傅里叶变换的对称性证明

一． 序列的傅里叶变换（DTFT ）的对称性

已知：

[()]()j DTFT x n X e ω=

**[()]()j DTFT x n X e ω-= **[()]()j DTFT x n X e ω-=(由Z 变换的性质可推出)

共轭对称序列：()()*e e x n x n =-实部是偶对称序列，虚部是奇对称序列 共轭反对称序列: ()()*o o x n x n =--实部是奇对称序列，虚部是偶对称序列 任一序列总可以表示成共轭对称序列和共轭反对称序列之和：

()()()()()()()()()

**12

12e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n ???=+-????=+?

???=--?

???

()()()()()()()()()**1212j j j e j j j e o j j j o X e X e X e X e X e X e X e X e X e ω

ωωωωωωωω--???=+??

??=+?

???=-?

???

求证：

[Re(())]()

[Im(())]()j e j o DTFT x n X e DTFT j x n X e ωω

?=?=? or [()]Re(())

[()]Im(())j e j o IDTFT X e x n IDTFT X e j x n ωω

?=?=? [()]Re(())

[()]Im(())j e j o DTFT x n X e DTFT x n j X e ωω

?=?=?

or [Re(())]()

[Im(())]()j e j o IDTFT X e x n IDTFT j X e x n ωω

?=?=?

证明：

()()()[][]

**

1

21()()21

2Re(())2

Re(())j j j e X e X e X e DTFT x n x n DTFT x n DTFT x n ωωω-??

=

+?

???=

+??== ()()(

)[][]*

*

121()()2

1

2I m (())2

I m (())j j j o X e X e X e D T F T x n x n D T F T j x n D T F T j x

n ωω

ω-

??=

-?

?

??=

-??==

()()()()()()()()()**121212Re 2Re e j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT X e IDTFT X e ωω

ωω??=

+-????=+????=????=?? ()()()()()()()

()()

**121212I m 2

Im o j j j j x n x n x n IDTFT X e X e IDTFT j X e IDTFT j X e ωωωω??=--????=-????

=????

=??

对实数序列()x n

()()

()Re[]Im[]0

x n x n x n =??

?=??

则：[Re(())]()()[Im(())]()0

j j e j o DTFT x n X e X e DTFT j x n X e ωωω

?==?==? 即：实数序列的傅里叶变换具有共轭对称性（是共轭对称序列）

()()()()()*12

12e x n x n x n x n x n ??=

+-??=+-???

? 共轭对称序列变成偶对称序列

()()()()()*

1212o x n x n x n x n x n ??=

--?

?=--???

?共轭反对称序列变成奇对称序列

二． 离散傅里叶变换（DFT ）的对称性

已知：

()()()()()()*

ep N N N x n x n x N n R n ??=+-?? ()()()()()()*op N N N x n x n x N n R n ??=--??

()()()*

1Re 2x n x n x n ??=

+?????? ()()()*

1Im 2j x n x n x n ??=-??????

()()()()()()()()()()()()()()

*

1

1**00*

1*

0*N N kn kn N N N N n n N N k n N N

N N n N N DFT x n x n W R k x n W R k X k R k x n W R k X N k R k ---==--=????==??????

??=-=????

=-∑∑∑

有时习惯上()()

()*

N N

X N k R k - 可写成()*X N k -，但应该指出，当0k =时，

()*X N k -可得到()*X N ，但由于DFT 的取值区间为01k N ≤≤-，已超出该区间，因

而应当理解为()()**0X N X =。

()()

()()()()()()()()()()()()1

*

*0

*

*

1

001*

1*0N kn

N N N N

N n N kn kn

N N N N n n N N kn N N n DFT x

n R n x n R n W x n W x n W x n W X k -=--==---=??-=-??

????=-=??????????

??==????

∑∑∑∑ 证明：

复序列实部的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭对称分量：

(){}()(){}

()()()()()()()()()()

***1

Re 2

1212

N N N N N ep DFT x n DFT x n DFT x n X k X N k R k X k X N k R k X k ??=+????????????=+-????=+-??=

复序列虚部乘以j 的DFT 等于序列DFT 的圆周共轭反对称分量：

(){}

()(){}

()()()()()()()()()()

*

**1Im 2

1

212

N N N N N op DFT j x n DFT x n DFT x n X k X N k R k X k X N k R k X k ??=

-????????????

=

--????=--??=

复序列的圆周共轭对称分量的DFT 等于序列DFT 的实部：

()()()()()(){}

()()()(){}

()()()*

*121

*212Re ep N N N N N DFT x n DFT x n x N n R n DFT x n DFT x n R n X k X k X k ????=

+-??????=+-????????=+??=????

or

()()(){}

()()()()()()()()()()

*

**1Re 2

1

212N N N N N ep IDFT X k IDFT X k IDFT X k x n x n R N x n x N n R N x n ????=

+??????????????

=

+-?

???=+-??=

复序列的圆周共轭反对称分量的DFT 等于序列DFT 的虚部乘以j ：

()()()()()(){}

()()()(){}

()()()*

*121

*212Im op N N N N N DFT x n DFT x n x N n R n DFT x n DFT x n R n X k X k j X k ????=

--??????=--????????=-??=????

or

()()(){}

()()()()()()()()()()

*

**1Im 2

1

212

N N N N N op IDFT j X k IDFT X k IDFT X k x n x n R N x n x N n R N x n ????=

-??????????????

=

--?

???=--??=

()()()()()()()()()()()()()()

*

1

1**00*

1*

0*N N kn kn N N N N n n N N k n N N

N N n N N DFT x n x n W R k x n W R k X k R k x n W R k X N k R k ---==--=????==??????

??=-=????

=-∑∑∑

根据频域抽样理论，对信号的连续频谱抽样，必然伴随着信号在时域的周期性延拓。为了使频域的样本能完全代表时域的信号，则必须要求信号是时限的，而且在周期延拓时不发x n是一个长度为M的有限长序列，当我们对它的频谱在一个周期内等生重叠。如果信号()

x n在时域将以N为周期延拓。

间隔抽样N点时，伴随着()

,也就是说至少要在一个周期内抽样M点。

为了避免信号的重叠，显然必须有N M

x n是一个无限长序列（非时限），则无论对其频谱在一个周期内怎样抽样，都将如果()

不可避免地发生时域内信号的重叠，因而也不可能从周期延拓的信号中恢复出原信号。

这就是为什么DFT只对有限长序列而言的本质原因。