数学高考考试题型分析及应试策略

数学高考考试题型分析及应试策略

一、 关于选择题

1、 选择题的特点：全国数学高考选择题共12题，60分，占全卷的40%，难度比

大概为6：4：2，即6个左右的题目为容易题，4个左右为中等难度的题，2个

左右为难题。

2、

解选择题的要求：解答选择题的首要标准是准确，第二个要求是快速。平常训练时可以先对速度不做过多要求，力求准确，然后再逐渐追求速度，做到又准又快。

3、 解选择题的策略：对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；难度较大的题使用一些技巧，采用非常规的方法。

4、

答题注意事项：

（1）第一卷实际上只起一个题目单的作用，所以考试时可将第一卷作为草稿纸使用，在题目周围运算、画图，不必担心这样会影响卷面整洁。

（2）答完选择题后即可填涂机读卡，涂好有把握的题，把握不大的先留下来，并做一个标记，以免忘记做答，在监考教师提醒结束时间还有15分钟时或之前填好所有的项目。切记最后不要留空，实在不会的，要采用猜测、凭第一感觉、选项平均分布（四个选项中正确答案的数目不会相差很大）等方法选定答案。 5、 应考建议：每天安排30分钟时间做一套模拟试卷中的选择题，要严格控制时间，评出成绩，订正答案，反思总结。坚持一段时间，一定会有大的收获。 6、

答题技巧：

（1） 直接法 按常规解法作出答案, 然后对照选项填涂, 这种方法可以解决大部分

的选择题, 特别适合做比较容易的题目. 例1、,27)1(',13)0(',)(24-=--=++=f f bx ax x x f 则曲线在1=x 处的切线的倾斜角为 ,6

.

π

A ,6

.π

-

B ,3

.

π

C 4

.

π

D .

解：,5,2717224)1(,13)0(,24)(3

=-=--=+--=-'-=='++='a a b a f b f b ax x x f 所以,,113104)1(,13104)(3

=-+='-+='f x x x f 倾斜角为

.4

π

选D.

例2、已知函数,),(F x x f ∈那末,}1|),{(}),(|),{(=∈=x y x F x x f y y x 所含元素的个数是: A.0, B.1, C.0或1, D.1或2.

解:所求集合表示函数F x x f y ∈=),(的图像与直线1=x 的交点,由函数的意义,当F ∈1时,有一个交点;当F ?1时,没有交点.故选C.

例3、),1(2)(2

f x x x f '+=则=')0(f A.0, B.-4, C.-2, D.2.

解:.4)0(,42)(,2)1(),1(22)1(),1(22)(-='-='-=''+=''+='f x x f f f f f x x f 选B. 该题要特别注意理解题意,明确题设中的)1(f '为一个待定的常数.

例4、

),0,0(,12

22

2>>=-

b a b

y a

x 离心率2

5

1+=

e ,A,F 为左顶点、右焦点,B(0,)b ,则

=

∠ABF A.45°, B.60°, C.90°, D.120°.

解:由于A(-a ,0),F()0,c ,

.0)1(),,(),,(2

2

2

2

2

=-+--=-+-=+-=?-=--=e e a a c ac b ac BF BA b c BF b a BA

故 BF BA ⊥,选C.

（2） 排除法 由于四个选项中有且只有一个正确答案, 只要排除三个, 就可以断

定剩下的一个为正确答案. 排除法是解选择题最重要的技巧之一. 例5、已知m

x n x m x f +++=

2

)2()(的图像如下, 则m 可能的取值范围是

A ．（1，2）， B.（-1，2）， C.),,2()1,(+∞-∞ D. ),2[]1,(+∞-∞ . 解:从图象看出, 函数的定义域为R, 所以函数表达式中分母恒不为0,从而.0>m 对照选项, B,C,D 中均有负数, 不成立, 正确答案为A. 例6、已知,,+

∈R b a 则有

A.,)

(2

b

a b

a a

b b a +> B. ,)

(2

b

a b

a a

b b a +< C. ,)

(2

b

a b

a a

b b a +≥ D. 2

)

(b

a b

a a

b b a +≤.

