方法表示A ，B ，然后顺序将A 中的元素与B 中的元素建立对应，如习题4.22。 2° 若A ，B 是实数区间，可以采用直线方程作为从A 到B 的双射函数。 例如，]6,2[],2,1[==B A 是实数区间。 如图4.9所示，先将A ，B 区间分别标记在直角坐标系的x 轴和y 轴上，过（1，2）和（2，6）两点的直线方程将A 中 的每个数映到B 中的每个数，因此，该直线方程所代表的一次函数就是从A 到B 的双射函数。由解析几何的知识可以得到双射函数 .24)(,:-=→x x f B A f 这种通过直线方程构造双射函数的方法对任意两个同类型的实数区间(同为闭区间、开区间或音开半闭的区间)都是适用的。但对半开半闭的区间要注意开端点与开端点对应，闭端点与闭端点对应。此外还要说明一点，对于某些特殊的实数区间可能选择其他严格单调的初等函数更方便，例如，] 2 , 2[],1,1[π π -=-=B A ，那么取 x x f arcsin )(=即可。 3°A 是一个无穷集合，B 是自然数集N 。 为构造从A 到B 的双射只须将A 中的元素排成一个有序序列，且指定这个序列的初始元素，这就叫做把A “良序化”。比如说A 良序化以后，是集合},,{210 x x x ，那令,:B A f → f i i x f i ,2,1,0,)(==就是从A 到B 的双射。 例如，构造从整数集Z 到自然数集N 到自然数集N 的双射。如下排列Z 中元素，然后列出对应的自然数，即 ,3,3,2,2,1,1,0:---Z 6,5,,4,3,2,2,2,1, 0:-Z 观察这两个序列，不难找到对应法则。 ?? ?<--≥=→0 1 202)(,:x x x x x f N Z f 显然f 是从Z 到N 的双射。 最后要指出，并不是任何两个集合都可以构造双射的。比如说，含有元素不一样多的有穷集之间不存在双射。即使都是无穷集也不一定存在双射，如实数集R 和自然数集N 之间就不存在双射。这就涉及到集合“大小”的描述和度量方法，限于篇幅地此就不进行探入讨论了，有兴趣的读者可以阅读其他的《离散数学》书籍。 4．24 111 ,)()(R y x y f x f =?=为 N 上的恒等关系，且有 }.|}}{{/1N n n R N ∈= x y f x f ?=)()(22与 y 的奇偶性相同。在N 中的所有奇数构 成一个等价类，所有的偶数构成另一个等价类。因此， }}. .|12{},|2{{/2N n n N n n R N ∈+∈= )3(mod )()(33y x y f x f =?=，即 x 除以3的余数与y 除以3的 余数相等。根据余数分别这0，1，2，可将N 中的数分成3个等价类，因而 }}. .|13{},|3{{/3N n n N n n R N ∈+∈= 4．25 （1） x x x g f R N g f -=→2 )(,: g f 不是单射也不是满射。 }90,56,30,12,2{)(=A g f }0{)(=B g f 。 （2）2 Z R f= → f g ( g , :x e x ) f 不是单射也不是满射。 g g A e f n∈ = ) }. n | { (2N g B e = f n∈ ) }. | { (24N n #include N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。 2017年11月上交的离散数学形考任务一 本课程的教学内容分为三个单元，其中第三单元的名称是（A ）． 选择一项： A. 数理逻辑 B. 集合论 C. 图论 D. 谓词逻辑 题目2 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程的教学内容按知识点将各种学习资源和学习环节进行了有机组合，其中第2章关系与函数中的第3个知识点的名称是（D ）． 选择一项： A. 函数 B. 关系的概念及其运算 C. 关系的性质与闭包运算 D. 几个重要关系 题目3 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程所有教学内容的电视视频讲解集中在VOD点播版块中，VOD点播版块中共有（B）讲． 选择一项： A. 18 B. 20 C. 19 D. 17 题目4 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 本课程安排了7次形成性考核作业，第3次形成性考核作业的名称是（ C）．选择一项： A. 集合恒等式与等价关系的判定 B. 图论部分书面作业 C. 集合论部分书面作业 D. 网上学习问答 题目5 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台左侧第1个版块名称是：（C）． 选择一项： A. 课程导学 B. 课程公告 C. 课程信息 D. 使用帮助 题目6 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台右侧第5个版块名称是：（D）． 选择一项： A. 典型例题 B. 视频课堂 C. VOD点播 D. 常见问题 题目7 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 ―教学活动资料‖版块是课程学习平台右侧的第（A）个版块． 选择一项： A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 题目8 答案已保存 满分10.00 标记题目 题干 课程学习平台中―课程复习‖版块下，放有本课程历年考试试卷的栏目名称是：（D ）． 选择一项： A. 复习指导 B. 