[整理]一阶线性方程与常数变易法习题及解答.
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§2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答
求下列方程的解
1．dx
dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +)
=e x [-
2
1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt
dx +3x=e t 2 解：原方程可化为：
dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +)
=e t 3- (5
1e t 5+c) =c e t 3-+5
1e t 2 是原方程的解。 3．dt
ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2
1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin )
= e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )
=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。
4．
dx dy n x x e y n
x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c d x e x e e y dx x n
n x dx x n
+??=?-
)(c e x x n += 是原方程的解.
5．dx dy +1212--y x
x =0
解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x
x ?=-dx x x e y 21
2(c dx e dx x x
+?-221)
)21(ln 2+=x e )(1
ln 2?+--c dx e
x x =)1(1
2x ce x + 是原方程的解.
6． dx dy 234xy
x x += 解：dx dy 2
34xy x x += =23y
x +x y 令
x
y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2
u x 21u dx du = dx du u =2
c x u +=33
1 c x x u +=-33 （*）
将x
y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
3
3
3
2
()21()2
27.
(1)1
2(1)1
2(),()(1)1(1)(())
1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??==+??++??P(x)dx 232解：方程的通解为：
y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+2
32
2
1
(1)()2
11,()(())
dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y
Q y y y
e y Q y dy c -+++==+=??==??+??2
243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)
=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。
8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：
x=e e 23
31*)2
2
y dy c y
y cy y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。
()()()19.
,1),()(())
01a
dx P x dx a x P x dx P x dx
a a dy ay x a dx x x
a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==??==??+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x
当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c
当 时，方程01a a a
≠a 的通解为
y=cx+xln/x/-1
当 ，时，方程的通解为
x 1 y=cx +- 1-
3
3
3
1()()()310.11(),()1(())
(*)dx P x dx x P x dx P x dx dy x y x dx
dy y x dx x
P x Q x x x
e e x
e e Q x dx c x x dx c c x
c x --+==-+=-=??==??++++??33解：方程的通解为：
y=1 =x
x =4x 方程的通解为： y=4
()()()2
233
33
23
323233
2311.2()2()()2,()2(())((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dx
xy x y dx
xy x y dx
xy x dx
y z
dz xz x dx
P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-??==?
?+-??23
-2
x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：
z= =e 222)
1
1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。
222
1
211
1()()222ln 112.(ln 2)424
ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())
ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x
y dy x y y dx x x
dy x y dx x x
y z
dz x z dx x x
x P x Q x x x
z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-??=+??=-+=??解： 两边除以 令方程的通解为：
222ln ())ln 1424
ln 1:()1,424
x dx c x x c x x c x y x -+=++++=?方程的通解为且y=0也是解。 13
222(2)2122xydy y x dx
dy y x y dx xy x y
=--==- 这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以1y
， 212
dy y y dx x =- 令2y z = 2d z d y y d x d x
= 22211dz y z dx x x
=-=-
P(x)=2x
Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式
22
()dx dx x x z e e dx c -??=-+? =2x x c +
22y x x c =+
14 23y dy e x dx x
+= 两边同乘以y e 22()3y y
y
dy e xe e dx x += 令y e z = y d z d y e d x d x
= 22
2233dz z xz z z dx x x x
+==+ 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以2z
22131dz z dx xz x =+ 令1T z
= 21dT dz dx z dx =- 231dT T dx x x
-=+ P （x ）=3x - Q(x)=21x - 由一阶线性方程的求解公式
3321()dx dx x x T e e dx c x
--??=+? =321()2
x x c --+ =1312
x cx ---+ 131()12
z x cx ---+= 131()12
y e x cx ---+= 2312
y y x e ce x -+= 2312
y x x e c -+=
15 33
1dy dx xy x y =+
33dx yx y x dy =+ 这是n=3时的伯努利方程。
两边同除以3x 3321dx y y x dy x
=+ 令2x z -= 32d z d x x d y d y
-=- 3222d z y y d y x
=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y - 由一阶线性方程的求解公式
223(2)ydy ydy z e y e dy c ---??=-+?
=2
23(2)y y e y e dy c --+?