解:考虑,b a =则选项左右两端相同, 先排除A,B, 再令,3,1==b a 则左=27,右=9 ,排除D, 最后的正确答案为C.

排除法运用很灵活, 大多数情况下可以先排除一个或几个, 然后再观察其余的, 逐个找出错误选项.

（3） 特值法 选取特定的数据进行演算或推理, 得到相关的结论, 找出正确答案的

方法. 上面的例6就是利用特值逐步排除错误答案的, 是排除法和特值法的综合运用.

X

例7、若函数1

22)(+-=

x x

a x f 是奇函数, 则=a A.1, B.2, C.3, D.4.

解:由函数表达式知, 定义域为R, 又函数为奇函数, 所以,0)0(=f 于是得, 2

10a -=,

从而.1=a 选A.

（4） 验证法 将选项的答案代入已知条件进行检验, 用以确定正确答案. 例8 、圆222r y x =+上恰有两点到直线02534=+-y x 的距离为1, 则∈r A.[4,6], B.[4,6), C,(4,6], D,(4,6). 解:圆心(0,0)到直线的距离为,55

25==

d 4=r 时,满足条件的点只有一个; 6=r 时, 满

足条件的点有三个, 均不成立, 故选择D 答案.

例9、不等式102≤+-≤a ax x 的解是单元素集合, 则=a A.0, B.2, C.4, D.6. 解: 将四个选项代入,

有, 102≤≤x , 12202≤+-≤x x , 14402≤+-≤x x , 16602≤+-≤x x . 即: 102≤≤x , 11)1(02≤+-≤x ,1)2(02≤-≤x ,13)3(02≤--≤x . 其中有唯一解的只有11)1(02≤+-≤x ,即.1=x 所以选B.

（5） 几何法 充分运用几何图形的作用, 找出问题的几何背景, 或者转化为几何问

题, 画出图形, 直观地解决问题. 例10、3lg =+x x 的解所在的区间为 A.(0,1), B.(1,2), C.(2,3), D.(3,+∞). 解:原方程即 x x -=3lg ，画出函数x y x y -==3,lg 的图像,

如图,观察,并计算2=x 处两函数的值，可得，交点处 )3,2(∈x ,选C 答案.

例11、P 是以F 1,F 2为焦点的椭圆12

22

2=+

b

y a

x 上一点, ,2

1tan ,02121=

∠=?F PF PF PF 则离

心率=e A.

3

1, B.

2

1, C.

3

2, D.

3

5.

解:如图,由椭圆的定义, ,32||||221m m m PF PF a =+=+=

又 ||221F F c ==m 5, 于是, 3

535=

=

=

m

m a c e , 选D.

例12、平行四边形ABCD 中,已知,0=?BD AB

4AB 2

+2BD 2

=1,沿BD 将四边形折成直二面角，则三棱锥A-BCD 外接球的表面积为 A ．

π24

2， B.

π48

1, C.

π4

1, D.

π2

1.

解:如图,在立体图中,可证有?=∠=∠=∠=∠90ABD ADC BDC ABC ,令AB=CD=x ,则

由于4AB 2

+2BD 2

=1,2

412

2

x BD -=

,,2

1,2

12

2

2

22

2

2

=

+=-=

+=CD

AD

AC

x BD

AB

AD

AC 为直角三角形ABC 和ADC 的公共斜边,其中点到A,B,C,D 四点的距离相等, 故AC 为三棱

锥外接球的直径, 2

1)2(2=R ,8

12=R ,2

42

ππ==R S .选 D.

（6） 综合法 运用两种或两种以上的方法和技巧综合解决问题. 这种方法主要用于

解一些比较难的题目. 例13、若),,1(a x ∈ 则下面正确的是

A. x x x a a

a

a 22

log

log

)(log log <<, B. 2

2log

log

)(log

log x x x a

a

a

a <<,

C. )(log

log log

log

2

2x x x a

a a

a

<<, D. 2

2log

)(log

log log

x x x a

a

a a

<<.

