Copula理论及MATLAB应用实例

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% Copula理论及应用实例

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%******************************读取数据************************************* % 从文件hushi.xls中读取数据

hushi = xlsread('hushi.xls');

% 提取矩阵hushi的第5列数据，即沪市的日收益率数据

X = hushi(:,5);

% 从文件shenshi.xls中读取数据

shenshi = xlsread('shenshi.xls');

% 提取矩阵shenshi的第5列数据，即深市的日收益率数据

Y = shenshi(:,5);

%****************************绘制频率直方图********************************* % 调用ecdf函数和ecdfhist函数绘制沪、深两市日收益率的频率直方图

[fx, xc] = ecdf(X);

figure;

ecdfhist(fx, xc, 30);

xlabel('沪市日收益率'); % 为X轴加标签

ylabel('f(x)'); % 为Y轴加标签

[fy, yc] = ecdf(Y);

figure;

ecdfhist(fy, yc, 30);

xlabel('深市日收益率'); % 为X轴加标签

ylabel('f(y)'); % 为Y轴加标签

%****************************计算偏度和峰度********************************* % 计算X和Y的偏度

xs = skewness(X)

ys = skewness(Y)

% 计算X和Y的峰度

kx = kurtosis(X)

ky = kurtosis(Y)

%******************************正态性检验*********************************** % 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对X进行正态性检验

[h,p] = jbtest(X) % Jarque-Bera检验

[h,p] = kstest(X,[X,normcdf(X,mean(X),std(X))]) % Kolmogorov-Smirnov检验

[h, p] = lillietest(X) % Lilliefors检验

% 分别调用jbtest、kstest和lillietest函数对Y进行正态性检验

[h,p] = jbtest(Y) % Jarque-Bera检验

[h,p] = kstest(Y,[Y,normcdf(Y,mean(Y),std(Y))]) % Kolmogorov-Smirnov检验

[h, p] = lillietest(Y) % Lilliefors检验

%****************************求经验分布函数值******************************* % 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数

[fx, Xsort] = ecdf(X);

[fy, Ysort] = ecdf(Y);

% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值

U1 = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);

V1 = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);

% 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数

[fx, Xsort] = ecdf(X);

[fy, Ysort] = ecdf(Y);

% 提取fx和fy的第2个至最后一个元素，即排序后样本点处的经验分布函数值

fx = fx(2:end);

fy = fy(2:end);

% 通过排序和反排序恢复原始样本点处的经验分布函数值U1和V1

[Xsort,id] = sort(X);

[idsort,id] = sort(id);

U1 = fx(id);

[Ysort,id] = sort(Y);

[idsort,id] = sort(id);

V1 = fy(id);

%*******************************核分布估计********************************** % 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值

U2 = ksdensity(X,X,'function','cdf');

V2 = ksdensity(Y,Y,'function','cdf');

% **********************绘制经验分布函数图和核分布估计图********************** [Xsort,id] = sort(X); % 为了作图的需要，对X进行排序

figure; % 新建一个图形窗口

plot(Xsort,U1(id),'c','LineWidth',5); % 绘制沪市日收益率的经验分布函数图

hold on

plot(Xsort,U2(id),'k-.','LineWidth',2); % 绘制沪市日收益率的核分布估计图

legend('经验分布函数','核分布估计', 'Location','NorthWest'); % 加标注框

xlabel('沪市日收益率'); % 为X轴加标签

ylabel('F(x)'); % 为Y轴加标签

[Ysort,id] = sort(Y); % 为了作图的需要，对Y进行排序

figure; % 新建一个图形窗口

plot(Ysort,V1(id),'c','LineWidth',5); % 绘制深市日收益率的经验分布函数图

hold on

plot(Ysort,V2(id),'k-.','LineWidth',2); % 绘制深市日收益率的核分布估计图

legend('经验分布函数','核分布估计', 'Location','NorthWest'); % 加标注框

xlabel('深市日收益率'); % 为X轴加标签

ylabel('F(x)'); % 为Y轴加标签

%****************************绘制二元频数直方图***************************** % 调用ksdensity函数分别计算原始样本X和Y处的核分布估计值

U = ksdensity(X,X,'function','cdf');

V = ksdensity(Y,Y,'function','cdf');

figure; % 新建一个图形窗口

% 绘制边缘分布的二元频数直方图，

hist3([U(:) V(:)],[30,30])

xlabel('U（沪市）'); % 为X轴加标签

ylabel('V（深市）'); % 为Y轴加标签

zlabel('频数'); % 为z轴加标签

%****************************绘制二元频率直方图***************************** figure; % 新建一个图形窗口

% 绘制边缘分布的二元频数直方图，

hist3([U(:) V(:)],[30,30])

h = get(gca, 'Children'); % 获取频数直方图的句柄值

cuv = get(h, 'ZData'); % 获取频数直方图的Z轴坐标

set(h,'ZData',cuv*30*30/length(X)); % 对频数直方图的Z轴坐标作变换

xlabel('U（沪市）'); % 为X轴加标签

ylabel('V（深市）'); % 为Y轴加标签

zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签

%***********************求Copula中参数的估计值****************************** % 调用copulafit函数估计二元正态Copula中的线性相关参数

rho_norm = copulafit('Gaussian',[U(:), V(:)])

