2015年安徽省高考数学试卷理科解析

2015年安徽省高考数学试卷

（理科）

一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于

（）

A ．第一象限B

．

第二象限C

．

第三象限D

．

第四象限

2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A ．y=cosx B

．

y=sinx C

．

y=lnx D

．

y=x2+1

3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）

A ．充分不必要

条件

．

必要不充分

条件

C ．充分必要条

件

．

既不充分也

不必要条件

4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）

．x2﹣=1 B

．

﹣y2=1

．﹣x2=1

．

y2﹣=1

5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B ．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C若α，β不平

．行，则在α内

不存在与β平

行的直线

．

若m，n不平

行，则m与n

不可能垂直

于同一平面

6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，x2，…，

x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，

2x10﹣1的标准差为（）

．

8 B

．

15 C

．

16 D

．

7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视

图如图所示，则该四面体的表面积是（）

．

1+B

．

2+C

．

1+2D

．

8．（5分）（2015?安徽）△ABC是边长为2

的等边三角形，已知向量，满足=2，

=2+，则下列结论正确的是（）

．

||=1 B

．

⊥

．

?=1

．

（4+

）⊥

9．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=

的图象如图所示，则下列结论成立的是（）

A ．a＞0，b＞0，

c＜0

．

a＜0，b＞0，

c＞0

．

a＜0，b＞0，

c＜0

．

a＜0，b＜0，

c＜0

10．（5分）（2015?安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）

的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）

A ．f（2）＜f（﹣

2）＜f（0）

．

f（0）＜f（2）

＜f（﹣2）

．

f（﹣2）＜f

（0）＜f（2）

．

f（2）＜f（0）

＜f（﹣2）

二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015?安徽）（x3+）7的展开

式中的x5的系数是（用数字填写答案）

12．（5分）（2015?安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．

13．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．

15．（5分）（2015?安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）

①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．

三.解答题（共6小题，75分）

16．（12分）（2015?安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．

17．（12分）（2015?安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3

件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）

18．（12分）（2015?安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标

（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；

（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．

19．（13分）（2015?安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1

的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；

（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．

20．（13分）（2015?安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，

点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，

直线OM 的斜率为

（Ⅰ）求E的离心率e；

（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点

的纵坐标为，求E的方程．

21．（13分）（2015?安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）

内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；

（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）

﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣

满足条件D≤1时的最大值．

2015年安徽省高考数学试

卷（理科）

参考答案与试题解析

（）

A ．第一象限B

．

第二象限C

．

第三象限D

．

第四象限

考点：复数的代数

表示法及其

几何意义．

专题：计算题；数系

的扩充和复

数．

分析：先化简复数，

再得出点的

坐标，即可得

出结论．

解答：

解：=i

（1+i）=﹣

1+i，对应复

平面上的点

为（﹣1，1），

在第二象限，

故选：B．

点评：本题考查复

数的运算，考

