《完全平方公式》典型例题
(1) (1)
《完全平方公式》典型例题利用完全平方公式计算:
2
(2 3X) ; (2) (2ab 4a)2 ; (3)
(1am2b)2
.
计算:
(3a 1)2 ; (2) ( 2x
用完全平方公式计算:
(3y |X)2 ; (2)
3
运用乘法公式计算:
(X a)(x (X 1)2(x
计算：(2x 3)2a)(X2
八2 / 2
1) (X
1 2
4X；
3y)2；
(3)
(a b)2 ;
a2); (2)
1)2
.
(2) (2a b
利用完全平方公式进行计算:
已知a b 3,ab
a2 b2; (2) a2
若 3( a2b2c2)
(3x y)2.
(3) (3a
(a b c)(a b
(1) 2012 ; (2)
12，求下列各式的值.
2 2 ab b2; (3) (a
b)2 .
(a b c)2，求证：a b
2
4b 5c)2.
c)
；
⑶(X y)2 (X y)2?
992 ; (3) (30-)2
3
参考答案
这几个题都符合完全平方公式的特征，可以直接应用该公式进
2 2 2
22 2 2 3x (3x)2
4 12x 9x 2 ;
1 （3） （-am
说明：（1）必须注意观察式子的特征，必须符合完全平方公式，才能应用该 公式；（2）在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现 (2 3x)2
4 12x 3x 2
的错误.
例2分析：（2）题可看成［（2x ） 3y ］2
，也可看成（3y 2x ）2
；（ 3）题可看
成［（3x y ）］2
，也可以看成［（3x ） y ］2
，变形后都符合完全平方公式.
解：(1) (3a 1)
(3a) 2 3a 1 1 9 a 2 6a 1
(2)原式(2x)2 2 ( 2x) 3y (3y)2
2 2
4x 12xy 9y
或原式(3y 2x)2
2 2
9y 12xy 4x
(3)原式[(3x
y)]2
(3x y)2 (3x)2
2 3x
2 2
或原式(3x)2 2 ( 3x) y
(2) (2ab 4a)2 (2ab)2 2 2ab 4a (4a)2 4a 2b 2 16a 2b 16a 2
;
例1分析:
行计算. 解：（
1）（2 3x)2
卜荷
2amb
4b 2.
2b)2
(3y)2 2 3y 2x (2x)2
9x 6xy y
9x 2 6xy y 2
说明：把题目变形为符合公式标准的形式有多种方式，做题时要灵活运用.
2
例3分析：第(1)小题，直接运用完全平方公式 -x 为公式中a , 3y 为公
3
式中b ,利用差的平方计算；第(2)小题应把(a b)2化为(a b)2再利用和的 平方计算；第(3)小题，可把任意两项看作公式中a ,如把(3a 4b)作为公式中 的a ，5c 作为公式中的b ,再两次运用完全平方公式计算.
解：(1) (3y
2 \2 (I x 3y)2 4 x 2 4xy 9y 2
(2) (a
b)2 =(a b)2
2 2
a 2a
b b
(3) (3a 4b 5c)2 (3a 4b)2 10c(3a 4b) 25c 2
2 2 2
=9a 30ac 40bc 2 5c
16b 2 4ab
2 2 2
(a b) a b .
例4 分析：第(1)小题先用平方差公式计算前两个因式的积，再利用完
全平方式计算.第(2)小题，根据题目特点，两式中都有完全相同的项 a c , 和互为
相反数的项b ,所以先利用平方差公式计算［(a c) b ］与［(a c) b ］的积, 再利用完全平方公式计算
(a c)2;第三小题先需要利用幕的性质把原式化为
［(x 10(x 1)(x 2
1)］2
，再利用乘法公式计算.
说明：计算本题时先观察题目特点，灵活运用所学过的乘法公式和幕的性质,
说明：运用完全平方公式计算要防止出现以下错误:
2 2 2
(a b) a b ,
解：(1)原式=(x 2
2
、i 2
2 \ I 2
a )(x a ) (x a 2)2 x 4 2a 2x 2 a 4
(2)原式=[(a
c) b][(a c) b]
2 2
(a c) b
2
=a
_ 2 , 2
2 ac c b
(3)原式=[(x
2 2
1)(x 1)(x
2 2 2
[(x 1)( x 1)] = (x 4
1)2
x 8
2x 4
1
(2) 以达到简化运算的目的.
例5分析：（1）和（3）首先我们都可以用完全平方公式展开，然后合并同 类项；第（2）题可以先根据平方差公式进行计算，然后如果还可以应用公式, 我们继续应用公式.
说明：当相乘的多项式是两个三项式时，在观察时应把其中的两项看成一个
整体来研究.
例6分析：在利用完全平方公式求一个数的平方时，一定要把原有数拆成 两个数的和或差.
解：(1) 2012 (200 1)2 2002 2 200 1 40401 ；
20
900 例7 分析：（1 ）由完全平方公式（a b ）
2 2
a 2a
b b ，可知
2 .2 a b (a b)2 2ab ，可求得a 2 b 2
33; (3) ab b 2
a 2
b 2 ab 33 (12) 45 ；
(a b)2
2ab b 2
33
(12)
解：
（1）
a 2
b 2 (a b)2 2ab 12) 9 24
33 (2) a 2 ab b 2 (a 2 b 2
)
ab 33
(12) 33
12 45
1 解：(1) (^x
3)1 2 1 2 -X 4 (2) (2a b
-)(2a b 2
[x 2
4
2)
1 2
3x 9 -x 2
9
4
1 [(2a b) -][(
2 2 2 1
(2a b)2
- 4
(3) (X y)2 (X y)2 2xy y 2 (x 2
2 _ 2 2
X 2xy y x
a b) -] 2
4a 4ab b
2xy y 2) 2xy y 2
4xy
(2) 992
(100 1)2 1002
2 100 1 9801
1 2 1 2 ⑶ ?O?2 = (30
g 2 302
30 1 (3)2
3x
2
1 ? —
4
(3) (a b)2 a2 2ab b2 (a2 b2) 2ab
说明：该
2 2 2 a b (a b)
33 2 ( 12) 33 题是(a b)2 a2 2ab
2ab，再进行代换.
例8 分析：得到a b 0,b c 公式（a b 「c)2 a
证
明：
由 3(a2 3a23b2 3c2
2a22b2 2 c2
则(a22ab b
0, c a
a2 b2
b2 c2)
2b2c2
由已知条件展开，若能得出
0,进而a b,b
2ab 2ac 2bc
(a b c)2,得
c2
2ab 2ac
2) (b2 2bc
(a b)2 (b c)2(c a)2
24 57
b2
(a
CC
2ab 2bc 2ac
2bc 0.
c2) (c2 2ac
.
(a b)2 0,(b c)20,(c a)2 0.
a b 0,b c 0,c a 0.
即 a b,b c,c a,得a b c.
是灵活运
b)2 (b c)2
a a
b c,
a2) 0
用，变形为
(C a)20,就可
同时此题还用到
1