=221y y ce --++ 222(1)1y x y ce --++=
22222(1)y y y x e y ce e --++=
2
2222(1)y e x x y cx -+=
16 y=x e +0()x y t dt ? ()x dy e y x dx
=+ x dy y e dx
=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式
11()dx dx x y e e e dx c -??=+?
=()x x x e e e dx c -+?
=()x e x c +
0()()x
x x
x e x c e e x c dx +=++? c=1
y=()x e x c +
17 设函数?(t)于-∞ 试求此函数。 令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2(0)? 故(0)0?=或(0)1?= （1） 当(0)0?=时 ()(0)()( t t t ????=+= 即()0t ?= (t ?∈-∞,+∞) (2) 当(0)1?=时 '0()()()lim t t t t t t ????→+?-=?=0()()()lim t t t t t ????→?-? =0()(()1)lim t t t t ???→?-?=0(0)(0)()lim t t t t ????→?+-? ='(0)()t ?? 于是'(0)()d t dt ???= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0ce ?c=1 故' (0)()t t e ??= 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数. （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：()()dy P x y Q x dx =+ （2.28） ()dy P x y dx = （2.3） （1） 设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解 则 11()()dy P x y Q x dx =+ （1） 22()()dy P x y Q x dx =+ （2） （1）-（2）得 ()1212()()d y y P x y y dx -=- 即12y y y =-是满足方程（2.3） 所以，命题成立。 （2） 由题意得： ()()dy x P x y dx = （3） ()()()()d y x P x y x Q x dx =+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。 于是 ()()34c ?+ 得 ()()()cdy d y cP x y P x y Q x dx dx +=++ ()()()()d cy y P x cy y Q x dx +=++ 故y cy y =+是（2.28）的一个解。 2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +的形式 设1y 是(2.28)的一个解 则 11()()dy P x y Q x dx =+ （4’） 于是 （4’）-（4）得 11()()()d y y P x y y dx -=- 从而 ()1P x dx y y ce cy ?-== 即 1y y c y =+ 所以，命题成立。 （3） 设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解 则 33()dy P x y dx = （5） 44()dy P x y dx = （6） 于是（5）c ?得 33()cdy cP x y dx = 即 33()()()d cy P x cy dx = 其中c 为任意常数 也就是3y cy =满足方程（2.3） （5）±（6）得 3434()()dy dy P x y P x y dx dx ±=± 即 3434()()()d y y P x y y dx ±=± 也就是34y y y =±满足方程（2.3） 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 （5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为 '()Y y y X x -=- 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'y x y xy y - - 即 横截距为 'y x y - ， 纵截距为 'y xy -。 由题意得： （5） 2'y x y x -= 方程变形为 2dy x y x dx =- 1dy y x dx x =- 于是 11()(())dx dx x x y e x e dx c -??=-+? l n l n (()) x x e x e dx c -=-+? 1(())x x x d x c -=-+? 1(())x x d x c x =-+? ()x x c =-+ 2x c x =-+ 所以，方程的通解为2y x cx =-+。 （6）'2x y y xy +-= 方程变形为 22 dy y x x dx =- 1122 dy y dx x =- 于是 11()221(())2 dx dx x x y e e dx c -??=-+? 11 ln ln 221(())2x x e e dx c -=-+? 11221(()) 2x x d x c -=-+? 11 2 21(())2x x dx c -=-+? 1122()x x c =-+ 12x c x =-+ 所以，方程的通解为12y x cx =-+。 22．求解下列方程。 （1）0')1(2=+--xy y x 解：1 111'22----=x y x xy y )11(12122?+?--?=---c e x e y dx x x dx x x =]/1/111 [/1/21 22212c dx x x x +----? =]/1/[/1/232212c x dx x +---? =c x x +-/1/2 （2） '3sin cos sin 0y x x y x --= 2sin sin cos cos dy y x dx x x x =+ P(x)=1sin cos x x Q(x)=2sin cos x x 由一阶线性方程的求解公式 112sin cos sin cos sin ()cos dx dx x x x x x y e e dx c x -??=+? =sin (sin )cos x xdx c x +? =sin (cos )cos x x c x -+ =sin tgxc x - 耿老师总结的高考统计部分的两个重要公式的具体如何应用 第一公式：线性回归方程为???y bx a =+的求法： （1） 先求变量x 的平均值，既1231()n x x x x x n = +++???+ （2） 求变量y 的平均值，既1231()n y y y y y n =+++???+ （3） 求变量x 的系数?b ，有两个方法 法112 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆）[]112222212()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? （需理解并会代入数据） 法21 2 1()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑（题目给出不用记忆） []1122222212...,...