不定积分典型题型

1. 原函数

2.积分公式

3.第一类换元积分法(也称凑微分法）

4.第二类换元积分法

5. 分部积分法

原函数

1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则

?=dx x f )(（）

A. G （x ）

B. F （x ）

C. F （x ）+C

分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。

2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x

分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx

积分公式 1.=?

dx e x x 3

分析：运用公式

a x dx=

ln 1a x +C ，把3e 看做一个整体,化为x

e )3(。答：

C e x

x ++3

ln 13

2.=+?dx x

x 2

13 分

析

：

对

函

数

进

行

“

加

一

项

减

一

项

”

处

理

，

则

C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan (3)11

1(311131322222

3.=?

dx x 2tan

分析：运用三角恒等式,1sec tan 2

2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=?

?tan )1(tan 2

=?dx x x 22sin cos 1

分

析

：

运

用

三

角

恒

等

式

sin 2x+cos 2x=1,

则

C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=???cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12

2222222.

5.=++?

dx x

2cos 1cos 12 分析：运用三角恒等式1+cos2x=2cos 2x 答：C x x ++)(tan 2

6.=?

dx x

sin

分析：运用三角恒等式x x

cos 12

sin

-= 答：x -sinx+C

第一换元积分法（凑微分法）

利用凑微分法求不定积分，往往要作多次试探，总结一些规律性的东西，如果题目不复杂，可以省去写中间变量而直接写出积分结果。对于稍复杂的题目，有时候不能直接想到如何凑成微分形式，可以写出中间变量，最后一定要换回原来的积分变量。 1.求

=-?

dx x

231

分析：运用)(1

b ax d a

dx +=

进行凑微分，令u=3-2x. 答：C x +--32

)23(4

2.求

=+?dx x 2291

分析：转化为形式：

C x dx x +=+?arctan 11

答：C x +3

arctan

3.求=-?

dx x x 2

1 分析：运用xdx=

1dx 答：C x +--2

2)1(3

4.求

=+?

dx x x )

1(1

分析：运用

x d dx x

=和 ?C x dx +=+arctan x 112

答： ?

C x +arctan 2

5. dx e e x

x ?

-+1

求

分析：运用)(x

e d dx e =和

C x dx +=+arctan x 11

答：C

e x +arctan

6.求

+x xdx

2cos 3cos

分析：运用cosxdx=d(sinx)和

x 2sin 212cos -=和

C x dx x

+=-arcsin 112

答：C

x +)sin 22arcsin(22

7.求dx x x ?+22cos 2sin 1

分析：运用x d x dx

tan cos 2

=和 ?C x dx +=+arctan x 112 答：C x +)tan 22

arctan(22

8.求dx x x ?++421

分析：运用完全平方公式和

?C a x

a dx a +=+arctan 1x 12

答：C

x ++31

arctan 33

9.求

x x ?-++2

235

分析：注意分子为x 的一次式，可以凑出分母中所含二次式的导函数2-2x,可分化。

答：C x x x +-+-+-21

arcsin

6232

10.求dx x ?csc

解：

C x x x x d x

x dx x x x

x x dx x x x x x dx x +-=--=

--=--=????cot csc ln )cot (csc cot csc 1cot csc cot csc csc cot csc )cot (csc csc csc 2

11.求dx x x

?+sin 1sin

解：?????++-=-=-=--=+C

x x x xdx dx x x dx x x

x dx x x x dx x x tan cos 1tan cos sin cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sin 22222

12. 已知

()x )

(ln ,)()(?