% 调用copulafit函数估计二元t-Copula中的线性相关参数和自由度

[rho_t,nuhat,nuci] = copulafit('t',[U(:), V(:)])

%********************绘制Copula的密度函数和分布函数图************************ [Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31)); % 为绘图需要，产生新的网格数据

% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元正态Copula密度函数值

Cpdf_norm = copulapdf('Gaussian',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);

% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元正态Copula分布函数值

Ccdf_norm = copulacdf('Gaussian',[Udata(:), Vdata(:)],rho_norm);

% 调用copulapdf函数计算网格点上的二元t-Copula密度函数值

Cpdf_t = copulapdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);

% 调用copulacdf函数计算网格点上的二元t-Copula分布函数值

Ccdf_t = copulacdf('t',[Udata(:), Vdata(:)],rho_t,nuhat);

% 绘制二元正态Copula的密度函数和分布函数图

figure; % 新建图形窗口

surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_norm,size(Udata))); % 绘制二元正态Copula密度函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签

ylabel('V'); % 为Y轴加标签

zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签

figure; % 新建图形窗口

surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_norm,size(Udata))); % 绘制二元正态Copula分布函数图xlabel('U'); % 为X轴加标签

ylabel('V'); % 为Y轴加标签

zlabel('C(u,v)'); % 为z轴加标签

% 绘制二元t-Copula的密度函数和分布函数图

figure; % 新建图形窗口

surf(Udata,Vdata,reshape(Cpdf_t,size(Udata))); % 绘制二元t-Copula密度函数图

xlabel('U'); % 为X轴加标签

ylabel('V'); % 为Y轴加标签

zlabel('c(u,v)'); % 为z轴加标签

figure; % 新建图形窗口

surf(Udata,Vdata,reshape(Ccdf_t,size(Udata))); % 绘制二元t-Copula分布函数图

xlabel('U'); % 为X轴加标签

ylabel('V'); % 为Y轴加标签

zlabel('C(u,v)'); % 为z轴加标签

%**************求Kendall秩相关系数和Spearman秩相关系数*********************** % 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Kendall秩相关系数

Kendall_norm = copulastat('Gaussian',rho_norm)

% 调用copulastat函数求二元正态Copula对应的Spearman秩相关系数

Spearman_norm = copulastat('Gaussian',rho_norm,'type','Spearman')

% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Kendall秩相关系数

Kendall_t = copulastat('t',rho_t)

% 调用copulastat函数求二元t-Copula对应的Spearman秩相关系数

Spearman_t = copulastat('t',rho_t,'type','Spearman')

% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Kendall秩相关系数Kendall = corr([X,Y],'type','Kendall')

% 直接根据沪、深两市日收益率的原始观测数据，调用corr函数求Spearman秩相关系数Spearman = corr([X,Y],'type','Spearman')

%******************************模型评价************************************* % 调用ecdf函数求X和Y的经验分布函数

[fx, Xsort] = ecdf(X);

[fy, Ysort] = ecdf(Y);

% 调用spline函数，利用样条插值法求原始样本点处的经验分布函数值

U = spline(Xsort(2:end),fx(2:end),X);

V = spline(Ysort(2:end),fy(2:end),Y);

% 定义经验Copula函数C(u,v)

C = @(u,v)mean((U <= u).*(V <= v));

% 为作图的需要，产生新的网格数据

[Udata,Vdata] = meshgrid(linspace(0,1,31));

% 通过循环计算经验Copula函数在新产生的网格点处的函数值

for i=1:numel(Udata)

CopulaEmpirical(i) = C(Udata(i),Vdata(i));

end

figure; % 新建图形窗口

% 绘制经验Copula分布函数图像

surf(Udata,Vdata,reshape(CopulaEmpirical,size(Udata)))

xlabel('U'); % 为X轴加标签

ylabel('V'); % 为Y轴加标签

zlabel('Empirical Copula C(u,v)'); % 为z轴加标签

% 通过循环计算经验Copula函数在原始样本点处的函数值

CUV = zeros(size(U(:)));

for i=1:numel(U)

CUV(i) = C(U(i),V(i));

end

% 计算线性相关参数为0.9264的二元正态Copula函数在原始样本点处的函数值

rho_norm = 0.9264;

Cgau = copulacdf('Gaussian',[U(:), V(:)],rho_norm);

% 计算线性相关参数为0.9325，自由度为4的二元t-Copula函数在原始样本点处的函数值rho_t = 0.9325;

k = 4.0089;

Ct = copulacdf('t',[U(:), V(:)],rho_t,k);

% 计算平方欧氏距离

dgau2 = (CUV-Cgau)'*(CUV-Cgau) dt2 = (CUV-Ct)'*(CUV-Ct)