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??（这个公式需要自己记忆，稍微简单些） （4） 求常数?a ，既??a y bx =- 最后写出写出回归方程???y bx a =+。可以改写为：??y bx a =-（?y y 与不做区分） 例．已知,x y 之间的一组数据： 求y 与x 的回归方程： 解：（1）先求变量x 的平均值，既1(0123) 1.54x = +++= （2）求变量y 的平均值，既1(1357)44 y =+++= （3）求变量x 的系数?b ，有两个方法 法1?b = []11223344222212342222()()()()()()()()()()()()(0 1.5)(14)(1 1.5)(34)(2 1.5)(54)(3 1.5)(74)57(0 1.5)(1 1.5)(2 1.5)(3 1.5)x x y y x x y y x x y y x x y y x x x x x x x x --+--+--+--=??-+-+-+-??--+--+--+--==??-+-+-+-?? 法2?b =[][]11222222222212...011325374 1.5457 ...0123n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-??+?+?+?-??==????+++-+++???? (4)求常数?a ，既525??4 1.577a y bx =-=-?= 最后写出写出回归方程525???77 y bx a x =+=+ 第二公式：独立性检验 两个分类变量的独立性检验： 注意：数据a 具有两个属性1x ，1y 。数 据b 具有两个属性1x ，2y 。数据c 具有两个属性2x ，2y 数据d 具有两个属性2x ，2y 而且列出表格是最重要。解题步骤如下 第一步：提出假设检验问题 （一般假设两个变量不相关） 第二步：列出上述表格 第三步：计算检验的指标 2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 第四步：查表得出结论 例如你计算出2K =9大于表格中7.879，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.005，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或095.50 例如你计算出2K =6大于表格中5.024，则查表可得结论：两个变量之间不相关概率为0.025，或者可以肯定的说两个变量相关的概率为0.995.或097.50 上述结论都是概率性总结。切记事实结论。只是大概行描述。具体发生情况要和实际联系！！ ！！ 112233^ ^^^2 211(,),(,),(,)(,)1,2,3),()()n n i i i i i i n i i i i i i n x y x y x y x y y bx a x i n y bx a y y y a b Q y y bx a y ===+==+-=-=+-∑L L 设有对观察值,两变量符合线生回归设其回归方程为:，把自变量的某一观测值代(入入回归方程得:，此值与实际观测值存在一个差值，此差值称为剩余或误差。现要决定取何值时，才能够使剩余的平方和有最小值，即求11 2 21122 221 1111 22111:,()[()()()]()()()2()()2()()2()() ()2n n n i i i i n n i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i n i i x x y y n n Q bx a y a bx y y y b x x n a bx y y y b x x a bx y y y a bx y x x b x x y y b x x =============+-=+---+-=+-+-+--+---+-----=--∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑的最小值知又22 111 122211()()()()()()()()n n i i i i i n n i i i i i i n n i i i i b x x y y n a bx y y y b x x y y x y nx y b x x x n x a y bx ======--++-+----==--=-∑∑∑∑∑∑此式为关于的一元二次方程,当 线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据： 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； （2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：） 2、假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)统计数据如下: 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知y对x呈线性相关关系.求: (1) 填出下图表并求出线性回归方程=bx+a的回归系数,; 序号x y xy x2 1 2 2.2 2 3 3.8 3 4 5.5 4 5 6.5 5 6 7.0 ∑ (2) 估计使用10年时,维修费用是多少. 3、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四实试验，得到的数据如下： 零件的个数x（个） 2 3 4 5 加工的时间y（小时） 2.5 3 4 4.5 （1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图； （2）求出y关于x的线性回归方程，并在坐标系中画出回归直线； （3）试预测加工10个零件需要多少时间？ （注： 4、某服装店经营的某种服装，在某周内获纯利(元)与该周每天销售这种服装件数之间的一组数据关系如下表： 3 4 5 6 7 8 9 66 69 73 81 89 90 91 已知：． (Ⅰ)画出散点图； (1I)求纯利与每天销售件数之间的回归直线方程． 5、某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据： 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 (1)画出散点图： (2)求回归直线方程； (3)据此估计广告费用为10时，销售收入的值． § 一阶线性方程与常数变易法习题及解答 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5．dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 212(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(12x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 23 4xy x x += 解：dx dy 23 4xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2 u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. §2.2 一阶线性方程与常数变易法习题及解答 求下列方程的解 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c d x e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解. 5．dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 21 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 2 34xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2 u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. 线性回归方程 1.【2014高考全国2第19题】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表： （Ⅰ）求y关于t的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()() () 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = -- = - ∑ ∑ ，? ?a y bt =- 2.【2016年全国3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014. （Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y ==∑，7 1 40.17i i i t y ==∑ 0.55=，≈2.646. 参考公式：()() n i i t t y y r --= ∑ 回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() ()n i i i n i i t t y y b t t ==--= -∑∑ ，=.a y bt - 3.【2015全国1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 常数变易法的解释 注：本方法是对崔士襄教授写的《“常数变易法”来历的探讨》论文的解释。思路并非本人原创。特此注明。背景详见本人前一篇博文。 我们来看下面的式子： y’＋P(x).y ＝ Q(x) (1) 对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。 起初的一些尝试和启示 先直接分离看一下： dy/dx＋P(x)·y ＝ Q(x) ＝> dy ＝ ( Q(x)－P(x).y ).dx (2) 从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝ u ＝ > y ＝ u·x . 将y ＝ u·x代入(1)式: u’·x＋u＋P(x)·u·x ＝ Q(x) ＝> u’·x＋u·(1＋P(x)·x) ＝ Q(x) ＝> du/dx·x ＝ Q(x)－u(1＋P(x)·x) ＝> du ＝ [Q(x)－u·(1＋ P(x).x)].(1/x).dx (3) 这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。 进一步：变量代换法 3-7-一阶线性方程与常数变易法 2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation and constant variation formula ) [教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子. [教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程. [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标] 1.熟练运用常数变易公式; 2. 知道?Skip Record If...?计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程. 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation） (1) 称形如?Skip Record If...?的方程为一阶线性齐次方程，其中?Skip Record If...?连续； 称形如?Skip Record If...?的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中?Skip Record If...?连续且?Skip Record If...?不恒为零. (2) 当?Skip Record If...?时，改写?Skip Record If...?为 二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受 k 个自变量 x 1, x 2 ,..., x k 的影响，其 n 组观测值为（ y a , x 1 a , x 2 a ,..., x ka ）， a 1,2,..., n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 0 1 x 1a 2 x 2 a ... k x ka a （） 式中： 0 , 1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果 b 0 , b 1 ,..., b k 分别为 0 , 1 , 2 ..., k 的拟合值，则回归方程为 ?= b 0 b 1x 1 b 2 x 2 ... b k x k （） 式中： b 0 为常数； b 1, b 2 ,..., b k 称为偏回归系数。 偏回归系数 b i （ i 1,2,..., k ）的意义是，当其他自变量 x j （ j i ）都固定时，自变量 x i 每变 化一个单位而使因变量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （ i 0,1,2,..., k ）的估计值 b i （ i 0,1,2,..., k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b 1 x 1a b 2 x 2a ... b k x ka min （） a 1 a 1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a b 0 a 1 （） Q n 2 y a y a x ja 0( j 1,2,..., k) b j a 1 将方程组（）式展开整理后得： 2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equation and constant variation formula ) [教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子. [教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程. [教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标] 1. 