=+=dx x f C x F dx x f 则

分析：运用凑微分法。

答：F(lnx)+C

13.设f(x)=e 3x ,求

dx x x f 3)

(ln '

分析：方法一，运用直接代入求解法。

方法二，运用换元积分法，令u=lnx

答：C x +3

14.求?xdx 2cos 2

解：被积函数中，cos2x 是一个由cos2x=cosu,u=2x 复合而成的复合函数，常数因子恰好

是中间变量u 的导数。因此变换u=2x,便有

C u d x xd xdx +===???sin u u cos )2(2cos 2cos 2

再以u=2x 代入，即得

C x xdx +=?2sin 2cos 2

15.求?+32

)2(x x

解：令u=x+2,则x=u -2,dx=du.于是

C x x x C u u u du u u u du u u u du u u x x ++-++

+=+-+=+-=+-=-=+------????2

21321323232)2(2242ln 24ln )44()44()2()2(

第二换元积分法（去根号）

（1）被积函数为 f(n m x x ,),令mn

t x =。

（2）被积函数为 f(,n b ax +),令n b ax t +=。

（3）被积函数为 f(22x a -),令t a x sin =。运用1cos sin 2

=+x x 。

22x a -

（4）被积函数为 f(22x a +),令t a x tan =。运用t t 2

sec tan 1=+。

（5）被积函数为 f(22a x -),令t a x sec =。运用t t 2

tan 1sec =-。

1.求dx x x ?-+-1221

分析：被积函数含有根号，运用换元法去掉根号。令

t -=1.

答：C

x x +---

--112

11ln 2

2.求

x ?+4

分析：被积函数含有根号，运用换元法去掉根号。令

t =.

答：C

x x x +++-)1ln(44244

3.求

x a ?-22

分析：用三角代换去根号，运用换元法去掉根号。令.

arcsin ,sin a x

t t a x ==. 答：C

x a x a x a +-+22221

arcsin 2

4.求

a x ?+2

322)

分析：用三角代换去根号，运用换元法去掉根号。令

a x tan =

答：C

a a x

++2

分部积分法

当函数u(x),v(x)可微时，根据微分的乘法法则，我们有d(uv)=udv+vdu,等式两端关于x 求不定积分，可得，???+=vdu udv duv ，从而有?

?-=vdu uv udv .称为分部积分公式，当我们面对一个难于处理的积分时们我们可以用这个公式谋求一个更容易求出的积分来代替

它。

解题口诀：反对幂三指，谁在前面谁不动。

1.求?xdx ln

分析：被积函数为对数函数，运用分部积分法。答：xlnx -x+C 2.求

+dx x x )1ln(2

分析：先凑微分，被积函数为幂函数与对数函数的乘积，可分部积分。

答：C

x x x +-++22221

)1ln()1(21

3.求

?-dx

e x x

分析：被积函数为多项式和指数函数的乘积。分部积分

答：C

e e x x x +----2

221212

4.求

?xdx

x 2sin 2

分析：被积函数为幂函数与三角函数的乘积，运用分部积分法

答：C

x x x x x +++-2cos 41

2sin 212cos 212

5.求

xdx

e x

sin ?

解：

xdx

e x e inxde s xdx e x

x x x cos sin sin ???-==

等式右端的积分和等式左端的积分是同一类型的，对右端的积分再用一次分部积分法，得 xdx e x e x e osxde c x e x x x x x sin cos sin sin ??--=-

由于上式右端的第三项就是所求积分，把它移到等号左端去，等式两端再同除以2，便得

C x x e xdx e x x

+-=?)cos (sin 21sin

因上式右端已不包括积分项，所以必须加上任意常数C 。

简单有理函数积分

有理函数的一般形式为F(x)=

)()

(x Q x p m n ，其中P n (x),Q m (x)分别为n,m 次多项式。

1.求?-+)13)(12(1

x x

解：先将被积分式恒等变形再积分

C x x dx x x dx

x x x x x x ++--=+--=-+--+=-+???)12ln 13(ln 5

1)122133(51)13)(12()

13(2)12(351)13)(12(1

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案例1 求2 1lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?．例2 0 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=42 2x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

