刚体转动惯量的测量2015

姓名学号班级

桌号同组人

本实验指导教师实验地点：基教1208教室

实验日期20年月日时段

刚体的转动惯量专题

刚体的转动惯量专题 1.刚体的转动惯量的三要素刚体对某轴的转动惯量，是描述刚体在绕该轴的转动过程中转动惯性的物理量. 有转动惯量的定义式2i i I m r =∑可看出，刚体的转动惯量是与下列三个因素有关的. （1）与刚体的质量有关. 例如半径相同的两个圆柱体，而它们的质量不同，显然，对于相应的转轴，质量大的转动惯量也较大.

（2）在质量一定的情况下，与质量的分布有关. 例如，质量相同、半径也相同的圆盘与圆环，二者的质量分布不同，圆环的质量集中分布在边缘，而圆盘的质量分布在整个圆面上，所以，圆环的转动惯量较大. （3）还与给定转轴的位置有关，即同一刚体对于不同的转轴，其转动惯量的大小也是不等的. 例如，同一细长杆，对通过其质心且垂直于杆的转轴和通过其一端且垂直于杆的转轴，二者的转动惯量不相同，且后者较大. 这是由于转轴的位置不同，从而也就影响了转动惯量的大小.

刚体的转动惯量的三要素：刚体的总质量、刚体的质量分布情况、转轴的位置. 2.转动惯量的普遍公式（1）转动惯量的定义式 2 i i I m r =∑ ·········○1 可知，对于形状规则、质量均匀分布的连续刚体，其对特殊轴的转动惯量的计算可借助于定积分. 这是，可设想将刚体分成

许多小线元、面元、体元. d d d d d d m x m S m V λσρ=== 于是 222222d d d d d d l S V I r m r x I r m r S I r m r V λσρ======?????? 一般说来，这是个三重的体积分，但对于有一定对称性的物体，积分的重数可以减少，甚至不需要积分. （2）刚体对某轴的转动惯量刚体对z 轴的转动惯量

实验一测量刚体的转动惯量

实验一测量刚体的转动惯量转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。【实验目的】 1．学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2．观测转动惯量随质量、质量分布及转动轴线的不同而改变的状况，验证平行轴定理。 3．学会使用智能计时计数器测量时间。【实验原理】 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律： βJ M = （1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即： 11βμJ M =? （2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β2，则有a= R β2。细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －R β2) R ，此时有： 212)(ββμJ M R R g m =?? （3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得： 1 221)(βββ??=R g mR J （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有： 3 442)(βββ??=R g mR J （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为： 123J J J ?= （6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。 2、β的测量实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产生一个计数光电脉冲，计数器计下遮档次数k 和相应的时间t 。若从第一次挡光（k =0，t =0）开始计次，计时，且初始角速度为ω0，则对于匀变速运动中测量得到的任意两组数据（k m ，t m ）、（k n ，t n ），相

动力法测转动惯量

动力法测转动惯量转动惯量是描述刚体转动惯性的物理量，是研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测量。实验上测量刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定刚体的转动惯量。测定转动惯量的实验方法较多，常用的有动力法和振动法两种。本实验采用动力法、利用“转动惯量实验仪”来测定刚体的转动惯量。为了便于与理论计算比较，本实验采用形状规则的待测物体。实验目的 1. 掌握电子通用计时器的使用； 2. 掌握利用最小二乘法处理线性数据的方法； 3. 掌握由转动定律测转动惯量的方法. 实验仪器转动惯量仪(JM-2或TM-A)、通用电子计时器(MUJ-6B或HM-J)、电子天平(YP3001N、量程3000g)、游标卡尺(量程125mm，分度值0.02mm)、钢板尺(量程60cm) 转动惯量仪：由十字型载物台、绕线塔轮、遮光杆和小滑轮组成, 如图所示. 载物台沿直径方向固定有两个遮光杆，系统转动时每转动半圈（θ=π）遮光杆遮挡一次固定在底座圆周上的光电门，即产生一个光挡次数和时间. 塔轮上有五个不同直径的绕线轮，可选择其中一个通过定滑轮与砝码钩连接. 砝码钩上可以放置一定数量的砝码，其产生的重力矩作为外力矩.

实验原理根据刚体定轴转动定律：αJ M = 实验中定轴转动系统的外力矩由砝码重力所产生的拉力矩 mgd /2 和系统阻力矩 M μ 两部分组成，当mgd /2 、M μ一定时，该定轴转动可近似为匀变速转动，并取初速度为零，则有下列关系式： 2mgd M J μα-=， 22 1 t αθ= 联立有： 2 241 M J m gd gd t μθ= + 由上面公式可知，砝码质量m 与转过 θ 所用的时间的平方分之一 1/t 2 为线性关系. 令： 2M a gd μ= ， 4J b gd θ = 由此，在θ一定时，可以通过改变砝码质量m ，测得一系列 (m ,1/t 2) ，利用最小二乘法，可求得截矩a 和斜率b ，从而可求得转动惯量：θ4/gdb J = 待测物体的转动惯量为全系统的转动惯量和空载时的转动惯量之差：21J J J =- 最后得到 ()214gd J b b θ =- 实验内容 1. 测量空载时在不同质量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间，用最下二乘法求出b 1. 2. 测量全系统(加铝圈或铝盘)在不同质量的砝码牵引下，转过两圈所用的时间，用最小二乘法求出b 2. 3. 测量绕线塔轮的直径，计算铝圈或铝盘的转动惯量，表达实验结果. 4. 对测量结果的不确定度估计；(此项为选做内容) 5. 测量铝圈或铝盘的相关参数，用公式计算其转动惯量，与实验结果比较. 实验步骤 1. 调整转动惯量仪的初始状态 1) 移动转动惯量仪到实验桌合适位置，调节3个底脚螺丝使其处于水平状态； 2) 试绕线：将线的末端打结，卡在轮槽边缘的狭缝里，然后均匀缠绕在轮槽上（注意不要有绞缠），一般缠绕3圈以上，然后将悬挂有砝码底座的线的另一端通过桌边固定