熟练运用常数变易公式; 2. 知道 ? dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学 一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程. 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dx dy =的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如 q(x)y p(x)dx dy +=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写 y p(x)dx dy =为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===???，其中?dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dx dy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~ ,e C ~y =?±=，此外y=0也是解. 综上， y p(x)dx dy =的解为C ,e C y p(x)dx ?=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求 q(x)y p(x)dx dy +=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ?=p(x)dx e C(x)y ，则代入原方程来确定C(x)， q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dx dy p(x)dx p(x)dx p(x)dx +?=?+?=， 即q(x)e (x)' C p(x)dx =?，C q(x)dx e C(x) q(x), e (x)' C p(x)dx -p(x)dx +? =? =?-，此处C 为 线性 回归 方程 统计总课时第18课时分课题线性回归方程分课时第1 课时 教学目标了解变量之间的两种关系，了解最小平方法〔最小二乘法〕的思想，会用公式求解回归系数． 重点难点最小平方法的思想，线性回归方程的求解． 线性回归方程 某小卖部为了了解热茶销量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 气温/C ?26 18 13 10 4 -1 杯数20 24 34 38 50 64假设某天的气温是C? -5，那么你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？ 新课教学 1．变量之间的两类关系： 〔1〕函数关系： 〔2〕相关关系： 2．线性回归方程： 〔1〕散点图： 〔2〕最小平方法〔最小二乘法〕：〔3〕线性相关关系： 〔4〕线性回归方程、回归直线：3．公式： [来源:https://www.360docs.net/doc/1e8907101.html,] 4．求线性回归方程的一般步骤： x y Ｏ 例题剖析 例1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．[来源:学&科&网] 机动车辆数x/千辆95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故数y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 [来源:1ZXXK] 思考：如图是1991年到2000年北京地区年平均气温〔单位：C 〕与年降雨量〔单位：mm 〕的散点图，根据此图能求出它的回归直线方程吗？如果能，此时求得的回归直线方程有意义吗？ 巩固练习 1x /百万元 [来 源:Z+xx+https://www.360docs.net/doc/1e8907101.html,] 2 4 5 6 8 y /百万元 30 40 60 50 70 〔1〕画出散点图； 〔2〕求线性回归方程． 课堂小结 了解变量之间的两种关系，了解最小平方法的思想，会用公式求解回归系数． x y 100 200 300 400 500 600 12.40 12.60 12.80 13.00 常数变易法原理 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 常数变易法原理 我们来看下面的式子： y’＋P(x).y＝Q(x) (1) 对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。 起初的一些尝试和启示 先直接分离看一下： dy/dx＋P(x).y＝Q(x) dy＝[Q(x)－P(x).y].dx (2) 从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x＝u→ y＝u.x .将y＝u.x代入(1)式: u’.x＋u＋P(x).u.x＝Q(x) → u’.x＋u.(1＋P(x).x)＝Q(x)→du/dx.x ＝Q(x)－u(1＋P(x).x) →du＝[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3) 这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。 不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。 进一步：变量代换法 筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。 让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么： u’.v＋u.(v’＋P(x).v)＝Q(x) (4) 如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋ P(x)·v)就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变这是v的用处就有了。令v’＋P(x)·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。 dv/dx＋P(x)·v＝0 →v＝C1.e^(-∫P(x)dx) (5) 多元线性回归的计算方法 摘要 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭 消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响，表现在线性回归模型中的解释变量有多个。这样的模型被称为多元线性回归模型。 多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由 于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍多元线性回归的一些基本问题。 