华理高数全部复习资料之数列与无穷级数
第8章 数列与无穷级数
（一） 数列 1． 数列极限的定义
若ε?>0，?正整数N ，使得当N n >时成立n a L -<ε,则称常数L 是数列}{n a 的极限，
或称数列}{n a 收敛于L ，记为L
a n n =∞→lim 。否则称数列}{n a 发散。 2． 数列极限的运算法则 若
()1
lim L a n n =∞
→，2
lim L b n n =∞
→，c 是常数，则
()1
lim cL ca n n =∞
→；
()21lim L L b a n n n ±=±∞→；
()2
1lim L L b a n n n =∞
→；
()0,lim
221
≠=∞→L L L b a n n n 。
3．
数列极限的性质
(1)若L
a n x =∞→lim >0则正整数?N ，当N n >时成立n a >0；L
b a N n N n n n =≥>?∞→lim ,0且时成立，当正整数若，则0≥L 。
(2) 收敛数列是有界数列。 4．数列极限的存在性准则 (1) 夹逼准则（夹逼定理）:
L
b L
c a c b a N n N n n n n n n n n n ===≤≤>?∞
→∞
→∞
→lim ,lim lim ,则且时成立，当正整数若（2）单调有
界准则（数列的单调有界收敛定理）: 单调有界数列必有极限。 5． 数列极限与函数极限的联系
对于数列{}
n
a，若存在定义域包含[)∞
，
1的函数()x f，使()n f n a=，且()L
x
f
x
=
+∞
→
lim
，
且
L
a
n
n
=
∞
→
lim
。
6．数列与数列的关系
（1）若
L
a
n
n
=
∞
→
lim
，
{}
k
n
a是{}n a的一个子数列，则L
a
k
n
k
=
∞
→
lim
。
（2）若
L
a
a
k
k
k
k
=
=
+
∞
→
∞
→
1
2
2
lim
lim
，则
L
a
n
n
=
∞
→
lim
。
（二）无穷级数的基本概念1．级数敛散性的定义
称
∑
=
=
n
k
k
n
u
s
1为级数
∑∞
=1
n
n
u
的前n项部分和
() ,2,1=n，而称数列{}
n
s为级数
∑∞
=1
n
n
u
的部
分和数列。
若级数∑∞
=1
n
n
u
的部分和数列
{}
n
s收敛，即s
s
n
n
=
∞
→
lim
，则称级数
∑∞
=1
n
n
u
收敛，称s为该级
数的和，记为
s
u
n
n
=
∑∞
=1，同时称
∑∞
+
=
=
-
=
1
n
k
k
n
n
u
s
s
r
为级数
∑∞
=1
n
n
u
的余和。
若级数∑∞
=1
n
n
u
的部分和数列
{}
n
s发散，则称级数
∑∞
=1
n
n
u
发散。
2．级数的基本性质
（１）若
s
u
n
n
=
∑∞
=1，c是常数，则
cs
cu
n
n
=
∑∞
=1。
（2）若∑∞
=1
n
n
u
=s，
σ
=
∑∞
=1
n
n
v
，则
()σ+
=
+
∑∞
=
s
v
u
n
n
n
1。
（3）若∑∞
=1
n
n
u
收敛，则
∑∞
+
=1
m
n
n
u
也收敛，其中m任一正整数；反之亦成立。
（4）收敛级数添加括弧后仍收敛于原来的和。
（5）级数收敛的必要条件：若∑∞
=1
n n
u
收敛，则0
lim =∞
→n n u 。
（三）数项级数 1．正项级数
（1）正项级数∑∞
=1
n n
u
收敛的充要条件是其部分和数列{}n s 有界。
（2）正项级数的比较判别法及其极限形式
设()
,2,10=≤≤n v u n n ，（１）若∑∞
=1
n n
v
收敛，则∑∞
=1
n n
u
收敛；（２）若∑∞
=1
n n
u
发散，
则∑∞
=1
n n
v
发散。
设∑∞
=1n n u 与∑∞
=1n n v 均是正项级数，若()+∞<<=∞→l l v u n n
n 0lim ，则∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 具有相同
的敛散性。
（3）正项级数的积分判别法
对于正项级数∑∞
=1n u
，若存在单调减少的连续函数()x f ，使得()n u n f =，则级数∑∞