恒力矩转动法测刚体转动惯量

恒力矩转动法测刚体转动惯量转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。一、实验目的 1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。 3、学会使用智能计时计数器测量时间。二、实验原理 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律： β J M =（1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即： 1 1βμJ M =-（2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －Rβ2) R ，此时有： 2 12)(ββμJ M R R g m =--（3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得： 1 221)(βββ--= R g mR J （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有： 3 442)(βββ--= R g mR J （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为： 1 23J J J -=（6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转

恒力矩转动法测刚体转动惯量

恒力矩转动法测刚体转动惯量转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置。对于形状简单，质量均匀分布的刚体，可以通过数学方法计算出它绕特定转轴的转动惯量，但对于形状比较复杂，或质量分布不均匀的刚体，用数学方法计算其转动惯量是非常困难的，因而大多采用实验方法来测定。转动惯量的测定，在涉及刚体转动的机电制造、航空、航天、航海、军工等工程技术和科学研究中具有十分重要的意义。测定转动惯量常采用扭摆法或恒力矩转动法，本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。一、实验目的 1、学习用恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法。 2、观测刚体的转动惯量随其质量，质量分布及转轴不同而改变的情况，验证平行轴定理。 3、学会使用智能计时计数器测量时间。二、实验原理 1、恒力矩转动法测定转动惯量的原理根据刚体的定轴转动定律： βJ M =（1）只要测定刚体转动时所受的总合外力矩M 及该力矩作用下刚体转动的角加速度β，则可计算出该刚体的转动惯量J 。设以某初始角速度转动的空实验台转动惯量为J 1，未加砝码时，在摩擦阻力矩M μ的作用下，实验台将以角加速度β1作匀减速运动，即： 1 1βμJ M =-（2）将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的实验台塔轮上，并让砝码下落，系统在恒外力作用下将作匀加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为T= m (g － a)。若此时实验台的角加速度为β2，则有a= Rβ2。细线施加给实验台的力矩为T R= m (g －Rβ2) R ，此时有： 2 12)(ββμJ M R R g m =--（3）将（2）、（3）两式联立消去M μ后，可得： 1221)(βββ--= R g mR J （4）同理，若在实验台上加上被测物体后系统的转动惯量为J 2，加砝码前后的角加速度分别为β3与β4，则有： 3442)(βββ--= R g mR J （5）由转动惯量的迭加原理可知，被测试件的转动惯量J 3为： 123J J J -=（6）测得R 、m 及β1、β2、β3、β4，由（4），（5），（6）式即可计算被测试件的转动惯量。 2、β的测量实验中采用智能计时计数器计录遮挡次数和相应的时间。固定在载物台圆周边缘相差π角的两遮光细棒，每转动半圈遮挡一次固定在底座上的光电门，即产