但由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素（自变量）的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下： Zy=β1Zx1+β2Zx2+…+βkZxk 注意，由于都化成了标准分，所以就不再有常数项a 了，因为各自变量都取平均水平时，因变量也应该取平均水平，而平均水平正好对应标准分0，当等式两端的变量都取0时，常数项也就为0了。 多元线性回归模型的建立 多元线性回归模型的一般形式为 Yi=β0+β1X1i+β2X2i+…+i i i i h x υβ+ =1,2,…,n 其中 k 为解释变量的数目，j β=（j=1,2,…,k)称为回归系数 （regression coefficient)。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为 E(Y∣X1i,X2i,…Xki,)=β0+β1X1i+β2X2i+…+βkXki βj 也被称为偏回归系数（partial regression coefficient) 多元线性回归的计算模型 常数变易法原理 我们来看下面的式子： y’＋P(x).y?＝?Q(x) (1) 对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。 ??起初的一些尝试和启示 先直接分离看一下： dy/dx＋P(x).y?＝?Q(x) dy?＝?[Q(x)－P(x).y].dx (2) 从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x?＝?u??→y?＝?u.x .将y?＝?u.x代入(1)式: u’.x＋u＋P(x).u.x?＝?Q(x) →u’.x＋u.(1＋P(x).x)?＝?Q(x)→du/dx.x?＝?Q(x)－u(1＋P(x).x) →du?＝?[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3) 这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。 ?进一步：变量代换法 筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。y＝u·v 就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。 让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么： u’.v＋u.(v’＋P(x)?.v)?＝?Q(x) (4) 如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋P(x)?·v)就是我们刚刚遇到的没法把u单独分离出来的那一项，既然分不出来，那么干脆把这一项变为零好了。怎么变？这是v的用处就有了。令v’＋P(x)?·v＝0，解出v对应x的函数关系，这本身就是一个可以分离变量的微分方程问题，可以将其解出来。 ?dv/dx＋P(x)?·v?＝?0? →v?＝?C1.e^(-∫P(x)dx)? (5) ?现在v解出来了，接下来该处理u了，实际上当v解出来后u就十分好处理了。把（5）式代入（4）式，则u·(v’＋P(x)·v)这一项便被消掉了。剩下的是u’?·C1·e^(-∫P(x)dx)?＝?Q(x) 而这也是一个可以分离变量的微分方程。同样可以十分容易地解出来： du/dx?·C1·e^(-∫P(x)dx)＝Q(x) →du?＝?1/C1·e^(∫P(x)dx)·Q(x)·dx →u?＝?1/C1.∫e^(∫P(x)dx).Q(x).dx＋C2 (6) 2.4线性回归方程 重难点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法，回归直线方程在现实生活与生产中的应． 考纲要求：①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ②了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 经典例题：10．有10名同学高一（x）和高二（y）的数学成绩如下： ⑴画出散点图； ⑵求y对x的回归方程。 当堂练习： 1.下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（） . . . . A ． B ． C ． D ． 2．线性回归方程表示的直线必经过的一个定点是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．设有一个直线回归方程为 ,则变量x 增加一个单位时 （ ） A ． y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位 C ． y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位 4．对于给定的两个变量的统计数据，下列说确的是（ ） A ．都可以分析出两个变量的关系 B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C ．都可以作出散点图 D. 都可以用确定的表达式表示两者的关系 5．对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（ ） A ．|r|越大，相关程度越大 B ．|r|，|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大 杯 数 24 34 39 51 63 C．|r|1且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小D．以上说法都不对 6．“吸烟有害健康”，那么吸烟与健康之间存在什么关系（） A．正相关B．负相关C．无相关D．不确定 7．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（） A．角度与它的余弦值B．正方形的边长与面积 C．正n边形的边数和顶点角度之和D．人的年龄与身高 8．对于回归分析，下列说法错误的是（） A．变量间的关系若是非确定性关系，则因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可正可负 C．如果，则说明x与y之间完全线性相关 D．样本相关系数 9．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15V次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分布为和，已知 . . 常数变易法的解释 我们来看下面的式子： y’＋P(x).y ＝Q(x) (1) 对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。 起初的一些尝试和启示 先直接分离看一下： dy/dx＋P(x)·y ＝Q(x) ＝> dy ＝( Q(x)－P(x).y ).dx (2) 从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝u ＝> y ＝u·x . 将y ＝u·x代入(1)式: u’·x＋u＋P(x)·u·x ＝Q(x) ＝> u’·x＋u·(1＋P(x)·x) ＝Q(x) ＝> du/dx·x ＝Q(x)－u(1＋P(x)·x) ＝> du ＝[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3) 这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。