=1
n n
u 与广义积分()dx
x f ?+∞
1
具有相同的敛散性。
（4）正项级数比值判别法的极限形式
设∑n u 为正项级数，且ρ
=+∞→n n n u u 1
lim
, 则
（a ）ρ<1时，级数∑n u 收敛；
（b ）当ρ>1（包含+∞=ρ）时，级数∑n u 收敛； （c ）当1=ρ时，本判别法失效。 （5）正项级数根值判别法的极限形式
设∑n
u
为正项级数，且ρ
=∞
→n n n u lim , 则
（a ）当ρ<1时，级数∑n u 收敛；
(b) 当ρ>1（包含+∞=ρ）时，级数∑n u 发散； ( c) 当1=ρ时，本判别法失效。 2．交错级数的莱布尼兹判别法
若正数列｛n u ｝单调减少，且0
lim =∞→n n u , 则交错级数∑∞
=+-1
1
)
1(n n
n u （及∑∞
=-1
)
1(n n
n
u ）
收敛，且余和1+≤n n u r 。 3. 绝对收敛与条件收敛
若∑n u 收敛，则称∑n u 绝对收敛；
若∑n u 发散，而∑n u 收敛，则称∑n u 条件收敛。 绝对收敛级数∑n u 必收敛。
绝对收敛级数的任一更序级数仍绝对收敛于原级数的和。 （四）幂级数
1．幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域 （1）阿贝尔定理
若幂级数∑∞
=0n n
n
x
a
在某点0x x =(≠0)处收敛，则∑∞
=0n n
n
x a
在区间（00,x x -）内的
任一点处均绝对收敛；
若幂级数n
n n
x
a
∑∞
=0
在某点1x x =处发散，则n
n n
x a
∑∞
=0
在满足1x x >的任一点x 处均发散。
（2）收敛半径的定义
若幂级数∑∞
=0
n n
n
x a
不是仅在点x=0处收敛，也不是在（∞+∞-，
）内的任一点处均收敛，则存在正数r ，使当r x <时，∑∞
=0
n n
n
x
a
收敛；而当r x >时，∑∞
=0
n n
n
x a
发散，称此正数
r 称为幂级数∑∞
=0
n n
n
x
a
的收敛半径。当∑∞
=0
n n
n
x a
仅在点x =0处收敛时，定义收敛半径r =0; 当
∑∞
=0
n n
n
x a
在（∞+∞-，
）上都收敛时，定义收敛半径r =+∞。 (3) 收敛半径的计算
设幂级数∑∞
=0n n
n x a 满足n a 0≠,N n >（这里的N 是某个正整数）,且L a a n
n n =+∞→1
lim
，则
（a ）当L>0时，r =L 1
;
(b) 当L=0时，r = +∞; (c) 当L= +∞时，r =0。 （４）收敛区间与收敛域
当幂级数∑∞
=0n n
n
x
a
的收敛半径r>0时，称（r r +-，
）是它的收敛区间；当判定∑∞
=0n n
n
x a
在x =r ±处的敛散性后，可确定其收敛域。 2．幂级数的运算 （1）代数运算
设
)
(10x s x a
n n n
=∑∞
=，收敛域为2I ，收敛半径1r >０，
)(20
x s x b
n n n
=∑∞
=，收敛域2I ，收敛半径2r >０，
则
a) =
±∑∞
=n
n n n
x b a
)(0
±
∑∞
=n
n n
x a
n
n n
x b
∑∞
=0
＝)()(21x s x s ±，收敛域为21I I ?；
b) )0
(n x n n a ∑∞==
∑∞
=)0(n x n n
b n
k n k n
k n x b a )(0
-=∞=∑
∑
＝)()(21x s x s ，收敛半径),m in(21r r r = （这里两个幂级数的乘积是柯西乘积）。 （2）、分析运算
设)
(0
x s n x c
n n
=∑∞
=，收敛域I ，收敛半径0>r ，则
a) 和函数)(x s 在I 上连续；
b) 和函数)(x s 在),(r r -内可导且可逐项求导：
∑∑∞
=-∞
===1
1
)'()('n n n n n
n x nc x c x s )(r x r <<-；
ｃ）和函数)(x s 在),(r r -内可积，且可逐项积分：
?
x
dx
x s 0
)(=
?