视频 C. 课件 D. 自测 请您按照课程导学与章节导学中安排学习进度、学习目标和学习方法设计自己的学习计划，学习计划应该包括：课程性质和目标（参考教学大纲）、学习内容、考核方式，以及自己的学习安排，字数要求在100—500字．完成后在下列文本框中提交． 解答：学习计划 学习离散数学任务目标： 离散数学辅助教材 概念分析结构思想与推理证明 第一部分 集合论 离散数学习题解答 习题一（第一章集合） 1. 列出下述集合的全部元素： 1）A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15} 2）B={x|x∈N∧4+x=3} 3）C={x|x是十进制的数字} [解] 1）A={2，4，6，8，10，12，14} 2）B= 3）C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 2. 用谓词法表示下列集合： 1）{奇整数集合} 2）{小于7的非负整数集合} 3）{3，5，7，11，13，17，19，23，29} [解] 1）{n n∈I∧(?m∈I)(n=2m+1)}； 2）{n n∈I∧n≥0∧n<7}； 3）{p p∈N∧p>2∧p<30∧?(?d∈N)(d≠1∧d≠p∧(?k∈N)(p=k?d))}。 3. 确定下列各命题的真假性： 1） 2）∈ 3）{} 4）∈{} 5）{a，b}{a，b，c，{a，b，c}} 6）{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c}) 7）{a，b}{a，b，{{a，b，}}} 8）{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}} [解]1）真。因为空集是任意集合的子集； 2）假。因为空集不含任何元素； 3）真。因为空集是任意集合的子集； 4）真。因为是集合{}的元素； 5）真。因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集； 6）假。因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素； 7）真。因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集； 8）假。因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。 4. 对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 [解] 1）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。 2）假。例如A={a}，B={a，{a}}，C={{a}，{{a}}}，从而A∈B∧B∈C，但、A ∈C。 3）假。例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，a，b}，从而ACB∧B∈．C，但A∈C。5．对任意集合A，B，C，确定下列命题的真假性： 1）如果A∈B∧B C，则A∈C。 2）如果A∈B∧B C，则A C。 3）如果A B∧B∈C，则A∈C。 3）如果A B∧B∈C，则A C。 [解] 1）真。因为B C x（x∈B x∈C），因此A∈B A∈C。 2）假。例如A={a}，B={{a}，{b}}，C={{a}，{b}，{c}}从而A∈B∧B C，但A C。 3）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，{a，b}}，从而A B∧B∈C，但A C。 4）假。例如A={a}，B={{a，b}}，C={{a，b}，b}，从而A B∧B∈C，但A C。 6．求下列集合的幂集： 1）{a，b，c} 2）{a，{b，c}} 3）{} 4）{，{}} 5）{{a，b}，{a，a，b}，{a，b，a，b}} [解] 1）{，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}} 2）{，{a}，{{b，c}}，{a，{a，b}}} 3）{，{}} 4）{，{}，{{}}，{，{}}} 第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数. 是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。 第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试 3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章 第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令x (是鸟 x F:) (会飞翔. G:) x x 命题符号化为 x F ?. G x→ ) ( )) ( (x (2)令x x (为人. F:) (爱吃糖 G:) x x 命题符号化为 x F x→ G ?? )) ( ) ( (x 或者 F x? x ∧ ? ) )) ( ( (x G (3)令x x (为人. F:) G:) (爱看小说. x x 命题符号化为 x F ?. G x∧ (x ( )) ( ) (4) x (为人. x F:) (爱看电视. G:) x x 命题符号化为 F x? ∧ ??. x G ( ) ( )) (x 分析 1°如果没指出要求什么样的个体域，就使用全总个休域，使用全总个体域时，往往要使用特性谓词。