定积分典型例题11198

定积分典型例题例1 求21lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 =?．例2 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ?= 2 π ．例18 计算2 1 ||x dx -?．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 2 1||x dx -?＝0 2 10()x dx xdx --+??＝220210[][]22x x --+＝5 2 ．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 3 322 2111 []6 dx x x --=-=?，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算2 20 max{,}x x dx ?．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数 212()01x x f x x x ?<≤=?≤≤? ．解 232 12 2 2 12010 1 1717max{,}[][]23236 x x x x dx xdx x dx =+=+=+=? ?? 例20 设()f x 是连续函数，且10 ()3()f x x f t dt =+?，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()b a f x dx ?是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10 ()f t dt ?是常数，记1 ()f t dt a =?，则 ()3f x x a =+，且11 (3)()x a dx f t dt a +==??．

不定积分的典型例题

例1．計算 dx x x ?++1 1 42 解法1 ).12)(12(1224+- ++ =+x x x x x 而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以 )121 121(21112242dx x x dx x x dx x x ???++++-=++ . )]12arctan()12[arctan(2 11 )12( ) 1221 1 )12( ) 12(21) 21)22(121)22(1[212 2 22c x x x x d x x d dx x dx x +++-= ++++ +--=++ ++- =???? 解法2 dx x x x x x x x dx x x ??+++-++-=++)12)(12(2)12(112 2242 . arctan 21)12arctan(211212242 c x x dx x x x x dx +++=++++=?? 解法3 ???+-=++=++≠22222421)1 (11111,0x x x x d dx x x x dx x x x 当 c x x x x x x d +-=+--=?21arctan 212)1() 1 (22 ,2 221arctan 2 1lim 20 π - =-+ →x x x Θ ,2 221arctan 21lim 20π=--→x x x

由拼接法可有 .0 2 221arctan 2100 ,2 221arctan 21112242 ??? ? ? ? ?<+--=>++-=++?x c x x x x c x x dx x x ππ 例2.求 .) 1()1(2 2 23dx x x x ?+++ 解将被积函数化为简单的部分分式 (*)1 )1(1)1()1(222223?????++++++=+++x D Cx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .2 11)1(2)1(2 3=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为 . 2.24 26)1() 2(2)1(3lim ]12[lim )1() 1()1(2[lim 2232212312 2231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以 .2 1 -=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得 .1,1-=?+=C C A 故有 . arctan 2 1 )1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dx x D Cx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++?? 例3. 求 .) ()1(2 424dx x x x x ? ++ 解令 ,2x u =再用部分分式，則

不定积分习题库

习题
第五章不定积分复习资料练
学生学习档案要求：仔细，认真！
一选择题:
1. 若 f (x)dx x2e2x c ,则 f (x) ( ).
(a) 2xe2x ,
(b) 2x2e2x , (c) xe2x ,
(d) 2xe2x (1 x) .
2. 如果 F(x) 是 f (x) 的一个原函数, c 为不等于 0 且不等于 1 的其他任意常数,那么( )也
必是 f (x) 的原函数。
(a) cF(x) ,
(b) F(cx) ,
(c)
F

x c

,
(d) c F (x).
3. 下列哪一个不是 sin 2x 的原函数( ).
;
(a) 1 cos2x c , 2
(c) cos2 x c ,
4. xex2 dx (
).
(b) sin 2 x c , (d) 1 sin 2 x c .
2
(a) ex c , (b) 1 ex2 c , (c) 1 ex2 c , (d) ex2 c .
2
2
5．设 f (x) 2x ，则 f (x) 的一个原函数是（）
(a) x3 ,
(b) x2 1,
6．设 f (x) ex ，则 f (x) 为（
）
(c) 1 x2 c , (d) 2x c . 2
(a) 1 ex , (b) e2x , (c) ex c , (d) 2ex 1 . 2
7. cos xdx ( )
(a) cos x , (b) sin x , (c) sin x c ,
·
(d) cos x c.