解:本题实质上是比较三个数的大小,可以考虑极限状态: a x →,这时,四个选项分别接近于:.201,021,210,120<<<<<<<< 所以选B. 例14、4

0π

θ<

<,下列正确的是

A. θθθcot sin cos >>,

B. θθθsin cot cos <<,

C. θθθcot cos sin <<,

D.

θθcos sin cot <<解:特值法 取6

π

θ=,立知只有C 是正确的 排除法 ,14

cot

cot =>πθ

为最大, 只有

C 正确 几何法 如图,作出三角函数线 因为 |BC|>|OM|>|PM|,所以选C. 例15、6

3

2

3)1

(x

y +

的展开式中第四项的值为20, 则y 作为x 的函数的图像大致是

解:由表达式, ,0≠x 且0

例16、从2008名学生中选50人组成参观团, 先用简单随机抽样法剔出8人,再将其余2000人按系统抽样法选取, 则每人入选的概率 A.不全相等, B.均不相等, C.等于1004

25, D.等于40

1. 解:方法1 设某人被选中, 则剔出第一个人:P 1=2008

2007 , 剔出第二个人:P 2=

2007

2006 , 剔出

第三个人:P 3=2006

2005 , …,选50人:

2000

50 ,于是, P=1004

252000

502001

2000 (2007)

20062008

2007=

?

?

??.

选C.

方法 2 由课文叙述, 系统抽样的操作程序即如上所说, 作为一个合理通行的方法, 每人入选的概率肯定是相同的, 所以应当选择C. 这里特别强调一下阅读课本的重要性。平常可以随时翻翻，大考之前的调整阶段可以通读一遍。

总之，解选择题的策略是：大部分比较容易的题，用直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难题和一时找不到思路的题，用非常规方法；实在不会的,猜一下，不要留空。