刚体转动惯量计算方法

刚体绕轴转动惯性的度量。其数值为J=∑ mi*ri^2，式中mi表示刚体的某个质点的质量，ri表示该质点到转轴的垂直距离。；求和号（或积分号）遍及整个刚体。转动惯量只决定于刚体的形状、质量分布和转轴的位置，而同刚体绕轴的转动状态（如角速度的大小）无关。规则形状的均质刚体，其转动惯量可直接计得。不规则刚体或非均质刚体的转动惯量，一般用实验法测定。转动惯量应用于刚体各种运动的动力学计算中。描述刚体绕互相平行诸转轴的转动惯量之间的关系，有如下的平行轴定理：刚体对一轴的转动惯量，等于该刚体对同此轴平行并通过质心之轴的转动惯量加上该刚体的质量同两轴间距离平方的乘积。由于和式的第二项恒大于零，因此刚体绕过质量中心之轴的转动惯量是绕该束平行轴诸转动惯量中的最小者。还有垂直轴定理：垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和。表达式:Iz=Ix+Iy 刚体对一轴的转动惯量，可折算成质量等于刚体质量的单个质点对该轴所形成的转动惯量。由此折算所得的质点到转轴的距离，称为刚体绕该轴的回转半径κ，其公式为_____，式中M为刚体质量；I为转动惯量。转动惯量的量纲为L^2M，在SI单位制中，它的单位是kg·m^2。刚体绕某一点转动的惯性由更普遍的惯量张量描述。惯量张量是二阶对称张量，它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。补充对转动惯量的详细解释及其物理意义：先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv^2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。 E=(1/2)mv^2 （v^2为v的2次方）把v=wr代入上式(w是角速度,r是半径，在这里对任何物体来说是把物体微分化分为无数个质点，质点与运动整体的重心的距离为r,而再把不同质点积分化得到实际等效的r) 得到E=(1/2)m(wr)^2 由于某一个对象物体在运动当中的本身属性m和r都是不变的，所以把关于m、r的变量用一个变量K代替, K=mr^2 得到E=(1/2)Kw^2 K就是转动惯量，分析实际情况中的作用相当于牛顿运动平动分析中的质量的作用，都是一般不轻易变的量。这样分析一个转动问题就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只从纯运动角度分析转动问题。为什么变换一下公式就可以从能量角度分析转动问题呢？ 1、E=(1/2)Kw^2本身代表研究对象的运动能量 2、之所以用E=(1/2)mv^2不好分析转动物体的问题，是因为其中不包含转动物体的任何转动信息。 3、E=(1/2)mv^2除了不包含转动信息，而且还不包含体现局部运动的信息，因为里面的速度v只代表那个物体的质心运动情况。 4、E=(1/2)Kw^2之所以利于分析，是因为包含了一个物体的所有转动信息，因为转动惯量K=mr^2本身就是一种积分得到的数，更细一些讲就是综合了转动物体的转动不变的信息的等效结果K=∑ mr^2 （这里的K和上楼的J一样）所以，就是因为发现了转动惯量，从能量的角度分析转动问题，就有了价值。若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量的计算公式可写成K=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdV 其中dV表示dm的体积元，σ表示该处的密度，r表示该体积元到转轴的距离。补充转动惯量的计算公式转动惯量和质量一样，是回转物体保持其匀速圆周运动或静止的特性，用字母J表示。对于杆：当回转轴过杆的中点并垂直于轴时；J=mL^2/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于轴时：J=mL^2/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。对与圆柱体：当回转轴是圆柱体轴线时；J=mr^2/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。转动惯量定理：M=Jβ

用刚体转动仪测刚体转动惯量

用刚体转动仪测刚体转动惯量 [播放视频] 一、概念理解刚体转动惯量是刚体在转动中惯性大小的量度，它的重要性类似于平动中物体的质量。一刚体对于某一给定轴的转动惯量，是刚体中每一单元质量的大小与单元质量到转轴的距离的平方的乘积的总和。刚体的转动惯量与刚体的质量、刚体的质量分布、转轴的位置与方位有关。对于几何形状规则的刚体，可用积分式计算出它绕过质心轴转动的转动惯量，并根据平行轴定理，计算出刚体绕任一特定轴转动的转动惯量。但对于形状复杂的刚体，用数学方法求转动惯量则相当困难，一般宜采用实验的方法来测定。因此，学会对刚体转动惯量的测量方法，具有重要的现实意义，如对研究机械转动性能，包括飞轮、炮弹、发动机叶片、电机、电机转子、卫星外形等的设计工作都有重要意义。二、刚体转动惯量测量的常用方法 1. 1. 三线摆法三线摆法是通过扭转运动来测量刚体转动惯量的方法。它具有装置简单、操作方便不受场地限制且结果精确等优点，是被广泛应用的一种测量刚体转动惯量的方法。 2．单线扭摆法单线摆（简称扭摆）是比三线摆更简单的力学实验装置。它不仅可以测定较小物体如钟表齿轮、录音机转子等的转动惯量，且可测量金属悬丝的扭转系数和材料的切变模量。在许多仪器仪表中（例如灵敏电流计、扭称等），扭摆又是其中的主要组成部分。由于它结构简单、稳固耐用，对学生又有多方面的训练，所以它也是力学实验中较好的实验之一。 3．转动惯量仪法法（本实验采用此法，其特点请自行总结）。三、理论知识准备 1． 1．均质钢块、钢环（铝环）的转动惯量一刚体对于某一给定轴的转动惯量，是刚体中每一单元质量的大小与单元质量到转轴的距离的平方的乘积的总和。如果刚体的质量是连续分布的，则转动惯量可表示为： ?=dm r I 2 用上式容易求出均匀钢块及钢环（或铝环）绕中心轴转动的转动惯量的理论值： 221 块块块理R m I = )(2122外内环环理R R M I += ] 2．2．本实验原理如图2-18所示，当重物m 由静止下降距离为h 时，重物的势能将减少mgh ，设此时重物m 的速度为v t ，待测物体的角速度为t ω，根据机械能转换和守恒定律可知，减少的能量 mgh 将转化为重物的平动动能和被测物体的转动动能，即