定积分典型例题精讲

定积分典型例题例1 求332 1lim )n n n →∞+．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限.若对题目中被积函数难以想到,可采取如下方法:先对区间[0,1]n 等分写出积分和,再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限. 解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111n n n =?的一个因子 1 n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分.即 332 1lim )n n n →∞+=3 1lim )n n n n →∞+=3 4 =?. 例２ ? =___＿_＿_＿_．解法1 由定积分的几何意义知，0 ? 等于上半圆周22(1)1x y -+= （0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积.故0 ? = 2 π . 解法２本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ）,则 ? =22 tdt ππ-?=2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12 x e dx ?,2 1 2 x e dx ?,1 2 (1)x dx +?．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小,而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0x >时，()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增,从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上,有1x e x >+.又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?,从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???．解法2 在[1,2]上,有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ=++得1x e x >+.注意到 1 2 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?.因此 2 1 11 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>? ??.

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法）１） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法）１） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法）１） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分）１） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。

不定积分典型题型

不定积分典型题型 1. 原函数 2.积分公式 3.第一类换元积分法(也称凑微分法） 4.第二类换元积分法 5. 分部积分法原函数 1. 若F’(x)=f(x), G’(x)=f(x), 则 ?=dx x f )(（） A. G （x ） B. F （x ） C. F （x ）+C 分析：此题考查不定积分和原函数之间的关系。 2. 下列函数中，是同一个函数的原函数的为（） A.lnx,ln(x+2) B.arcsinx,arccosx C.lnx,ln2x 分析：验证两个函数的差是否为常数。运用对数函数的运算。Ln2x=ln2+lnx 积分公式 1.=? dx e x x 3 分析：运用公式 ? a x dx= a ln 1a x +C ，把3e 看做一个整体,化为x e )3(。答： C e x x ++3 ln 13 2.=+?dx x x 2 2 13 分析：对函数进行 “ 加一项减一项 ” 处理，则 C x x dx x x x dx x x +-=+-=+-+=+???)arctan (3)11 1(311131322222 3.=? dx x 2tan 分析：运用三角恒等式,1sec tan 2 2-=x x 则C x x dx x ec s dx x +-=-=? ?tan )1(tan 2 2 4. =?dx x x 22sin cos 1 分析：运用三角恒等式 sin 2x+cos 2x=1, 则 C x x dx x x dx x x x x dx x x +-=+=+=???cot tan )csc (sec sin cos cos sin sin cos 12 2222222.

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s <<

不定积分-定积分复习题及答案-精品

不定积分-定积分复习题及答案-精品不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分）

不定积分练习题

一. 单项选择题 1 ( D ); (A) (B) (C) (D) 2 设的一个原函数是，则（） (A) (B) (C) (D) 3 ，则（） (A) (B) (C) (D) 4 ( ); (A) (B) (C) (D) 5下列等式中正确的是 ( ); (A) (B) (C) (D) 6 ( ) (A) (B) (C) (D) 7 设且，则（） (A) (B) (C) (D) 8 设存在，则下式不正确的是( ) =?)(arcsin x d x sin C x +sin x arcsin C x +arcsin x x f 2tan 3 4 )(-=)2ln(cos x k ?=k 32- 3234-3 4C x x dx x f +=?ln )(=)(x f 1ln +x x x +ln 1ln +x x x x x +ln ?=xdx dx d cot x 2sec x tan x sec ln x cot 2 3 x dx x C =+?3 44x dx x C ---=+?sin cos xdx x C =-+?33x x dx C =+? 1 12dx x =-?ln |12|x C -+1 ln |12|2 x C - -+2 1 (12)C x +-1ln |12|2x --2 /11)(x x F -= 2 3)1(π = F =)(x F 2 arcsin π + x π+x arcsin 2 12π + -x π+-21x )(/ x f

