第一部分 函数与极限学习指导

第一部分 函数与极限

一、内容提要

1．函数是微积分是研究的对象。它反映了客观世界中变量间的依赖关系，它有两个要素：对应规则和定义域。这是函数概念中最本质的东西，只要对应规则和定义域都相同，则就是同一个函数，而与函数中的自变量和因变量用什么字母表示是无关的。如果两个函数的对应规则和定义域不完全相同，则就是两个不同的函数。另外，在函数的定义中重要的是，自变量在定义域内每取得一个数值时，因变量总有确定的值与它对应。至于函数的表达方式，在定义中并没有限制；函数可以用公式(—个或几个)表示，也可用图形或表格表示。

2．基本初等函数有六类，常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。初等函数是微积分研究的主要对象，而初等函数是由基本初等函数构成的。因此，熟练掌握基本初等函数的图形及特性就显得十分必要。

3．极辗概念是在研究函数的变化趋势过程中抽象出来的一个重要概念，它是微积分的基本概念之一。极限方法又是微积分中的基本分析方法。所以对于极限概念和极限方法都应较好地掌握。函数极限的形式虽然很多，但主要的是A x f x x =→)(lim 0及A x f x =∞

→)(lim 两种。只要把这两种形式的精确定义能理解清楚，那么其它各种极限形式的定义也就迎力而解了。因此，我们在学习过程中务必对这两种定义花较多的时间，反复体会定义中的绝对值不等式之间的联系。这两个定义既是重点又是难点，必须突破难点抓住重点。

4．如果函数

)(x f 当0x x →（或∞→x ）时的极限为零，这时函数)(x f 称为0x x →（或∞→x ）时的无穷小，无穷小的概念在极限理论中是一个重要的概念；特别是在定理

2.1尤为重要，它指出

A x f =)(lim 与α+=A x f )(（其中0→α）

这两件事是等价的。它说明了无穷小与一般极限之间的关系，从无穷小量的性质过渡到极限运算法则，主要是根据上述关系而得到的。

5．有了关于极限的运算法则以后，我们就可以解决有理分式(分母的极限不为零)的求极限问题。当分母的极限为零时，就要灵活地寻找其他方法求极限。

6．根据两条极限存在准则，我们证明了两个重要极限：1sin lim 0

=→x x x 及e x x =+∞

→)11(lim 。从而可使较多的求极限问题得以解决。

7．无穷小的比较基本上有三种情形： 如果0lim =β

α，则称β是比α高阶的无穷小，记作)(αοβ=； 如果∞=β

αlim ，则称β是比α低阶的无穷小； 如果0lim ≠=c β

α，则称β与α是同阶的无穷小。 (特殊情形是1lim

=βα，此时称β与α是等价无穷小，记作βα~。) 由无穷小比较的结果可以看出分子、分母中哪一个趋向于零比较快些；或者两者趋向于零的“快慢相仿”。另外，在求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可以用等价无穷小来代替。

8．函数)(x f 在点0x 处连续的定义可以用三种形式：

0)](([lim 000=-?+→?x f x x f x 或)()(lim 00x f x f x x =→或用δε-的说法来表达，

这三种表达形式在本质上是没有区别的．

9．函数的间断点分为第一类和第二类。如果0x 是函数)(x f 的间断点，

但)0(0-x f 及)0(0+x f 都存在。则称0x 为函数)(x f 的第一类间断点。如果0x 是函数)(x f 的第一类间断点，且)(lim 0x f x x →存在，则称0x 为函数)(x f 的可去间断点。除去第一类以外的间断

点都称为第二类间断点，例如无穷间断点及振荡间断点都属于第二类间断点。

10．我们首先说明了所有基本初等函数在它们的定义域内部是连续的。然后根据连续函数的和、积及商的连续性定理及复合函数的连续性定理就可以得到重要结论：一切初等函数在其有定义的区间内都是连续的。从而使得很多函数的极限可以方便地求到。

11．对于在闭区间上连续的函数有两个重要定理：最大值最小值定理及介值定理。这些定理在解题和推理时，都是很有用的。因此，必须弄清定理中的条件和结论。

二、学习指导

1．为了帮助我们能顺利地理解极限的定义，熟悉一下有关绝对值不等式的解法是非常必要的。下面我们来举例说明绝对值不等式的几何意义。

例1 解3|1|<+x ，并说明它的几何意义。

解：因3||

由此可见，3|1|<+x 的几何意义是以1-=x 为中心，以3为半径的一个邻域。

例2 解3|1|0<+

解：所给不等式要求满足两个条件：第一，3|1|<+x ，第二，|1|

0+

为中心，以3为半径的一个邻域，但其中点1-=x 本身必须除去。

从上面的例子可以体会到：在几何上，||

a x -表示坐标为x 和坐标为a 的两点间的距离。如果δ表示一正数（0>δ），则不等式δ<-||a x 表示以点a 为中心，以δ为半径的邻域，不等式δ<-<||0a x 表示以点a 为中心，以δ为半径的邻域，不过这邻域的中心a 必须除去。

2．函数2+=x y 与2

42--=x x y 是否是相同的函数? 要回答这个问题，只要对照函数的定义即可。我们知道，如果两个函数的对应规则和定义域不完全相同，则就是两个不相同的函数。由于2+=x y 的定义域是),(+∞-∞ ，而

2

42--=x x y 的定义域是),2()2,(+∞-∞ ，所以这两个函数是不相同的函数。 3．在学习反函数时，必须注意：如果)(y x ?=是)(x f y =的反函数，我们不能把)(y x ?=理解为一定是从直接函数)(x f y =中解出来的。