实验2 刚体转动惯量的测定

实验2 刚体转动惯量的测量 [预习思考题] 1．实验中的刚体转动惯量实验仪是由哪几部分组成的？ 2．实验中可以通过什么方法改变转动力矩？ 3．实验中刚体转动过程的角加速度如何测得？转动惯量是描述刚体转动中惯性大小的物理量，对于绕定轴转动的刚体，它为一恒量，以J表示，即 ∑= i i i r m J2 式中，m i为刚体上各个质点的质量，r i为各个质点至转轴的距离。由此可见，物体的转动惯量J与刚体的总质量、质量分布及转轴的位置有关。对于几何形状规则、对称和质量分布均匀的刚体，可以通过积分直接计算出它绕某定轴的转动惯量。对于形状复杂或非匀质的任意物体，则一般要通过实验来测定，例如，机械零件、电机的转子、炮弹等。测定物体的转动惯量有多种实验方法，主要分为扭摆法和恒力矩转动法两类。本实验介绍用塔轮式转动惯量仪测定的方法，是使塔轮以一定形式旋转，通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量的关系，进行转换测量。该方法属于恒力矩转动法。转动惯量是研究、设计、控制转动物体运动规律的重要参数，实验测定刚体的转动惯量具有十分重要的意义，是高校理工科物理实验教学大纲中的一个重要基本实验。一、实验目的 1．学习用转动惯量仪测定刚体的转动惯量。 2．研究作用于刚体上的外力矩与角加速度的关系。 3．验证转动定律及平行轴定理。二、实验仪器 IM－2刚体转动惯量实验仪及其附件（霍尔开关传感器、砝码等）和MS－1型多功能数字毫秒仪。三、仪器介绍

1．滑轮 2．滑轮高度和方向调节组件 3．挂线 4．塔轮组 5．铝质圆盘承物台 6．样品固定螺母 7．砝码 8．磁钢 9．霍尔开关传感器 10．传感器固定架 11．实验样品水平调节旋钮（共3个） 12．毫秒仪次数预置拨码开关，可预设1－64次 13．次数显示屏 14．时间显示屏 l5．次数+1查阅键 16．毫秒仪复位键 17．+5V 电源接线柱 18．电源GND （地）接线柱 19．INPUT 输入接线柱 20．输入低电平指示 21．次数-1查阅键图4-3-1 IM-2刚体转动惯量实验仪和MS －1型多功能数字毫秒仪结构示意图 IM-2刚体转动惯量实验仪主要由绕竖直轴转动的铝质圆盘承物台、绕线塔轮、霍尔开关传感器、磁钢、滑轮组件、砝码等组成。样品放置在铝质圆盘承物台上，承物台上有许多圆孔，可用于改变样品的转轴位置。绕线塔轮是倒置的塔式轮，分为四层，自上往下半径分别为3cm 、2.5cm 、2cm 、1.5cm 。磁钢随转动系统转动，每半圈经过霍尔开关传感器一次，传感器输出低电平，通过连线送到多功能数字毫秒仪。传感器红线接毫秒仪+5V 电源接线柱，黑线接电源GND （地）接线柱，黄线接INPUT 输入接线柱。 MS －1型多功能数字毫秒仪通过预置拨码开关预置实验所需感应次数。每轮实验开始前通过复位键清0，直到输入低电平信号触发计时开始，次数显示屏从0次开始计时，直至达到预置次数停止。计时停止后，方能查阅各次感应时间。四、实验原理 1. 任意样品的转动惯量测定设转动惯量仪空载（不加任何样品）时的转动惯量为J 1，称为系统的本底转动惯量，转动惯量仪负载（加上样品）时的转动惯量为J 2，根据转动惯量的可加性，则样品的转动惯量J x 为 21x J J J =- 2. 系统的转动惯量测定 1）刚体的转动定律刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，这个关系称为刚体的转动定律。 M J β= 利用转动定律，测得刚体转动时的合外力矩及该力矩作用下的角加速度，则可计算

扭摆法测定物体的转动惯量实验报告

扭摆法测定物体的转动惯量一、实验目的 1.测定扭摆的仪器常数（弹簧的扭转常数）K 。 2.测定熟料圆柱体、金属圆筒、木球与金属细长杆的转动惯量。 3.验证转动惯量的平行轴定理。二、实验器材扭摆、转动惯量测试仪、金属圆筒、实心塑料圆柱体、木球、验证转动惯量平行轴定理用的金属细杆（杆上有两块可以自由移动的金属滑块）、游标卡尺、米尺托盘天平。三、实验原理 1.测量物体转动惯量的构思与原理将物体在水平面内转过以角度θ后，在弹簧的恢复力矩作用下物体就开始绕垂直轴作往返扭转运动。更具胡克定律，弹簧受扭转而产生的恢复力矩M 与所转过的角度θ成正比，即 M K θ=- 式中K 为弹簧的扭转常数。若使I 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，由转动定律M I β=可得 M K I I βθ= =- 令2K I ω= ，忽略轴承的磨察阻力距，得 222d dt θ βωθ==- 上式表示扭摆运动具有角简谐振动的特性，角加速度与角位移成正比，且方向相反。方程的解为 cos()A t θω?=+ 式中A 为简谐振动的角振幅，?为初相位角，ω为角速度。谐振动的周期为 22T πω = =由上式可知，只要通过实验测得物体扭摆的摆动周期，并在I 和K 中任何一个量已知时即可计算出另外一个量。本实验使用一个几何形状规则的小塑料圆柱，它的转动惯量可以根据质量