Ok，好戏开场了。 进一步：变量代换法 筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。但结果会让你跌破眼镜。y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。其中u和v都是关于x的函数。这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。你可能觉得把一个函数关系问题变成两个函数关系问题，这简直是脑残的表现——非也，u和v都非常有用，看到下面就知道了。 让我们看看讲代换y＝u·v代入（1）式会出现什么： u’.v＋u.(v’＋P(x) .v) ＝Q(x) (4) 如果现在利用分离变量法来求u对应于x的函数关系，那么u·(v’＋P(x) ·v)就是我们 二、多元线性回归模型 在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。 （一）多元线性回归模型的建立 假设某一因变量 y 受k 个自变量x 1,x 2,...,x k 的影响，其n 组观测值为（y a ,x 1a ,x 2a ,...,x ka ）， a 1,.2..,n 。那么，多元线性回归模型的结构形式为： y a 1x 1a 2x 2a ... k x ka a （3.2.11） 式中： 0,1 ,..., k 为待定参数； a 为随机变量。 如果b 0,b 1,...,b k 分别为 0,1, 2 ... , k 的拟合值，则回归方程为 ?=b 0 b 1x 1 b 2x 2 ... b k x k （3.2.12） 式中： b 0为常数； b 1,b 2,...,b k 称为偏回归系数。 偏回归系数b i （i1,2,...,k ）的意义是，当其他自变量 x j （j i ）都固定时，自变量 x i 每 变化一个单位而使因变 量 y 平均改变的数值。 根据最小二乘法原理， i （i 0,1,2,...,k ）的估计值b i （i 0,1,2,...,k ）应该使 n 2 n 2 Q y a y a y a b 0 b1x1a b2x2a ... bkxk a min （3.2.13） a 1 a1 有求极值的必要条件得 Q n 2 y a y a 0 b 0 a 1 （3.2.14） Q n 2 y a yaxja 0(j 1,2,...,k) b j a1 将方程组（3.2.14）式展开整理后得： 4-18-求解线性非齐次高阶方程的特解-常 数变易法 精品资料 4.3 非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理 ( Use the method of Variation of Constants to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE) [教学内容] 1. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式） [教学重难点] 重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解；难点是如何给出未知函数满足的方程. [教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标] 1. 灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 2. 知道非齐次线性方程特解的叠加原理. 3. 知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式） 1.常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例） (1)引例(1) 求出方程?Skip Record If...?; (2) ?Skip Record If...?的通解. 这里?Skip Record If...?和?Skip Record If...?不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特解的待定系数法来求解方程的特解. (2)解法思路：考察?Skip Record If...? (**). 为了求出方程（**）的一个特解，先考虑相应的二阶齐次线性方程?Skip Record If...?(*)，假定已知齐次线性方程的基本解组?Skip Record If...?，则齐次线性方程的通解为?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?为常数. 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 最小二乘法主要用来求解两个具有线性相关关系的变量的回归方程，该方法适用于求解与线性回归方程相关的问题，如求解回归直线方程，并应用其分析预报变量的取值等．破解此类问题的关键点如下： ①析数据，分析相关数据，求得相关系数r，或利用散点图判断两变量之间是否存在线性相关关系，若呈非线性相关关系，则需要通过变量的变换转化构造线性相关关系． ②建模型．根据题意确定两个变量，结合数据分析的结果建立回归模型． ③求参数．利用回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘估计公式，求出b，a，的值．从而确定线性回归方程． ④求估值．将已知的解释变量的值代入线性回归方程y=bx+a中，即可求得y的预测值． 注意:回归直线方程的求解与应用中要注意两个方面：一是求解回归直线方程时，利用样本点的中心（x，y）必在回归直线上求解相关参数的值；二是回归直线方程的应用，利用回归直线方程求出的数值应是一个估计值，不是真实值． 经典例题： 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1,2.，……，17）建立模型①：y=+；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：y=99+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由． 思路分析：（1）两个回归直线方程中无参数，所以分别求自变量为2018时所对应的函数值，就得结果，（2）根据折线图知2000到2009，与2010到2016是两个有明显区别的直线，且2010到2016的增幅明显高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能较好得到2018的预测. 解析：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =–+×19=（亿元）． 利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 =99+×9=（亿元）． （2）利用模型②得到的预测值更可靠．理由如下： （i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–+上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利线性回归方程的求法(需要给每个人发)
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