二、关于填空题

1、填空题的特点：高考填空题一般4个题，16分，占总分的11%，2-3个左右的题目

为容易题，1-2个左右为中等难度的题。

2、解填空题的要求：填空题虽然难度不大，但得分率往往很低，可见答题技巧和心理

上的重视程度是十分重要的，一定要认真对待，仔细核算，力求准确，最后写出完整的答案。千万不要因为追求速度而出现偏差，导致失分。

3、解填空题的策略：对于大部分的填空题，均可采取直接法解答；一时找不到解题思

路的题可以使用一些技巧，采用非常规的方法。

4、答题注意事项：

（1）千万不要用口算、心算的方式解填空题。要养成动笔动手的良好习惯，在

草稿纸上有顺序、有条理地写出主要的解答过程，力求细致，详尽，并对每一步

进行核对验算，不要怕麻烦。平常练习时就要严格要求，按考试的程序来，不要

马虎。

（2）与选择题不同，填空题一般不存在猜测的问题，所以实在不会时也不要瞎

猜。但解题的技巧还是有的，要在解题实践中不断总结。

5、应考建议：填空题考察基础知识，所以要答好填空题，最根本的还是要熟悉和掌握

课本上的内容。建议安排时间通读一遍课本。

6、答题技巧：

（1）直接法

（2）特殊化法挖掘题目的隐含条件，利用特殊值、特例、极限状态等得出结论。

（3）数形结合法

（4）等价转化法

以上方法请同学们结合解题实践体会总结。

三、关于解答题

1、解答题的特点：高考解答题共6题，74分左右，占全卷成绩的50%，一般是三易二

中一难，即3个容易题，2个中等难度的题，1个难题。

2、解答题的要求：解答题要求写出主要的推理和演算过程，有详细的评分标准，按解

题步骤给分。做解答题，在找到思路之后要一气呵成，详细准确地写出解答过程。

3、解答题的策略：容易题力争不丢分，中等题拿下基础分，难题不指望得全分。

4、答题注意事项：

（1）仔细读题（三遍）。

（2）解答尽量详细。

（3）一次完成，一般不用草稿纸。

（4）注意卷面整洁。

（5）注意条理性。

（6）尽可能画图。对于几何题，即使不会也要画出图形来。

5、各小题解答要览：

17题（三角函数题）：

(1)考察内容

A ． 正弦型函数的图像和性质

C x A y ++=)sin(?ω的图像、性质（强调几何性质）。

图像的画法：五点法，变换法

性质：定义域，值域，奇偶性，单调性（增区间、减区间），周期性，对称轴，对称中心。 B ． 三角变换

和差角公式、倍角公式、升降幂公式;2

2cos 1cos ,2

2cos 1sin 2

2x

x x

x +=-=

辅助角公式.tan ),sin(cos sin 2

2

a b x b a x b x a =

++=+??

C ． 解三角形

正弦定理、余弦定理、解三角形的五种题型。 D ． 特别强调

同角三角函数的关系，可先确定符号，再利用直角三角形模型来计算。如，若

),2

3,

(,5

1sin ππαα∈=

则构造直角三角形，使其斜边长为5，α角对边为1，可求出

另一边为24，在直角三角形中算出其它三角函数，考虑α的范围，确定其符号。 记住几组勾股弦数：3，4，5； 6，8，10； 5，12，13； 8，15，17。 (2) 例题

例17、已知函数)0(,22sin 32cos )(>++--=a b a x a x a x f ，在]2

,0[π

∈x 时，有)

(x f 的值域为[－5，1]。（1）求a ，b 的值；（2）说明函数x y x f y 2cos )(==的图象可以由的图象经过怎样的变换得到。

解：（1）∵b a x a b a x a x a x f ++--=++--=2)3

2cos(222sin 32cos )(π

而1)3

2cos(2

13

23

23

2

0≤-

≤-

?≤

-

≤-

?≤

≤π

ππ

π

π

x x x ，又0>a

∴?

?

?-==???

?-===+=52

5)(1

3)(min max b a b x f b a x f （2）由（1）知)3

22cos(41)3

2cos(4)(ππ

+

=--

-=x x x f

∴（以下略，只要正确，均可得分）

说明：该题考察了辅助角公式、三角函数的单调性、诱导公式、正弦型函数的图像变换等。

(3) 复习建议：用一周左右时间集中解决三角函数解答题，可以选用各地考卷套题中的三角函数题目。考场上力争不丢本题的分。

18题（概率统计题）：

（1） 知识清单

A ． 概念回顾

事件：必然事件 不可能事件

随机事件：等可能事件

互斥事件—对立事件

相互独立事件—独立重复试验 抽样方法：简单随机抽样—随机数表法、抽签法 分层抽样 系统抽样 期望、方差、均方差 B ． 公式再现

n

m P =

，（等可能事件的概率）

f P ≈，（概率的统计定义）

P （A+B ）=P （A ）+P （B ）， （加法公式）

1)(=+A A P ，（对立事件） k

n k

k

n n p p C k P --=)

1()(，(独立重复试验---二项分布)

)()()(B P A P AB P =，（乘法公式） )...(121n x x x n

x +++=

, ])(...)()[(12

22212

x x x x x x n

s n -++-+-=

C. 必记必背（建议在阅读的基础上自己总结记忆） 期望，期望的性质；方差，方差的性质。 二项分布： ,,npq D np E ==ξξ 几何分布：1),(-=k pq p k g ， 正态分布，标准正态分布。 （2） 例题

例18、甲、乙两人投掷硬币.甲将一枚硬币投掷3次、记正面朝上的次数为ζ；乙将一枚硬币投掷2次，记正面向上的次数为η.（1）（理）分别求出随机变量ζ和η的数学期望；（文）求甲在投掷过程中两次正面向上的概率；（2）若规定ζ>η时甲获胜，求甲获胜的概率. 解：（1）（理）依题意：此试验为独立重复试验问题，所以随机变量ξ、η符合二项分布.

由二项分布的期望公式5.15.03,=?=∴=ξξE nP E

ηE =2×0.5=1.

