课时跟踪检测(五十五) 直线与圆锥曲线

课时跟踪检测（五十五） 直线与圆锥曲线

1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )

A ．有且只有一条

B ．有且只有两条

C ．有且只有三条

D ．有且只有四条

解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋

p

2＋x B ＋p

2

＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．

2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为

10

3

，则|AB |＝( ) A.133 B.143 C ．5

D.163

解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋10

3＝

163

. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )

A ．y ＝x －1

B ．y ＝－2x ＋5

C ．y ＝－x ＋3

D ．y ＝2x －3

解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有?

????

y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，

由题可知x 1≠x 2.∴

y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝4

2

＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.

4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π

6的直线l ，则直线l 与

双曲线C 的交点情况是( )

A ．没有交点

B ．只有一个交点

C ．有两个交点且都在左支上

D ．有两个交点分别在左、右两支上

解析：选D 直线l 的方程为y ＝3

3()x ＋13，代入C ：x 24－y 29＝1，整理得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．

5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )

A ．3

B ．4

C ．3 2

D ．4 2

解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所以AB 中点坐标为????－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－1

2＋????－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝3 2.

6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )

A.12 B ．1 C.32

D ．2

解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2

.由?????

y ＝kx －p 2，

x 2＝2py 得x 2－

2pkx ＋p 2＝0，

由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ????p ，p 2，P ?

???－p ，p

2， ∴△AP Q 的面积为1

2

×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.

7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，

且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )

A ．2 B.32 C.355

D.52

解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，y 1

＋y 2

＝30，由???

x 21a 2－y 21b 2

＝1，x 22a 2

－y

22b 2

＝1，

两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)

b 2

，

则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝5

4，∴双

曲线的离心率e ＝c

a

＝

1＋b 2a 2＝32

. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )

A ．y 2＝x

B ．y 2＝2x

C ．y 2＝4x

D ．y 2＝8x

解析：选C F ????p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p

2. 联立得方程组?????

y 2＝2px ，y ＝x －p 2，可得x 2

－3px ＋p 2

4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，

∴M ????3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p

2. ∴C ????5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝????3p 2＋5p 2·

p 2

－12·p

2·p ＝7p 2

4

＝7， 又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.

9．(2018·湖北十堰二模)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，

b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A ，B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )

A ．4 B.7 C.233

D. 3

解析：选B ∵△ABF 2为等边三角形， ∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，

∴|BF 1|＝2a .

又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a . ∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .

在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°， ∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×1

2，即c 2＝7a 2，

∴e ＝c a

＝

c 2

a 2

＝7.故选B. 10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )

A ．2 2

B ．2

C ．4

D ．3 2

解析：选A ∵l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝

|m |

1＋k 2

＝1， ∴m 2＝1＋k 2，由????

?

y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1

得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，

∴???

??

1－k 2≠0，

Δ＝4m 2k 2

＋4(1－k 2

)(m 2

＋1)＝4(m 2

＋1－k 2

)＝8＞0，

x 1x 2

＝1＋m 2

k 2

－1

＜0，

∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk

1－k 2

， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22|1－k 2

|＝22

1－k 2

， ∵0≤k 2＜1，

∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.

11．(2019·安庆模拟)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且满足AF ―→

＝λFB ―→，若|AF ―→|＝3

2

，则λ的值为________．

解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由抛物线x 2＝4y 得焦点F 的坐标为(0,1)， 准线方程为y ＝－1，

∵|AF ―→|＝3

2，∴y 1＋1＝32，解得y 1＝12

，

∴x 1＝±2，由抛物线的对称性取x 1＝2， ∴A ????2，12，∴直线AF 的方程为y ＝－2

4

x ＋1， 由????? y ＝－24x ＋1，x 2＝4y .

解得?????

x ＝2，y ＝12或???

x ＝－22，y ＝2，

∴B (－22，2)，∴|FB ―→

|＝2＋1＝3，

∵AF ―→＝λFB ―→，∴|AF ―→|＝λ|FB ―→

|，∴32＝3λ，解得λ＝12.

答案：1

2

12．(2019·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2

＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两

点．直线P Q 过原点O 且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P ，Q 两点，则|P Q |2

|MN |

＝________.

解析：法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，则直线P Q 的方程为x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).????