和几何尺寸用理论公式直接计算得到，将其放在扭摆的金属载物盘上，通过测定其在扭摆仪上摆动时的周期，可算出仪器弹簧的K 值。若要测定其他形状物体的转动惯量，只需将待测物体安放在同一扭摆仪顶部的各种夹具上，测定其摆动周期，即可算出该物体绕转动轴的转动惯量。假设扭摆上只放置金属载物圆盘时的转动惯量为0I ，周期为0T ，则 2 20 04T I K π= 若在载物圆盘上放置已知转动惯量为'1I 的小塑料圆柱后，周期为1T ，由转动惯量的可加性，总的转动惯量为'01I I +，则 222 '2 '1 010144()T I I T I K K ππ=+=+ 解得 ' 2 12 2 104I K T T π=- 以及 '2 1002 2 10 I T I T T =- 若要测量任何一种物体的转动惯量，可将其放在金属载物盘上，测出摆动周期T ，就可算出其转动惯量I ，即 202 4KT I I π =- 本实验测量木球和金属细杆的转动惯量时，没有用金属载物盘，分别用了支架和夹具，则计算转动惯量时需要扣除支架和夹具的转动惯量。 2.验证物体转动惯量的平行轴定理本实验利用金属细杆和两个对称放置在细杆两边凹槽内的滑块来验证平行轴定理。测量整个系统的转动周期，可得整个系统的转动惯量的实验值为 22 4KT I π= 当滑块在金属细杆上移动的距离为x 时，根据平行轴定理，整个系统对中心轴转动惯量的理论计算公式应为 '2+2+2m I I I I x =+细杆夹具滑块滑块式中I 滑块为滑块通过滑块质心轴的转动惯量理论值。如果测量值I 与理论计算值'I 相吻合，则说明平行轴定理得证。

实验名称刚体转动惯量的测量

实验名称：刚体转动惯量的测量姓名学号班级桌号同组人本实验指导教师实验地点：基教1208教室实验日期 20 年月日时段一、实验目的： 1. 用实验方法检验刚体的转动定律； 2. 掌握利用刚体转动定律测定刚体转动惯量的实验方法； 3. 学习曲线改直的方法； 4. 学习用ORIGIN 软件处理实验数据。二、实验仪器与器件刚体转动惯量仪一套，毫秒计时器一台，铝圆环一个，请自带计算器。三、实验原理：当砝码以加速度a 加速下落带动转动体系运动时，在a <

（b ）若ω00=，则有 βθ= 22t ， m g r M I t -=μθ 22 m I gr t M gr k t C =?+=?+21122θμ 改变m ，测得不同的 1 2t ，由线性回归法求出k ，可得转动惯量 I ＝。测量铝环绕轴的转动惯量，可先测量承载时的转动惯量I ，再测量空载时的转动惯量I 0，则其转动惯量 =x I 。四、实验内容： 1. 用计算法测量铝环对中心轴的转动惯量 (1) 测承载时的转动惯量I 把铝环放在承物台上，取m 为9个砝码质量，r =2.50cm （第3个塔轮半径），取θθ12,分别为2π和8π，所对应的时间t 1和t 2，即由毫秒计分别读出所对应的时间t 1和t 2。重复五次。取m 为3个砝码质量，其余条件不变，由毫秒计分别读出所对应的时间' 1t 和' 2t 。重复五次。 (2) 测空载时的转动惯量I 0 把铝环从承物台上取下，重复上述步骤，得t 1，t 2，' 1t ，' 2t ，重复五次。 2. 用最小二乘法处理数据，测铝环对中心轴的转动惯量需要满足ω00=（怎样操作？），为此，挡光柱初始位置应在光电门处，使体系一开始转动就开始计时。 (1)测量I

刚体转动惯量的测定-样本

第一章刚体转动惯量的测定刚体的转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，转动惯量不仅取决于刚体的总质量，还与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，通常采用实验的方法来进行测定。在生物医学工程方面利用转动惯性混合或分离混合液具有十分重要的意义。实验上测定刚体转动惯量的方法很多，如三线摆法、扭摆法、复摆法、恒力矩转动法等。本实验采用恒力矩转动法测定转动惯量。一. 实验目的 1. 掌握恒力矩转动法测定刚体转动惯量的原理和方法； 2. 观测转动惯量随刚体质量、质量分布以及转轴的不同而改变的状况； 3. 研究外力矩与刚体角加速度的关系，验证刚体转动定律和平行轴定理。二. 实验器材 ZKY-WZS 刚体转动惯量试验仪，圆盘1个、圆环1个、圆柱2个，砝码托1个，5g 砝码1个，10g 砝码4个，细线，水准器，螺丝刀，钢卷尺1个，游标卡尺1把，数字天平1台公用。三. 实验原理 1. 恒力矩转动法测定转动惯量根据刚体的定轴转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度α与它所受的合外力矩M 成正比，与刚体的转动惯量J 成反比： M J α= （1）只要测定刚体在转动时所受的合外力矩M 及在该力矩作用下刚体转动的角加速度α，就可以计算出该刚体的转动惯量J 。设空载物盘转动惯量为1J ，给一初始角速度，在摩擦力矩M μ的作用下，载物盘将以角加速度1α作减速运动，这里近似取摩擦力与速度成正比关系，则有： 211M kv r kr K J μωωα=?===? （2）式中ω、α为即时角速度、角加速度，在下面实验中取平均值。将质量为m 的砝码用细线绕在半径为R 的载物盘塔轮上，让砝码下落，系统在恒外力矩作用下将作加速运动。若砝码的加速度为a ，则细线所受张力为()T m g a =?。设此时载物盘的角加速度为2α，则有2a R α=。细线施加给载物盘的力矩为 2()M TR mR g R α==? （3）此时合力矩有： 2212()M M mR g R kr J μαωα?=??= （4）当（2）、（4）两式中角速度ω相等可联立消去M μ，可得载物盘转动惯量：