（注：也可列出分布列，根据定义求）

（文）因为此试验为独立重复试验，所以应用公式,)1()(k

n k k n n p p C k P --=

甲在投掷过程中有两次正面向上的概率为：

.8

3)211()21()2(2

233=-=C P

（2）甲获胜情况的有三种：

①甲正面向上1次，乙正面向上0次：.32

34

18

3)2

11()211()21(2

2131=

?

=

-?-?=C P

②甲正面向上2次，乙正面向上0次或1次：

.32

9)2141(83)]211(21

)211)[(211()21(1222232=+?=-+--=C C P

③甲正面向上3次，乙正面向上0次、1次或2次， .81)412141(8

1])21()211(21)211([)21(2

22122023333=

++?

=+-+-=C C C C P

综上所述，甲获胜的概率为：.218132

9

323321=++

=++=P P P P

说明：该题是典型的概率统计解答题，要特别注意解题格式。

（3） 复习建议：以上A 、B 是重点，一定要熟练掌握。考场上答题时特别注意以下几

点：弄清概率类型，明确符号表示，写出相应公式，解答完整清晰。具体来说就是：解答中要明确说出概率的类型；要设出字母来表示相关的概率；计算前要写出计算公式，然后再代数据；数据要仔细核算验证。只要按以上要求去做，概率统计题目拿满分是非常有希望的。

19题（立体几何题）： （1） 知识清单

A ． 基本概念: 公理体系、空间坐标、柱锥球体

B ． 基本关系：平行关系、垂直关系（定义、性质、判定）、夹角、距离。 （2） 解答策略

掌握基本概念，强调向量方法，一图二证三算，难易区别对待。

立体几何题的解答程序是先作图，再说理，最后才计算，不要只完成最后一步，丢失步骤分；一般来说，容易的题用直观综合方法做，难题要用向量方法做，这样可以节省思考的时间，叙述也比较清楚，不足之处是有时计算会烦琐一点。本题难度不大，考察知识点稳定明确，要力争答满分。建议把各地考卷如“38套”上的立体几何题集中做一遍。

（3） 例题 例19、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱11D A 的中点，H 为平面EDB 内一点，

)0(),2,2(1<--=→

--m m m m HC 。

（1）证明⊥1HC 平面EDB ；

（2）求1BC 与平面EDB 所成的角；

（3）设正方体棱长为3 ，求点1B 到平面EDB 的距离。

解：（1）设正方体的棱长为a ，则},0,2

{

a a DE =，}0,,{a a DB =，

∵0,011=?=?DB HC DE HC ，∴DB HC DE HC ⊥⊥11,，又D DB DE = ， ∴⊥1HC 平面EDB 。

（2）},0,{1a a BC -=，设1BC 与1HC 所成的角为θ，

=

θcos 2

23221111=

?+=

?m

a ma ma HC BC ，∴ 45=θ。

由（1）知⊥1HC 平面EDB ，

∴BH C 1∠为1BC 与平面EDB 所成的角。 4545901=-=∠BH C 。 即所求1BC 与平面EDB 所成的角为 45。

（3）d=1.（解答过程略，可求出平面的法向量后直接用距离公式）

说明：该题三小问均采用了向量工具，计算距离的一种办法是用待定系数法求出平面的法向量，然后代入距离公式计算：11d =

另一种办法也是用待定系数法，将平面上

三点的坐标代入平面的方程：,0=+++D Cz By Ax 确定D C B A ,,,的值，然后代入距离公式计算：2

2

2

2

2

2

z

y x C

B A Cz By Ax d ++++++=

，其中),,(z y x 为所求点的坐标。

20题（数列题）：

（1） 考察要点：

数列的概念：两种定义、两种分类、通项公式、前n 项和的公式、递推公式 等差数列：定义、通项公式、前n 项和的公式（三个）、 性质（q p n m a a a a q p n m +=+?+=+，…）

等比数列：定义、通项公式、前n 项和的公式、性质（q p n m a a a a q p n m =?+=+，…） 数列求和：倒序相加法，错项相消法，裂项求和法，公式法。累加法，累乘法。

数列在分期付款问题中的应用 单利、复利、增长率问题。 记住几个公式：

,2

)