(A) (B) (C) (D) 9若 ,则( ) (A) (B) (C) (D) 10 已知是的一个原函数，则( A ) （A ） (B) (C) (D) 二, 求下列不定积分１）２）３）４）５）６）７）８） 9） 10） 11） 12） 13） 14） 15） 16） )()(/x f dx x f ?=? +=c x f dx x f dx d )()(c x f dx x f +=? )2()2(/? =)2()2(x f dx x f dx d ? +=c e x dx x f x 22)(=)(x f x xe 22x e x 222x xe 2)1(22x xe x +x x +2 )(x f =? dx x xf )(/ c x +2 x x 21323+343 1 41x x +c x +22?2x dx ?x x dx 2dx x ?-2)2(dx x x ?+22 1??-?dx x x x 32532dx x x x ?22sin cos 2cos ?-++dx x x x 103322dx x x ?+33 dx x ?-3 )23(?-3 32x dx dt t t ? sin ?-+x x e e dx dx x x )cos(2?dx x x ?-4313dx x x ?3cos sin dx x ?3cos

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=?一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =?、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=??????、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κ??=+==-====???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]()()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+????、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______11 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+?、设则：

不定积分练习题

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）?2 x dx ２）?x x dx 2 ３）dx x ?-2 )2( ４）dx x x ?+2 2 1 - ５）??-?dx x x x 32532 ６）dx x x x ?22sin cos 2cos ７）dx x e x )32(? + ８）dx x x x )1 1(2?- > ２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ? -3 )23( ２）? -3 32x dx ３） dt t t ? sin ４）? ) ln(ln ln x x x dx /

５）?x x dx sin cos ６）?-+x x e e dx ７）dx x x )cos(2 ? ８）dx x x ?-4 3 13 】９）dx x x ?3cos sin 10）dx x x ?--2491 11） ?-122x dx 12）dx x ?3cos ' 13)?xdx x 3cos 2sin 14)? xdx x sec tan 3 15) dx x x ?+239 16)dx x x ?+22sin 4cos 31 ;

17) dx x x ? -2 arccos 2110 18)dx x x x ? +) 1(arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） } １）dx x x ?+2 11 ２）dx x ?sin ３）dx x x ? -42 ４）?>-)0(,222 a dx x a x / ５）? +3 2 ) 1(x dx ６） ?+ x dx 21 ７）?-+ 2 1x x dx ８） ?-+ 2 11x dx … ４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ? ２）? xdx arcsin

不定积分习题

习题课（六）内容：不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。 2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。 3．掌握不定积分的积分方法。 4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内容与方法精讲：一．原函数与不定积分的概念 1．原函数定义：在区间I 上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数) (x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。 2．原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I 上连续。则)(x f 在区间I 上有原函数。 3．不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作 ?+=C x F dx x f )()(. 4．不定积分与导数的关系：（1）先积分再求导（或微分） ?=')(])([x f dx x f ，或 ? =dx x f dx x f d )(])([；（2）先求导（或微分）再积分 C x F dx x F +='?)()(，或 ?+=C x F x dF )()(. 5．不定积分的线性性：（1）? ? =dx x f k dx x kf )()(；（2）? ??±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. 二．基本积分公式（略）三．不定积分的方法 1．拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。 2．凑微分法： C x F x d x f dx x x f +=='??)]([)()]([)()]([?????.