首先要明确，)(x f y =只表示y 与x 之间有一种函数关系，这函数可能是用一个式子

表示的，也可能是用几个式子表示的，也可能根本不是用式子表示的。把)(x f y =

认为一

定是由一个式子表示的看法是不正确的。而且，即使)(x f y =是由一个式子表示时，要从

这个式子中解出x 来也不一定是可能的。在反函数的概念中，并没有规定

)(x f y =一定是由一个式子表示的，更没有规定x 一定要解得出来。因此—般来说，不能把)(y x ?=看作—定是从)(x f y =

中解出x 来而得到的。虽然就课本中所举的例子来看，)(y x ?=的确都是从)(x f y =中解出来的，但这些都是特殊的，简单的例子而巳。此外应该认识，如果)(y x ?=是)(x f y =的反函数，则)(x y ?=也是)(x f y =的反函数。这是因为当两个函数的定义域及对应规则完全相同时(自变量与因变量用什么字母表示是无关紧要的)，这两个函数就是相同的函数。现在函数)(y x ?=(y 是自变量，x 是因变量)与)(x y ?=(x 是自变量，y 是因变量)的定义域是相同的，而且对应规则也相同，所以)(y x ?=与)(x y ?=表示同一个函数；它们同为)(x f y =的反函数。

4．利用函数的图形可以清楚地了解函数的性态。目前我们应该熟悉各类基本初等函数的图形和性态。对于一个初等函数来说，要想作出它的图形，并不是容易的事。现在我们只可利用基本初等函数的图形作出一些比较简单的函数图形。对于一般的函数图形的作法，我们将在以后的章节中加以讨论。

5．关于复合函数，我们主要应掌握把一个复合函数热练地通过复合步骤分成几个基本初等函数，也应能根据几个中间变量写出复合函数。因为这些对于以后学习导数及不定积分都是十分重要的。

6．数列的极限定义是：如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正整数N ，使得对于N n >时的一切n x ，不等式ε<-||a x n 总成立，则称a 是数列n x 的极限。数列

的极限定义也称为数列的极限的N -ε说法。这一说法主要是由(与ε

和N 相联系的)两个不等式

N n >和ε<-||a x n 所组成的。后一个不等式反映出变量n x 和常量a 接近的状态，而前一个不等式则指出变量n x 和常量a 接近到这种状态时在变化过程中所处的阶段，即变量n x 在变化过程中，对于N n >时的n x ，总在以a 为中心，以ε为半径的邻域内。由于定义中要求对于任意给定的ε>0，总存在正整数N ，使得对于N n >时的一切n x ，不等式ε<-||a x n 总成立，即当N n >时的一切点n x 总在以a 为中心、以ε为半径的邻域内，这就体现

了当∞→n 时a x n →的实质。

7．初学极限的慨念时，多数学生对N -ε说法不太习惯。如果对ε(接近的状态．)和N (在变化过程中所处的阶段)的含义反复体会，充分理解后，再经过适当的练习，就会感到习惯。在讲函数的极限概念时，用的是δε

-说法，它与N -ε说法的实质是相似的。因此，习惯了N -ε说法后，也就不准理解δε-说法。从而为理解其他情形的极限定义而打下基础。由于微积分中的其他许多重要概念，如连续、导数，微分及定积分等等，都要用到极限的概念，因此，掌握极限的概念是十分重要的，务必予以足够重视。

8．我们知道，如果不存在正数M ，使得当x 取函数的定义域内的任何一个值时，对应的函数值)(x f 都可满足M x f ≤|)(|，则称)(x f 在定义城内无界。因此，由无穷大的定义显然可知，如果函数)(x f 是无穷大(即如果∞=→)(lim 0x f x x 或∞=∞

→)(lim x f x )，则它在定义域内必是无界的。但反过来说不一定成立，因为在定义城内无界的函数可以不是无穷大。例如，函数x x x f s in )(=的定义域是),(+∞-∞ 。在),(+∞-∞ 内函数

x x x f s in )(=是无界的，因为对于任意的0>M 总可以找到x 值使得M x x >|sin |，但是x x x f s i n )(=并不是无穷大，即没有∞=∞→)(lim x f x 的结论，因为当

,3,2,,0πππ=x 时，函数值为零。

9．求极限有下面一些方法：

（1）利用极限四则运算法则直接求极限；

（2）如果0x 是)(x f 的连续点，则只要求出)(0x f 代替)(lim 0

x f x x →即可。 （3）先进行代数处理(如消去公因子，分子分母同除最高次幂以及同乘共轭根式等)，再用第（1）条求出极限；

（4）通过变量代换化为两个重要极限，从而求出极限。

虽然我们有了一些计算极限的方法，但分子、分母同时为无穷小或同时为无穷大等情形，有时还不能依第（2）条或第（3）条求出极限。进一步的有效方法将有待于后续章节的罗必塔法则的学习。

10．连续是函数的一种重要性态，而微积分中所研究的函数又绝大多数是连续函数，所以必须理解函数连续性的概念。函数连续性的概念包括‘一点处连续”及“在区间上连续”两个方面。重点是前者，其定义有三种等价的表达形式。第一种，0lim 0=?→?y x 常被用来判断一

个函数在某区间上的连续性。第二种：)()(lim 00x f x f x x =→常被用来判断函数在某一点是

否连续，特别是用于判断分段函数布界点处”是否连续。第三种，“δε

-”的说法只要求了

解一下就行了，因为它主要是用于理论性的探讨中。 11．关于函数的间断点，要弄清每一种间断点的含义并会判别类型。顺便指出；将间断点分为第一类和第二类是与微积分的研究对象有关的。因为在微积分中，主要是研究连续函数及具有第一类间断点的函数，而具有第二类间断点的函数极少遇到，所以我们应重点掌握第一类间断点的判别，特别是可去间断点。