刚体转动惯量的测定_实验报告

实验三刚体转动惯量的测定转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它与刚体的质量、形状大小和转轴的位置有关。形状简单的刚体，可以通过数学计算求得其绕定轴的转动惯量；而形状复杂的刚体的转动惯量，则大都采用实验方法测定。下面介绍一种用刚体转动实验仪测定刚体的转动惯量的方法。实验目的： 1、理解并掌握根据转动定律测转动惯量的方法； 2、熟悉电子毫秒计的使用。实验仪器：刚体转动惯量实验仪、通用电脑式毫秒计。仪器描述：刚体转动惯量实验仪如图一，转动体系由十字型承物台、绕线塔轮、遮光细棒等（含小滑轮）组成。遮光棒随体系转动，依次通过光电门，每π弧度（半圈）遮光电门一次的光以计数、计时。塔轮上有五个不同半径（r）的绕线轮。砝码钩上可以放置不同数量的砝码，以获得不同的外力矩。实验原理：空实验台（仅有承物台）对于中垂轴OO’的转动惯量用J o表示，加上试样（被测物体）后的总转动惯量用J表示，则试样的转动惯量J1： J1 = J –J o (1) 由刚体的转动定律可知：

T r – M r = J α (2) 其中M r 为摩擦力矩。而 T = m(g -r α) (3) 其中 m —— 砝码质量 g —— 重力加速度 α —— 角加速度 T —— 张力 1．测量承物台的转动惯量J o 未加试件，未加外力（m=0 , T=0）令其转动后，在M r 的作用下，体系将作匀减速转动，α=α1，有 -M r1 = J o α1 (4) 加外力后，令α =α2 m(g –r α2)r –M r1 = J o α2 (5) （4）（5）式联立得 J o = 21 2212mr mgr ααααα--- (6) 测出α1 , α2，由（6）式即可得J o 。 2．测量承物台放上试样后的总转动惯量J ，原理与1.相似。加试样后，有 -M r2=J α3 (7) m(g –r α4)r –Mr 2= J α4 (8) ∴ J = 23 4434mr mgr ααααα--- (9) 注意：α1 , α3值实为负，因此（6）、（9）式中的分母实为相加。 3．测量的原理设转动体系的初角速度为ωo ，t = 0 时θ= 0 ∵ θ=ωo t + 2 2 1t α (10) 测得与θ1 , θ2相应的时间t 1 , t 2 由 θ1=ωo t 1 + 2121t α (11) θ2=ωo t 2 + 2 22 1t α (12) 得 22112 22112) (2t t t t t t --= θθα (13) ∵ t = 0时，计时次数k=1（θ=л时，k = 2） ∴ []2 2 11222112)1()1(2t t t t t k t k ----= πα (14) k 的取值不局限于固定的k 1 , k 2两个，一般取k =1 , 2 , 3 , …,30,…

动力法测转动惯量

动力法测转动惯量实验目的 1. 学会电子通用计时器的使用； 2. 掌握最小二乘法处理线性数据的方法； 3. 掌握动力法测量刚体转动惯量的原理和方法. 实验仪器转动惯量仪(JM-2或TM-A)、通用电子计时器(MUJ-6B)、电子天平(YP3001N 、量程3000g)、游标卡尺(量程125mm ，分度值0.02mm)、钢板尺(量程60cm) 转动惯量仪：由十字型载物台、绕线塔轮、遮光杆和小滑轮组成, 如图所示. 载物台沿直径方向固定有两个遮光杆，系统转动时每转动半圈（θ=π）遮光杆遮挡一次固定在底座圆周上的光电门，即产生一个光电脉冲送入电子计时器，计时器计下遮挡次数和时间. 塔轮上有五个不同直径的绕线轮，可选择其中一个通过定滑轮与砝码钩连接. 砝码钩上可以放置一定数量的砝码，其产生的重力矩作为外力矩. 实验原理 1、定轴转动定律应用根据刚体定轴转动定律： αJ M = 实验中定轴转动系统的合外力矩由砝码重力所产生的拉力矩 mgd /2 （d 为塔轮直径）和系统阻力矩 M μ 两部分组成，当mgd /2 、M μ一定时，该定轴转动可近似为匀变速转动。取初速度为零，θ表示转过的角度，则有下列关系式： =2mgd M J μα- (1) 22 1 t αθ= (2) 联立(1)、(2)有： 2 241 M J m gd gd t μθ= + (3) 本实验中，θ可取为4π，绕线塔轮可取在中间位置的一个。