定积分的典型例题

定积分典型例题例1 求 2 1lim n n →∞ ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把 2 111n n n = ?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 2 1lim n n →∞ = 1lim n n →∞ = 34 = ? ．例2 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知， ? 等于上半圆周2 2(1) 1x y -+= (0y ≥) 与 x 轴所围成的图形的面积．故 ? =2 π．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π-≤≤ ），则 ? = tdt =2 tdt =2 20 2 cos tdt π ? =2 π 例3 比较 12 x e dx ? ，2 1 2x e dx ?，12 (1)x dx +?．分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当0 x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2]上，有1x e x >+．又 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ??? ．解法2 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．由泰勒中值定理2 12! x e e x x ξ =++ 得1x e x >+．注意到 12 2 1 ()()f x dx f x dx =-??．因此 2 11 12 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>> ? ?? ．例4 估计定积分2 02 x x e dx -? 的值．分析要估计定积分的值, 关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．解设 2 ()x x f x e -=, 因为 2 ()(21) x x f x e x -'=-, 令()0f x '=，求得驻点12 x = , 而 0 (0)1f e ==, 2 (2)f e =, 1 4 1 ()2 f e -=, 故 1 2 4 (),[0,2]e f x e x -≤≤∈,从而2 122 4 22x x e e dx e - -≤ ≤? ,所以 2 102 4 2 22x x e e dx e - --≤ ≤-? . 例5 设 ()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，且()0g x ≥，()0f x >．求lim (b a n g x →∞ ? ．解由于()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上有最大值M 和最小值m ．由()0f x >知0M >，0m >．又 ()0g x ≥()b a g x dx (b a g x ≤ ? ()b a g x dx ．由于1n n →→，故lim (b a n g x →∞ ? = ()b a g x dx ? ．例6求sin lim n p n n x dx x +→∞ ? , ,p n 为自然数．分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．

不定积分换元法例题

【不定积分的第一类换元法】已知 ()()f u du F u C =+? 求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????= =? ?? 【凑微分】 ()()f u du F u C = =+? 【做变换，令()u x ?=，再积分】 (())F x C ?=+ 【变量还原，()u x ?=】【求不定积分()g x dx ? 的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ??=?? （2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ????= =??? （3）作变量代换()u x ?=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ????==? ??()u f u d =? （4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+?求出原函数： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()d u u C f u F ==+? （5）将()u x ?=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得： ()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ????==???()()f u du F u C ==+?(())F x C ?=+ 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ?=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、9 9 9 9 (57)(57)(5711(57)(57)55 )(57)dx d x d x dx x x x x +=+?=+?= +?++? ? ? ? 110091(57)(57)(57)10111 (57)5550 d C x x x x C =?=?+=+++++? 【注】1 (57)'5,(57)5,(57)5 x d x dx dx d x +=+==+?? 2、1ln ln ln ln dx d x x x dx x x x =?=???? 221 (l 1ln ln (ln )2n )2x x x d C x C =?=+=+? 【注】111 (ln )',(ln ),(ln )x d x dx dx d x x x x ===?? 3（1）sin tan cos co si s cos cos n cos cos xdx d x xdx dx x d x x x x x --= ===? ???? cos ln |cos |c ln |co s |o s x x d C x C x =-=-+=-+?

不定积分经典习题

第六次习题课通过这一章的学习，我们认为应达到如下要求： 1、理解原函数、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本性质，牢记基本积分公式，了解并能灵活应用若干常用积分公式。 3、理解不定积分的换元积分法和分部积分法的基本思想并能熟练运用于不定积分的计算。 4、掌握有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的不定积分的计算方法和技巧。 ? 一、知识网络图 ? 原函数 ? ? ?1.基本概念?不定积分 ? ? ? ?不定积分的几何意义 ? ? 不不定积分的性质 ?2.性质与公式? ? ? ?基本积分公式定 ? 直接积分法 ? ? ?第一换元积分法(凑微分法) ? ? ? ?换元积分法? 积 ?3.计算方法? ?第二换元积分法 ? ? ? ?分部积分法分 ? ? ?查表法 ? ? 有理函数积分 ? ? ? 4.特殊函数的积分?三角函数有理式积分 ? ? 某些无理函数积分 ? ? ? 一、求不定积分：例 1. 计算 ? 2 arctan e x dx . e 2 x 提示： ? 2 arctan e x - ? arctan e x de -2 x = -[ e -2 x arctan e x - ? de x dx = ] e 2 x e 2 x (1 + e 2 x ) -2 x x de x de x = -[ e arctan e - ? e 2 x + ? ] (1 + e 2 x ) = - e -2 x arctan e x - 1 - arctan e x + C e x 例 2．计算 ? 1 dx x (1 + x )

不定积分典型题型

定积分典型例题20例答案(供参考)

不定积分例题及答案

定积分典型例题11198

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