（1）-（4）中的) F都是特性谓词。 (x 2°初学者经常犯的错误是，将类似于（1）中的命题符号化为 F x ? G x∧ ( )) ( ) (x 即用合取联结词取代蕴含联结词，这是万万不可的。将（1）中命题叙述得更透彻些，是说“对于宇宙间的一切事物百言，如果它是鸟，则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧，使（1）中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。 3° （2）与（4）中两种符号化公式是等值的，请读者正确的使用量词否定等值式，证明（2），（4）中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 )(x xF ? 其中,12)1(:)(22++=+x x x x F 此命题在)(),(),(c b a 中均为真命题。 （2） 在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xG ? 其中02:)(=+x x G ，此命题在（a ）中为假命题，在(b)(c)中均为真命题。 （3）在)(),(),(c b a 中均符号化为 )(x xH ? 其中.15:)(=x x H 此命题在)(),(b a 中均为假命题，在(c)中为真命题。 分析 1°命题的真值与个体域有关。 2° 有的命题在不同个体域中，符号化的形式不同，考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时，应符号化为 )(x xF ? 这里，x x F :)(呼吸，没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时，应符号化为 ))()((x G x F x →? 这里，x x F :)(为人，且)(x F 为特性谓词。x x G :)(呼吸。 2．3 因题目中未给出个体域，因而应采用全总个体域。 习题一 1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？ （1）中国有四大发明. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （2）5是无理数. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （3）3是素数或4是素数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为1. x+< （4）235 答：不是命题. （5）你去图书馆吗？ 答：不是命题. （6）2与3是偶数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （7）刘红与魏新是同学. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. （8）这朵玫瑰花多美丽呀！ 答：不是命题. （9）吸烟请到吸烟室去！ 答：不是命题. （10）圆的面积等于半径的平方乘以π. 答：此命题是简单命题，其真值为1. （11）只有6是偶数，3才能是2的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （12）8是偶数的充分必要条件是8能被3整除. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为0. （13）2008年元旦下大雪. 答：此命题是简单命题，其真值还不知道. 2.将上题中是简单命题的命题符号化. 解:（1）p：中国有四大发明. （2）p:是无理数. （7）p:刘红与魏新是同学. （10）p:圆的面积等于半径的平方乘以π. （13）p:2008年元旦下大雪. 3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值. （1）5是有理数. 答：否定式：5是无理数.p：5是有理数.q：5是无理数.其否定式q的真值为1. （2）25不是无理数. 答：否定式：25是有理数. p ：25不是无理数. q ：25是有理数. 其否定式q 的真值为1. （3）2.5是自然数. 答：否定式：2.5不是自然数. p ：2.5是自然数. q ：2.5不是自然数. 其否定式q 的真值为1. （4）ln1是整数. 答：否定式：ln1不是整数. p ：ln1是整数. q ：ln1不是整数. 其否定式q 的真值为1. 4.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2与5都是素数 答：p ：2是素数，q ：5是素数，符号化为p q ∧，其真值为1. （2）不但π是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数. 答：p ：π是无理数，q ：自然对数的底e 是无理数，符号化为p q ∧，其真值为1. （3）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数. 答：p ：2是最小的素数，q ：2是最小的自然数，符号化为p q ∧?，其真值为1. （4）3是偶素数. 答：p ：3是素数，q ：3是偶数，符号化为p q ∧，其真值为0. （5）4既不是素数，也不是偶数. 答：p ：4是素数，q ：4是偶数，符号化为p q ?∧?