2、最小二乘法由(3)式可知，砝码质量m 与转过 θ所用的时间的平方分之一 1/t 2 为线性关系，可通过改变砝码质量测得不同质量下的时间 t ，再求得 1/t 2，则有一系列 (m , 1/t 2). 令： 4J b gd θ = (4) 由最小二乘法，可求得斜率b ： 22221111m m t t b t t ?-?=????- ? ??? ?? (5) 从而可求得转动惯量：/4J gdb θ= 实验中，待测圆环的转动惯量为全系统的转动惯量J 2和空载时的转动惯量J 1之差： 21J J J =-，则圆环的转动惯量为 ()214gd J b b θ = - (6) 3、公式法若圆环的质量分布均匀，且几何形状为圆环，由理论公式可知，测得其总质量和内外径，可计算出绕通过中心轴的转动惯量 ()22 128 M J D D = + (7) 实验内容 1. 测量空载时在不同质量的砝码牵引下，从静止开始转动并计时，转过4π(两圈)所用的时间 t ，用最小二乘法求出b 1. 2. 测量全系统(加圆环)在不同质量的砝码牵引下，从静止开始转动并计时，转过4π(两圈)所用的时间 t ，用最小二乘法求出b 2. 3. 测量绕线塔轮的直径，计算圆环的转动惯量，表达实验结果. 4. 测量圆环的相关参数，用公式计算其转动惯量，与实验结果比较. 实验步骤 1. 设置电子计时器的功能和参数（详见使用说明）； 2. 调整转动惯量仪的初始状态： 1) 移动转动惯量仪到实验桌合适位置，调节3个底脚螺丝使其处于水平状态； 2) 试绕线：将系有砝码的细线一端打结，卡在塔轮边缘的狭缝里，然后均匀缠绕在轮槽上（注

摆动法测量转动惯量

图4-1单摆原理实验4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的 1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量； 2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解； 3．学习用作图法处理、分析数据。二、实验仪器 JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理 1.单摆如图4-1（单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长l 时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为： 01212=+θθSin l g dt d (4-1) 式中t 为时间，g 为重力加速度，l 为摆长。当1θ（rad ）很小时， 11sin θθ≈(4-2) 则（4-1）式可简化为： 01212=+θθl g dt d （4-3）令l g =21ω(4-4)

图4-2物理摆(复摆) （4-3）式的解为： )sin(1101αωθθ+=t （4-5) 式中10θ，α由初值条件所决定。周期g l T π 21=（4-6） 2．物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。如图4-2，设物理摆的质心为C ，质量为M ，悬点为O ，绕O 点在铅直面内转动的转动惯量为0J ， OC 距离为h ，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为 θθsin 220Mgh dt d J -=(4-7) 令02J Mgh =ω（4-8）仿单摆，在θ很小时，（4-7）式的解为： )sin(αωθθ+=t (4-9) Mgh J T 02π=(4-10) 设摆体沿过质心C 的转动惯量为C J ，由平行轴定理可知： 20Mh J J C +=(4-11) 将（4-11）代入（4-10）可得：

测量刚体的转动惯量实验报告及数据处理

实验讲义补充： 1.刚体概念：刚体是指在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体。 2.转动惯量概念：转动惯量是刚体转动中惯性大小的量度。它取决于刚体的总质量，质量分布、形状大小和转轴位置 3.转动定律：合外力矩=转动惯量×角加速度 4.转动惯量叠加：空盘：（1）阻力矩（2）阻力矩＋砝码外力→J1 空盘＋被测物体：（1）阻力矩（2）阻力矩＋砝码外力→J2 被测物体：J3=J2-J1 5.转动惯量理论公式：圆盘&圆环 6.转动惯量实验仪器：水准仪；线水平；线与孔不产生摩擦；塔轮选小的半径；至少3个塔轮半径，3组砝码质量 7.计数器：遮光板半圈π；单电门，多脉冲；空盘15圈，20个值；加上被测物体，8个值； 8.泡沫垫板 9.重力加速度：s^2 10.质量：1次读数，包括砝码，圆盘，圆环，以及两圆柱体； 11.游标卡尺：6次读数，包括圆盘半径，圆环内外半径，塔轮半径，转盘上孔的内外半径（求平均值） 12.实验目的：测量值与理论值对比实验计算补充说明： 1.有效数字：质量，故有效数字为3位 2.游标卡尺：，读数最后一位肯定为偶数； 3.误差&不确定度：（1）理论公式计算的误差：圆盘：（注意：直接测量的是直径）质量m=±；（保留4位有效数字） um=*100%=% 半径R=± 若测6次,x1,x2,x3,x4,x5,x6,i=6，计算x平均值，取n=6时的，我们处理为0 C=,仪器允差,δB=

总误差：,ux= m ,u rx==% R=± urx=% 计算转动惯量的结果表示：，总误差：uJ=，相对不确定=uJ/J 圆环：，同上. （2）实验测量计算的误差：根据，，对R（塔轮半径），m（砝码质量）,β2和β1求导，