1(...321+=

++++n n n

,6

)

12)(1( (3212)

2

2

2

++=

++++n n n n

,]2

)

1([ (3212)

3

3

3

3

+=+

+++n n n

,1

11)

1(1+-

=

+n n

n n

.111n

n n n +

+=

-+

（2） 题型：知三求二型的计算，})

1(1{+n n 型数列的求和，}{1

-n nx

型数列的求和，

（3） 例题

例20、已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且满足.22,1175243=+=a a a a

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列}{n b 是等差数列，且c

n S b n n +=

，求非

零常数c ；（Ⅲ）求)()36()(1

++∈+=

N n b n b n f n n

的最大值.

解：（I ）}{n a 为等差数列，5243a a a a +=+∴=22. 011722,,1172

4343=+-∴=?x x a a a a 是方程 的两实根，.,043a a d <∴>公差

.13,943==∴a a

34,41

13392111-=∴?

??==??

?=+=+n a d a d a d a n .

（II ）由（I ）知c

n n n c

n S b n n n n n S n n n +-=

+=

∴-=?-+=2

2

2,242

)1(

}{.315

,26,11321n b c

b c b c

b +=

+=

+=∴是等差数列，,2212b b b +=∴

),,0(2

1,02,315112262

舍去即

=-

==+++

+=?+c c c c c

c

c

.2

1-=∴c 故

（III ）由（II ）得,22

122

n n n n b n =-

-=

,

49

137

362137

36136

37)

1)(36()

1(2)36(2)(2

=

+≤

++

=++=

++=+?+=

∴n n n n n n n n

n n n

n f

∴当且仅当6,36==

n n n 即时取“等号”.

.49

1)(max =

∴n f

（4） 建议：上面知三求二型的计算题必须熟练，一般出现在第一问或选择解答题中，

力争不丢分； 后两种类型的数列求和要努力掌握，一般在后两问中出现，有时结合其它知识，要善于识别。

21题（解析几何题）：

（1） 知识清单（本部分内容比较明确，请参阅复习资料，努力记住。）

（2） 必记必背：弦长公式、焦点弦公式、中点弦问题的解法（设点、作差、变形）、

定义法解题。

（3） 例题 例21、（理科）已知.0),,(),,1(>-=+=p y p f y x e 曲线C 上点M ),(y x 的坐标满足.0=?f e 直线l ：∈=-+t t y x (0R ）与x 轴的交点在曲线C 的准线的右边.O 为坐标原点.

（1）求证：直线l 与曲线C 总有两个交点；

（2）设直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，且,OB OA ⊥求p 关于t 的函数)(t f 的表达式； （文科）将抛物线)0,1()0(2-=>=a p px y 按向量平移后，得曲线C ，且直线l ：

∈=+t t y x (R ）与x 轴的交点在曲线C 的准线的右边.

（1）求曲线C 的方程；

（2）求证直线t y x l =+:与曲线C 总有两个交点；

（3）设直线l 与曲线C 的交点为A 、B ，且,OB OA ⊥求p 关于t 的函数)(t f 的表达式. 解：（理科）（1）,0,0),,(),,1(=?>-=+=f e p y p f y x e ).1(,0)1(2

2

+==-+∴x p y

y

x p 即

∵曲线C 的准线方程为4

1p x --=，且直线∈=+t t y x (R ）与x 轴的交点（t ，0）在

曲线C 的准线的右边， .044,4

1>++-

->∴p t p t 即

.0)()2(,)

1(2

22

=-++-???+==+p t x p t x x p y t y x 得由 ① ,0)44()(4)2(,044,02

2>++=--+=?∴>++>p t p p t p t p t p

故直线l 与曲线C 总有两个交点.