查复数的几

何意义，考查

学生的计算

能力，比较基

础．

2．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

．

y=cosx B

．

y=sinx C

．

y=lnx D

．考点：函数的零点；

函数奇偶性

的判断．

专题：函数的性质

及应用．

分析：利用函数奇

偶性的判断

方法以及零

点的判断方

法对选项分

别分析选择．

解答：解：对于A，

定义域为R，

并且cos（﹣

x）=cosx，是

偶函数并且

有无数个零

点；

对于B，sin

（﹣x）=﹣

sinx，是奇函

数，由无数个

零点；

对于C，定义

域为（0，

+∞），所以是

非奇非偶的

函数，有一个

零点；

对于D，定义

域为R，为偶

函数，都是没

有零点；

故选A．

点评：本题考查了

函数的奇偶

性和零点的

判断．①求函

数的定义域；

②如果定义

域关于原点

不对称，函数

是非奇非偶

的函数；如果

关于原点对

称，再判断f

（﹣x）与f

（x）的关系；

相等是偶函

数，相反是奇

函数；函数的

零点与函数

图象与x轴的

交点以及与

对应方程的

解的个数是

一致的．

3．（5分）（2015?安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的（）

A ．充分不必要

条件

．

必要不充分

条件

C ．充分必要条

件

．

既不充分也

不必要条件

考点：必要条件、充

分条件与充

要条件的判

断．

专题：简易逻辑．分析：运用指数函

数的单调性，

结合充分必

要条件的定

义，即可判

断．

解答：解：由1＜x

＜2可得2＜

2x＜4，则由p

推得q成立，

若2x＞1可得

x＞0，推不出

1＜x＜2．

由充分必要

条件的定义

可得p是q成

立的充分不

必要条件．

故选A．

点评：本题考查充

分必要条件

的判断，同时

考查指数函

数的单调性

的运用，属于

基础题．

4．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，焦

点在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是

（）

．x2﹣=1

．

﹣y2=1

．﹣x2=1

．

考点：双曲线的简

单性质．

专题：圆锥曲线的

定义、性质与

方程．

分析：对选项首先

判定焦点的

位置，再求渐

近线方程，即

可得到答案．

解答：解：由A可得

焦点在x轴

上，不符合条

件；

由B可得焦

点在x轴上，

不符合条件；

由C可得焦

点在y轴上，

渐近线方程

为y=±2x，符

合条件；

由D可得焦

点在y轴上，

渐近线方程

为y=x，

不符合条件．

故选C．

点评：本题考查双

曲线的方程

和性质，主要

考查双曲线

的焦点和渐

近线方程的

求法，属于基

础题．

5．（5分）（2015?安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B ．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D ．若m，n不平行，则m与n 不可能垂直于同一平面

考点：空间中直线

与平面之间

的位置关系；

空间中直线

与直线之间

的位置关系；

平面与平面

之间的位置

关系．

专题：空间位置关

系与距离．分析：利用面面垂

直、线面平行

的性质定理

和判定定理

对选项分别

分析解答．

解答：解：对于A，

若α，β垂直

于同一平面，

则α与β不一

定平行，如果

墙角的三个

平面；故A错

误；

对于B，若m，

n平行于同一

平面，则m与

n平行．相交

或者异面；故

B错误；

对于C，若α，

β不平行，则

在α内存在无

数条与β平行

的直线；故C

错误；

对于D，若m，

n不平行，则

m与n不可能

垂直于同一

平面；假设两

条直线同时

垂直同一个

平面，则这两

条在平行；故

D正确；

故选D．

点评：本题考查了

空间线面关

系的判断；用

到了面面垂

直、线面平行

的性质定理

和判定定理．

6．（5分）（2015?安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）

A ．8 B

．

15 C

．

16 D

．

考点：极差、方差与

标准差．

专题：概率与统计．分析：根据标准差

和方差之间

的关系先求

出对应的方

差，然后结合

变量之间的

方差关系进

行求解即可．解答：解：∵样本数

据x1，x2，…，

x10的标准差

为8，

∴=8，即

DX=64，

数据2x1﹣1，

2x2﹣1，…，

2x10﹣1的方

差为D（2X

﹣1）

=4DX=4×64，

则对应的标

准差为

==1

6，

故选：C．

点评：本题主要考

查方差和标

准差的计算，

根据条件先

求出对应的

方差是解决

本题的关键．7．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视

图如图所示，则该四面体的表面积是（）

．

1+B

．

2+C

．

1+2D

．考点：由三视图求

面积、体积．

专题：计算题；空间

位置关系与

距离．

分析：根据几何体

的三视图，得

出该几何体

是底面为等

腰直角三角

形的三棱锥，

结合题意画

出图形，利用

图中数据求

出它的表面

积．

解答：解：根据几何

体的三视图，

得；

该几何体是

底面为等腰

直角三角形

的三棱锥，如

图所示；

∴该几何体

的表面积为

S表面积

=S△PAC+2S△

PAB+S△ABC

=×2×1+2×

×2×1

=2+．

故选：B．

点评：本题考查了

空间几何体

的三视图的

应用问题，解

题的关键是

由三视图得

出几何体的

结构特征，是

基础题目．

8．（5分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（）

A ．||=1 B

．

⊥

．

?=1

．

（4+）

⊥

考点：平面向量数

量积的运算．专题：平面向量及

应用．

分析：由题意，知道

，

，根据

已知三角形

为等边三角

形解之．

解答：解：因为已知

三角形ABC

的等边三角

形，，满

足=2，

=2+，

又

，

所以

，

所以=2，

=1×2×co

s120°=﹣1，

4=4×1×2

×cos120°=﹣

4，=4，所

以

0，即（4）

=0，即