∑∞
=x n n
n dx
x c 0
=1
01+∞
=∑+n n n x n c ，)(r x r <<-；
3． 幂级数的展开 （1）函数的泰勒级数
设函数f(x)在点x 0的某个邻域内有任意阶导数，则称幂级数
n n n x x n x f
)(!)(00
0)
(-∑
∞
== +-+))((')(000x x x f x f +!)(0)(n x f n n
x x )(0-+…
为f(x)在点x 0的泰勒级数。而称
n n n x
n f
∑
∞
=0
)
(!)0(= ++x f f )0(')0(+!)0()(n f n n x +…
为f(x)的麦克劳林级数（0x =0时的泰勒级数）。 （2）函数的幂级数展开（间接展开法）
利用五个初等函数的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的代数运算，分析运算， 变
量代换等手段，求给定函数的幂级数展开式。
复习指导：
第8章 数列与无穷级数
（一）、数列
计算数列的极限，通常可利用代数恒等变形、数列极限的运算法则和利用函数极限的方法。这里必须注意的是：由于数列是定义域为离散点集的函数，故不能直接使用洛必达法则，如需使用此法则，必须先化成具有连续变量的函数，再利用函数极限计算数列极限。 假定数列由递推公式)(1-=n n a f a 定义，则一般可考虑利用数列的单调有界收敛定理。 如果数列的通项是由n 个项的和构成，通常可考虑利用夹逼定理或定积分的定义，也可以考虑先将和求出来，再求极限。 （二）、无穷级数的基本概念 1、级数敛散性的定义
每个级数∑∞
=1
n n
u
涉及到两个数列：一是由其项构成的数列｛u n ｝，二是由其部分和构
成的数列｛s n
｝。级数
∑∞
=1
n n
u
的敛散性是用｛s n ｝的敛散性定义的。
一般，即使级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，要求其和也是很困难的。但只要级数∑∞
=1
n n
u
收敛，我们就
可以用部分和近似表示它的和，其误差为n r 。故我们首先关心的是判断级数的敛散性。
２、级数的基本性质
（１）、在级数的每一项上同乘以一不为零的常数，级数的敛散性不变。
（２）、收敛级数可以逐项相加。而且，若∑∞
=1
n n
u
收敛，∑∞
=1
n n
v
发散，则必有
∑∞
=+1
)
(n n n
v u
发散。
（３）、在级数的前面添上或去掉有限项，不影响级数的敛散性。
（４）、收敛级数可以加括弧，即满足加法的结合律。若加括弧后的级数发散，则原级数
发散。
（５）、n
n u ∞
→lim ＝０是级数∑n
u 收敛的必要条件，但不是充分条件。因此由
n
n u ∞
→lim ≠
０可推得级数∑n u 发散。
若需证明数列{ n a }收敛于零，也可考虑以下方法：证明级数∑n a 收敛，再利用级数收敛的必要条件得{ n a }收敛于零。 （三）、数项级数 １、正项级数
（１）、首先得注意多种正项级数判敛法使用的前提，就是必须是正项级数。
（２）、一般，对于通项含有阶乘、指数函数、幂指函数等因式的正项级数，可优先考虑利用比值判别法；对于通项含有指数函数、幂指函数等因式，但不含阶乘因式的正项级数，可考虑利用根值判别法；以n 的幂（整数幂或分数幂）有理式为通项的正项级数，因为
n ∞→时，通项关于无穷小n 1
的阶数易观察而得，应优先考虑与p 级数比较，（利用比
较判别法或其极限形式）。
（３）、比较判别法的比较对象，一般可取等比级数和p 级数，故下列结论应牢记。
等比级数∑∞
=-1
1
n n aq
当q
<1时，收敛于q
a
-1，当 q ≥1时发散。
P 级数∑∞
=11n p
n ，当p>１时收敛，当p ≤１时发散。
２、交错级数的莱布尼兹判别法
这里需指出，与其他的判别法一样，莱布尼兹判别法也仅是充分条件并不必要。 对于莱布尼兹型级数，其“截断误差”有估计式n r ≤1+n u
３、绝对收敛与条件收敛
（１）、判断变号级数的敛散性，是指判断其绝对收敛、条件收敛还是发散。 （２）、若n u ∑发散，且此结论是由正项级数的比值或根值判别法而得，则必有0lim ≠∞→n n u ，因而立即可得 ∑n u 发散。 （四）、幂级数
1、幂级数的收敛半径，收敛区间和收敛域
（1）、幂级数的条件收敛点必是其收敛域的端点。
（2）、对于“缺项”的幂级数，不能直接利用公式求收敛半径，我们可以将x 任意取定为一常数，再利用正项级数的比值或根值判别法来确定其收敛半径。 2、幂级数的运算
利用幂级数逐项微分或逐项积分的运算，可能会改变其收敛区间端点上的敛散性。 3．幂级数的展开
通常利用间接法展开。这里首先需要注意的是基点，如果是将函数)(x f 在点0x 处展开为
泰勒级数，是指将)(x f 表达成 n
n x x a )(0-∑的形式。一般，对数函数可利用)1ln(x +的麦克劳林级数，指数函数利用x
e 的麦克劳林级数等等，又，反三角函数或变限积分函数常
常
先求导再展开。
若在展开过程中，利用了幂级数的乘法，逐项微分和逐项积分的运算，则收敛区间端点上的敛散性需重新判断。
求所得幂级数的收敛域是函数的幂级数展开的必要步骤之一，千万不要遗漏。 4．求幂级数的和函数与收敛数项级数的和
若在幂级数的项中没出现阶乘记号，通常利用幂级数的运算，将其化为等比级数，利用等比级数收敛性的结论求幂级数在收敛域上的和函数。若在幂级数的项中出现阶乘记
号，则利用 x e 、sinx 、cosx 的麦克劳林级数展开式，通过幂级数的运算，求其在收敛
域上的和函数。
求收敛数项级数的和，可以利用级数敛散性的定义，即计算n n S
∞→lim 。也可构造幂级数，使收敛的数项级数成为幂级数在其收敛域内某点处的值，通过计算幂级数在收敛域上的和函数达到目的。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）