刚体转动惯量的测量_评分标准

“用刚体转动惯量仪测定刚体转动惯量”评分标准第一部分：预习报告（20分）一．实验目的 1．掌握使用转动惯量仪检验刚体的刚体转动定律。 2．学会测定圆盘的转动惯量和摩擦力矩。 3．学会一种处理实验数据的方法－作图法（曲线改直法）。二．实验仪器刚体转动惯量仪、通用电脑毫秒计、水准仪、游标尺、砝码等三．实验原理 1．转动定律 2．单角度设置法)0(0=w ，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩，曲线改直法应用； * 3．双角度设置法，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩； * 4．验证平行轴定理四．实验内容及步骤 1．单角度设置法)0(0=w ，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩； 2．双角度设置法，测量刚体的转动惯量和摩擦力矩。第二部分：数据采集与实验操作（40分）有较好的动手能力，能够很好解决实验过程中出现的问题，数据采集记录完整准确，操作过程无误（35-40分）；有一定的动手能力，能够解决实验过程中出现的一般问题, 数据采集记录完整，操作过程无大的违规(35-20)；动手能力较差，难以解决实验过程中出现的一般问题，数据采集与记录不完整、有偏差，有违规操作(0-20分)。操作要点： 1．拉线要与绕线塔轮水平，且相切。 2．单角度设置法中要确保初角速度为零，即00=w ；第三部分：数据记录与数据处理（30分）数据处理要求： 1．原始数据需重新抄入实验报告数据处理部分的正文中，再进行具体处理，注意各测量量的单位； 2．测量塔轮半径r ，刚体圆盘质量M 盘，刚体圆盘直径R 盘；设置系统转动角度θ；

3．使用作图法（曲线改直）处理单角度设置法的数据： 1）作图时要有清楚标注，如空载图还是载荷图，坐标轴是否有标注，数据是否齐全，比例是否合适等； 2）由图可得，空载时的截距0C 和斜率0K ；载荷时的截距C 和斜率K ； 3）计算空载时系统的0J ，载荷时系统的J ，得到刚体圆盘转动惯量x J ； 4）计算刚体圆盘理论值理x J ，并与上述实验值作比较； 5）计算系统空载和载荷时的摩擦力矩0μM 、μM ，并作比较。 4．根据公式处理双角度设置法的数据： 1）根据公式，计算系统空载时0β、' 0β，以及载荷时的β、'β； β为有恒外力矩（绕线上挂有固定质量砝码）时的角加速度， 'β为无外力矩（绕线上没有挂砝码）时的角加速度； 2）根据公式，计算空载时系统的0J ，载荷时系统的J ，得到刚体圆盘转动惯量x J ； 3）计算刚体圆盘理论值理x J ，并与上述实验值作比较； 4）计算系统相应的摩擦力矩μM 。测量结果参考值： 1．基本数据测量：铝质圆盘直径：D 盘 =（240.00±0.05）mm 砝码质量：（5.00±0.05）g 圆盘质量：M 盘 = 482g 2．单角度设置法数据记录与处理： 1）空载数据记录： )6(102)1(==-=N N 取ππθ ， cm r 000.3= ， 0=盘M

转动惯量公式表

常见几何体]转动惯量公式表

对于细杆当回转轴过杆的中点并垂直于杆时；J=m(L^2)/12 其中m是杆的质量，L是杆的长度。当回转轴过杆的端点并垂直于杆时：J=m(L^2)/3 其中m是杆的质量，L是杆的长度。

对于圆柱体当回转轴是圆柱体轴线时；J=m(r^2)/2 其中m是圆柱体的质量，r是圆柱体的半径。对于细圆环当回转轴通过中心与环面垂直时，J=mR^2；当回转轴通过边缘与环面垂直时，J=2mR^2； R为其半径对于薄圆盘当回转轴通过中心与盘面垂直时，J=﹙1/2﹚mR^2；当回转轴通过边缘与盘面垂直时，J=﹙3/2﹚mR^2； R为其半径对于空心圆柱当回转轴为对称轴时，J=﹙1/2﹚m[（R1）^2+（R2）^2]； R1和R2分别为其内外半径。对于球壳当回转轴为中心轴时，J=﹙2/3﹚mR^2；当回转轴为球壳的切线时，J=﹙5/3﹚mR^2； R为球壳半径。对于实心球体当回转轴为球体的中心轴时，J=﹙2/5﹚mR^2；当回转轴为球体的切线时，J=﹙7/5﹚mR^2； R为球体半径对于立方体当回转轴为其中心轴时，J=﹙1/6﹚mL^2；当回转轴为其棱边时，J=﹙2/3﹚mL^2；当回转轴为其体对角线时，J=（3/16）mL^2； L为立方体边长。只知道转动惯量的计算方式而不能使用是没有意义的。下面给出一些（绕定轴转动时）的刚体动力学公式。角加速度与合外力矩的关系：

角加速度与合外力矩式中M为合外力矩，β为角加速度。可以看出这个式子与牛顿第二定律是对应的。角动量：角动量刚体的定轴转动动能：转动动能注意这只是刚体绕定轴的转动动能，其总动能应该再加上质心动能。只用E=（1/2）mv^2不好分析转动刚体的问题，是因为其中不包含刚体的任何转动信息，里面的速度v 只代表刚体的质心运动情况。由这一公式，可以从能量的角度分析刚体动力学的问题。平行轴定理：设刚体质量为m，绕通过质心转轴的转动惯量为Ic，将此轴朝任何方向平行移动一个距离d，则绕新轴的转动惯量I为： I=Ic+md^2 这个定理称为平行轴定理。一个物体以角速度ω绕固定轴z轴的转动同样可以视为以同样的角速度绕平行于z轴且通过质心的固定轴的转动。也就是说，绕z轴的转动等同于绕过质心的平行轴的转动与质心的转动的叠加