?

x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1?(m 2

＋2)y 2＋2my －1＝0?y 1＋y 2＝－

2m m 2

＋2，y 1y 2＝－1

m 2＋2. ∴|MN |＝

1＋m 2|y 1－y 2|＝2

2·m 2＋1m 2＋2

. ?????

x ＝my ，x 22＋y 2＝1?(m 2＋2)y 2－2＝0?y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2

.

∴|P Q |＝

1＋m 2|y

3－y 4|＝2

2

m 2＋1

m 2＋2

. 故|P Q |2|MN |

＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2

a ＝2，|P Q |＝2

b ＝2，则|P Q |2

|MN |

＝2 2. 答案：2 2

13．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线l ：y ＝3(x －1)，

l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝

16

3

，则p ＝________. 解析：由???

y 2＝2px ，

y ＝3(x －1)，

消去y ，得3x 2－(2p ＋6)x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2p ＋6

3

，x 1x 2＝1，所以|AB |＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2 (2p ＋6)29－4＝16

3，所以p ＝2. 答案：2

14．(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p ＞0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p ＞0)的另一个交点为Q ，则

S △AB Q

S △ABO ＝________.

解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，

联立得????? y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ????2p k 2，2p k ， 联立得?

????

y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ????8p k 2，8p k ， ∴|OP |＝ 4p 2k 4＋4p 2k 2＝2p 1＋k 2

k 2， |P Q |＝ 36p 2k 4＋36p 2k 2＝6p 1＋k 2k 2

， ∴

S △AB Q S △ABO ＝|P Q ||OP |

＝3. 答案：3

15．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；

(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．

解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p

2，

由抛物线的定义可知3－????－p

2 ＝4， 解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .

(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则?

????

y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 两式相减，整理得

y 2－y 1x 2－x 1 ＝4

y 2＋y 1(x 1

≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝

4y 2＋y 1＝4

(－1)×2

＝－2， ∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，

由?????

y 2＝4x ，x ＝my ＋1

消去x ，得y 2－4my －4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴

y 1＋y 22 ＝4m 2＝－1，解得m ＝－1

2

， ∴直线l 的方程为x ＝－1

2

y ＋1，即2x ＋y －2＝0.

16．(2019·佛山模拟)已知直线l 过点P (2,0)且与抛物线E ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点．

(1)当A 是PC 中点时，求直线l 的方程；

(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D ，求|OB |·|OD |的值． 解：(1)∵A 是PC 的中点，P (2,0)，C 在y 轴上， ∴A 点的横坐标为1，又A 在第四象限，∴A (1，－2)． ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)显然直线l 的斜率不为0，

设l 的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组?

????

x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x 得

y 2－4my －8＝0，

∴y 1y 2＝－8，故x 1x 2＝y 214·y 22

4

＝4，

∵D 在以AB 为直径的圆上，且在直线OB 上，∴AD ―→⊥OD ―→

， 设OD ―→＝λOB ―→

＝(λx 2，λy 2)，

则AD ―→＝OD ―→－OA ―→

＝(λx 2－x 1，λy 2－y 1)， ∴AD ―→·OD ―→＝(λx 2－x 1)λx 2＋(λy 2－y 1)λy 2＝0，

即λ2x 22－4λ＋λ2y 22＋8λ＝0，易知λ≠0， ∴λ(x 2

2＋y 22)＝－4.

∴|OB |·|OD |＝x 22＋y 22·λ2x 22＋λ2y 22 ＝|λ|(x 22＋y 22)＝4.

17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋

x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点?

???1，263. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ―→·F 1H ―→＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．

解：(1)因为椭圆C 的离心率为1

2，

所以c a ＝1

2

，即a ＝2c .

又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝3

4a 2，

所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2

34

a 2

＝1.

把点?

???1，

263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4. 所以椭圆C 的方程为y 24＋x 2

3

＝1.

(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2， 由????

?

y ＝kx ＋2，x 23＋y 24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0. 设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k

3k 2＋4

， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，

所以B ? ??

??－12k 3k 2＋4，－6k 2＋83k 2＋4. 设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1

k ， 即M ???

?－1

k ，1.

设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ， 所以k MH ＝－1

k

，即

1－1

k

－x H

＝－1

k .

所以x H ＝k －1

k

，即H ????k －1k ，0. 又F 1(0,1)，所以F 1B ―→＝? ????－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H ―→

＝????k －1k ，－1. 因为F 1B ―→·F 1H ―→

＝0，所以－12k 3k 2＋4·????k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，

解得k ＝±26

3

.

所以直线l 的方程为y ＝±26

3

x ＋2.