（2）212211,),,(),,(x x y x B y x A 则设是方程①的两个根，

由根与系数关系得???-=?+=+,

,

22

2121p t x x p t x x .0,1,2121=+-=∴⊥y y x x k k OB OA OB OA 即

∴A 、B 在直线211,,y x t y t y x -=∴=+上=2x t -，

.2

)(,0)2(2

2

2121+=

=∴=+-=+∴t t

t f p p t t y y x x

)(,044,0t f p t p 函数及∴>++> 的定义域为).,0()0,2(+∞-

（3）]1,0()0,1[,002.11,2

22

||

-∈∴><<-≤≤-∴≤

t t t t t 或

].1,0()0,1[,2

)(2

-∈+=

=∴t t t

t f p 函数

,)

2(4)

2()2(2)(2

2

2

2

++=

+-+=

't t t t t t t t f

)(,0)(,10;)(,0)(,01t f t f t t f t f t >'≤<<'<≤-∴时为减函数时为增函数.…10分

.1,1,3

1)1(,1)1(max =-=∴=

=-p t f f 时

（文科）（1）曲线C 的方程为).1(2+=x p y

（2）∵曲线C 的准线为∈=+--=t t y x p x (,4

1且直线R ）与x 轴的交点（t,0）在

曲线C 的准线的右边，

.044,4

1>++-

->∴p t p t 即

.0)()2(,)

1(222=-++-???+==+p t x p t x x p y t y x 得由 ①

,0)44()(4)2(,044,02

2

>++=--+=?∴>++>p t p p t p t p t p

故直线与曲线C 总有两个交点.

（3）设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个根，

由根与系数关系得???-=?+=+p t x x p

t x x 2

2

1212 .0,1,2121=+-=∴⊥y y x x k k OB OA OB OA 即

∴A 、B 在直线211,,y x t y t y x -=∴=+上=2x t -，

.2

)(,0)2(2

2

2121+=

=∴=+-=+∴t t

t f p p t t y y x x

)(,044,0t f p t p 函数及∴>++> 的定义域为).,0()0,2(+∞-

（4） 建议：本题有可能比较难，但并非高不可攀，可以先画出图形，能写多少写多

少，切记在考试中卷面不要留空。

22题（函数）：

（1） 知识清单（略） （2） 例题 例22、已知函数f (x ) = x 3-ax 2-3x ．

（1）若y = f (x ) 在区间[1, +∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）若x = - 1

3

是f (x ) 的极值点，求f (x ) 在[1,a ]上的最大值；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数b 使得函数f (x ) = bx 的图象与函数f (x ) 的图象恰好有3个交点，若存在求出实数b 的取值范围，若不存在说明理由． 解：（1） f ′(x ) = 3x 2-2ax -3 ∵f (x )在[1,+∞)上是增函数

∴f ′(x ) 在[1,+∞)上恒有 f ′(x ) ≥0即3x 2

-2ax -3 ≥0在[1,+∞)恒成立． 亦即f ′(x )在[1,+∞)上的最小值不小于0

∴a 3 ≤1 且f ′max (x ) = f ′(1)≥0或 a 3 >1且f ′max (x ) = f ′(a

3 )≥0，解得a ≤0， ∴所求的a 的取值范围是(-∞,0]．

（2）依题意得f ′(- 1 ) = 0即1 +2 a -3 = 0得4=a ,x 1 = - 1

,x 2 = 3则

∴f (x )在[1，4]上的最大值是f (1) = -6．

（3）设存在实数b 满足题设条件，则函数g (x ) = bx 的图象与y = f (x )的图象恰有3个交点，即为：方程x 3-4x 2-3x = bx 恰有3个不等实根，∴x (x 2-4x -3-b ) = 0有3个不等实根， 显然x = 0是其一个根，∴方程x 2-4x -3-b = 0有两个不等的非零实根． ∴??

?Δ=16+4(3+b )>0 -3-b ≠0

解得b >-7且b ≠-3满足题设条件，

故存在实数b >-7且b ≠-3满足题设条件．

（3） 答题策略：

函数问题的中心是单调性，若用导数求，一般会给出一个三次函数，所以可以记住一个口诀： “见了三次就求导”。

二次函数问题是中学数学的重要内容，解决办法是配方法，所以又有一个口诀： “见了二次就配方”。

本题有可能是一个难题，可以不求全对，但不可留空。