，其真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值. （1）2或3是偶数. （2）2或4是偶数. （3）3或5是偶数. （4）3不是偶数或4不是偶数. （5）3不是素数或4不是偶数. 答: p ：2是偶数，q ：3是偶数，r :3是素数，s :4是偶数, t :5是偶数 (1) 符号化: p q ∨，其真值为1. (2) 符号化：p r ∨，其真值为1. (3) 符号化：r t ∨，其真值为0. (4) 符号化：q s ?∨?，其真值为1. (5) 符号化：r s ?∨?，其真值为0. 6.将下列命题符号化. （1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨. 答：p ：小丽从筐里拿一个苹果，q ：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q ∨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答：p ：刘晓月选学英语，q ：刘晓月选学日语，符号化为: ()()p q p q ?∧∨∧?. 7.设p ：王冬生于1971年，q ：王冬生于1972年，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以化 答:列出两种符号化的真值表： 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1 所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p) 离散数学答案屈婉玲版 第二版高等教育出版社课后答案 第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r)) (4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) ? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r)) ?p→(q∧r) （4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q) ?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。 (1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。 习题 2.1 1．将下列命题符号化。 (1) 4不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：4。 “4不是奇数。”符号化为：?A(a) (2) 2是偶数且是质数。 解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。 “2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a) (3) 老王是山东人或河北人。 解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。 “老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)∨B(a) (4) 2与3都是偶数。 解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。 “2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b) (5) 5大于3。 解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。 “5大于3。”符号化为：G(a,b) (6) 若m是奇数，则2m不是奇数。 解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。 “若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b) (7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。 解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。 “直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b)??D(x,y) (8) 小王既聪明又用功，但身体不好。 解：设A(x)：x聪明。B(x)：x用功。C(x)：x身体好。a：小王。 “小王既聪明又用功，但身体不好。”符号化为：A(a)∧B(a)∧?C(a) (9) 秦岭隔开了渭水和汉水。 解：设A(x,y,z)：x隔开了y和z。a：秦岭。b：渭水。c：汉水。 “秦岭隔开了渭水和汉水。”符号化为：A(a,b,c) (10) 除非小李是东北人，否则她一定怕冷。 解：设A(x)：x是东北人。B(x)：x怕冷。a：小李。 “除非小李是东北人，否则她一定怕冷。”符号化为：B(a)→?A(a) 2．将下列命题符号化。并讨论它们的真值。 (1) 有些实数是有理数。 解：设R(x)：x是实数。Q(x)：x是有理数。 “有些实数是有理数。”符号化为：(?x)(R(x)∧Q(x)) 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 x x P :)(是素数，)(x P 可表示为)1)(()1(x u u x u v v u x =∨=?=???∧=?。 离散数学课后答案 习题一 6.将下列命题符号化。 （1）小丽只能从框里那一个苹果或一个梨. （2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课. 答： （1）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:小丽拿一个苹果，q:小丽拿一个梨（2）（p Λ?q ）ν（?pΛq）其中p:刘晓月选学英语，q:刘晓月选学日语 14.将下列命题符号化. (1) 刘晓月跑得快, 跳得高. (2)老王是山东人或河北人. (3)因为天气冷, 所以我穿了羽绒服. (4)王欢与李乐组成一个小组. (5)李辛与李末是兄弟. (6)王强与刘威都学过法语. (7)他一面吃饭, 一面听音乐. (8)如果天下大雨, 他就乘班车上班. (9)只有天下大雨, 他才乘班车上班. (10)除非天下大雨, 他才乘班车上班. (11)下雪路滑, 他迟到了. (12)2与4都是素数, 这是不对的. (13)“2或4是素数, 这是不对的”是不对的. 答： (1)p∧q, 其中, p: 刘晓月跑得快, q: 刘晓月跳得高. (2)p∨q, 其中, p: 老王是山东人, q: 老王是河北人. (3)p→q, 其中, p: 天气冷, q: 我穿了羽绒服. (4)p, 其中, p: 王欢与李乐组成一个小组, 是简单命题. (5)p, 其中, p: 李辛与李末是兄弟. (6)p∧q, 其中, p: 王强学过法语, q: 刘威学过法语. (7)p∧q, 其中, p: 他吃饭, q: 他听音乐. (8)p→q, 其中, p: 天下大雨, q: 他乘班车上班. (9)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (10)p→q, 其中, p: 他乘班车上班, q: 天下大雨. (11)p→q, 其中, p: 下雪路滑, q: 他迟到了. (12) ? (p∧q)或?p∨?q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. (13) ? ? (p∨q)或p∨q, 其中, p: 2是素数, q: 4是素数. 16. 19.用真值表判断下列公式的类型: (1)p→ (p∨q∨r) (2)(p→?q) →?q 第二章 谓词逻辑 习题与解答 1. 将下列命题符号化： (1) 所有的火车都比某些汽车快。 (2) 任何金属都可以溶解在某种液体中。 (3) 至少有一种金属可以溶解在所有液体中。 (4) 每个人都有自己喜欢的职业。 (5) 有些职业是所有的人都喜欢的。 解 (1) 取论域为所有交通工具的集合。令 x x T :)(是火车， x x C :)(是汽车， x y x F :),(比y 跑得快。 “所有的火车都比某些汽车快”可以符号化为))),()(()((y x F y C y x T x ∧?→?。 (2) 取论域为所有物质的集合。令 x x M :)(是金属， x x L :)(是液体， x y x D :),(可以溶解在y 中。 “任何金属都可以溶解在某种液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x ∧?→?。 (3) 论域和谓词与(2)同。“至少有一种金属可以溶解在所有液体中” 可以符号化为))),()(()((y x D y L y x M x →?∧?。 (4) 取论域为所有事物的集合。令 x x M :)(是人， x x J :)(是职业， x y x L :),(喜欢y 。 “每个人都有自己喜欢的职业” 可以符号化为))),()(()((y x L y J y x M x ∧?→? (5)论域和谓词与(4)同。“有些职业是所有的人都喜欢的”可以符号化为))),()(()((x y L y M y x J x →?∧?。 2. 取论域为正整数集，用函数+（加法），?（乘法）和谓词<，=将下列命题符号化： (1) 没有既是奇数，又是偶数的正整数。 (2) 任何两个正整数都有最小公倍数。 (3) 没有最大的素数。 (4) 并非所有的素数都不是偶数。 解 先引进一些谓词如下： x y x D :),(能被y 整除，),(y x D 可表示为)(x y v v =??。 x x J :)(是奇数，)(x J 可表示为)2(x v v =???。 x x E :)(是偶数，)(x E 可表示为)2(x v v =??。 离散数学习题答案 习题一及答案：（P14-15） 14、将下列命题符号化： （5）李辛与李末是兄弟 解：设p ：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p （6）王强与刘威都学过法语 解：设p ：王强学过法语；q ：刘威学过法语；则命题符号化的结果是 p q ∧ （9）只有天下大雨，他才乘班车上班 解：设p ：天下大雨；q ：他乘班车上班；则命题符号化的结果是q p → （11）下雪路滑，他迟到了 解：设p ：下雪；q ：路滑；r ：他迟到了；则命题符号化的结果是()p q r ∧→ 15、设p ：2+3=5. q ：大熊猫产在中国. r ：太阳从西方升起. 求下列复合命题的真值： （4）()(())p q r p q r ∧∧???∨?→ 解：p=1，q=1，r=0， ()(110)1p q r ∧∧??∧∧??， (())((11)0)(00)1p q r ?∨?→??∨?→?→? ()(())111p q r p q r ∴∧∧???∨?→??? 19、用真值表判断下列公式的类型： （2）()p p q →?→? 解：列出公式的真值表，如下所示： 20、求下列公式的成真赋值： （4）()p q q ?∨→ 解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是： ()10p q q ?∨??????00 p q ????? 所以公式的成真赋值有：01，10，11。 习题二及答案：（P38） 5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值： （2）()()p q q r ?→∧∧ 解：原式()p q q r ?∨∧∧q r ?∧()p p q r ??∨∧∧ ()()p q r p q r ??∧∧∨∧∧37m m ?∨，此即公式的主析取范式， 所以成真赋值为011，111。 6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值： （2）()()p q p r ∧∨?∨ 解：原式()()p p r p q r ?∨?∨∧?∨∨()p q r ??∨∨4M ?，此即公式的主合取范式， 所以成假赋值为100。 7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式： （1）()p q r ∧∨ 解：原式()(()())p q r r p p q q r ?∧∧?∨∨?∨∧?∨∧ ()()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r p q r ?∧∧?∨∧∧∨?∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧ ()()()()()p q r p q r p q r p q r p q r ??∧?∧∨?∧∧∨∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13567m m m m m ?∨∨∨∨，此即主析取范式。 主析取范式中没出现的极小项为0m ，2m ，4m ，所以主合取范式中含有三个极大项0M ，2M ，4M ，故原式的主合取范式024M M M ?∧∧。 9、用真值表法求下面公式的主析取范式： 第七章作业 评分要求: 1、合计100分 2、给出每小题得分(注意: 写出扣分理由)、 3、总得分在采分点1处正确设置、 1 设R={ 离散数学课后习题答案(左孝凌版) 1-1，1-2解： a)是命题，真值为T。 b)不是命题。 c)是命题，真值要根据具体情况确定。 d)不是命题。 e)是命题，真值为T。 f)是命题，真值为T。 g)是命题，真值为F。 h)不是命题。 i)不是命题。 （2）解： 原子命题：我爱北京天安门。 复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。 （3）解： a)(┓P ∧R)→Q b)Q→R c)┓P d)P→┓Q （4）解： a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。 Q (R∧┓P):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。 b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 R∧Q:我在看电视边吃苹果。 c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。 （Q→R）∧(R→Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。 (5) 解： a)设P：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Q b)设P：小李看书。Q：小李听音乐。P∧Q c)设P：气候很好。Q：气候很热。P∨Q d)设P： a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P→Q e)设P：四边形ABCD是平行四边形。Q ：四边形ABCD的对边平行。P Q f)设P：语法错误。Q：程序错误。R：停机。（P∨ Q）→ R (6) 解： a)P:天气炎热。Q:正在下雨。 P∧Q b)P:天气炎热。R:湿度较低。 P∧R c)R:天正在下雨。S:湿度很高。 R∨S d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B e)M:老王是革新者。N:小李是革新者。 M∨N f)L:你看电影。M:我看电影。┓L→┓M g)P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 P∧Q∧R h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。P∧Q 1-3 （1）解：离散数学第1章习题答案
离散数学形考任务1-7试题及答案完整版
离散数学第三版课后习题答案
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
离散数学作业答案
离散数学 第2章 习题解答
离散数学习题解答
离散数学第一章部分课后习题参考答案
离散数学规范标准答案屈婉玲版第二版高等教学教育出版社课后答案
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第1章答案
离散数学 第2章 习题解答
离散数学答案第二章习题解答
离散数学课后答案
离散数学答案(尹宝林版)第二章习题解答
最新离散数学习题答案
离散数学第七章二元关系课后练习习题及答案
离散数学课后习题答案(左孝凌版)